Tìm hiểu về vật lý thống kê các quá trình không cân bằng

LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tận tình cô giáo hướng dẫn: PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Với khả trình độ hạn chế sinh viên nên trình thực đề tài chắn tránh khỏi thiếu sót Tôi mong thầy cô bạn bè đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Đoàn Thị Thùy Linh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp hoàn thành với nỗ lực thân giúp đỡ, hướng dẫn tận tình cô giáo PGS – TS Lưu Thị Kim Thanh Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu riêng không trùng kết tác giả khác Nếu sai, xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Đoàn Thị Thùy Linh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học nghiên cứu quy luật vận động tự nhiên từ thang vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) thang vĩ mô ( hành tinh, thiên hà, vũ trụ) Các đối tượng nghiên cứu vật lý học vật chất, lượng, không gian thời gian… Nhiệt động lực học Vật lý thống kê hai ngành vật lý học áp dụng phương pháp thống kê để nghiên cứu hệ chứa số lớn phần tử gọi hệ vi mô hay hệ nhiều hạt Trong đó, Nhiệt động lực học nghiên cứu quy luật tính chuyển động nhiệt hệ cân hệ chuyển trạng thái cân bằng, đồng thời khái quát quy luật tính cho hệ không cân Còn Vật lý thống kê có nhiệm vụ nghiên cứu mối liên hệ đặc tính vĩ mô hệ mà ta khảo sát với đặc tính định luật chuyển động hạt vi mô cấu thành hệ Và Vật lý thống kê có quan hệ chặt chẽ với Nhiệt động lực học Người ta thấy rằng, trường hợp hệ vĩ mô nằm trạng thái cân định luật mà ta thu Vật lý thống kê đại lượng trung bình trùng với định luật Nhiệt động lực học Như trường hợp hệ cân bằng, Vật lý thống kê đặt sở lý thuyết cho quy luật nhiệt động lực học Vì vậy, người ta thường gọi Vật lý thống kê hệ cân Nhiệt động lực học thống kê – thiết lập mối liên hệ trạng thái phân tử với đặc tính vĩ mô hệ cho phép ta tính hàm nhiệt động hệ khác Tuy nhiên, thời gian gần việc nghiên cứu trình trạng thái không cân phát triển mạnh hình thành ngành Nhiệt động lực học trình không cân bằng, tài liệu vấn đề giải thích quy luật tính đơn giản Vì vậy, chọn “Tìm hiểu Vật lý thống kê trình không cân bằng” làm đề tài luận văn mình, để sâu vào nghiên cứu trình không cân bằng, khảo sát biến đổi cấu trúc vi mô vật chất cách vận dụng lý thuyết thống kê Thông qua đề tài này, muốn tìm hiểu kĩ lý thuyết cổ điển lý thuyết lượng tử trình không cân mang lại kiến thức tổng hợp từ nhiều tài liệu khác Tôi hi vọng tài liệu bổ ích cho bạn sinh viên sau Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu trình không cân thông qua lý thuyết cổ điển lý thuyết lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm trình không cân hàm phân bố Nghiên cứu lý thuyết cổ điển trình không cân Nghiên cứu lý thuyết lượng tử trình không cân Đối tƣợng nghiên cứu Xác định phương trình chuyển động hàm phân bố Mối liên hệ hàm phân bố với không thời gian đại lượng vĩ mô Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lý thuyết NỘI