Tìm hiểu về vật lý thống kê các quá trình không cân bằng

LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tận tình giáo hướng dẫn: PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Với khả trình độ hạn chế sinh viên nên trình thực đề tài chắn tránh khỏi thiếu sót Tơi mong thầy bạn bè đóng góp ý kiến để đề tài tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Đồn Thị Thùy Linh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp hoàn thành với nỗ lực thân giúp đỡ, hướng dẫn tận tình giáo PGS – TS Lưu Thị Kim Thanh Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu riêng không trùng kết tác giả khác Nếu sai, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Đoàn Thị Thùy Linh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học nghiên cứu quy luật vận động tự nhiên từ thang vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) thang vĩ mô ( hành tinh, thiên hà, vũ trụ) Các đối tượng nghiên cứu vật lý học vật chất, lượng, không gian thời gian… Nhiệt động lực học Vật lý thống kê hai ngành vật lý học áp dụng phương pháp thống kê để nghiên cứu hệ chứa số lớn phần tử gọi hệ vi mô hay hệ nhiều hạt Trong đó, Nhiệt động lực học nghiên cứu quy luật tính chuyển động nhiệt hệ cân hệ chuyển trạng thái cân bằng, đồng thời khái qt quy luật tính cho hệ khơng cân Còn Vật lý thống kê có nhiệm vụ nghiên cứu mối liên hệ đặc tính vĩ mơ hệ mà ta khảo sát với đặc tính định luật chuyển động hạt vi mô cấu thành hệ Và Vật lý thống kê có quan hệ chặt chẽ với Nhiệt động lực học Người ta thấy rằng, trường hợp hệ vĩ mô nằm trạng thái cân định luật mà ta thu Vật lý thống kê đại lượng trung bình trùng với định luật Nhiệt động lực học Như trường hợp hệ cân bằng, Vật lý thống kê đặt sở lý thuyết cho quy luật nhiệt động lực học Vì vậy, người ta thường gọi Vật lý thống kê hệ cân Nhiệt động lực học thống kê – thiết lập mối liên hệ trạng thái phân tử với đặc tính vĩ mơ hệ cho phép ta tính hàm nhiệt động hệ khác Tuy nhiên, thời gian gần việc nghiên cứu q trình trạng thái khơng cân phát triển mạnh hình thành ngành Nhiệt động lực học q trình khơng cân bằng, tài liệu vấn đề giải thích quy luật tính đơn giản Vì vậy, tơi chọn “Tìm hiểu Vật lý thống kê q trình khơng cân bằng” làm đề tài luận văn mình, để sâu vào nghiên cứu q trình khơng cân bằng, khảo sát biến đổi cấu trúc vi mô vật chất cách vận dụng lý thuyết thống kê Thơng qua đề tài này, tơi muốn tìm hiểu kĩ lý thuyết cổ điển lý thuyết lượng tử q trình khơng cân mang lại kiến thức tổng hợp từ nhiều tài liệu khác Tôi hi vọng tài liệu bổ ích cho bạn sinh viên sau Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu q trình khơng cân thông qua lý thuyết cổ điển lý thuyết lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm q trình khơng cân hàm phân bố Nghiên cứu lý thuyết cổ điển q trình khơng cân Nghiên cứu lý thuyết lượng tử q trình khơng cân Đối tƣợng nghiên cứu Xác định phương trình chuyển động hàm phân bố Mối liên hệ hàm phân bố với không thời gian đại lượng vĩ mô Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lý thuyết NỘI DUNG CHƢƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 CÁC Q TRÌNH KHƠNG CÂN BẰNG Nhiệt động lực học thống kê không cân phát triển giả