Định lí hille yosida

LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng – Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy cô khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận Trong khuôn khổ có hạn khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Dương Thị Huế LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS.Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Định lí Hille - Yosida” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Dương Thị Huế Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa không gian định chuẩn ví dụ 1.1.2 Toán tử tuyến tính không gian Banach 1.1.3 Không gian liên hợp, toán tử liên hợp không gian Banach 1.1.4 Cơ sở không gian Banach 10 1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn không bị chặn 13 1.2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn 13 1.2.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn 16 Chương ĐỊNH LÍ HILLE - YOSIDA 18 2.1 Toán tử đơn điệu cực đại 18 2.2 Định lý Hille - Yosida 22 du + Au = [0, +∞], u(0) = u0 Sự tồn dt nghiệm 22 2.2.1 Nghiệm toán tiến hoá 2.2.2 Tính quy 31 2.2.3 Trường hợp tự liên hợp 34 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Ai biết Toán học ngành khoa học vua, lẽ ứng dụng đời sống phục vụ người vô hạn Toán học có nội dung vô phong phú đa dạng Vì người sâu nghiên cứu vào số lĩnh vực Toán học mà Trong Toán học gặp nhiều vấn đề liên quan đến việc giải phương trình: phương trình đại số, phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng với điều kiện biên, phương trình tích phân, , phương trình tuyến tính chiếm vị trí đặc biệt quan trọng Mỗi toán phương trình có đặc điểm cách giải riêng Tuy nhiên, nhận thấy cách xử lí tất toán có phương pháp giống hệt có vấn đề hình thức khác thực chất Mặt khác, tư toán học thường không quan tâm đến phương trình đơn độc mà phải ý lớp phương trình nghiệm chúng (chẳng hạn, nghiên cứu phụ thuộc nghiệm toán biên vế phải phương trình hay điều kiện biên) Do đó, cần phải khái quát tình cụ thể thành lí thuyết trừu tượng, để có cách nhìn bao quát được, theo quan điểm quán nhiều kiện riêng lẻ, đồng thời xây dựng công cụ chung, có khả xử lí lúc hàng loạt toán liên quan đến lớp phương trình lĩnh vực khác Là sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán với mong muốn tìm hiểu sâu môn hướng dẫn tận tình thầy Trần Văn Bằng em chọn đề tài “Định lí Hille - Yosida” Nghiên cứu đề tài này, có thêm hiểu biết Định lí Hille - Yosida, dạng toán tiến hóa nghiệm chúng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Bước đầu tìm hiểu nghiên cứu sâu Định lí Hille – Yosida Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu định nghĩa tính chất toán tử đơn điệu cực đại, nghiệm toán tiến hóa tồn