DUNG CHƢƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 CÁC QUÁ TRÌNH KHÔNG CÂN BẰNG Nhiệt động lực học thống kê không cân phát triển giả thuyết cân Giả thuyết giả thuyết tiếng, phát triển từ khoảng đầu kỷ XX Gibbs đề xuất, Nhiệt động lực học thống kê không cân trình phát triển cần nhiều thời gian hoàn thiện Nó nghiên cứu trình vận chuyển lượng, động lượng, phần từ hệ thống vật lý khác (chất khí, chất lỏng, chất rắn) dựa khái niệm nhân tố thống kê, phương trình nguyên tử, để tìm hệ số động học quan điểm thuộc tính vi vật chất Nội dung vật lý thống kê trình không cân xác định phương trình chuyển động hàm phân bố để tìm mối liên hệ hàm phân bố với không thời gian xác định mối liên hệ hàm phân bố với đại lượng vĩ mô Trước tìm hiểu trình không cân nhắc lại trình cân (quá trình cân nhiệt động) Một hệ gọi cân bên hệ tất thông số thể tích V, lượng E, số hạt N,… không đổi với thời gian, mà dòng dừng tác dụng nguồn Hay nói cách khác, hàm phân bố xác suất không phụ thuộc tường minh vào thời gian trạng thái hệ gọi trạng thái cân bằng, nên giá trị trung bình đại lượng đặc trưng cho hệ vĩ mô không phụ thuộc thời gian Trong trạng thái cân hàm phân bố không phụ thuộc toạ độ trường không đồng Còn trình không cân bằng, hàm phân bố không cân phụ thuộc thời gian phụ thuộc toạ độ trường ngoài, tức hệ tồn gradient, chẳng hạn gradient nhiệt độ, gradient mật độ hạt, … Đặc trưng chủ yếu trình không cân tồn dòng chảy hệ (dòng nhiệt lượng, dòng vật chất, dòng điện, …) Nguồn gốc dòng tồn gradient, chẳng hạn truyền nhiệt bắt nguồn từ tồn gradient nhiệt độ VT (tức chênh lệch nhiệt độ điểm không gian), dòng điện bắt nguồn từ tồn gradient điện V  , … Các trình không cân loại gọi trình truyền Trước hết ta thiết lập mối liên hệ hàm phân bố với trình 1.2 HÀM PHÂN BỐ KHÔNG CÂN BẰNG Trong lý thuyết trình truyền người ta không dùng hàm phân bố   xác suất hạt 1 ( p, r , t ) mà khảo sát phần phân bố Maxwell   Boltzmann Người ta thường dùng hàm phân bố f ( p, r , t ) , hàm khác   hàm 1 ( p, r , t ) thừa số hạt hệ:     (1.1) f ( p, r , t )  N1 ( p, r , t )   Vì hàm 1 ( p, r , t ) thỏa mãn điều kiện:      1 ( p, r , t )dpdr    N nên hàm f ( p, r , t ) thỏa mãn điều kiện:     (1.2)  f ( p, r , t )dpdr  N   Qua hệ thức (1.2) ta thấy rõ ý nghĩa hàm phân bố f ( p, r , t ) mật       độ hạt không gian ( p, r ) Nói cụ thể f ( p, r , t )dpdr số hạt có   xung lượng khoảng dp tọa độ khoảng dr Từ định nghĩa (1.1) ta suy ra: 1.2.1 Đại lƣợng     p(r , t )   f ( p, r , t )dp (1.3) mật độ hạt địa phương, tức số hạt đơn vị thể tích  điểm r 1.2.2 Đại lƣợng   p    j   f ( p , r , t ) dp m  mật độ dòng hạt điểm r (1.4) 1.2.3 Đại lƣợng  p2 p     q f ( p, r , t )dp 2m m (1.5)  mật độ dòng nhiệt lượng (dòng lượng) điểm r 1.2.4 Đại lƣợng   p    j e   e f ( p , r , t ) dp m  mật độ dòng điện điểm r (1.6) Trong tất công thức ta cần lưu ý tới ký hiệu:  dr  dv  dxdydz dp  dpx dp y dpz ; Qua công thức (1.4) – (1.6) ta thấy để tính dòng truyền   hệ cần biết hàm phân bố hạt f ( p, r , t ) Để xác