Bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN TRỊNH THỊ NHƯ QUỲNH BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Người hướng dẫn khoa học TH.S DƯƠNG THỊ HÀ HÀ NỘI, 2013 Khãa luËn tèt Trêng §HSP Hµ Néi 2 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của cô giáo, thạc sĩ Dương Thị Hà, khóa luận của tôi đến nay đã hoàn thành Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình tới cô Dương Thị Hà, người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo cho tôi nhiều kinh nghiệm quý báu trong thời gian tôi thực hiện khóa luận này Tôi cũng xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu, các thầy cô trong khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất giúp tôi hoàn thành khóa luận đúng thời hạn Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố gắng song không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Sinh viên Trịnh Thị Như Quỳnh TrÞnh ThÞ Nh Líp K35E LỜI CAM ĐOAN Tôi khẳng định rằng đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do chính tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học, tài liệu tham khảo và sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Dương Thị Hà Nó không trùng với kết quả của bất cứ người nào khác Nếu có gì sai sót tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Sinh viên Trịnh Thị Như Quỳnh MỤC LỤC Trang Mở đầu 1 Chương 1: Cơ sở lý luận 3 1.1 Nội dung cực trị của hàm số trong môn Toán ở trường phổ thông 3 1.1.1 Khái niệm cực trị của hàm số 3 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị .3 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 4 1.1.4 Quy tắc tìm cực trị 5 1.2 Các dạng toán cực trị trong chương trình toán phổ thông 7 1.2.1 Cực trị của hàm số đa thức và hữu tỉ 7 1.2.2 Cực trị của hàm số vô tỉ .11 1.2.3 Cực trị của hàm siêu việt và lượng giác .13 1.2.4 Các bài toán cực trị trong hình học 16 1.3 Các sai lầm học sinh thường gặp khi giải toán về cực trị của hàm số .20 1.3.1 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt 20 1.3.2 Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan 20 1.3.3 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí 22 Kết luận chương 1 26 Chương 2: Một số dạng toán về cực trị của hàm số trong các kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 27 2.1 Cực trị của hàm đa thức bậc ba y  ax3  bx2  cx  d (a  0) 27 2.1.1 Các bài toán về sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị .28 2.1.2 Tìm điều kiện để cực đại, cực tiểu thỏa mãn một hệ thức cho trước 30 2.1.3 Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu 32 2.1.4 Luyện tập .35 4 2 2.2 Cực trị của hàm số trùng phương y  ax  bx  c (a  0) 41 2.2.1 Các bài toán về sự tồn tại cực trị 2.2.2 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác luôn cân hoặc tam giác đều 43 2.2.3 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác có diện tích cho trước 2.2.4 Luyện tập 2 ax  bx  c 2.3 Cực trị (ax  b  0, a a  0) của hàm x phân  thức y  b 2.3.1 Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu 2.3.2 Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của một đường thẳng 51 2.3.3 Dấu của các giá trị cực đại, cực tiểu 2.3.4 Luyện tập Kết luận chương 2………………………………… ……………………… 59 Kết luận chung…………………………… ………………………………….6 0 TrÞnh ThÞ Nh Tài liệu Líp K35E tham khảo……………………………… ………………………… 61 TrÞnh ThÞ Nh Líp K35E MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn Tính trừu tượng cao độ làm cho toán học có tính thực tiễn phổ dụng