tại, nghiệm toán Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Định lí Hille – Yosida Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa không gian định chuẩn ví dụ Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường F với ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: (a) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không θ), (b) (∀x ∈ X) (∀α ∈ F ) αx = |α| x , (c) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Định nghĩa 1.2 Giả sử X không gian định chuẩn (a) Dãy điểm {xn } không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X, lim n→∞ x − xn = Nghĩa là: ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n ≥ N, x − xn < ε Khi ta viết xn → x hay lim xn = x n→∞ (b) Dãy điểm {xn } không gian tuyến tính định chuẩn X gọi dãy Cauchy lim m,n→∞ xm − xn = Nghĩa là: ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀m, n ≥ N, xm − xn < ε Dễ dàng dãy hội tụ không gian tuyến tính định chuẩn dãy Cauchy Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không Ta nói X không gian đầy thỏa mãn dãy Cauchy hội tụ Không gian tuyến tính định chuẩn đầy gọi không gian Banach Định nghĩa 1.3 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy Cauchy X hội tụ Định nghĩa 1.4 Cho không gian định chuẩn X , chuẩn X Hai chuẩn hai gọi tương đương tồn hai số dương α, β cho: α x ≤ x Định lý 1.1 Nếu , 2 ≤ β x , ∀x ∈ X tương đương xác định hội tụ với dãy bất kì, nghĩa là: lim x − xn n→∞ = ⇔ lim x − xn n→∞ = Định nghĩa 1.5 Dãy điểm {xn } không gian Banach X gọi dãy: (a) bị chặn inf xn > 0, (b) bị chặn sup xn < ∞, (c) chuẩn hóa xn = 1, ∀n Định nghĩa 1.6 (a) Tập E ⊂ X gọi trù mật X E = X (b) Không gian định chuẩn X gọi không gian tách tồn tập đếm được, trù mật X Ví dụ 1.1 Một số không gian Banach thường dùng (a) Giả sử E ⊂ R (a1 ) Với ≤ p < ∞, kí hiệu   p L (E) = f : E → C |  E   p |f (x)| dx < ∞  Lp (E) không gian Banach với chuẩn  f Lp p 1 p |f (x)| dx = E (a2 ) Với p = ∞, kí hiệu L∞ (E) = f : E → C |f bị chặn hầu khắp nơi E L∞ (E) không gian Banach với chuẩn f L∞ = esssup |f (x)| = inf M ≥ : |f (x)| ≤ M hầu khắp nơi x∈E (Hàm f gọi bị chặn hầu khắp nơi E tồn M > cho tập Z = {x ∈ X : |f (x)| > M } có độ đo lebegue không.) (b) Kí hiệu c = (c1 ) = (cn )p n=1 chuỗi vô hướng |cn |p < ∞} lp (b1 ) Với ≤ p < ∞, kí hiệu lp = {c = (cn ) : không gian Banach với chuẩn c lp = (cn ) lp = p |cn | p (b2 ) Với p = ∞, kí hiệu l∞ = c = (cn ) hàm bị chặn l∞ không gian Banach với chuẩn c l∞ = (cn ) l∞ = (sup |cn |) 1.1.2 Toán tử tuyến tính không gian Banach Định nghĩa 1.7 Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X Y trường F Một ánh xạ T : X → F gọi toán tử Nếu Y = F toán tử T : X → F gọi phiếm hàm X Ta viết T x hay T (x) để kí hiệu ảnh hưởng phần tử x qua