định hàm phân bố cần biết phương trình chuyển động Vì lẽ đó, việc xác lập giải phương trình chuyển động hàm phân bố không cân vấn đề trung tâm lý thuyết trình không cân Trong trường hợp thống kê cân toán xác định hàm phân bố có lời giải rõ ràng: biểu thức phân bố Gibbs:   ( a)  H ( X , a)       ( X )  exp  Trong trường hợp thống kê không cân đặc điểm riêng hệ tức tương tác hạt tác động bên đa dạng, lời giải tổng quát cho toán xác định hàm phân bố không cân Hơn nữa, việc xác lập phương trình chuyển động phức tạp Ngay phương trình chuyển động xác lập nhiều trường hợp đưa lời giải gần sở số giả thiết có tính chất đơn giản hóa toán Vì lẽ phương pháp gần đóng vai trò quan trọng lý thuyết trình không cân CHƢƠNG II: LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ CÁC QUÁ TRÌNH KHÔNG CÂN BẰNG 2.1 CÁC PHƢƠNG TRÌNH CHÍNH XÁC ĐỐI VỚI HÀM PHÂN BỐ   Hàm phân bố mật độ hạt f ( p, r , t ) liên quan với hàm phân bố xác suất   1 ( p, r , t ) theo hệ thức (1.1), để xác định phương trình chuyển động     hàm f ( p, r , t ) ta xét hàm 1 ( p, r , t )   Vì 1 ( p, r , t ) hàm phân bố xác suất hạt nên liên quan với hàm phân bố xác suất hệ N hạt sau:           1 ( p, r , t )    ( p1 , pN , r1 , rN )dp1 , dpN , dr1 , drN (2.1) Lấy đạo hàm hai vế theo biến thời gian t, ta được: 1        dp2 , dp N dr2 , drN t t (2.2) Hàm phân bố  hệ tuân theo phương trình chuyển động:    , H   H ,   t ta viết lại (2.2) sau: 1       H ,  dp2 , dp N dr2 , drN t (2.3) Hamiltonian hệ có dạng:  N N pi2    H   U ( ri  rk )  U (ri ) i 1 2m (i k ) i 1 Số hạng thứ hai biểu thức Hamiltonian lượng tương tác hạt hệ, số hạng cuối hạt trường ví dụ điện trường, trường hấp dẫn Để cho tiện sử dụng ký hiệu sau đây:  rk  ( xk , yk , zk )  (rk1 , rk2 , rk3 ) : tọa độ suy rộng  pk  ( p1k , pk2 , pk3 ) : xung lượng suy rộng k  1,2, N U (ri  rk )  i  k U ik   0  i  k Với ký hiệu móc Poisson có dạng:  , H       H  H      pk rk  1 k 1  rk pk N      Pk  U N  U ik          m pk rk i 1 pk rk   1 k 1  rk N (2.4) Thay (2.4) vào vế phải (2.3) lưu ý rằng: Pk   Pk  drk       m  m rk  U   U     dpk  r      rk p k k  ta được: N  p  U 1 U 1i  1            t r1 p1 p1  1 i  r1  m r1      dp2 , dp N dr2 , drN (2.5)  Vì hạt đồng nên tổng (N-1) số hạng dấu tích phân thay bằng: 10 Giả thiết khoảng dt nhỏ, ta khai triển gần đúng: f  f   f        f ( p  dp, r  dr , t  dt )  f ( p, r , t )   dp   dr    dt p r  t  der Thay biểu thức vào vế trái phương trình (2.16) ta được: f  f   f   dp   dr    dt  p r  t  der Từ suy ra:   f p f r  f         t  p  t r t   der     r P p    F F ngoại lực tác dụng vào Để ý t m t hạt, ta viết:   f P f  f     F    p m r  t  der (2.17) Thay biểu thức vào (*) ta phương trình:   f f P f  f   F      t p m r  t col   f P f  f  f F      t p m r  t  col (2.18) Phương trình (2.18) gọi phương trình động học Boltzmann Nói  f  chung   biểu thức tích phân phức tạp, phương trình động  t  col học Boltzmann phương trình vi tích phân Việc khảo sát đầy đủ phương trình động học (2.18) vượt phạm vi nghiên