có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại Mục đích của việc giảng dạy môn Toán ở phổ thông là dạy học sinh về kiến thức toán, cách giải bài tập, rèn luyện kĩ năng giải toán, giúp học sinh khai thác được các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung môn Toán từ đó hình thành và phát triển tư duy logic cho học sinh Trong chương trình toán thì khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 12 nói riêng và chương trình toán trung học phổ thông nói chung Vì thế đây là phần kiến thức chiếm nhiều nhất về thời lượng trong phân phối chương trình cũng như không thể thiếu trong bất kì đề thi nào dành cho học sinh lớp 12 từ kiểm tra định kì, đến thi tốt nghiệp, đặc biệt là kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng,…Câu hỏi phụ liên quan liên quan đến khảo sát hàm số trong các đề thi luôn là câu hỏi “e ngại” đối với phần lớn học sinh bởi tính đa dạng, phong phú đòi hỏi có kiến thức vững vàng, tư duy logic, sắc bén Trong khóa luận này tôi đi sâu vào một phần nhỏ của khảo sát hàm số đó là phần cực trị của hàm số Đây là một nội dung thường xuyên có mặt trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Với mục đích giúp cho học sinh có một cái nhìn tổng quan, giải quyết tốt mảng kiến thức này, đặc biệt giúp các em nâng cao kiến thức luyện thi đại học Với những lí do trên, cùng với sự đam mê của bản thân và sự hướng dẫn nhiệt tình của cô giáo Dương Thị Hà, tôi lựa chọn đề tài: “Bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng” TrÞnh ThÞ Nh 7 Líp K35E TrÞnh ThÞ Nh 8 Líp K35E 2 Mục đích nghiên cứu + Nghiên cứu lí luận về nội dung cực trị của hàm số trong môn Toán ở trường trung học phổ thông + Hệ thống hóa các dạng bài tập về cực trị của hàm số trong chương trình toán trung học phổ thông và trong kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Từ đó phát triển kĩ năng giải toán cực trị của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán phổ thông 3 Đối tượng nghiên cứu Các bài toán về cực trị của hàm số trong các kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 4 Phạm vi nghiên cứu Sách giáo khoa lớp 12, Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và một số tài liệu tham khảo khác 5 Nhiệm vụ nghiên cứu 1 Tìm hiểu cơ sở lí luận của đề tài 2 Phân loại các dạng toán liên quan đến cực trị của hàm số, nghiên cứu một số sai lầm của học sinh khi giải dạng toán này 3 Nghiên cứu các bài tập trong sách giáo khoa 12 và các đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây 4 Đề xuất một số bài toán cực trị 6 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Nội dung cực trị của hàm số trong môn Toán ở trường phổ thông 1.1.1 Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D ( D  □ ) và x0  D a) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm x0 sao cho (a ; b)  D và f(x) < f(x0) với mọi x  (a ; b) \ {x0} Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm x0 sao cho (a ; b)  D và f(x) > f(x0) với mọi x  (a ; b) \ {x0} Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Ta thừa nhận định lí sau: Định lí 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0 thì f (x0) = 0 Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần vì có thể đạo hàm của hàm số bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm x0 Ví dụ: Xét hàm số 3 y  f (x)  x , có f  (x)  3x 2 và f (0)  0 Tuy nhiên hàm số f không đạt cực trị tại điểm x = 0 Thật vậy, vì f  (x)  3x2  0 với mọi x  0 nên hàm số luôn đồng biến trên □ nên x = m + 1 là điểm