Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi TN THPT

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT BÌNH SƠN =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Bài toán cực trị hàm số ôn thi TN THPT Tác giả sáng kiến: Nguyễn Ngọc Tuấn Mã sáng kiến: 19.52.02 1 Vĩnh Phúc, năm 2021 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Trong đề thi tốt nghiệp THPT toán liên quan đến câu khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số thường có mặt Tuy nhiên tốn cực trị hàm số nội dung quan trọng đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng Chẳng hạn tốn tìm tham số thỏa mãn điều kiện toán cực trị tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định lý, quy tắc, công thức học lớp dưới, phương pháp giải mà Sách giáo khoa Giải tích 12 khơng có đưa Qua thực tế giảng dạy, dự đồng nghiệp, chấm kiểm tra học sinh, nhiều học sinh làm chua tốt nội dung Nguyên nhân em không nắm chất vấn đề, chưa có kinh nghiệm việc giải tốn tìm tham số thỏa mãn điều kiện toán cho trước Để khắc phục điểm yếu trên, tơi cố gắng đưa số tốn, từ sai lầm thường gặp dạng toán này, giúp em học sinh trung bình yếu tích lũy dần kinh nghiệm giải Ngoài em học sinh khá, giỏi có thêm tài liệu tham khảo dạng tốn nằm ngồi sách giáo khoa, từ giúp em xử lí tốt tiếp cận với đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng Tên sáng kiến: “Bài toán cực trị hàm số ôn thi TN THPT” Tác giả sáng kiến - Họ tên: Nguyễn Ngọc Tuấn - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Sơn – Sông Lô – Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0988993812 E_mail: tuannn86@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Nguyễn Ngọc Tuấn Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Phương pháp học Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: năm học 20192020 Mô tả chất sáng kiến: 2 7.1 Về nội dung sáng kiến: 7.1.1 Một số kiến thức sử dụng chuyên đề 7.1.1.1 Điểm tới hạn hàm số Điểm x0 gọi điểm tới hạn hàm số f ( x) thuộc tập xác định f ( x) f '( x0 ) = f '( x0 ) không xác định Chú ý: Trên khoảng phân chia hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm hàm số giữ nguyên dấu 7.1.1.2 Cực trị hàm số a Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định tập D, x0 ∈ D a; b - x0 gọi điểm cực đại hàm số f ( x ) tồn khoảng ( ) chứa điểm f ( x0 ) x0 cho ( a; b ) ⊂ D f ( x ) < f ( x0 ) , với x0 ∈ ( a; b ) \ { x0 } Lúc đó, gọi giá trị cực đại f ( x) - x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f ( x) tồn khoảng ( a; b ) chứa a; b ⊂ D điểm x0 cho ( ) f ( x ) > f ( x0 ) , f ( x0 ) với x0 ∈ ( a; b ) \ { x0 } Lúc đó, gọi giá trị cực tiểu f ( x ) - Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số - Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị hàm số - Nếu x0 điểm cực trị hàm số f ( x ) điểm ( ( ) ) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f ( x) b Định lí (Định lí Fecmart-Điều kiện cần để hàm số có cực trị) x;f x f’ x =0 Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm đạt cực trị điểm x0 ( ) c Định lí (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 1) a; b Giả sử hàm số f ( x) liên tục khoảng ( ) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng ( ) ( ) Khi đó: f ’ x < 0, ∀x ∈ (a;x0 ) i) Nếu ( ) f ’ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( x0 ;b) f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 f ’( x ) > 0, ∀x ∈ (a;x0 ) f ’ x < 0, ∀x ∈ ( x0 ;b) ii) Nếu ( ) f ( x) đạt cực đại điểm x0 Quy tắc -Tìm tập xác định a; x x ;b -Tính f ’ ( x ) Tìm điểm tới hạn -Lập Bảng biến thiên 3 -Kết luận d Định lí (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 2) a; b Giả sử hàm số f ( x) có đạo hàm đến cấp hai khoảng ( ) chứa điểm x0 đồng thời i) Nếu f ’ ( x0 ) = f ’’ ( x0 ) < f ’’ ( x0 ) ≠ Khi hàm số f ( x) đạt cực đại điểm x0 f ’’ ( x0 ) > ii) Nếu hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 Quy tắc -Tìm tập xác định -Tính -Tính o f ’( x) f ’’ ( x ) f’ x =0 Tìm nghiệm xi phương trình ( ) suy Nếu f ’’ ( xi ) f ’’ ( xi ) < f ( x ) đạt cực đại xi ( i ) f ( x) đạt cực tiểu xi o Nếu Chú ý: Khi áp dụng qui tắc 2, ta tìm điểm cực trị nghiệm f ’’ x > phương trình ( ) , trên, ta phải sử dụng qui tắc f’ x =0 f ’’ ( x ) phải khác Ngoài trường hợp 7.1.1.3 Một số lưu ý cực trị số hàm số: a Hàm số bậc ba: y = f ( x) = a.x + b.x + c.x + d , a, b, c, d ∈ ¡ , a ≠ TXĐ: ¡ ∆ ' = b − 3ac Đạo hàm: y ' = f '( x) = 3a.x + 2b.x + c Để hàm số có cực trị (CĐ CT) ∆ ' > b  6ac − 2b bc 1 y = f ( x) =  x + ÷ 3a.x + 2b.x + c + x + d − 9a  9a 9a 3 Ta có: ( ) Phương trình đường thẳng qua CĐ CT hàm bậc ba (nếu có) là: 6ac − 2b bc x + d − 9a 9a + Nếu a < thì: xCT < xCÐ y= + Nếu a > thì: xCÐ < xCT b Hàm số trùng phương: y = f ( x) = a.x + b.x + c, TXĐ: ¡ Đạo hàm: y ' = f '( x) = 4a.x + 2b.x Để hàm số có cực trị (CĐ CT) ab < + Nếu a < 0, b > thì: hàm số có CĐ CT + Nếu a > 0, b < thì: hàm số có CĐ CT 4 a, b, c ∈ ¡ , a ≠  −b −b   −b −b  A ( 0; c ) , B  ; + c÷ , C − ; + c  ÷ ÷  2a 4a ÷ 2a 4a     Tọa độ cực trị là: S ∆ABC = −b b 2a a c Hàm số phân thức: y = f ( x) = a.x + b.x + c , d x + e a , b, c , d , e ∈ ¡ , a , d ≠  e ¡ \ −   d TXĐ: y ' = f '( x) = a.d x + 2ae.x + be − dc ( d x + e ) Đạo hàm: Để hàm số có cực trị (CĐ CT) y ' = có nghiệm phân biệt Phương trình đường thẳng qua CĐ CT y= 2a.x + b d 7.1.2 Các toán trắc nghiệm phân theo mức độ kiến thức MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) xác định có đạo hàm cấp cấp hai a; b x ∈ a; b khoảng ( ) ( ) Khẳng định sau sai ? A y′ ( x0 ) = y′′ ( x0 ) ≠ x0 điểm cực trị hàm số B y′ ( x0 ) = y′′ ( x0 ) > x0 điểm cực tiểu hàm số y′ x = C Hàm số đạt cực đại x0 ( ) D y′ ( x0 ) = y′′ ( x0 ) = x0 không điểm cực trị hàm số Lời giải Chọn D Theo định lý quy tắc tìm cực trị A, C B y′ = y′′ = D sai xét hàm số y = x ¡ thỏa mãn ( ) ( ) x0 = điểm cực tiểu hàm số 5 Câu 2: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị cực tiểu hàm số y = x − 3x − x + A −20 B C −25 D Lời giải Chọn C TXĐ: D = ¡  x = −1 ′ y = ⇔ x = y′ = 3x − x − Cho  Bảng biến thiên: Vậy giá trị cực tiểu yCT = −25 Câu 3: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Phát biểu sau sai? A Nếu f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) > hàm số đạt cực tiểu x0 B Nếu f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) < hàm số đạt cực đại x0 C Nếu f ′( x) số y = f ( x) f x đổi dấu x qua điểm x0 ( ) liên tục x0 hàm đạt cực trị điểm x0 D Hàm số y = f ( x ) đạt cực trị x0 x0 nghiệm đạo hàm Lời giải Chọn D → y′ = x → y′ = ⇔ x = Xét hàm số y = x  Hàm số y không đạt cực trị điểm x = Câu 4: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm y = f ( x) số có bảng biến thiên hình vẽ bên Mệnh đề đúng? 6 A yCT = B max y = ¡ C yC Ð = Lời giải D y = ¡ Chọn C Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x = , yC Ð = ; đạt cực tiểu x = , yCT = ; hàm số khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ Câu 5: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D đây, có cực trị? A y = x − x + x B y = x + x − C y = − x − x + D Lời giải Chọn B y= 2x − x +1 Ta có đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d với a ≠ có hai khơng có cực trị Đồ thị hàm số y= ax + b cx + d với ad − bc ≠ khơng có cực trị Câu 6: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số có bảng biến thiên sau: Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x = x = 7 y = f ( x) B Hàm số đạt cực đại C Hàm số đạt cực đại x = −2 D Hàm số đạt cực đại x = Lời giải Chọn A y = y ( ) = Hàm số đạt cực đại x = CĐ y = y ( ) = −2 Hàm số đạt cực tiểu x = CT Câu 7: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Hàm số y = x − x + 3x − có cực trị? A B C D Lời giải Chọn C Ta có y = 3x − x + = ( x − 1) ≥ , ∀x ∈ ¡ Hàm số cho có đạo hàm khơng đổi dấu ¡ nên khơng có cực trị ′ 2 Câu 8: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình bên Mệnh đề đúng? y O x −2 A Hàm số có giá trị cực tiểu B Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ −2 D Hàm số có ba điểm cực trị Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có cực trị Hàm số đạt cực đại x = giá trị cực đại Hàm số đạt cực tiểu B ( 1; −1) giá trị cực tiểu −2 Câu 9: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x) A Nếu có đạo hàm ¡ Mệnh đề đây đúng? f ′ ( x0 ) = hàm số đạt cực trị x0 ′ ′′ B Nếu f ( x0 ) = f ( x0 ) = hàm số khơng đạt cực trị x0 C Nếu đạo hàm đổi dấu x qua x0 hàm số đạt cực tiểu x0 D Nếu hàm số đạt cực trị x0 đạo hàm đổi dấu x qua x0 Lời giải Chọn D Ta xét đáp án: Đáp án A: Nếu f ′ ( x0 ) = f ′( x) không đổi dấu x chạy qua x0 hàm số khơng đạt cực trị x0 nên đáp án A sai ( 0) Đáp án B: Với điều kiện ( ) không đủ sở để khẳng định hàm số có đạt cực trị hay khơng nên đáp án B sai f ′ x = f ′′ x = Đáp án C: Nếu đạo hàm đổi dấu x chạy qua x0 suy hàm số đạt cực trị x0 chưa suy hàm số đạt cực tiểu x0 Đáp án D: Đúng Câu 10: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Số cực trị hàm số y = x + x − A C B D Lời giải Chọn D Tập xác định D = ¡ y′ = x3 + x = x ( x + 1) y′ = ⇔ x = ⇒ y = −3 y′′ = 12 x + y′′ ( ) = > ⇒ Hàm số có cực tiểu Vậy hàm số có cực trị Câu 11: (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Tìm điểm cực đại đồ thị hàm số y = x − x + −1;1) A ( 2;0 B ( ) 1;1 C ( ) 0; D ( ) Lời giải: Chọn D Ta có y′ = x − x  x =1 y′ = ⇔  x = −1  x = Cách 1: Cách 2: y′′ = 12 x − y′′ ( ) = −4 ⇒ điểm cực đại y′′ ( 1) = y′′ ( −1) = y = f ( x) Câu 12: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần năm 2017-2018) Cho hàm số có bảng biến thiên hình vẽ Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x = B Hàm số đạt cực tiểu x = −2 C Hàm số đạt cực tiểu x = D Hàm số đạt cực đại x = Lời giải Chọn D Dựa vào bảng biến thiên ta có: 10 10 Câu 9: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Hàm số y = f ( x) có y = f ( x2 − x ) ba điểm cực trị −2 , −1 Hỏi hàm số có điểm cực trị? A C B D Lời giải Chọn A y = f ( x) Vì hàm số có ba điểm cực trị −2, − nên  x = −2 f ′ ( x ) = ⇔  x = −1  x = (Cả nghiệm nghiệm đơn theo nghĩa ba nghiệm này) Ta có: ( y′ = f ( x − x ) ) ′ = ( 2x − 2) f ′ ( x f ′( x) đổi dấu qua − 2x ) x = x =   2 x − x = −2 x − 1) = ( x =   ⇔ ⇔ x = x =  x − x = −1  ⇔ x =  y′ = ⇔    2 ′ f x − x =  x =   x − x =  x = ( ) (Cả nghiệm nghiệm đơn theo nghĩa qua ba nghiệm này) Vậy hàm số y = f ( x2 − 2x ) f ′ x ) = x ( x + 