thuyết cân Giả thuyết giả thuyết tiếng, phát triển từ khoảng đầu kỷ XX Gibbs đề xuất, Nhiệt động lực học thống kê khơng cân q trình phát triển cần nhiều thời gian hồn thiện Nó nghiên cứu q trình vận chuyển lượng, động lượng, phần từ hệ thống vật lý khác (chất khí, chất lỏng, chất rắn) dựa khái niệm nhân tố thống kê, phương trình nguyên tử, để tìm hệ số động học quan điểm thuộc tính vi vật chất Nội dung vật lý thống kê trình khơng cân xác định phương trình chuyển động hàm phân bố để tìm mối liên hệ hàm phân bố với không thời gian xác định mối liên hệ hàm phân bố với đại lượng vĩ mơ Trước tìm hiểu q trình khơng cân nhắc lại trình cân (quá trình cân nhiệt động) Một hệ gọi cân bên hệ tất thông số thể tích V, lượng E, số hạt N,… khơng đổi với thời gian, mà khơng có dòng dừng tác dụng nguồn ngồi Hay nói cách khác, hàm phân bố xác suất khơng phụ thuộc tường minh vào thời gian trạng thái hệ gọi trạng thái cân bằng, nên giá trị trung bình đại lượng đặc trưng cho hệ vĩ mô không phụ thuộc thời gian Trong trạng thái cân hàm phân bố khơng phụ thuộc toạ độ trường ngồi khơng đồng Còn q trình khơng cân bằng, hàm phân bố không cân phụ thuộc thời gian phụ thuộc toạ độ khơng có trường ngồi, tức hệ tồn gradient, chẳng hạn gradient nhiệt độ, gradient mật độ hạt, … Đặc trưng chủ yếu q trình khơng cân tồn dòng chảy hệ (dòng nhiệt lượng, dòng vật chất, dòng điện, …) Nguồn gốc dòng tồn gradient, chẳng hạn truyền nhiệt bắt nguồn từ tồn gradient nhiệt độ VT (tức chênh lệch nhiệt độ điểm khơng gian), dòng điện bắt nguồn từ tồn gradient điện V Ψ , … Các q trình khơng cân loại gọi trình truyền Trước hết ta thiết lập mối liên hệ hàm phân bố với trình 1.2 HÀM PHÂN BỐ KHÔNG CÂN BẰNG Trong lý thuyết q trình truyền người ta khơng dùng hàm phân bố  xác suất hạt ω ( mà khảo sát phần phân bố Maxwell p,r ,t) Boltzmann Người ta thường dùng hàm phân bố  hàm ω ( p,r ,t)   f ( p , r ,t) , hàm khác thừa số hạt hệ:  Vì hàm ω ( p,r ,t)   f ( p,r ,t) = Nω ( p,r ,t) thỏa mãn điều kiện:    ∫ω1 ( p, r ,t)dpdr = N nên hàm f ( p ,  r ,t) thỏa mãn điều kiện: (1.1)     , r ,t)dp dr = N (1.2) ∫f(p  f(p , Qua hệ thức (1.2) ta thấy rõ ý nghĩa hàm phân bố  r ,t) độ hạt không gian   ( p , r ) Nói cụ thể   f(p ,r ,   t)dp dr xung lượng khoảng  dp tọa độ khoảng  dr Từ định nghĩa (1.1) ta suy ra: mật số hạt có 1.2.1 Đại lƣợng  p(r ,t) =  ∫ f(p   r ,t)dp , (1.3) l mật độ hạt địa phư ơng, tức số hạt tron g đơn vị thể tích điểm  r   1.2.2 Đại lƣợn g  (1 j p  = f ) ( ∫ p, r , t d p m l m ật độ dòng hạt  điểm r   f(p ,r ,  t)dp 1.2.3 Đại lƣợng  p (1.5) q = ∫p dp dr dp ≡ dv = dx dydz , r  ,t) d p  2m m mật độ dòng nhiệt lượng cân Trong tất công thức ta cần lưu ý tới ký hiệu:  Qua công thức (1.4) – (1.6) ta thấy để tính dòng  truyền hệ f ( p , cần biết  r ,t) Để hàm phân bố xác định hạt hàm phân bố (dòng cần lượng)  điểm r trình chuyển động 1.2.4 Đại lƣợng việc xác lập ∫e giải phương trình = chuyển động  p je m biết phương Vì lẽ đó, hàm phân vấn đề trun g tâm lý thuy ết q trình khơn g cân  khơn g mật độ dòng điện  điểm2 r f( p  (1.6) bố T rong trườ ng hợp thốn g kê cân toán xác định hàm phân bố có lời giải rõ ràng: biểu thức phân bố Gibbs: ω( = Ψ a) (X      θ (t'−t) = ~ 1H [t'H i (t'−t), H − t ' µN ] (3.26) Với biểu thức ω theo (3.22) hay (3.24) ta tính giá trị trung bình đại lượng vật lý A gần tuyến tính theo A = Sp(ωA) Đặt (3.22) vào (3.28) ta có: Ht : (3.28) A A (t')] t [A(t), H dt' i = Ở đây: (3.29) + ∫ t' −∞ i Ht − i  A = Ae T = r S o p n ( g ω ( ) ) , k í h i ệ u t r ậ n m ậ t (3.30 ) lấy trung bình theo tốn tử ma độ (toán tử thống kê) cân ω Đ với nhiễu loạn ngồi ố (3.11) ta viết i (3.37) thành biểu thức Như nói nhiễu loạn ngồi ảnh A∞ =0 A(t), B j (t') Fj A− (t)dt' hưởng đến giá trị trung bình đại lượng vật lý A thơng qua hàm Green (3.33) Nếu đặt (3.24) vào (3.28), ta có: ∑ λ H−λH1 β t A ) e H Adλdt (t Sp(ωA ) '− t)e ' = Sp(ω A) − Sp(ω ∫∫ t' ∫ −∞ β t A − e H (t −λ = ∫ ')e H A(t) dλdt ' ∫ 0 A λH ( ) t' − ∞ j λ −λ β t = A e H H1 (t ')e H A (t) dλdt ' + ∫∫ t' −∞ Có thể viết (3.36) dạng: A = A −β j t = A + β t H (t  '− iλ)A (t) dλdt ' sau: −∞ t' ∫∫ −∞ t' A∞ β F =0 e (t') −λ A+ λH e H ( ∑A( t' Bt) ) d ∫ t' ∫ d H (t '− iλ)A(t) dλdt ' ∫∫ j − ∞ (3.38 ) λ j ( ) − ∞ Đây cơng thức Kubo cho phản ứng tuyến tính hệ lượng tử 3.3 LÝ THUYẾT PHẢN ỨNG PHI TUYẾN TÍNH Từ phương trình Liouville (3.18) tương tự làm phần phản ứng tuyến tính ta có: t ω(t) = ω + t ∞ ∑ dt ∫ dt ∫ dt e ∫ n=1 (i) n i − Ht  tn−1 −∞ −∞ −∞ × n i Ht × H (t ) H (t ) [H (t  e  ),ω t n 0  t  t  1 1 (3.39) n Đối với giá trị trung bình đại lượng vật lý A bất kì, ta có: A = A t ∞ tn−1 × +∑ ∫ dt ∫ dt × t n n=1 (i) ∫ −∞ −∞ {  1 Ht (t1)  dt nSp H t  −∞   (3.40) } (t ) [H (t ),ω A   tn n Chuỗi (3.40) mô tả phản ứng phi tuyến tính hệ với nhiễu loạn ngồi H t Ta thu cơng thức thuận tiện cho phản ứng phi tuyến hệ cách sử dụng biên độ sau: Phương trình chuyển động tốn tử U (t) : ∂U (t) i =( H +1 H U (t) ∂t t ) Khi Ht nghiệm (3.41) có dạng: =0 i − Ht  U (t) = e Từ (3.41) ta cần phải đặt thêm điều kiện ban đầu: i Ht 60 (3.41) e  U (t) |t = =−∞ (3.42) Ta chứng minh U(t) thỏa mãn phương trình (3.41) điều kiện ban đầu (3.42) thì: 60 ω(t) = U0 + (t) (t)ω U (3.43) thỏa mãn phương trình Liouville (3.13) (3.14) Thực vậy, từ (3.43) ta có: + i= ∂ i ω  (t) ∂ ω + U (t )+ U(t )ω ∂U (t)   U(t )  ∂ t 0 ∂t   ∂ t t 0 t = (H + H )U(t)ω U + (t) − U(t)ω U + ) (t) ( H + H = ( H + H ) ,ω t   Nghĩa là: 11 ω(t) = ω , hay nói cách khác trở (3.14) Để tiện lợi t→− ∂ i i  iU U ( H t  (( việc tính tốn này, ta nhân trái tt4  e )4 (3.41) với e  ))  : = i i Ht ∂U (t) Ht ie (H = + eH U (t) H i )  ∂ i ∂t t Ht i Ht = −U (t)He   Do : ( t ) e t ∂ i Ở U − (t) e t= ( t  HH e (5  ) ) ∂t e i ∂ i Ht  Ht  U H U (t) ⇒ (t) e  i  = e t l  i ∂ t  Ht  − i i i H t H t t o n Ht t = e H e U (t) U (t)  e = H1  (t)e  t  t n ă n g Nghĩa là: 11 lượng nhiễu loạn biểu diễn Heisenberg Lấy tích phân (3.44) từ − ∞ đến t với lưu ý (3.42) ta có: t U (t) =− i Ht  e + ∫ Ht1 H (t )e i  U (t ) dt  i  t 1  Để tiện lợi, ta đặt: − ∞ i (3.46)   Ht UU (t) ( = t  ⇒ ∫ Ht (t1 )U1 (t1 ) dt1 1−∞ = i  Với điều kiện ban đầu: U1 (t) |t =−∞ =1 Giải phương trình tích phân phương pháp lặp ta cho chuỗi lý thuyết nhiễu loạn U(t) − t t ∑ n 1 ( t  (3.52a) ⇒ dt ) t n n ∫ (3.4 (i Ta ) n=0 ( − −1 − 7) ∫ dt2∞ ∞2 t ∞ n ) −∞ (3.52b) −∞ dt n ∫ Lưu ý lý thuyết t Ht −∞ phản ứng tuyến tính, mối liên c (t1 ) e Toán tử hệ lực Gibbs