toán tử T Định nghĩa 1.8 Cho hai không gian định chuẩn X Y trường F , T : X → Y toán tử (a) T tuyến tính T (ax + by) = aT x + bT y, ∀a, b ∈ F, ∀x, y ∈ X (b) T đơn ánh hay 1-1, T x = T y x = y (c) Ảnh hay miền giá trị T kí hiệu Range (T ) = T (X) = {T x : x ∈ X} (d) T toàn ánh hay lên Range (T ) = Y (e) T song ánh T đơn ánh toàn ánh (f) T liên tục xn → x X kéo theo T (xn ) → T (x) F (g) Chuẩn toán tử tuyến tính, hay đơn giản chuẩn toán tử T T = sup x x =1 |T x y Do đó: un (t) → u(t) [0, +∞), du dun (t) → (t) [0, +∞), dt dt với u ∈ C ([0, +∞); H) chuyển qua hạn (2.19) sử dụng A toán tử đóng, thấy u(t) ∈ D(A) u thoả mãn (2.6) Từ (2.6) suy u ∈ C ([0, +∞); D(A)) Nhận xét 2.4 Gọi uλ nghiệm (2.7) (a) Giả sử u0 ∈ D(A), biết (theo bước 3) λ → uλ (t) hội tụ, với t ≥ tới giới hạn u(t) Ta chứng minh trực tiếp u ∈ C ([0, +∞); H) C ([0, +∞); D(A)) thoả mãn (2.6) (b) Ta giả thiết u0 ∈ H lúc ta chứng minh λ → 0, uλ (t) hội tụ, với t ≥ tới giới hạn, kí hiệu u(t) Nhưng u(t) ∈ / D(A) ∀t > u(t) hàm không khả vi ∀t ∈ [0, +∞) Do u(t) nghiệm cổ điển (2.6) Trên thực tế, u0 vậy, toán (2.6) nghiệm cổ điển Tuy nhiên, xem u(t) nghiệm riêng (2.6) Chúng ta thấy mục 1.1 điều không xảy A tự liên hợp: trường hợp với u0 ∈ H, u(t) nghiệm (2.6) u0 ∈ / D(A) Nhận xét 2.5 (nửa nhóm co rút) Với t ≥ xét ánh xạ tuyến tính u0 ∈ D(A) → u(t) ∈ D(A) u(t) nghiệm (2.6) cho Định lý 2.2 Do |u(t)| ≤ |u0 | D(A) trù mật H nên ta khai triển liên tục ánh xạ thành toán tử bị chặn từ H vào 30 nó, kí hiệu SA (t) thoả mãn: (a) cho t ≥ 0, SA (t) ∈ L(H) SA (t) L(H) ≤ 1,  SA (t1 + t2 ) = SA (t1 ) ◦ SA (t2 ) ∀t1 , t2 ≥ 0, (b)  S (0) = I, A (c) lim |SA (t)u0 − u0 | = 0, t > ∀u0 ∈ H t→0 Một họ {SA (t)}t≥0 toán tử ( từ H vào nó) phụ thuộc vào tham số t ≥ có tính chất (a), (b), (c) gọi nửa nhóm co rút liên tục Một kết đáng ý Hille Yosida khẳng định điều ngược lại rằng: với nửa nhóm co rút liên tục S(t) H, có toán tử đơn điệu cực đại A cho S(t) = SA (t) ∀t ≥ Điều thiết lập song ánh toán tử đơn điệu cực đại nửa nhóm co rút liên tục Nhận xét 2.6 Cho A toán tử đơn điệu cực đại λ ∈ R Bài toán:   du + Au + λu = dt  u(0) = u0 [0, +∞) đưa toán (2.6) cách đặt v(t) = eλt u(t) Khi v thoả mãn:   dv + Av = dt  v(0) = u0 [0, +∞) 2.2.2 Tính quy Trong mục chứng minh nghiệm u (2.6) (do Định lý 2.2 có tính quy cao so với kết luận, u ∈ C ([0, +∞); H) 31 C ([0, +∞); D(A)) có thêm giả thiết kiện ban đầu u0 Để làm điều đó, ta định nghĩa (bằng quy nạp) không gian D Ak = v ∈ D Ak−1 ; Av ∈ D Ak−1 , k số nguyên bất kì, k ≥ Ta dễ dàng thấy D Ak không gian Hilbert với tích vô hướng: k Aj u, Aj v ; (u.v)D(Ak ) = j=0 chuẩn tương ứng là: 1/2 k Aj u |u|D(Ak ) = j=0 Định lý 2.3 Giả định u0 ∈ D Ak số nguyên k ≥ Khi nghiệm u toán (2.6) nhận từ Định lý 2.2 thoả