1) ( x + ) ( đổi dấu có cực trị ( Chú ý: Ta chọn nghiệm đơn y′ = f ( x − x ) y′ ) ′ = ( 2x − 2) f ′ ( x nhận Khi −2, − làm đó: − x ) = ( x − ) ( x − x ) ( x − x + 1) ( x − x + ) Rõ ràng từ dễ dàng kiểm tra tính cực trị hàm số y = f ( x2 − x ) 47 47 Câu 10: (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần năm 2017-2018) Đồ thị sau hàm số trị? y = f ′( x) Khi hàm số y = f ( x) có điểm cực y O A x B C D Lời giải Chọn C y = f ′( x) x x x Gọi , , hoành độ giao điểm đồ thị hàm số trục Ox hình vẽ 48 48 y x1 O Từ đồ thị hàm số ta thấy, qua điểm dương nên điểm x2 x1 x3 x2 x1 điểm cực tiểu, qua điểm không điểm cực trị, qua điểm sang âm nên dấu x3 x3 x f ′( x) x2 f ′ ( x ) dấu đổi từ âm sang không đổi dấu nên f ′( x) đổi từ dương điểm cực đại Vậy hàm số có hai điểm cực trị Câu 11: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Có giá trị nguyên y = x − x − 12 x + m tham số m để hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn D Xét hàm số y = 3x − x − 12 x + m TXĐ: D = ¡ 49 49 x = y′ = ⇔  x = −1  x = Có y′ = 12 x − 12 x − 24 x , Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, suy hàm số m Do để hàm số y = f ( x) y = f ( x) có điểm cực trị với có điểm cực trị đồ thị m − < ⇔ y = f ( x) hàm số cắt trục hoành − = điểm phân biệt m > ⇔ < m ⇔  x > , f ′ ( x ) < ⇔ −2 < x < Từ suy bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực đại x = −2 Câu 14: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần năm 2017-2018) Cho hàm y = f ( x) y = f ′( x) số có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số hình vẽ sau: Số điểm cực trị hàm số A B y = f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019 C là: D Lời giải Chọn B  f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019 ′ = f ′ ( x − 2017 ) − 2018 Ta có Đồ thị hàm số y = f ′ ( x − 2017 ) − 2018 y = f ′( x) suy từ đồ thị hàm số cách tịnh tiến sang phải 2017 đơn vị tịnh tiến xuống 2018 đơn vị 52 52 Do đồ thị hàm số y = f ′ ( x − 2017 ) − 2018 đổi dấu qua điểm nên hàm số điểm cực trị cắt trục hoành điểm y = f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019 có Câu 15: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần năm 2017-2018) Cho đồ thị hàm số y = f ( x) hình vẽ đây: Gọi S tập tất giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = f ( x + 2018 ) + m có điểm cực trị Tổng tất giá trị phần tử tập S bằng: A B C D Lời giải Chọn A ( Ta có: hàm số tiến sang trái 2018 đơn vị; Hàm số y = f x + 2018) có đồ thị đồ thị hàm số y = f ( x) m có đồ thị đồ thị hàm số y = f ( x + 2018) y = f ( x + 2018 ) + tịnh tiến lên m đơn vị y = f ( x + 2018 ) + m Hàm số có đồ thị gồm hai phần: 53 53 tịnh + Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số Ox y = f ( x + 2018 ) + + Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số trục Ox qua Ox m y = f ( x + 2018 ) + phần phía m phía 1 y = f ( x + 2018 ) + m2 ⇔ ≤ m2 < 3 Để đồ thị hàm số có điểm cực trị ⇔ ≤ m < 18 ⇔ ≤ m < (do m ∈ ¢ + ) suy ra: m ∈ { 3; 4} ⇒ S = { 3; 4} Vậy tổng cần tìm Câu 16: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Cho hàm số có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x + 1) ( x + 2mx + 5) f ( x) Có tất giá trị f x nguyên m để hàm số ( ) có điểm cực trị ? A B C Lời giải Chọn C D x =  ⇔  x = −1  x + 2mx + = ( 1) f ′ ( x ) = ⇔ x ( x + 1) x + 2mx + =  ( Để hàm số f ( x) + Phương trình ) có điểm cực trị có trường hợp sau: ( 1) vơ nghiệm: + Phương trình ( 1) có