Ht {ta ngồi F(t) U(t) viết (t2 ) ∆A cho hệ ω phản ứng A − thức tích phân: dạng thuận H t = hệ = (tn ) tiện với A − − p ∞ ∞ − t việc sử dụng ∞ Hβ [ t1 t toán tử thứ tự + = U ∫ d ).H(t ∫ t pˆ ( ∫dtp ) ] − p) ) ) L( H N U ) (= Hnt ) et ni Hdt (t2 (t )H ∫(t t t 1n n −1  n n n − ] tn ) = L ( A( tt n ) B( t + ( t ) H ( t Ở t1 > t2 > > tn : A,B,…,L toán tử phụ thuộc vào thời gian t tn −1 t T− r ] o n g t r n g h ợ p p h â n t ∆A(t) = ∫ L(t − (t')dt' −∞ t')F (3.53) Trong lý thuyết phản ứng tuyến tính khơng có mối liên hệ ngược lại đó: f L k ( ( [ t t , ' F , ( t t ' t ) ) ' ] ' = ) = F ( t ) ; (3.54) chuyể n (3.53) L ( t = − ; t ' ) ; Lý thuyết phi tuyến trình bày sử dụng giới hạn bỏ qua nhiễu loạn nhiệt động xuất tính học môi trường thụ động nghĩa α gia tăng môi trường xảy 3.4 CÔNG THỨC KUBO CHO TENXƠ ĐỘ DẪN Xét ảnh hưởng trường điện biến thiên dạng: (3.55) t Tlà' rođiệ nn g tíc ch hạt n i: g ri th ứ c( 6) : e bán kín h vect vị trí Ta tác dụng lên phản ứng tuyến tính hệ Khi tốn tử H có dạng:  δt   h  e = δt ∑ vectơ (3.56) H= t i phân cực −( i:i i t i =E0 , Dưới P) ảnh −cos hưởng Ωt ∑ ee (3.55),  hệ i ( xuất E dòng điện: r i ) c o s Ω t e i ∞ jα = ∫ −∞ j ( dt' t ( t ) H (3.57) Trong công thức (3.57):   δt t j (t) ∑ = P (t)  H t (t) = −( E0 , P(t)) cos Ωte  (3.58) α i iα α  Ởjα thành phần α , tốn tử dòng điện: α ri thành phần α toán tử vận tốc hạt i Từ (3.57) (3.58), ta viết: ∞ t j )( E0v cos t Ω αP δt ' = − ) t'e ∑ ∫ (α dt' jα v −∞ (3.59) Hay viết dạng: jα (3.60) ∑ e{σ α (Ω)}E = R v với: σ (Ω Ωt )− = ∞ + δt e−i αv 0v v jdtP (t) ∫ α −∞ (3.61) α tenxơ độ dẫn Sử dụng đẳng thức Kubo ta viết cơng thức cho tenxơ độ dẫn (3.61) dạng: σ αv β ∞ (Ω) ∫ ∫ e = iΩ t −δt j v jα + dλ i λ) dt (t (3.62) 0 Công thức(3.60) có tên gọi cơng thức Kubo cho tenxơ độ dẫn điện Tóm lại, chương ta xây dựng lý thuyết lượng tử q trình khơng cân sở giải phương trình Liouville cho ma trận mật độ phụ thuộc thời gian Ta xác định cơng thức Kubo cho phản ứng tuyến tính, phi tuyến tính hệ lượng tử cơng thức Kubo cho tenxơ độ dẫn KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp giúp tơi nghiên cứu sâu vật lý thống kê trình khơng cân bằng, khảo sát biến đổi cấu trúc vi mô vật chất Bằng cách vận dụng lý thuyết thống kê, tơi tìm hiểu kĩ lý thuyết cổ điển lý thuyết lượng tử q trình khơng cân biết vận dụng kiến thức vật lý để nghiên cứu đề tài cụ thể Tuy nhiên điều kiện nghiên cứu nhiều hạn chế, tài liệu tham khảo thiếu thời gian có hạn nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Vậy, mong góp ý quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện ... học Như trường hợp hệ cân bằng, Vật lý thống kê đặt sở lý thuyết cho quy luật nhiệt động lực học Vì vậy, người ta thường gọi Vật lý thống kê hệ cân Nhiệt động lực học thống kê – thiết lập mối liên... nhân tố thống kê, phương trình nguyên tử, để tìm hệ số động học quan điểm thuộc tính vi vật chất Nội dung vật lý thống kê q trình khơng cân xác định phương trình chuyển động hàm phân bố để tìm mối... trình khơng cân thơng qua lý thuyết cổ điển lý thuyết lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm q trình khơng cân hàm phân bố Nghiên cứu lý thuyết cổ điển q trình khơng cân Nghiên cứu lý