mãn: u ∈ C k−j [0, +∞); D Aj ∀j = 0, 1, , k Chứng minh Trước hết, giả sử k = không gian Hilbert H1 = D(A) trang bị với tích vô hướng (u, v)D(A) Dễ thấy toán tử A1 : D (A1 ) ⊂ H1 → H1 xác định  D (A1 ) = D A2 , với u ∈ D (A1 )  A u = Au đơn điệu cực đại H1 Áp dụng Định lý 2.2 toán tử A1 không gian H1 , ta có hàm u ∈ C ([0, +∞); H1 ) 32 C ([0, +∞); D(A1 ))   du + A1 v = cho dt [0, +∞)  u(0) = u0 Đặc biệt, u thoả mãn (2.6) nên tính nhất, u nghiệm (2.6) Vì ta phải chứng tỏ u ∈ C ([0, +∞); H) A ∈ L (H1 , H) u ∈ C ([0, +∞); H1 ) nên Au ∈ C ([0, +∞); H) d du (Au) = A dt dt Áp dụng (2.6) ta thấy (2.20) du ∈ C ([0, +∞); H), nghĩa u ∈ C ([0, +∞); H) dt d dt du dt +A du dt = [0, +∞) (2.21) Bây xét trường hợp k ≥ Ta chứng minh quy nạp theo k: giả sử kết đến (k − 1) u0 ∈ D Ak Theo phân tích trên, nghiệm u (2.6) thuộc C ([0, +∞); H) du u thoả mãn (2.21) Đặt v = ta có: dt v ∈ C ([0, +∞); H) C ([0, +∞); D(A)) C ([0, +∞); D(A)) ,   dv + Av = dt  v(0) = −Au0 [0, +∞) Nói cách khác, v nghiệm (2.6) ứng với điều kiện ban đầu v0 = −Au0 Vì v0 ∈ D Ak−1 nên theo giả thiết quy nạp v ∈ C k−1−j [0, +∞); D Aj ∀j = 0, 1, , k − 1; 33 (2.22) nghĩa : u ∈ C k−j [0, +∞); D Aj ∀j = 0, 1, , k − Ta phải chứng tỏ u ∈ C [0, +∞); D Ak (2.23) Áp dụng (2.22) với j = k − 1, thấy rằng: du ∈ C [0, +∞); D Ak−1 dt (2.24) Từ (2.24) phương trình (2.6) ta suy Au ∈ C [0, +∞); D Ak−1 , nghĩa (2.23) 2.2.3 Trường hợp tự liên hợp Cho A : D(A) ⊂ H → H toán tử tuyến tính không bị chặn với D(A) = H Bằng cách đồng H ∗ với H, xem A∗ toán tử tuyến tính không bị chặn H Định nghĩa 2.3 Ta nói: • A đối xứng (Au, v) = (u, Av) ∀u, v ∈ D(A) • A tự liên hợp D(A∗ ) = D(A) A∗ = A Nhận xét 2.7 Đối với toán tử bị chặn, khái niệm toán tử đối xứng toán tử tự liên hợp trùng Tuy nhiên, A toán tử không bị chặn hai khái niệm có khác biệt Rõ ràng, toán tử tự liên hợp toán tử đối xứng Điều ngược lại nói chung không đúng: toán tử A đối xứng A ⊂ A∗ , nghĩa D(A) ⊂ D(A∗ ) A∗ = A D(A) Có thể xảy trường hợp A đối xứng D(A) = D(A∗ ) Kết sau cho thấy: Nếu A đơn 34 điệu cực đại (A đối xứng) ⇔ (A tự liên hợp) Mệnh đề 2.3 Giả sử A toán tử đơn điệu cực đại, đối xứng Khi A tự liên hợp Chứng minh Đặt J1 = (I + A)−1 Trước tiên, ta chứng minh J1 tự liên hợp Do J1 ∈ L(H) nên ta cần kiểm tra điều kiện (J1 u, v) = (u, J1 v) ∀u, v ∈ H (2.25) Đặt u1 = J1 u v1 = J1 v ta có : u1 + Au1 = u, v1 + Av1 = v Theo giả thiết (u1 , Av1 ) = (Au1 , v1 ) nên (u1 , v) = (u, v1 ), nghĩa ta có (2.25) Lấy u ∈ D(A∗ ) đặt f = u + A∗ u Ta có (f, v) = (u, v + Av) ∀v ∈ D(A), nghĩa (f, J1 ω) = (u, ω) ∀ω ∈ H Vậy u = J1 f u ∈ D(A) Chứng tỏ D(A∗ ) = D(A) A tự liên hợp Nhận xét 2.8 Chúng ta phải ý A toán tử đơn điệu (ngay toán tử đơn điệu đối xứng) A∗ đơn điệu Tuy nhiên, ta chứng minh tính