cứu khóa luận này, ta xét phương pháp gần thông dụng cho phép tuyến tính hóa phương trình (2.18) 52 2.4 PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HỒI PHỤC ĐỘ DẪN ĐIỆN VÀ DẪN NHIỆT CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TRONG KIM LOẠI Cơ sở phương pháp giả thiết cho có va chạm hạt nên hàm phân bố không cân sai khác với hàm phân bố cân bằng, sai khác tắt dần theo thời gian theo quy luật hàm mũ Hay nói cách khác, hiệu hàm phân bố không cân hàm phân bố cân f phụ thuộc thời gian theo quy luật sau: f  f0 ~ e Đại lượng  t  (2.19)  gọi thời gian hồi phục Người ta thường coi  số, hàm xung lượng p  Nói cách khác, phép gần hồi phục, phương trình động học Boltzmann có dạng:   f P f f  f0 f F     t p m r  (2.20)  t Nghiệm riêng phương trình   const.e  Từ thấy f thỏa mãn điều kiện (2.19) f  f  const.e  t  Sau đây, khảo sát độ dẫn điện dẫn nhiệt khí điện tử tự kim loại để minh họa cho việc áp dụng phương trình gần hồi phục (2.20) Trong trường hợp cân f hàm phân bố Fermi – Dirac: f0    e kT (2.23) 1 Giả sử trình dẫn nhiệt dẫn điện trình dừng, ta đó: 53 f 0 t (2.24) Chúng ta xét trường hợp có gradient nhiệt độ dọc theo phương z, đồng thời có điện trường dọc theo phương z với thành phần sau:  E  0,0, E Lực tác dụng lên điện tử là:  F  0,0,eE (2.25) Ta viết phương trình động học (2.20) sau: f  f0   m  pz f f     eE p  m z pz  Để giải gần phương trình thay f f vào vế phải: f  f0   m  pz f f    eE  p  m z pz  (2.27) Ta được: f m  p z f   eE p  m z p z    m       T  p f    eE  z    p  T T  z  m  f  f0    p z     p  T (2.28)     T T  f  eE    z   2 p px  p y  pz  Trong đó:   2m 2m Để tính độ dẫn điện hệ số dẫn nhiệt cần tính dòng điện dòng nhiệt 54 Hệ số dẫn nhiệt hệ số dẫn điện khí điện tử tự kim loại liên hệ với theo hệ thức: X 2 k    T   (2.38) Hệ thức (2.38) phản ánh nội dung định luật Videman – Frantz Nội dung định luật Videman – Frantz tỷ số hệ số dẫn nhiệt hệ số dẫn điện biến thiên tỷ lệ với nhiệt độ tuyệt đối Trong chương này, em trình bày hàm phân bố phương trình động học trình không cân theo lý thuyết cổ điển Mục đích ta giải phương trình động học, em đưa phương pháp gần hồi phục ví dụ để áp dụng phương pháp Đây phương pháp thông dụng cho phép tuyến tính hóa phương trình Boltzmann Trên vấn đề trình không cân theo lý thuyết cổ điển, trình không cân theo lý thuyết lượng tử ta nghiên cứu chương 55 CHƢƠNG III: LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ CÁC QUÁ TRÌNH KHÔNG CÂN BẰNG 3.1 PHƢƠNG TRÌNH LIOUVILLE LƢỢNG TỬ CHO CÁC QUÁ TRÌNH KHÔNG CÂN BẰNG Ta xây dựng lý thuyết lượng tử cho trình không cân sở giải phương trình Liouville cho ma trận mật độ trường hợp ma trận mật độ phụ thuộc vào thời gian Giả sử Hamiltonian hệ gồm phần: phần không phụ thuộc thời gian phần phụ thuộc thời gian H (t )  H  H t1 (3.9) H t1 (3.1) phải thỏa mãn điều kiện: thời gian t   H t1  , tức là: H t1 |t   (3.10) Hamiltonian H t1 mô tả tương tác hệ hạt với trường viết dạng: H t1   B j F j (t ) (3.11) j Toán tử ma trận mật độ (toán tử thống