Bài 2 một số kiến thức về vật lý thống kê

Bài 2: Một số kiến thức Vật lý thống kê Under construction Không gian pha ● ● ● ● Xét hệ cổ điển N hạt Trạng thái hệ xác định tọa độ r xung lượng p tất hạt Không gian pha: 6N biến, Γ = (r,p) (q,p) Sự thay đổi trạng thái theo thời gian tuân theo phương trình học cổ điển H =K V p ∂H ∂H q˙k = , p˙ k =− ∂ pk ∂ qk ● ● ● Chuyển động hệ theo thời gian mô tả quỹ đạo không gian pha Γ(t) Do tính tất định phương trình Newton, quỹ đạo không cắt nó! Poincare: đợi đủ lâu hệ quay trở trạng thái ban đầu! – Poincare recurrence time > tuổi vũ trụ hệ vĩ mô Tập hợp thống kê ● ● Đại lượng đo A(Γ) Giá trị đo thực nghiệm giá trị trung bình theo thời gian Aobs =〈 A〉time=〈 A t 〉time = ● t obs t obs ∫ A t dt Gibbs: lấy trung bình theo tập hợp với phân bố cần thiết! Aobs =〈 A〉ens =∑ A    – ρ(Γ): mật độ xác suất trạng thái điều kiện vĩ mô định: NVE, NVT, NPT ● Tập hợp: bao gồm hệ nhiều trạng thái khác ● ρ(Γ,t) mật độ xác suất ● Định lý Louville: d =0 dt – số hệ tập hợp không thay đổi theo thời gian – tập hợp chuyển động theo thời gian không gian pha chất lỏng có độ nén 0! N ∂     ˙ =−∑ r˙i ∇ p ∇ r i p ∂t i=1  i i  ● Khi t vô lớn, ta có tập hợp cân bằng: ∂ =0 ∂t ● ● – đó, ρ không phụ thuộc thời gian! – ta có 〈 A〉time =〈 A〉ens Hệ ergodic: any point in phase space is accessible from any other point Hệ non-ergodic: some region of phase space is not accessible from outside ● Trọng số & hàm phân hoạch:  =Q −1 w   Q=∑ w   〈 A〉=Q −1 A  w  ∑  – tùy thuộc vào cách lấy trọng số ta có tập hợp khác – Mô Monte Carlo: cho phép tạo tập hợp trạng thái theo mật độ xác xuất ρ cho trước, 〈 A〉= K K ∑ A k  k=1 Tập hợp vi tắc ● N,V,E = constants Q NVE =∑   H −E   1 Q NVE = dr dp   H r , p−E  3N ∫ N! h S =k B ln Q NVE ● entropy Phương pháp động lực học phân tử (MD): tạo tập vi tắc (E=constant), đồng thời bảo toàn xung lượng tổng cộng Tập hợp tắc ● N,V,T = constants − H (Γ)/ k B T w (Γ)=e Q NVT =∑ e −H (Γ)/ k B T Γ F =−k B T ln Q NVT Năng lượng tự Helmholtz 1 −K / k T −V Q NVT = dp e dr e ∫ 3N ∫ N! h Q NVT = Z NVE 3N /2 N ! h / 2mk B T  B Z NVT =∫ dr e −V p r /k B T p r /k B T configurational integral Tập hợp đẳng nhiệt đẳng áp ● N,P,T=constants w  =e −H   PV / k B T Q NPT =∑ ∑ e  − H  PV / k B T V −P/k BT =∑ e V G=−k B T ln Q NPT − PV / k B T Z NPT =∫ dV e ∫ dr e Q NVT Năng lượng tự Gibbs −V p r /k B T Tập hợp tắc lớn ● µ,V,T=constants w  =e −H  − N / k B T Q  VT =∑ ∑ e  − H − N / k B T N PV =k B T ln Q  VT =∑ e N  N /kBT Q NVT phương trình trạng thái Định luật đẳng phân ● Mỗi