chất sau 35 tương đương A đơn điệu cực đại ⇔ A∗ đơn điệu cực đại ⇔ A đóng, D(A) trù mật, A A∗ đơn điệu Một phát biểu tổng quát kết cho toán (16) Định lý 2.4 Cho A toán tử đơn điệu cực đại, tự liên hợp Khi với u0 ∈ H tồn hàm u ∈ C ([0, +∞); H) C ([0, +∞); D(A)) cho   du + Au = dt  u(0) = u0 Hơn |u(t)| ≤ |u0 | C ([0, +∞); H) [0, +∞) du (t) = |Au(t)| ≤ |u0 | ∀t > dt t u ∈ C k [0, +∞); D Al số nguyên k, l (2.26) Chứng minh Tính nhất: giả sử u u¯ hai nghiệm Do A đơn điệu nên ϕ(t) = |u(t) − u¯(t)|2 không tăng [0, +∞) Mặt khác, ϕ liên tục [0, +∞) ϕ(0) = 0, nên ϕ ≡ Sự tồn tại: chứng minh chia thành hai bước Bước 1: Đầu tiên giả sử u0 ∈ D(A2 ) u nghiệm (2.6) cho Định lý 2.2 Ta chứng minh rằng: du (t) ≤ |u0 | dt t ∀t > Như chứng minh Mệnh đề 2.3 ta có: Jλ∗ = Jλ A∗λ = Aλ 36 ∀t > (2.27) Chúng ta trở lại toán xấp xỉ giới thiệu chứng minh Định lý 2.2: duλ + Aλ uλ = [0, +∞), uλ (0) = u0 dt (2.28) Bằng cách lấy tích vô hướng (2.28) với uλ lấy tích phân [0, T ], ta có: T |uλ (T )|2 + (Aλ uλ , uλ )dt = |u0 |2 Lấy tích vô hướng (2.28) với t T Nhưng Vì Aλ ∗ duλ (t) tdt + dt (2.29) duλ lấy tích phân [0, T ], ta có dt T Aλ uλ (t), duλ (t) tdt = dt (2.30) duλ duλ d duλ (Aλ uλ , uλ ) = Aλ , uλ + Aλ uλ , = Aλ uλ , dt dt dt dt = Aλ , tích phân phần tích phân thứ (2.30) dẫn tới T duλ T d Aλ uλ (t), (t) tdt = [(Aλ uλ , uλ )] tdt dt dt 1 = (Aλ uλ (T ), uλ (T )) T − 2 T (Aλ uλ , uλ )dt o (2.31) Mặt khác, hàm t → T duλ (t) không tăng (do Bổ đề 2.1) nên ta có: dt 2 duλ duλ T2 (t) tdt ≥ (T ) dt dt (2.32) Kết hợp (2.29), (2.30), (2.31) (2.32) ta được: 1 duλ |uλ (T )|2 + T (Aλ uλ (T ), uλ (T )) + T (T ) ≤ |u0 |2 dt 37 Nói riêng: duλ (T ) ≤ |u0 | dt T ∀T > (2.33) du duλ → (xem bước chứng minh Định lý 2.2) nên dt dt chuyển qua giới hạn (2.33) λ → có (2.27) Vì Bây giả sử u0 ∈ H Gọi (uon ) dãy D(A2 ) cho u0n → u0 (dãy tồn D(A2 ) trù mật D(A) D(A) trù mật H nên D A2 trù mật H) Giả sử un nghiệm   dun + Aun = dt [0, +∞)  un (0) = u0n Theo Định lý 2.2 |un (t) − um (t)| ≤ |u0n − u0m | ∀m, n, ∀t ≥ 0, theo bước dum dun (t) − (t) ≤ |u0n − u0m | dt dt t ∀m, n, ∀t ≥ dun Chứng tỏ un hội tụ [0, +∞) tới giới hạn u(t) (t) hội dt du tụ tới (t) khoảng [δ, +∞), δ > Hàm giới hạn u thoả dt mãn: u ∈ C ([0, +∞); H) u(t) ∈ D(A) ∀t > C ([0, +∞); H) , du (t) + Au(t) = ∀t > 0, dt (ở ta sử dụng A đóng) Bây ta chứng minh (2.26) Chúng ta chứng minh phương 38 pháp quy nạp với k ≥ rằng: u ∈ C k−j [0, +∞); D Aj ∀j = 0, 1, , k (2.34) Giả sử (2.34) đến cấp (k − 1) Nói riêng ta có: u ∈ C [0, +∞); D Ak−1 (2.35) Để chứng minh (2.34) (theo Định lý 2.3 ta phải kiểm tra u ∈ C [0, +∞); D Ak (2.36) ˜ = D Ak−1 toán tử A˜ : D(A) ˜ ⊂H ˜ →H ˜ Xét không gian Hilbert H xác định  D(A) ˜ = D(Ak ),  A˜ = A ˜ tự liên Dễ thấy A˜ đơn điệu cực đại