kê)  thỏa mãn phương trình Liouville lượng tử: i   H  H t1 ,   t (3.13) Trong trường hợp Hamiltonian hệ phụ thuộc vào thời gian toán tử ma trận mật độ  phụ thuộc thời gian điều kiện ban đầu trường hợp là:  |t   0  Z e 1  H k 0T 56 (3.14) i i Ht  H ~  e  e    e i  Ht  (3.15) i Ht ~e  (3.16) Với Hamiltonian (3.1), ta đặt biến mới: Ta thấy (3.15) (3.16) cho ta mối liên hệ toán tử ma ~ trận mật độ phụ thuộc vào thời gian   Từ (3.16) ta có được: i ~ i Ht iH  i Ht i Ht   Ht    i   i Ht ~ i Ht ~e  i  i    H e e  e e  e   t    t   i i i i i ~ i Ht  Ht Ht  Ht   Ht Ht ~ ~        He e  e e  e e H t (3.17a) (3.17b) Do H  H t1 ,    H t1 ,    H  H  nên từ (3.17a), (3.17b) suy ra: ie i  Ht  ~ i Ht  e   H t1 ,   t i i Ht  Ht ~   i  e H t ,  e t ~  i  H t1 (t ), ~  t (3.18) Phương trình (3.18) phương trình Liouville lượng tử cho toán tử ma ~ trận mật độ phụ thuộc vào thời gian  Ở đây: H (t )  e t i Ht  t He i  Ht  (3.19) Biểu thức H t1 (t ) toán tử nhiễu loạn liên hệ với toán tử H t1 công thức (3.19) 3.2 LÝ THUYẾT PHẢN ỨNG TUYẾN TÍNH ~(t ) dạng: Xuất phát từ phương trình (3.17) ta thu  ~(t )  0  1 ~  i H t ' (t ' ),  (t ' )dt ' t 57 (3.20) Hay suy ra: iH ( t t ')  iH ( t t ') H t ' ,  e  dt'  (t )  0   e   i t (3.21) Nếu nhiễu loạn nhỏ, nghiệm (3.21) thu phép gần lặp thay   0 số hạng thứ hai với ý nghĩa gần bậc nhất:   0   i H t 1 t' (t  t ' ), 0 dt ' (3.22)  Sử dụng đẳng thức Kubo cho toán tử A bất kỳ:  A, e   e  e A, H e  h  h H  H d (3.23) Với lưu ý (3.22): 0  Z 1e  H (   ) , ta có: k 0T   t H ~    0 1    e H t ' (t 't )e H d     (3.24) ~ H t1' (t 't )  H t1' (t 't ), H  i (3.25) Ở đây: Nếu  (3.22) phân bố tắc lớn Gibbs (3.24) phải đặt biểu thức: ~ H t1' (t 't )  H t1' (t 't ), H  N  i (3.26) Với biểu thức  theo (3.22) hay (3.24) ta tính giá trị trung bình đại lượng vật lý A gần tuyến tính theo H t1 : A  Sp(A) (3.28) Đặt (3.22) vào (3.28) ta có: 58 A  A0  i A(t ), H t t' (t ' ) dt '  (3.29) Ở đây: A(t )  e i Ht  Ae i  Ht  (3.30) Trong (3.29), kí hiệu  Sp( ) lấy trung bình theo toán tử ma trận mật độ (toán tử thống kê) cân  Như nói nhiễu loạn ảnh hưởng đến giá trị trung bình đại lượng vật lý A thông qua hàm Green (3.33) Nếu đặt (3.24) vào (3.28), ta có:  t A  Sp(A)  Sp(0A)  Sp(0 )  eH H1t ' (t ' t)eH Addt '   t H  H  e H (t ')e A(t) ddt '   t ' A  A   A (3.36)  t     eH H1t ' (t ')eH A(t) ddt '  Có thể viết (3.36) dạng: A  A  A  t  (t ' i )A(t) ddt '   H t'   t (3.37)     H t ' (t ' i )A(t) ddt ' 0  Đối với nhiễu loạn (3.11) ta viết (3.37) thành biểu thức sau:  A  A    A(t ), B j (t ' ) F j (t )dt ' j   A  A     e H B j (t ' )e H A(t ) F j (t ' )dt ' d (3.38) j  Đây công thức Kubo cho phản ứng tuyến tính hệ lượng tử 59 3.3 LÝ THUYẾT PHẢN ỨNG PHI TUYẾN TÍNH Từ phương trình Liouville (3.18) tương tự làm phần phản ứng tuyến tính ta có: t i t  Ht t  (t)  0   dt1  dt  dt ne  n  n1 (i )     n1 i  Ht    H1t (t1 )  H1t (t ) [H1t (t n ), 0   e   (3.39) n Đối với giá trị trung bình đại lượng vật lý A bất kì, ta có:  t t A  A  dt1  dt  n  n1 (i )   t n1     