cực tiểu của đồ thị Gọi A(m 1; 2  2m) và B(m  1; 2  2m) lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số Theo giả thiết: OA  2 2OB  m  6m 1  0   Vậy m  3  2 2; m  3  2 2 Bài 8 Cho hàm số m  3  2 2  m  3  2 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán 3 y  x  3mx  2 Tìm m để hàm số có cực trị và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cắt đường tròn 2 2 2 (x 1)  (y  2)  1 tại hai điểm A, B sao cho AB  5 Hướng dẫn: 2 2  Ta có: y  3x  3m  3(x  m) Hàm số có cực trị  y = 0 có hai nghiệm phân biệt  m > 0 (*) Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:  : 2mx  y  2  0 Đường tròn có tâm I(1;2) và bán kính R  1 Điều kiện để đường thẳng  cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt là: d(I, )  R  2m  2  2  1  2m  4m2 1 2 4m  1  0  1,m Gọi H là hình chiếu của I trên AB Ta có: IH  Theo bài ra: d(I, )  2 6 5  2 R 2  AB 2 6 4  5 m 2m  2  2  2 6  m2  6   6  4m2  1 5  m   6 Đối chiếu với điều kiện (*) ta được m  6 Bài 9 (Đề thi tuyển sinh đại học khối B - 2012) 3 2 3 Cho hàm số y = x  3mx + 3m (1), m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho OAB có diện tích bằng 48 Hướng dẫn: 2 Ta có: y = 3x  6mx = 3x(x  2m) ; y = 0  x = 0 hoặc x = 2m Đồ thị hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt  m  0 (*) Các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0;3m3 ) và 3 B(2m; m ) Như vậy điểm A nằm trên trục tung nên OA có phương trình x = 0 Khoảng cách từ B đến OA là h = |2m| Theo giả thiết: 1 3 4 h.OA  48 | m | | 3m | 48  3m  48 SOAB = 48  2  m  2 (thỏa mãn (*)) Vậy m  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán 3 2 Bài 10 Tìm m đề f(x) = x + mx + 7x + 3 có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x  7 Hướng dẫn: Hàm số có cực đại, cực tiểu 2 f  (x)  3x  2mx  7  0 2 phân biệt   = m  21 > 0  |m| > có hai nghiệm 21 Thực hiện phép chia f(x) cho f (x) ta có: 1 1 2 7 2 f (x)  ( x  m).f '(x)  (21  m )x  3  m 3 9 9 9 Với | m | 21 thì f (x) = 02có hai nghiệm phân7biệt x1, x2 và hàm số  x 3 m f (x )  f(x) đạt cực trị tại x1, x2 9 9 21  2 m   1 f (x1)  0  2 2 Do f  (x2 )  0 nên f (x )  21 m x 2   9  TrÞnh ThÞ Nh 67  1 3 2 7 m 9 Líp K35E Suy ra đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình: 2 7 2 : y = (21 m )x  3  m 9 9 TrÞnh ThÞ Nh 68 Líp K35E Ta có   y = 3x  7  | m |  21  | m |    2 2 Vậy m   2   3 10  21 | m | 2 3 10  m  45  3 21 m (21 m ).3  9 1   21  m 2 2   2 là giá trị cần tìm 2 Nhận xét: Điều kiện để đường thẳng  đi qua điểm cực trị của hàm số vuông góc 1 với đường thẳng y = ax + b là k   1 với k là hệ số góc của đường thẳng  a 2.2 Cực trị hàm số trùng phương: y  ax4  bx2  c (a  0)  Hàm số luôn nhận x = 0 làm một điểm cực trị  Hàm số có một cực trị khi phương trình y = 0 có một nghiệm  Điều kiện để hàm số bậc bốn trùng phương có 3 cực trị là phương 3 2 trình y = 0 có 3 nghiệm phân biệt Ta có: y = 4ax + 2bx = x(4ax + 2b) Do đó y = 0 luôn có một nghiệm x = 0 Để y = 0 có 3 nghiệm phân biệt sau khi tính đạo hàm ta cần tìm điều kiện để phương trình bậc hai còn lại có 2 nghiệm phân biệt khác không  Khi hàm số trùng phương có 3 cực trị là A(0 ; c), B(x1 ; y1), C(x2 ; y2) thì điều đặc biệt là tam giác ABC luôn cân tại A 2.2.1 Các bài toán về sự tồn tại cực trị Ví dụ 1 ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B - 2002) 4 2 2 Tìm m để hàm số y  mx  (m  9)x  10 có 3 điểm cực trị Giải: Hàm số đã cho xác định trên □ Ta có: 3 2 2 2 y  4mx  2(m  9)x  2x(2mx  m  9) y  0   x  0 2 2  2mx  m  9  0 Đặt g(x) = 