đối xứng H, ˜ hợp Áp dụng khẳng định thứ Định lý 2.4 không gian H ˜ ta có nghiệm toán toán tử A,   dv + Av = dt [0, +∞),  v(0) = v0 ˜ Hơn với v0 ∈ H ˜ v ∈ C [0, +∞); H ˜ C [0, +∞); H C [0, +∞); D A˜ ˜ ta suy Bằng cách chọn v0 = u(ε) (ε > 0) theo (2.35) v0 ∈ H u ∈ C (ε, +∞); D Ak điều hoàn thành chứng minh (2.36) Ý KIẾN VÀO CHƯƠNG Định lý Hille -Yosida không gian Banach 39 Định lý Hille - Yosida mở rộng lên không gian Banach Cụ thể: Cho E không gian Banach A : D(A) ⊂ E → E toán tử tuyến tính không bị chặn Ta nói A m-bức D(A) = E với λ > 0, I + λA song ánh từ D(A) lên E với (I + λA)−1 ≤ L(E) Định lý 2.5 (Hille - Yosida) Cho A toán tử m-bức Khi với u0 ∈ D(A) tồn hàm u ∈ C ([0, +∞); E) cho C ([0, +∞); D(A))   du + Au = dt  u(0) = u0 [0, +∞) (2.37) du (t) = Au(t) ≤ Au0 ∀t ≥ dt Ánh xạ u0 → u(t) thác triển liên tục lên E kí hiệu SA (t) Nó Hơn u(t) ≤ u0 nửa nhóm co rút liên tục E Ngược lại, với nửa nhóm co rút liên tục S(t) tồn toán tử A m-bức cho S(t) = SA(t) ∀t ≥ Chứng minh xem [4] Công thức mũ Có nhiều phương pháp số để giải (2.37) Một cách là: Định lý 2.6 Giả sử A toán tử m-bức Khi đó, với u0 ∈ D(A), nghiệm u cho “công thức mũ” u(t) = lim n→+∞ t I+ A n 40 −1 n u0 (2.38) Có thể xem chứng minh [4] Trong giải tích số công thức (2.38) tương ứng với hội tụ lược đồ rời rạc theo thời gian ẩn (2.37) Cụ thể ta chia khoảng thời gian [0, t] thành n đoạn với độ dài ∆t = t/n giải hệ truy hồi uj+1 − uj + Auj+1 = 0, j = 0, 1, , n − ∆t Bắt đầu với u0 Nói cách khác, un cho bởi: −n un = (I + ∆tA) u0 = t I+ A n −n u0 Khi n → ∞ (nghĩa ∆t → 0, “trực giác” cho ta un hội tụ tới u(t) Định lý 2.4: bước đầu dẫn tới lí thuyết nửa nhóm Về vấn đề xem [4] Phương trình không Phương trình phi tuyến Xét không gian Banach E, toán   du (t) + Au(t) = f (t) dt  u(0) = u0 [0, T ] (2.39) Ta có Định lý sau Định lý 2.7 Giả sử A toán tử m-bức Khi với u0 ∈ D(A) f ∈ L1 ((0, T ) ; E), công thức (2.40) có nghĩa cung cấp cho ta nghiệm suy rộng (2.39) tồn nghiệm u (2.39) với: u ∈ C ([0, T ); E) C ([0, T ); D(A)) Hơn nữa, u cho công thức t SA (t − s) f (s) ds, u(t) = SA (t)u0 + SA (t) nửa nhóm giới thiệu Định lí 2.5 41 (2.40) Lưu ý ta giả sử f ∈ L1 ((0, T ) ; E), công thức (2.40) có nghĩa cung cấp cho ta nghiệm suy rộng (2.39) Trong ứng dụng Vật lí gặp nhiều “phương trình” nửa tuyến tính có dạng du + Au = F (u), dt F ánh xạ phi tuyến từ E vào E Những vấn đề xem [4] 42 KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận Khóa luận trình bày kiến thức “Định lí Hille – Yosida” với vấn đề: + Định nghĩa tính chất toán tử đơn điệu cực đại du +Au = [0, +∞), u (0) = u0 + Nghiệm toán tiến hóa dt Sự tồn nghiệm toán + Tính quy nghiệm khẳng định tính nghiệm toán + Trường hợp tự liên hợp toán tử tuyến tính không bị chặn