Định lí Hille - Yosida

LèI CÁM ƠN Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang – Ngưòi thay trnc tiep t¾n tình hưóng dan giúp đõ em hồn thành khóa lu¾n cna Đong thòi em xin chân thành cám ơn thay cô to Giái tích thay khoa Tốn – Trưòng Đai Hoc Sư Pham Hà N®i 2, Ban chn nhi¾m khoa Tốn tao đieu ki¾n cho em hồn thành khóa lu¾n Trong khn kho có han cna mđt bi khúa luắn, ieu kiắn thũi gian, trình đ® có han lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cna thay cô ban Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, tháng năm 2012 Sinh viên Dương Th% Hue LèI CAM ĐOAN Khóa lu¾n ket cna bán thân em trình hoc t¾p nghiên cúu Bên canh em đưoc sn quan tâm cna thay giáo khoa Tốn, đ¾c bi¾t sn hưóng dan t¾n tình cna TS.Tran Văn Bang Trong nghiên cúu hồn thành bán khóa luắn ny em ó tham khỏo mđt so ti liắu ghi phan tài li¾u tham kháo Em xin khang đ%nh ket cna đe tài “Đ%nh lí Hille - Yosida” khơng có sn trùng l¾p vói ket q cna đe tài khác Hà N®i, tháng năm 2012 Sinh viên Dương Th% Hue Mnc lnc Mé ĐAU Chương KIEN THÚC CHUAN B± .5 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Đ%nh nghĩa không gian đ%nh chuan ví du .5 1.1.2 Tốn tú tuyen tính khơng gian Banach .8 1.1.3 Không gian liên hop, tốn tú liên hop khơng gian Banach .9 1.1.4 Cơ só khơng gian Banach .10 1.2 Tốn tú tuyen tính b% ch¾n khơng b% ch¾n 13 1.2.1 Tốn tú tuyen tính b% ch¾n .13 1.2.2 Tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n 16 Chương бNH LÍ HILLE - YOSIDA 18 2.1 Tốn tú đơn đi¾u cnc đai 18 2.2 Đ%nh lý Hille - Yosida 22 2.2.1 Nghi¾m cna tốn tien hố tai du + Au = [0, +∞], u(0) = u Sn ton dt nhat nghi¾m 22 2.2.2 Tính quy 31 2.2.3 Trưòng hop tn liên hop 34 KET LU¾N .43 TÀI LIfiU THAM KHÁO 44 Mé ĐAU Lí chon đe tài Ai biet rang Toán hoc ngành khoa hoc vua, bói le úng dung cna đòi song phuc vu ngưòi vơ han Tốn hoc có n®i dung vơ phong phú đa dang Vì the moi m®t ngưòi chí có the sâu nghiên cúu vào m®t so lĩnh vnc Tốn hoc mà thơi Trong Tốn hoc g¾p rat nhieu van đe liên quan đen vi¾c giái phương trình: phương trình đai so, phương trình vi phân thưòng, phương trình đao hàm riêng vói đieu ki¾n biên, phương trình tích phân, , phương trỡnh tuyen tớnh chiem mđt v% trớ ắc biắt quan Moi tốn ve phương trình có nhung đ¾c điem cách giái riêng Tuy nhiên, nh¾n thay rang cách xú lí tat cá tốn có nhung phương pháp bán giong h¾t có nhung van đe hình thúc khác nhng thnc chat l mđt Mắt khỏc, tư tốn hoc thưòng khơng chí quan tâm đen m®t phương trình đơn đ®c mà phái ý cỏ mđt lúp phng trỡnh v nghiắm cna chỳng (chang han, nghiờn cỳu sn phu thuđc cna nghiắm m®t tốn biên đoi vói ve phái cna phương trình hay đoi vói đieu ki¾n biên) Do đó, can phái khái quát tình huong cu the thành m®t lí thuyet trùu tưong, đe có cách nhìn mói bao quát đưoc, theo m®t quan điem nhat