dt nSp H t (t1 ) H t (t ) [H t (t n ), 0  A     1 1 n (3.40) Chuỗi (3.40) mô tả phản ứng phi tuyến tính hệ với nhiễu loạn H t1 Ta thu công thức thuận tiện cho phản ứng phi tuyến hệ cách sử dụng biên độ sau: Phương trình chuyển động toán tử U (t ) : i U (t )  H  H t1 U (t ) t (3.41) Khi H t1  nghiệm (3.41) có dạng: U (t )  e i  Ht  Từ (3.41) ta cần phải đặt thêm điều kiện ban đầu: i Ht  e U (t ) |t   (3.42) Ta chứng minh U(t) thỏa mãn phương trình (3.41) điều kiện ban đầu (3.42) thì: 60  (t )  U (t ) 0U  (t ) (3.43) thỏa mãn phương trình Liouville (3.13) (3.14) Thực vậy, từ (3.43) ta có:  U(t) (t) U  (t)   i  i  0U (t)  U(t)0  t  t t     H  H1t  U(t)0U  (t)  U(t)0U  (t)  H  H1t    H  H1t  ,  Nghĩa là: (t ) t   0 , hay nói cách khác trở (3.14) Để tiện lợi i Ht việc tính toán này, ta nhân trái (3.41) với e  : ie i Ht  i Ht U (t )   e H  H t1 U (t ) t i Ht  i Ht  Do iU (t ) e  U (t ) He : t   i Ht  i Ht  i  e U (t )   e H t U (t ) t   e i Ht  t He i  Ht  i Ht  i Ht  e U (t )  H (t )e U (t ) t Nghĩa là: i Ht   i Ht   i  e U (t )   H t (t )e U (t ) t   (3.44) Ở đây: e i Ht  t He i  Ht   H t1 (t ) (3.45) toán tử lượng nhiễu loạn biểu diễn Heisenberg Lấy tích phân (3.44) từ   đến t với lưu ý (3.42) ta có: 61 U (t )  e i  Ht  i Ht  t   1   H t (t1 )e U (t1 )dt1   i   (3.46) Để tiện lợi, ta đặt: U (t )  e i Ht  U (t )  U (t )   t  H t (t1 )U (t1 )dt1 i   Với điều kiện ban đầu: U1 (t ) |t   Giải phương trình tích phân phương pháp lặp ta cho chuỗi lý thuyết nhiễu loạn U(t) U (t )  e t t t dt1  dt2  dtn H t1 (t1 ) H t1 (t ) H t1 (t n )  n  n 0 (i )    i  Ht   n 1 n (3.47) Toán tử U(t) viết dạng thuận tiện với việc sử dụng toán tử thứ tự pˆ pˆ A(t1 ) B(t ) L(t n )  A(t1 ) B(t ) L(t n ) Ở t1  t   t n : A,B,…,L toán tử phụ thuộc vào thời gian t t t  dt1  dt2  dtn H t1 (t1 ) H t1 (t ) H t1 (t n ) n  (i)    n 1  n t t 1 t  dt1  dt2  dtn p H t1 (t1 ) H t1 (t ) H t1 (t n ) n  n! (i)    n 1 n  Ta có:  (t )  exp  U (t ) HU  (t )  F  (3.52a) Trong trường hợp phân bố tắc lớn Gibbs ta có:  (t )  exp  U (t )( H  N )U  (t )  F  (3.52b) Lưu ý lý thuyết phản ứng tuyến tính, mối liên hệ lực F(t) phản ứng hệ A  A  A 62 cho hệ thức tích phân: t A(t )   L(t  t ' ) F (t ' )dt ' (3.53)  Trong lý thuyết phản ứng tuyến tính mối liên hệ ngược lại đó: f F (t )  F (t ) ; L(t , t ' )  L(t  t ' ) ; k (t ' , t ' ' )  ; (3.54) chuyển (3.53) Lý thuyết phi tuyến trình bày sử dụng giới hạn bỏ qua nhiễu loạn nhiệt động xuất tính học môi trường thụ động nghĩa gia tăng môi trường xảy 3.4 CÔNG THỨC KUBO CHO TENXƠ ĐỘ DẪN Xét ảnh hưởng trường điện biến thiên dạng: (3.55) Ta tác dụng lên phản ứng tuyến tính hệ Khi toán tử H t1 có dạng:    (3.56) H t1   ei ( E0 ri ) cos tet  ( E0 , P) cos tet i  Trong công thức(3.56): ei điện tích hạt i: ri bán kính vectơ vị trí   hạt i: P   ei ri vectơ phân cực i Dưới ảnh hưởng (3.55), hệ xuất dòng điện: j    j (t ) H t1' (t ) dt ' (3.57)  Trong công thức (3.57):   H t1 (t )  ( E0 , P(t )) cos tet   j (t )   ei ri (t )  P (t )  i (3.58)  Ở đây, j