Qua khóa luận này, thân em không lĩnh hội thêm tri thức giải tích hàm mà có hiểu biết định nghiên cứu khoa học Việc nghiên cứu sâu Định lí Hille – Yosida góp phần bổ sung thêm kết hữu ích việc nghiên cứu phương trình vi phân thường công cụ hữu hiệu nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tiến hóa Do thời gian nghiên cứu có hạn khả thân hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót định Vì vậy, em mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên Khoa để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! 43 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm, Tập I, II, Nxb Giáo Dục Hà Nội [2] Nguyễn Xuân Liêm (2002), Giải tích hàm, Nxb Giáo Dục [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Haim Brezis (2010), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer 44 [...]... Từ định nghĩa ta thấy chuẩn của toán tử có các tính chất sau: 13 1) ∀x ∈ X : Ax ≤ A x 2) ∀ε > 0, ∃xε ∈ X : ( A − ε) xε < Aε Định lý 1.8 (định lí 3 mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính liên tục) Cho A là toán tử tuyến tính từ X vào Y (X, Y là hai không gian định chuẩn) Khi đó 3 mệnh đề sau tương đương: 1) A liên tục 2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X 3) A bị chặn Định lý 1.9 (định lí chuẩn... sử dụng rất nhiều mặc dù nói chung thì Aλ L(H) → ∞ khi λ → 0 2.2 Định lý Hille - Yosida du + Au = 0 trên [0, +∞], dt u(0) = u0 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 2.2.1 Nghiệm của bài toán tiến hoá Chúng ta bắt đầu với một kết quả rất cổ điển Định lý 2.1 (Cauchy, Lípchitz, Picard) Cho E là một không gian Banach và cho F : E → E là một ánh xạ Lípchitz, nghĩa là có một hằng số L sao cho Fu − Fv ≤ L u − v ∀u,... tử liên hợp trong không gian Banach Định nghĩa 1.9 Cho X là không gian định chuẩn trên trường F Ta gọi không gian X ∗ các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của không gian X Định lý 1.3 Nếu X là không gian định chuẩn thì không gian đồi ngẫu X ∗ là không gian Banach với chuẩn x∗ X∗ = sup | x, x∗ | x X =1 9 Định lý 1.4 Giả sử X là không gian... tử trong X Định nghĩa 1.17 (toán tử liên tục) Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn Toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu xn → x0 thì Axn → Ax0 Định nghĩa 1.18 (toán tử tuyến tính bị chặn) Toán tử A : X → Y gọi là bị chặn nếu có một hằng số C > 0 để với ∀x ∈ X Ax ≤ C x (1.3) Định nghĩa 1.19 (chuẩn của toán tử tuyến tính) Cho A là toán tử bị chặn từ X vào Y (X, Y là hai không gian định chuẩn)... n Kí hiệu 1.2 Các hệ số an (x) được định nghĩa ở (1.2) là các phiếm hàm tuyến tính của x Hơn nữa chúng được xác định duy nhất bởi cơ sở, nghĩa là với mỗi cơ sở {xn } xác định duy nhất tập các phiếm hàm tuyến tính an : X → F Do đó ta gọi {an } là dãy các phiếm hàm hệ số liên kết Khi cần chỉ rõ cơ sở và phiếm hàm hệ số liên kết ta sẽ viết ({xn } , {an }) là cơ sở Định nghĩa 1.13 Giả sử X là không gian... : X → X xác định bởi Sn x = an (x) xn là phép chiếu tự n=1 nhiên (hay toán tử tổng riêng), tương ứng với cơ sở ({xn } , {an }) Định lý 1.5 Giả sử ({xn } , {an }) là cơ sở của không gian Banach X Khi đó ta có: (a) sup SN x < ∞, ∀x ∈ X (b) C = sup SN < ∞ (c) | x | = sup SN x tạo thành chuẩn trên X tương đương với chuẩn ban đầu trên X thỏa mãn: ≤| |≤C Số C = sup SN , ∀N ≥ 1, trong định lí trên được... định trù mật, tức là D (A) trù mật trong E Mệnh đề 1.1 Cho A : D (A) ⊂ E → F là một toán tử tuyến tính không bị chặn xác định trù mật Khi đó A∗ là đóng, tức là G (A∗ ) là đóng trong F ∗ × E ∗ Hệ quả 1.1 Cho A : D (A) ⊂ E → F là một toán tử tuyến tính không bị chặn, xác định trù mật và đóng Khi đó: i) N (A) = R(A∗ )⊥ , 16 ii) N (A∗ ) = R(A)⊥ iii) N (A)⊥ ⊃ R (A∗ ), iv) N (A∗ ) = R (A) 17 Chương 2 ĐỊNH... tính không bị chặn, xác định trù mật và đóng Khi đó: i) N (A) = R(A∗ )⊥ , 16 ii) N (A∗ ) = R(A)⊥ iii) N (A)⊥ ⊃ R (A∗ ), iv) N (A∗ ) = R (A) 17 Chương 2 ĐỊNH LÍ HILLE - YOSIDA 2.1 Toán tử đơn điệu cực đại Trong suốt chương này H là không gian Hilbert Định nghĩa 2.1 Cho một toán tử tuyến tính không bị chặn A : D(A) ⊂ H → H được gọi là đơn điệu nếu nó thỏa mãn: (Av, v) ≥ 0 ∀v ∈ D(A) Nó được gọi là đơn điệu... > 0 Tuy nhiên, nếu A và B là những toán tử đơn điệu cực đại thì A + B được xác định trên D(A) D(B) có thể không đơn điệu cực đại Định nghĩa 2.2 Cho A là một toán tử đơn điệu cực đại, với mỗi λ > 0 1 đặt Jλ = (I + λA)−1 và Aλ = (I − Jλ ) λ Jλ được gọi là giả thuộc của A, và Aλ được gọi là xấp xỉ Yosida (hoặc chính quy hoá Yosida) của A Ghi nhớ rằng Jλ L(H) ≤ 1 Mệnh đề 2.2 Cho A là một toán tử đơn điệu... phụ thuộc vào chuẩn xác định trên X 11 Định nghĩa 1.14 Ta gọi một phép đồng phôi tuyến tính giữa không gian Banach X và không gian Banach Y là một song ánh tuyến tính T : X → Y liên tục Định lý 1.6 Các cơ sở được bảo toàn qua phép đồng phôi tuyến tính Nghĩa là: Nếu {xn } là cơ sở của không gian Banach X và S : X → Y là một phép đồng phôi tuyến tính thì {Sxn } là cơ sở của Y Định nghĩa 1.15 Giả sử {xn ... tài Định lí Hille - Yosida Nghiên cứu đề tài này, có thêm hiểu biết Định lí Hille - Yosida, dạng toán tiến hóa nghiệm chúng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Bước đầu tìm hiểu nghiên cứu sâu Định. .. 2: Định lí Hille – Yosida Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa không gian định chuẩn ví dụ Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định. .. 16 Chương ĐỊNH LÍ HILLE - YOSIDA 18 2.1 Toán tử đơn điệu cực đại 18 2.2 Định lý Hille - Yosida