quán nhieu sn ki¾n riêng lé, đong thòi xây dnng nhung cơng cu chung, có xú lí m®t lúc hàng loat tốn liên quan đen lóp phương trình nhung lĩnh vnc khác Là m®t sinh viên sư pham chun ngành Tốn vói mong muon đưoc tìm hieu sâu b® mơn đưoc sn hưóng dan t¾n tình cna thay Tran Văn Bang em chon đe tài “Đ%nh lí Hille - Yosida” Nghiên cúu đe tài này, có thêm nhung hieu biet ve Đ%nh lí Hille - Yosida, dang cna tốn tien hóa nghi¾m cna chúng Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Bưóc đau tìm hieu nghiên cúu sâu ve Đ%nh lí Hille – Yosida Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu ve đ%nh nghĩa tính chat cna tốn tú đơn đi¾u cnc đai, nghi¾m cna tốn tien hóa sn ton tai, nhat nghi¾m cna tốn Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu tài li¾u tham kháo Tong hop, phân tích, h¾ thong lai khái ni¾m, tính chat Cau trúc khóa lu¾n Ngồi phan mó đau, ket lu¾n, tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n tot nghi¾p gom hai chương: Chương 1: Kien thúc chuan b% Chương 2: Đ%nh lí Hille – Yosida Chương KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Đ%nh nghĩa không gian đ%nh chuan ví dn Đ%nh nghĩa 1.1 Ta goi khơng gian đ%nh chuan (hay khơng gian tuyen tính đ%nh chuan) khơng gian tuyen tính X trưòng F vúi mđt ỏnh xa tự X vo so thnc R, kí hi¾u "." đoc chuan, thóa mãn tiên đe sau đây: (a) (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = ⇔ x = θ (kí hi¾u phan tú khơng θ), (b) (∀x ∈ X) (∀α ∈ F ) "αx" = |α| "x" , (c) (∀x, y ∈ X) "x + y" ≤ "x" + "y" So "x" goi chuan cna vectơ x Ta kí hi¾u khơng gian đ%nh chuan X Đ%nh nghĩa 1.2 Giá sú X không gian đ%nh chuan (a) Dãy điem {xn} không gian đ%nh chuan X đưoc goi h®i tu tói điem x X, neu lim n→∞ "x − xn" = Nghĩa là: ∈ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n ≥ N, "x − xn" < ε Khi ta viet xn → x hay lim xn = x n→∞ (b) Dãy điem {xn} khơng gian tuyen tính đ%nh chuan X goi dãy Cauchy neu lim "xm − xn" = Nghĩa là: m,n→∞ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀m, n ≥ N, "xm − xn" < ε De dàng chí rang moi dãy h®i tu khơng gian tuyen tính đ%nh chuan dãy Cauchy Tuy nhiên, đieu ngưoc lai nói chung khơng Ta nói rang X khơng gian đay neu thóa mãn moi dãy Cauchy đeu h®i tu Khơng gian tuyen tính đ%nh chuan đay đưoc goi không gian Banach Đ%nh nghĩa 1.3 Không gian đ%nh chuan X goi không gian Banach neu moi dãy Cauchy X đeu h®i tu Đ%nh nghĩa 1.4 Cho không gian đ%nh chuan X "."1, "."2 hai chuan X Hai chuan "."1 "."2 đưoc goi tương đương neu ton tai hai so dương α, β cho: α"x"1 ≤ "x"2 ≤ β"x"1, ∀x ∈ X Đ%nh lý 1.1 Neu "."1, "."2 tương đương xác đ%nh m®t sn h®i tn vói m®t dãy bat kì, nghĩa là: lim "x − xn"1 = "x − xn"2 = n→∞ ⇔ lim n →∞ Đ%nh nghĩa 1.5 Dãy điem {xn} không gian Banach X goi dãy: (a) b% ch¾n dưói neu inf "xn" > 0, (b) b% ch¾n neu