nghiệm kép m = ± ⇔ m = ⇒ m ∈ ∅ 54 m2 − < ⇔ − < m < 54 −1 : m − =   −2 m + = + Phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm m >  ⇔   m < − m − >   −2m + = m =  ⇔ m = − : Vậy giá trị nguyên m ∈ { −2; −1;0;1; 2;3} Câu 17: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x ) = ( m 2018 + 1) x + ( −2m 2018 − 22018 m − 3) x + m 2018 + 2018 y = f ( x ) − 2017 số Số cực trị hàm số A B , với m tham C D Lời giải Chọn D Đặt g ( x ) = f ( x ) − 2017 Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) = ( m2018 + 1) x3 + ( −2m 2018 − 22018 m − ) x x =  f ′ ( x ) = ⇔  −b 2m 2018 + 22018 m + x = =  2a ( m 2018 + 1)  Khi 2m 2018 + 22018 m2 + >0 ( m 2018 + 1) ∀m ∈ ¡ Nhận xét ln có cực trị Nhận xét nên hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2017 f ( 1) = ( m 2018 + 1) + ( −2m2018 − 22018 m2 − 3) + m 2018 + 2018 Do ( ) Suy hàm số ( ) ln có ba cực trị có hai cực tiểu nằm bên trục Ox nên hàm số g = −22018 m − < ∀m y = f ( x ) − 2017 g x có cực trị Câu 18: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Tìm tham số m để hàm số y = f ( x) + m 55 có ba điểm cực trị? 55 y x O −3 A ≤ m ≤ C m ≤ −1 m ≥ B m = −1 m = D m ≤ −3 m ≥ Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số y = f ( x) + m đồ thị y = f ( x) tịnh tiến lên đoạn m m m > , tịnh tiến xuống đoạn m < Hơn đồ thị y = f ( x) + m +) Phần đồ thị là: y = f ( x) + m nằm phía trục Ox +) Lấy đối xứng phần đồ thị y = f ( x) + m bỏ phần đồ thị y = f ( x) + m Vậy để đồ thị hàm số y = f ( x) + m y = f ( x) + m nằm Ox qua Ox nằm Ox có ba điểm cực trị đồ thị hàm số xảy hai trường hợp: ( ) nằm phía trục hồnh có điểm +) Đồ thị hàm số cực tiểu thuộc trục Ox cực đại dương Khi m ≥ y = f x +m ( ) nằm phía trục hồnh có điểm +) Đồ thị hàm số cực đại thuộc trục Ox cực tiểu dương Khi m ≤ −1 Vậy giá trị m cần tìm m ≤ −1 m ≥ y = f x +m Câu 19: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần năm 2017 – 2018) Cho hàm số 56 y = f ( x) Đồ thị hàm số 56 y = f ′( x) hình bên y −2 Hàm số A g ( x) = f ( x2 ) O 3x có điểm cực trị? B C Lời giải D Chọn C  x = −2 x = f ′( x) = ⇔  x =  y = f ′( x) x = ; Từ đồ thị ta có x >  x < −2 f ′( x) > ⇔  f ′( x) < ⇔   −2 < x < ; 1 < x < x = x =  x = x =  g′( x) = ⇔  ⇔ ⇔  x = ±1   f ′ ( x ) =  x = x = ± g ′ ( x ) = xf ′ ( x )  x =  Ta có ; f ′ ( x2 )  −1 < x <  0 < x <  x ≠ >0⇔  ⇔  x >  x >  x < −  Ta có Ta có bảng biến thiên 57 57 g ( x ) = f ( x2 ) Từ bảng biến thiên ta có hàm số có điểm cực trị y Câu 20: x O (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần năm 2017 – 2018) Hàm số có đạo hàm f ′( x) thị hàm số Hỏi hàm số A f ( x) ¡ Hình vẽ bên đồ f ′( x) ¡ y = f ( x ) + 2018 có điểm cực trị? B C D Lời giải Chọn A Cách 1: Từ đồ thị hàm số f ′( x) ta thấy f ( x) có hai cực trị dương ( ) lấy đối xứng phần đồ thị hàm số bên phải trục nên hàm số tung qua trục tung ta bốn cực trị, cộng thêm giao điểm đồ thị y= f x hàm số y = f ( x ) + 2018 Cách 2: Ta có: Đạo hàm: với trục tung ta tổng cộng cực trị y = f ( x ) + 2018 = f y′ = f ′ ( x ) ( x )′ = 2 Từ đồ thị hàm số x x2 ( x ) + 2018 f ′( x ) f ′( x) suy ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) với x1 < , < x2 < x3 f′ x x −x )( x −x )( Suy ra: ( ) dấu với ( 58 58 f ′( x) x − x3 ) dấu với Do x − x1 > ( x −x )( x −x ) Vậy hàm số nên y′ = f ′ ( x ) ( x )′ = 2 x x2 f ′( x ) dấu với x x2 y = f ( x ) + 2018 có cực trị 7.2 Khả áp dụng sáng kiến Kết đạt Sau áp dụng sáng kiến năm học 2019 – 