thành phần  toán tử dòng điện: ri thành phần   toán tử vận tốc hạt i Từ (3.57) (3.58), ta viết:  j    j (t ) P (t ) E0 v cos t ' et ' dt ' v  63 (3.59) Hay viết dạng: j   Re v ()E0 v (3.60) v  với:  v ()    e it t j P (t ) dt (3.61)  tenxơ độ dẫn Sử dụng đẳng thức Kubo ta viết công thức cho tenxơ độ dẫn (3.61) dạng:    v ()    e it t jv j (t  i ) ddt (3.62) 0 Công thức(3.60) có tên gọi công thức Kubo cho tenxơ độ dẫn điện Tóm lại, chương ta xây dựng lý thuyết lượng tử trình không cân sở giải phương trình Liouville cho ma trận mật độ phụ thuộc thời gian Ta xác định công thức Kubo cho phản ứng tuyến tính, phi tuyến tính hệ lượng tử công thức Kubo cho tenxơ độ dẫn 64 KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp giúp nghiên cứu sâu vật lý thống kê trình không cân bằng, khảo sát biến đổi cấu trúc vi mô vật chất Bằng cách vận dụng lý thuyết thống kê, tìm hiểu kĩ lý thuyết cổ điển lý thuyết lượng tử trình không cân biết vận dụng kiến thức vật lý để nghiên cứu đề tài cụ thể Tuy nhiên điều kiện nghiên cứu nhiều hạn chế, tài liệu tham khảo thiếu thời gian có hạn nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vậy, mong góp ý quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện 65 66 [...]... bày về hàm phân bố và phương trình động học của các quá trình không cân bằng theo lý thuyết cổ điển Mục đích của ta là giải được phương trình động học, vì vậy em đã đưa ra phương pháp gần đúng hồi phục và ví dụ để áp dụng phương pháp này Đây là phương pháp thông dụng cho phép tuyến tính hóa phương trình Boltzmann Trên đây là các vấn đề về các quá trình không cân bằng theo lý thuyết cổ điển, còn các quá. .. là các vấn đề về các quá trình không cân bằng theo lý thuyết cổ điển, còn các quá trình không cân bằng theo lý thuyết lượng tử ta sẽ nghiên cứu trong chương tiếp theo 26 CHƢƠNG III: LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ CÁC QUÁ TRÌNH KHÔNG CÂN BẰNG 3.1 PHƢƠNG TRÌNH LIOUVILLE LƢỢNG TỬ CHO CÁC QUÁ TRÌNH KHÔNG CÂN BẰNG [1]Trong cơ học thống kê cổ điển, một hệ cô lập có f bậc tự do được mô tả bởi q , q , , q 1 2 f f tọa... (2.18) Phương trình (2.18) gọi là phương trình động học Boltzmann Nội dung cơ bản của lý thuyết các quá trình không cân bằng như đã nói ở trên là giải   phương trình động học (2.18) để tìm hàm phân bố không cân bằng f ( p, r , t ) Vế phải của phương trình này biểu diễn sự va chạm giữa các hạt cùng loại (ví dụ như điện tử - điện tử), hoặc giữa các hạt khác loại (ví dụ như điện tử với  f  các ion dương... )  f e ( p' , r ' , t )dr ' dp' 1 r  r' (2.15) Các phương trình (2.13) - (2.15) lập thành hệ phương trình Vlasov Và người ta thường dùng hệ phương trình này để khảo sát các quá trình không cân bằng trong Plasma loãng và ion hóa hoàn toàn 2.3 PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC BOLTZMANN Trong mục này, ta sẽ xác lập phương trình động học tổng quát, tức là phương trình miêu tả sự biến đổi theo thời gian của hàm... mạng tinh thể kim loại Cơ sở của phương pháp này là giả thiết cho rằng do