sup "xn" < ∞, (c) chuan hóa neu "xn" = 1, ∀n Đ%nh nghĩa 1.6 (a) T¾p E ⊂ X đưoc goi trù m¾t X neu E = X (b) Không gian đ%nh chuan X goi không gian tách đưoc neu ton tai mđt em oc, trự mắt X Vớ dn 1.1 M®t so khơng gian Banach thưòng dùng (a) Giá sú E ⊂ R (a1) Vói ≤ p < ∞, kí hi¾u  Lp (E) = f : E → C |  ¸ p |f (x)|  dx < E  ∞ Lp (E) khơng gian Banach vói chuan "f"Lp   p p ¸ =  |f (x)| dx E (a2) Vói p = ∞, kí hi¾u ∞ L (E) = f : E → C |f b% ch¾n hau khap nơi E L∞ (E) khơng gian Banach vói chuan "f"L∞ = esssup |f (x)| = inf M ≥ : |f (x)| ≤ M hau khap nơi x∈E (Hàm f đưoc goi b% ch¾n hau khap nơi E neu ton tai M > cho t¾p Z = {x ∈ X : |f (x)| > M} có đ® đo lebegue bang khơng.) n= (b) Kí hi¾u c = (c1) = chuoi vơ hưóng (cn) p (b1) Vói ≤ p < ∞, kí hi¾u lp = {c = (cn) : lp khơng gian Banach vói chuan "c"lp = "(cn)"lp = |cn| p p p |cn| < ∞} tương đương A đơn đi¾u cnc đai ⇔ A∗ đơn đi¾u cnc đai ⇔ A đóng, D(A) trù m¾t, A v A l n iắu Mđt phỏt bieu tong quát ket đưoc cho toán (16) Đ%nh lý 2.4 Cho A toán tú đơn đi¾u cnc đai, tn liên hop Khi vói T moi u0 ∈ H ton tai nhat hàm u ∈ C ([0, +∞); H) C ([0, +∞); T H) C ([0, +∞); D(A)) cho  du  + Au = [0, ∞) dt +  u(0) = u.0 du |u0| ∀t > Hơn nua |u(t)| ≤ |u0| (t) = |Au(t)| ≤ dt t u∈C k [0, +∞); D A l moi so nguyên k, l ChNng minh Tính nhat: giá sú u u¯ (2.26) hai nghi¾m Do A đơn đi¾u nên ϕ(t) = |u(t) − u¯(t)| khơng tăng [0, +∞) M¾t khác, ϕ liên tuc [0, +∞) ϕ(0) = 0, nên ϕ ≡ Sn ton tai: chúng minh đưoc chia thành hai bưóc Bưóc 1: Đau tiên giá sú u0 ∈ D(A2) u nghi¾m cna (2.6) cho bói Đ%nh lý 2.2 Ta chúng minh rang: du dt (t) ≤ |u0| ∀t > t (2.27) Như chúng minh cna M¾nh đe 2.3 ta có: J∗ λ ∗ = Jλ Aλ = Aλ ∀t > Chúng ta tró lai tốn xap xí đưoc giói thi¾u chúng minh cna Đ%nh lý 2.2: duλ +A = [0, +∞), u u λ λ (0) = u λ (2.28) dt Bang cách lay tích vơ hưóng cna (2.28) vói uλ roi lay tích phân [0, T ], ta có: T ¸ |uλ(T )| + (Aλuλ, uλ)dt = duλ Lay tích vơ hưóng cna (2.28) vói t ¸ T duλ dt ¸ T (t) tdt + dt (2.29) |u0| roi lay tích phân [0, T ], ta có Aλuλ(t) du λ , (t) tdt = (2.30) dt d Nhưng λ du duλ duλ (Aλuλ, uλ) Aλ , + A λu λ, = Aλ uλ , dt dt dt = uλ dt ∗ Vì Aλ = Aλ, tích phân tùng phan đoi vói tích phân thú (2.30) dan tói ¸ T Aλuλ(t) du (t) , tdt λ = = [(Aλuλ, uλ)] tdt T dt d ¸ duλ dt (Aλuλ(T ), uλ(T )) T − ¸ o T (Aλuλ, uλ)dt (2.31) (t) không tăng (do Bo đe 2.1) nên ta có: M¾t khác, hàm t ›→ dt ¸T (2.32) du λ T duλ (T )2 (t) tdt ≥ dt dt Ket hop (2.29), (2.30), (2.31) (2.32) ta đưoc: 2 duλ + T (Aλuλ(T ), uλ(T )) (T |uλ(T ≤ |u0| ) dt +T 2 )| duλ (T ) |u0| ≤ Nói riêng: ∀T > dt T (2.33) du λ du Vì dt (xem bưóc chúng minh cna Đ%nh lý 2.2) nên dt → chuyen qua giói han (2.33) λ → có (2.27) Bây giò giá sú u0 ∈ H Goi (uon) dãy D(A2) cho u0n → u0 (dãy ton tai D(A2) trù m¾t D(A) D(A) trù m¾t H nên D A2 trù m¾t