2mx 2 m 2 90 Hàm số có ba điểm cực trị  Phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt và y đổi dấu khi qua các nghiệm đó  Phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân phiệt khác 0 m  0   m  3   9  m2   0 0  m  3   m  3  2m Vậy hàm số có ba điểm cực trị khi  0  m  3 1 4 3 2 y  x  mx  Tìm m để hàm số đã cho có cực Ví dụ 2 Cho hàm số: 2 2 tiểu mà không có cực đại Giải: Hàm số đã cho xác định trên □ x  0 Ta có: y  2x  2mx  2x(x  m) y  0   2 , x  m Hàm số đã cho có cực tiểu mà không có cực đại  y = 0 có một nghiệm duy 3 2 nhất và y đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm đó  hoặc có một nghiệm x = 0  m  0 Nếu 2 m  0  x  m  0  y' cùng dấu với 2x Bảng biến thiên: x y 0   0    y  yCT Vậy m  0 thoả mãn yêu cầu bài toán 2 x  m vô nghiệm 2.2.2 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác luôn cân tại A hoặc tam giác đều Cách giải: + Tìm điều kiện để y = 0 có 3 nghiệm phân biệt + Tìm tọa độ 3 điểm cực đại, cực tiểu A, B, C Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A + Giải điều kiện: ABC vuông tại A    0 AB.A ABC đều  AB = AC = BC Ví dụ 1 ( Đề thi tuyển sinh đại học dự bị 1 khối A - 2004) Tìm m để hàm số y  x 4  2m 2 x 2 một tam giác vuông cân 1 Giải: Hàm số đã cho xác định trên □ có 3 điểm cực trị là 3 điểm của x  0 Ta có: y  4x3  4m2 x  4x(x 2  m2 y  0   2 ), x  m Hàm số có 3 cực trị 2  y  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  0 (*) 4 4 Khi đó 3 điểm cực trị là A(0 ; 1), B(m ; 1 m ), C(m ; 1  m )   4 4  AB  (m; m ), AC  (m; m ) Nhận thấy B và C đối xứng nhau qua Oy và A thuộc Oy nên ABC cân tại A Ba điểm A, B, C lập thành tam giác vuông cân khi:    0  m 2 m 8 0  m (m AB.AC 1) 0 2 4 m  0   m  1 Kết hợp với điều kiện (*) ta được m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Ví dụ 2 (Đề thi tuyển sinh đại học khối A - 2012) 4 2 2 Cho hàm số y = x  2(m +1)x + m Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông Giải: Hàm số đã cho xác định trên □ 3 2 Ta có: y = 4x  4(m + 1)x = 4x(x  m  1), y  0   x  0 2 x  m  1 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị  y = 0 có ba nghiệm phân biệt  m + 1 > 0  m > 1 (*) 2 Các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0 ; m ), m  1; 2m  1) B( , C( m  1;2m 1)    AB  m 1; (m  1)   2  ; AC  m 1; (m  1) 2  Nhận thấy B và C đối xứng nhau qua Oy và A thuộc Oy nên ABC cân tại A   Ta có AB = AC nên ABC vuông khi và chỉ khi AB.AC  0  m  1 4   (m 1)  (m  1)  0    m0 Kết hợp với (*) ta được giá trị m cần tìm là: m = 0 2.2.3 Tìm điều kiện để hàm số có 3 cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác thỏa mãn một điều kiện cho trước Cách giải: + Tìm điều kiện để y = 0 có 3 nghiệm phân biệt + Tính tọa độ 3 điểm cực đại, cực tiểu A, B, C Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A + Giải yêu cầu của bài toán với từng trường hợp cụ thể 4 2 2 Ví dụ 1 Cho hàm số y = x  2mx +2m  4 Xác định m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1 Giải: Hàm số đã cho xác định trên □ x  0 3 y  0   2 Ta có: y = 4x  4mx, x  m Hàm số có 3 cực trị  y = 0 có ba nghiệm phân biệt  m > 0 (*) Gọi 2 2 A(0; 2m  4), B( m; m  4), C( 2 m; m  4) là 3 điểm cực trị Nhận thấy: B, C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại A Kẻ AH  BC ta có H là trung điểm của BC  2 2 2  H(0; m  4)  AH  (0; m ) Ta tính được AH = m , BC = 2 m SABC 1 1 m  m  1  AH.BC  1   2m2 2 2 Đối chiếu với điều kiện (*) có m = 1 là giá trị cần tìm 4 2 2 Ví dụ 2 Cho hàm số y = x + 2mx + m + m có đồ thị (Cm) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó 0 lập thành một tam giác có một góc bằng 120 Giải: Hàm số đã cho xác định trên □ 3 2 Ta có y = 4x + 4mx; y = 0  4x(x + m) = 0   x  0 2  x  m Đồ thị hàm số có ba cực trị  y = 0 có ba nghiệm phân biệt  m < 0 (*) 2 Khi đó các điểm cực trị là: A(0 ; m + m), B( m; m) , C(  Ta tính được:  2 2 AB  ( m; m ) , AC  ( m; m ) m; m)  AB  0 A bằng 120 4 m  m, AC m 4  m Tam giác ABC cân tại A nên góc      m 4  m 1 4 4 AB.AC  cos AB, AC      2(m  m)  (m  m)   4 m m 2 AB AC m  0 4 3   3m  m  0  m(3m  1)  0  1 m   3 3    Kết hợp với điều kiện (*) ta được 3 2.2.4 Luyện tập Bài 1 Cho hàm số 1 m 4 3 2 y  x  (m 1)x  1 2m Tìm m để hàm số chỉ có đúng một cực trị Hướng dẫn: Ta có x  0 3 y  4x  y  0   2(m 1)x  2 2x  2x  (m 1)  , 2  2x  m 1 Hàm số có đúng một cực trị  y = 0 có một nghiệm duy nhất và y đổi dấu 2 khi x qua nghệm đó  2x = m  1 vô nghiệm hoặc có một nghiệm x = 0  m 1  0   m  1 m 1  0  Kết luận: m  1 Bài 2 Cho hàm số 4 2 4 y  x  2mx  2m  m Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị và ba điểm này lập thành một tam giác đều x  0 3  y  0  Hướng dẫn: Ta có: y  4x  4mx  2 , x  m Hàm số có ba điểm cực trị  y = 0 có ba nghiệm phân biệt  m > 0 (*) Tọa độ các điểm cực trị là: 4 4 2 A(0;m  2m), B( m; m  m  2m), C(  AB  AC  AB = BC  4 2 m;m  m  2m) 4 m  m , BC  2 m Để A, B, C lập thành tam giác đều thì m  m4  2 m  m  m4  4m  m4  3m  0   Kết hợp với điều kiện (*) ta được m  3 m  0 m  3 3 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán Bài 3 (Đề thi tuyển sinh đại học khối B - 2011) Cho hàm số y  x 4  2(m  1)x 2  m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại Hướng dẫn: 3 2 y  4x  4x(m  1)  4x(x  m 1) , y  0   x  0 2 x  m  1 2 Hàm số có ba điểm cực trị  y = 0 có ba nghiệm phân biệt  x = m + 1 có hai nghiệm phân biệt khác 0  m > 1 (*) 2 2 Khi đó ta có: A(0; m), m  1; m  m 1), C( m  1; m  m 1) B(    OA  (0; m), BC  (2 m  1;0)  OA  m , BC  2 m  1 Do đó OA = BC  m  2 m  1  m 2  4m  4  0  m  2  8 Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy m  2  8 là giá trị cần tìm Bài 4 Cho hàm số y  x 4  2mx2  m 1 có đồ thị ( Cm) Với giá trị nào của m thì đồ thị của ( Cm) có 3 điểm cực trị , đồng thời 3 điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 Hướng dẫn: 3 2  4x  4mx  4x(x  m), y  0   x 2 0 y x  m Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị  PT y = 0 có 3 nghiệm phân biệt và y đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó  m > 0 (*) Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: A(0; m 1); B( 2 2 m; m  m 1); C( m; m  m 1) 2 Gọi H là trung điểm của BC  H(0; m  m 1) Ta tính được: AB  AC  SABC 1 1 2 2  2 AH.BC  2 m 2 m  m m Theo giả thiết: R 3 4 m  m; BC  2 m; AH  m  m  2m 1  0  AB.AC.BC  1 4.SABC m  1 m   4 1 1 5 2 (m  m)2 m 4m2m ; m 1 5 2  2 ... chủ đề cực trị hàm số kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khóa luận tổng hợp đề xuất dạng tập cực trị theo lớp hàm thường xuyên có mặt kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng chương CHƯƠNG MỘT SỐ... cực x = nên x = x trị hàm số, y đổi dấu qua điểm x  5 điểm cực trị hàm số Vậy hàm số đạt cực đại điểm yCĐ 108  3125 x , giá trị cực đại hàm số Hàm số đạt cực tiểu điểm x = 1, giá trị cực. .. thơng Đối tượng nghiên cứu Các toán cực trị hàm số kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Phạm vi nghiên cứu Sách giáo khoa lớp 12, Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng số tài liệu tham khảo khác Nhiệm