có sự va chạm giữa các hạt nên hàm phân bố không cân bằng sai khác với hàm phân bố cân bằng, nhưng sự sai khác đó tắt dần theo thời gian theo quy luật hàm mũ Hay nói cách khác, hiệu giữa hàm phân bố không cân bằng và hàm phân bố cân bằng f 0 phụ thuộc thời gian theo quy luật sau: f  f0 ~ e Đại lượng  t   gọi là thời gian... với:   const với E0  E  E0  E , và   0 tại các vùng có năng lượng không thỏa mãn hai bất đẳng thức trên 29 Bây giờ, ta sẽ đi xây dựng lý thuyết lượng tử cho các quá trình không cân bằng trên cơ sở giải phương trình Liouville cho ma trận mật độ trong trường hợp ma trận mật độ phụ thuộc vào thời gian Giả sử Hamiltonian của hệ gồm 2 phần: phần không phụ thuộc thời gian và phần phụ thuộc thời gian...  (2.6) Phương trình (2.6) không phải là phương trình đóng kín đối với 1 , bởi vì nó chứa hàm 12 chưa biết Tương tự ta có thể chứng minh rằng phương trình chuyển động của 12 , sẽ chứa hàm 123 v.v… Kết quả là chúng ta có cả một chuỗi N phương trình, bắt đầu từ phương trình (2.6) và kết thúc là phương trình: 12 N  12 N , H  t Chuỗi phương trình như vậy gọi là chuỗi phương trình Bogoliubov... hệ thức của định lý Liouville: d 0 dt (3.8) và phương trình trên gọi là phương trình Liouville Xét trường hợp   const , hoặc tổng quát hơn, trường hợp  là hàm của năng lượng E Vì E là hằng số chuyển động nên:   E   E   0 , và  0 qi E qi pi E pi Vậy:  0 t Hệ thức trên tương ứng với trạng thái cân bằng Đặc biệt, đối với tập hợp vi chính tắc, trạng thái cân bằng tương ứng với:... theo thời gian, quy định bởi các phương trình: q i  H , pi p i   H , qi với H  H q1 , q2 , , q f , p1 , p2 , , p f  là hàm Hamilton của hệ không phụ thuộc tường minh vào thời gian ( H  0 : năng lượng E không đổi theo thời gian) t Vì số hệ trong tập hợp thống kê được bảo toàn nên số điểm pha ra khỏi một thể tích V bất kỳ nào đó trong một đơn vị thời gian phải bằng tốc độ giảm của số điểm... trường hợp mà sự va chạm giữa các hạt cùng loại không đáng kể so với các hạt khác loại Chẳng hạn khi ta xét khí điện tử tự do trong kim loại thì ở chừng mực nào đó có thể bỏ qua sự va 16 chạm giữa các điện tử với điện tử Khi đó diễn biến trạng thái của hệ điện tử chủ yếu phụ thuộc vào sự va chạm giữa điện tử với các hạt nặng hơn nhiều, chẳng hạn như các nguyên tử tạp chất hoặc các ion dương của mạng tinh ... LUẬN Quá trình nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp giúp nghiên cứu sâu vật lý thống kê trình không cân bằng, khảo sát biến đổi cấu trúc vi mô vật chất Bằng cách vận dụng lý thuyết thống kê, tìm hiểu. .. CHƢƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.3 CÁC QUÁ TRÌNH KHÔNG CÂN BẰNG Nội dung vật lý thống kê trình không cân xác định phương trình chuyển động hàm phân bố để tìm mối liên hệ hàm phân bố với không thời... phương trình Boltzmann Trên vấn đề trình không cân theo lý thuyết cổ điển, trình không cân theo lý thuyết lượng tử ta nghiên cứu chương 26 CHƢƠNG III: LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ CÁC QUÁ TRÌNH KHÔNG CÂN BẰNG