H) Giá  sú un nghi¾m cna  dun + Au = dt  u [0, + ∞) Theo Đ %nh lý 2.2 | un( t) − um( t)| ≤| u0n − u0 m| ∀m , n, ∀t ≥ 0, th −d( (t) |u eo ut −0n b m u0m ) | ∀m, óc ≤ n, ∀t ≥ du n dt dt t du Chúng ó t un (h®i t) h® d t h\ i tu o đe C u trê u n ( [0 ∈ [ , + C, ∞) tói (+ m [∞ ®t 0) gió , ; i +H ∞ ) n ) u(t ; , ) d Hu du u tu ( đeu tó t i moi ) mkhố ã ∈ ng n: [δ, D +∞) ( A ,δ ) > ∀ Hàm t giói > han u (t) + Au(t) = ú dung A đóng) dt t > 0, Bây giò ta chúng minh (2.26) Chúng ta se chúng minh bang phương ∀ v ( ó đ â y t a đ ã s pháp quy nap vói k ≥ rang: u∈C k−j j [0, +∞); D A ∀j = 0, 1, , k (2.34) Giá sú (2.34) đen cap (k − 1) Nói riêng ta có: u ∈ C [0, +∞); D A k−1 (2.35) Đe chúng minh (2.34) (theo Đ%nh lý 2.3 ta chí phái kiem tra u ∈ C [0, +∞); D Ak (2.36) Xét không gian Hilbert = D Ak−1 toán A˜ : D(A˜) ⊂ → H˜ tú H˜ xác đ%nh bói H˜  D(A˜) = D(Ak ),  De thay A˜ = A A˜ đơn đi¾u cnc đai đoi xúng H˜ , tn liên hop Áp dung khang đ%nh thú nhat cna Đ%nh lý 2.4 khơng gian H˜ đoi vói tốn tú A˜, ta có nghi¾m nhat cna toán  dv  + Av = [0, ∞), dt +  v(0) = v0 vói bat kì v0 ∈ H˜ Hơn nua v∈ C [0, +∞); H˜ C1 \ [0, +∞); H˜ \ A˜ [0, +∞); D C Bang cách chon v0 = u(ε) (ε > 0) theo (2.35) v0 ∈ H˜ 59 ta suy u ∈ C (ε, +∞); D A k đieu hoàn thành chúng minh cna (2.36) Ý KIEN VÀO CHƯƠNG Đ%nh lý Hille -Yosida không gian Banach 60 Đ%nh lý Hille - Yosida đưoc mó r®ng lên không gian Banach Cu the: Cho E không gian Banach A : D(A) ⊂ E → E mđt toỏn tỳ tuyen tớnh khụng b% chắn Ta núi A m-búc neu D(A) = E vói moi λ > 0, I + λA song ánh tù D(A) lên E vói (I + −1 ≤ λA) L(E) Đ%nh lý 2.5 (Hille - Yosida) Cho A tốn tú m-búc Khi vói moi u0 ∈ D(A) ton tai nhat m®t hàm u ∈ C1 ([0, +∞); E) cho  du   dt + Au = \ C ([0, +∞); D(A)) [0, ∞) + (2.37) u(0) = u0 du Hơn nua "u(t)" ≤ "u0" (t) = "Au(t)" ≤ "Au0" ∀t ≥ dt Ánh xa u0 ›→ u(t) thác trien liên tnc lên E đưoc kí hi¾u SA(t) Nó m®t núa nhóm co rút liên tnc E Ngưoc lai, vói bat kì núa nhóm co rút liên tnc S(t) đeu ton tai nhat m®t tốn tú A m-búc cho S(t) = SA(t) ∀t ≥ Chúng minh có the xem [4] Cơng thNc mũ Có rat nhieu phương pháp so đe giái (2.37) M®t cách là: Đ%nh lý 2.6 Giá sú rang A tốn tú m-búc Khi đó, vói moi u0 ∈ D(A), nghi¾m u đưoc cho bói “cơng thúc mũ” t u(t) = lim I n + −1 A n→+∞ n u0 (2.38) Có the xem chúng minh [4] Trong giái tích so cơng thúc (2.38) tương úng vói sn h®i tu cna lưoc đo ròi rac theo thòi gian an cna (2.37) Cu the ta chia khống thòi gian [0, t] thành n đoan bang vói đ® dài ∆t = t/n giái h¾ truy hoi uj+1 − + uj Au ∆t j+ = 0, j = 0, 1, , n − Bat đau vói u0 Nói cách khác, un đưoc cho bói: −n u0 −n t A un = (I + ∆tA) u0 = I n + Khi n → ∞ (nghĩa ∆t → 0, “trnc giác” cho ta un h®i tu tói u(t) Đ%nh lý 2.4: m®t bưóc đau dan tói lí thuyet ve núa nhóm Ve van đe xem [4] Phương trình khơng thuan nhat