2020, đạt số kết đáng ghi nhận: - Đối với GV: giáo viên có thêm nguồn tài liệu bồi dưỡng HSG cấp ôn thi TN THPT Trường THPT Bình Sơn xếp thứ 19 tồn tỉnh kì thi THPTQG năm học 2019 – 2020 - Đối với HS: Việc vận dụng dạng tập giải nhiệm vụ học tập giúp HS nâng cao chất lượng học mình, phát triển lực em, em cảm thấy hứng thú với môn học nhận thức vị trí quan trọng mơn học từ học sinh biết cách trả lời câu hỏi vận dụng có liên quan Kết học tập mơn Tốn lớp 12 năm học 2019 – 2020 lớp 12 năm học 2020 – 2021 khả quan với tỉ lệ giỏi cao: Lớp 12 (năm 2019-2020) 12 (năm 2020-2021) Giỏi Khá Loại khác 15% 35% 50% 20% 45% 35% 7.3 Về khả áp dụng sáng kiến: - Tính mới, tính sáng tạo sáng kiến: + Một là: Hệ thống hóa dạng câu hỏi, toán cực trị hàm số + Hai là: Đưa ví dụ cụ thể cho dạng câu hỏi, toán theo mức độ có hướng dẫn trả lời chi tiết cho ví dụ 59 59 - Khả áp dụng SK: Sáng kiến dễ dàng áp dụng rộng rãi, phù hợp với nhiều đối tượng HS với điều kiện sở vật chất không cao - Lợi ích thiết thực sáng kiến: + Hệ thống câu hỏi áp dụng tất trường THPT q trình ơn thi TN THPT Nó khơng đòi hỏi đầu tư nhiều kinh tế, GV chủ động nghiên cứu tư liệu sử dụng phương tiện dạy học có nhà trường để giảng dạy + Việc xây dựng hệ thống toán cụ thể cực trị hàm số vận dụng điều kiện khác mà phụ thuộc vào điều kiện sở vật chất nhà trường + Giúp cho việc dạy học đảm bảo tốt việc thực chuẩn kiến thức, kĩ năng, thái độ Những thông tin cần bảo mật (nếu có): khơng Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Đòi hỏi người GV phải biết phân tích đặc điểm trình độ học sinh để đưa dạng câu hỏi phù hợp trình ơn luyện - HS phải có kiến thức tảng phần cự trị hàm số 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: + Việc sử dụng hệ thống câu hỏi vào giảng góp phần giáo dục kĩ sống cho học sinh, giúp HS phát huy khả suy nghĩ, tư duy, sáng tạo học tập ứng dụng vào thực tế đời sống + Cụ thể, học thực giúp em học sinh tự tìm hiểu từ thực tế yêu cầu học Từ nội dung kiến thức giúp em vận dụng vào giải tình thực tế sống để hòa nhập, hợp tác với người xung quanh,… 11 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân (nếu có): Sau hướng dẫn học sinh nắm kỹ để giải số dạng tập nêu, học sinh vận dụng giải toán phức tạp tránh số lỗi mà em thường mắc phải 60 60 Số TT Tên Địa áp dụng sáng kiến tổ chức/cá nhân Lớp 12 Trường THPT Bình Sơn – Bài tốn cực trị hàm số (năm 2019-2020) Lớp 12 Sông Lô – Vĩnh Phúc ôn thi THPTQG Trường THPT Bình Sơn – Bài tốn cực trị hàm số (năm 2020-2021) …,ngày…tháng… năm 20 Phạm vi/Lĩnh vực Sông Lô – Vĩnh Phúc …,ngày…tháng… năm 20 Thủ trưởng đơn vị/ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Chính quyền địa phương SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ ôn thi TN THPT Sông Lô, ngày 09 tháng năm 2021 Tác giả sáng kiến Nguyễn Ngọc Tuấn 61 61 ... Hàm số có cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ D Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = Lời giải Chọn D Dựa vào BBT Hàm số có hai cực trị ⇒ A sai Hàm số. .. Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số - Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị hàm số - Nếu x0 điểm cực trị hàm số f ( x ) điểm ( ( ) ) gọi điểm cực trị. .. C Hàm số đạt cực tiểu x = D Hàm số đạt cực đại x = Lời giải Chọn D Dựa vào bảng biến thi? ?n ta có: 10 10 Hàm số đạt cực đại x = , giá trị cực đại yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = , giá trị cực