bậc tự ứng với kích thích lượng kT 〈 ● 〉 ∂H pk =k B T ∂ pk 〈 〉 ∂H qk =k B T ∂ qk Số bậc tự = 3N−N c Nc số ràng buộc (constraint) Nhiệt độ tức ● ● ● Nhiệt độ đo thực nghiệm nghiệt độ trung bình theo thời gian Trong mô tính nhiệt độ từ trạng thái vi mô hệ Từ định luật đẳng phân ta có: 〈 N 〉 ∣p i∣ 3N 〈 K 〉= ∑ = kBT i=1 mi ● Nhiệt độ tức thì: N ∣p i∣ 2K  T= = ∑ 3Nk B 3Nk B i=1 mi ● Trong trường hợp có Nc ràng buộc: ∣p ∣ 2K i  T= = ∑ 3N−N c  k B 3N−N c  k B i=1 mi N ● Nhiệt độ trung bình: T =〈 T 〉 Áp suất tức ● ● Từ trạng thái vi mô hệ tính áp suất tức Từ định luật đằng phân ta có: 〈 q k p˙ k 〉=−k B T suy ra: ● 〈 N ∂ p˙ k = f =− Vp ∂ qk tot k 〉 tot  ∑ ri⋅ f i =−N k B T i=1 Lực tổng cộng ngoại lực + nội lực: ext internal f tot   i =f i  fi ● Ngoại lực cân với áp suất lên tường: ● 〈 〉 N ext  r ⋅ f  ∑ i i =−PV i=1 Hàm virial N N 1 internal  W ≝ ∑ ri⋅ f i =− ∑ ri⋅∇ r V p i=1 i=1 i PV = N k B T 〈W 〉 ● Áp suất tức thì: P= k B T  W = P ideal gas  P ex V P= k B T  W =〈 P ideal gas 〉 P ex V ● Tương tác cặp V p =∑ v r ij  i j 1  W = ∑ ∑ ri⋅ f ij =− ∑ ∑ ri⋅∇ r v r ij  i i j i i j ij W =− ∑ ∑ w r ij  i i j dv r  w r =r dr hàm virial cho tương tác cặp Nhiệt dung riêng ● N,V,T=constants E=〈 H 〉 2 〈  E 〉=〈 H 〉−〈 H 〉 〈 H 〉−〈 H 〉2 C v= kBT ● N,P,T=constants 〈 H 〉−〈 H 〉 C p= k BT [...]... qk Số bậc tự do = 3N−N c Nc là số ràng buộc (constraint) Nhiệt độ tức thì ● ● ● Nhiệt độ đo được bằng thực nghiệm là nghiệt độ trung bình theo thời gian Trong mô phỏng có thể tính nhiệt độ từ một trạng thái vi mô của hệ Từ định luật đẳng phân ta có: 〈 N 2 〉 ∣p i∣ 3N 〈 K 〉= ∑ = kBT 2 i=1 2 mi ● Nhiệt độ tức thì: N 2 ∣p i∣ 2K 1  T= = ∑ 3Nk B 3Nk B i=1 mi ● Trong trường hợp có Nc ràng buộc: 2 ∣p ∣ 2K... v r ij  3 i i j 3 i i j ij 1 W =− ∑ ∑ w r ij  3 i i j dv r  w r =r dr hàm virial cho tương tác cặp Nhiệt dung riêng ● N,V,T=constants E=〈 H 〉 2 2 〈  E 〉=〈 H 〉−〈 H 〉 〈 H 2 〉−〈 H 2 C v= 2 kBT ● N,P,T=constants 〈 H 2 〉−〈 H 〉 2 C p= 2 k BT 2 ... lâu hệ quay trở trạng thái ban đầu! – Poincare recurrence time > tuổi vũ trụ hệ vĩ mô Tập hợp thống kê ● ● Đại lượng đo A(Γ) Giá trị đo thực nghiệm giá trị trung bình theo thời gian Aobs =〈 A〉time=〈... NVT, NPT ● Tập hợp: bao gồm hệ nhiều trạng thái khác ● ρ(Γ,t) mật độ xác suất ● Định lý Louville: d =0 dt – số hệ tập hợp không thay đổi theo thời gian – tập hợp chuyển động theo thời gian không... space is not accessible from outside ● Trọng số & hàm phân hoạch:  =Q −1 w   Q=∑ w   〈 A〉=Q −1 A  w  ∑  – tùy thuộc vào cách lấy trọng số ta có tập hợp khác – Mô Monte Carlo: cho