Phương trình phi tuyen Xét khơng gian Banach E, tốn  du  (t) + Au(t) = f dt (t)  u(0) = u0 [0, T ] (2.39) Ta có Đ%nh lý sau Đ%nh lý 2.7 Giá sú A toán tú m-búc Khi vói moi u0 ∈ D(A) f ∈ L1 ((0, T ) ; E), cơng thúc (2.40) van cú ngha v cung cap cho ta mđt nghiắm suy rđng cỳa (2.39) ton tai nhat mđt nghiắm u cúa (2.39) vói: u ∈ C ([0, T ); E) \ Hơn nua, u đưoc cho bói cơng thúc ¸ t C ([0, T ); D(A)) u(t) = SA(t)u0 SA (t − s) f (s) ds, + SA(t) núa nhóm đưoc giói thi¾u Đ%nh lí 2.5 (2.40) Lưu ý rang neu ta giá sú f ∈ L1 ((0, T ) ; E), cơng thúc (2.40) van có nghĩa cung cap cho ta mđt nghiắm suy rđng cna (2.39) Trong cỏc úng dung V¾t lí g¾p nhieu “phương trình” núa tuyen tính có dang du dt + Au = F (u), F ánh xa phi tuyen tù E vào E Nhung van đe có the xem [4] KET LUắN Trờn õy l ton bđ nđi dung khóa lu¾n Khóa lu¾n trình bày nhung kien thúc ve “Đ%nh lí Hille – Yosida” vói van đe: + Đ%nh nghĩa tính chat bán cna tốn tú đơn đi¾u cnc đai du + Nghi¾m cna tốn tien hóa +Au = [0, +∞), u (0) = dt u0 Sn ton tai nhat nghi¾m cna tốn + Tính quy cna nghi¾m đưoc khang đ%nh tính nhat nghi¾m cna tốn + Trưòng hop tn liên hop cna tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n Qua khóa lu¾n này, bán thân em khơng chí đưoc lĩnh h®i thêm nhung tri thúc mói cna giái tích hàm mà có đưoc nhung hieu biet nhat đ%nh nghiên cúu khoa hoc Vi¾c nghiên cúu sâu Đ%nh lí Hille – Yosida góp phan bo sung thêm ket q rat huu ích vi¾c nghiên cúu phương trình vi phân thưòng cơng cu rat huu hi¾u nghiên cúu phương trình đao hàm riêng tien hóa Do thòi gian nghiên cúu có han bán thân han che nên đe tài khơng tránh khói nhung thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, em rat mong đưoc sn đóng góp ý kien cna thay giáo ban sinh viên Khoa đe đe tài đưoc hồn thi¾n Em xin chân thành cám ơn ! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Văn Khuê, Lê M¾u Hái (2001), Cơ só lí thuyet hàm giái tích hàm, T¾p I, II, Nxb Giáo Duc Hà N®i [2] Nguyen Xuân Liêm (2002), Giái tích hàm, Nxb Giáo Duc [3] Hồng Tuy (2003), Hàm thnc Giái tích hàm, Nxb Đai hoc Quoc gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [4] Haim Brezis (2010), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer ... tắn tình cna thay Tran Văn Bang em chon đe tài “Đ%nh lí Hille - Yosida Nghiên cúu đe tài này, có thêm nhung hieu biet ve Đ%nh lí Hille - Yosida, dang cna tốn tien hóa nghi¾m cna chúng Mnc... Tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n 16 Chương бNH LÍ HILLE - YOSIDA 18 2.1 Tốn tú đơn đi¾u cnc đai 18 2.2 Đ%nh lý Hille - Yosida 22 2.2.1 Nghi¾m cna tốn tien hố tai du... tham khỏo mđt so ti liắu ghi phan tài li¾u tham kháo Em xin khang đ%nh ket cna đe tài “Đ%nh lí Hille - Yosida khơng có sn trùng l¾p vói ket q cna đe tài khác Hà N®i, tháng năm 2012 Sinh viên Dương