Phép co dãn trong mặt phẳng

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn cô Đinh Thị Kim Thúy trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận Với lời dẫn, tận tình hướng dẫn giúp em vượt qua nhiều khó khăn q trình hồn thành đề tài nghiên cứu Do hạn chế thời gian, kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong có ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn đọc quan tâm để đề tài hoàn thiện Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô tổ Hình Học thầy khoa Tốn tạo điều kiện giúp đỡ em hồn thành khóa luận, suốt thời gian học tập nghiên cứu Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình bạn bè giúp đỡ động viên em nhiều trình học tập để em thực tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thùy Nguyễn Thị Thùy Lớp K35B LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thùy MỤC LỤC Nội dung Lời nói đầu Chương 1: Một số kiến thức phép biến hình mặt phẳng Chương 2: Phép co - dãn mặt phẳng 2.1 Định nghĩa 2.2 Các tính chất phép co – dãn 2.3 Áp dụng phép co - dãn để giải toán 13 2.3.1 Các tốn định tính 13 2.3.2 Các tốn quỹ tích .23 Chương 3: Bài tập đề nghị 36 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 LỜI NĨI ĐẦU Phép biến hình phẳng khơng cung cấp cho học sinh công cụ để giải tốn mà tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận mới, biết nhìn nhận việc tượng xung quanh sống với vận động biến đổi chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo sở cho đời phát minh sáng tạo tương lai Ví dụ trước đây, cần chứng minh hai tam giác nhau, học sinh thường phải chứng minh cạnh góc hai tam giác thỏa mãn điều kiện nêu định lí nói hai tam giác Sau học phép biến hình mặt phẳng người ta định nghĩa hai tam giác tổng quát hai hình phẳng sau: "Hình H gọi hình H ' có phép dời hình mặt phẳng biến hình H thành hình H '" Như khái niệm "bằng nhau" hai hình phẳng xây dựng dựa khái niệm phép dời hình phép biến hình Nhiều khái niệm tương tự hình học hai hình đồng dạng với xây dựng sở phép biến hình tương ứng chúng phép đồng dạng Hơn việc lựa chọn cơng cụ giải tốn thích hợp cho loại tốn hình học khác việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian công sức để giải tốn cách hiệu Với lòng đam mê tốn học hướng dẫn tận tình cô Đinh Thị Kim Thúy em định chọn đề tài cho là: "Phép co - dãn mặt phẳng" Có nhiều tốn, phương pháp giải toán hay xoay quanh phép co - dãn mặt phẳng bước đầu làm quen với Nguyễn Thị Thùy -1- Lớp K35B việc nghiên cứu khoa học thời gian nghiên cứu nên khn khổ khóa luận em xin trình bày số vấn đề sau: Chương 1: Một số kiến thức phép biến hình mặt phẳng Chương 2: Phép co - dãn mặt phẳng Chương 3: Bài tập đề nghị CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG PHẲNG 1.1 Khái niệm phép biến hình mặt phẳng 1.1.1 Thế hình? Trước nghiên cứu phép biến hình cần đưa khái niệm "hình" hiểu theo nghĩa tốn học Các mơn tốn học thường xây dựng dựa lí thuyết tập hợp, khái niệm "hình" hiểu với nghĩa "một tập hợp" Như tồn thể khơng gian hay tồn thể mặt phẳng hình Ngồi tập hợp có phần tử điểm tập hợp khơng có phần tử (tập hợp trống) "hình" Cách hiểu "hình" theo nghĩa chứa đựng nội dung "hình" theo nghĩa thơng thường hình tam giác, hình tứ giác, hình tròn Việc hiểu hình theo nghĩa tập hợp giúp ta hiểu thêm số khái niệm khác có liên quan đến lí thuyết tập hợp giao hai hình hay nhiều hình, hợp hình, điểm A thuộc hình H , tập hợp B tập tập C phận tập C Do lập luận dùng kí hiệu lí thuyết tập hợp như: - Điểm A thuộc đường thẳng d kí hiệu: A d - Điểm M giao điểm hai đường thẳng a b kí hiệu: M  a  b , v…v Việc hiểu "hình" tập hợp điểm giúp trừu tượng hóa, khái quát hóa khái niệm mang lại nhiều thuận tiện việc nghiên cứu hình học phép biến hình có điều kiện sử dụng cơng cụ lí thuyết tập hợp để lập luận chứng minh 1.1.2 Phép biến hình Ta kí hiệu tất điểm thuộc mặt phẳng P Khi hình H mặt phẳng tập P kí hiệu: H  P a) Định nghĩa Một song ánh f : P  P từ tập điểm P lên gọi phép biến hình mặt phẳng (Ta kí hiệu P mặt phẳng) Như cho phép biến hình f : P → P cho quy tắc để với điểm M  P, ta tìm điểm M '  f (M hoàn toàn xác ) định thỏa mãn hai điều kiện sau đây: i) Nếu f (M ), f (N hai điểm phân M , N hai điểm P ) biệt P ii)Với điểm M ' thuộc P có điểm M  P, cho f (M )  M ' Điểm f (M ) gọi ảnh điểm M qua phép biến hình f Ngược lại điểm M gọi tạo ảnh điểm f (M qua phép biến hình f ) nói Người ta nói phép biến hình f biến điểm M thành điểm f (M ta có f (M )  M ' ) Nếu H hình P ta xác định tập hợp f (H )   f (M ) / M  H  Khi f (H gọi ảnh hình H qua ) phép biến hình f hình H gọi tạo ảnh hình f (H qua ) phép biến hình f b) Sự xác định phép biến hình Muốn xác định phép biến hình f : P  P ta cần nêu rõ quy tắc f cách sau đây: Quy tắc f xác định phép dựng hình mặt phẳng như: tìm giao điểm hai đường thẳng xác định đó, dựng đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm bán kính cho Quy tắc f xác định biểu thức liên hệ tọa độ (x; y) điểm M ' với tọa độ (x '; y ') điểm M '  f (M ) hệ tọa độ Oxy cho trước Thí dụ phép biến hình f cho hệ thức:  x '  x   y'y Phép biến hình gọi phép đối xứng qua tâm O hệ tọa độ Oxy nói c) Ví dụ Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ thuộc mặt phẳng Δ P Phép biến hình biến điểm M thành điểm M ' qua ∆ gọi phép đối xứng trục ' Đường thẳng ∆ gọi trục đối M xứng Phép đối xứng trục ∆ kí hiệu ZO Ta có Z ( M ) O = M ' (Hình 1) M Hình Ví dụ 2: Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định Phép biến hình biến điểm M thành điểm M ' đối xứng với M qua O gọi phép đối xứng tâm O Điểm O gọi tâm phép đối xứng Phép đối xứng tâm O thường kí hiệu là: ZO Ta có : Z O ( M ) = M ' (Hình 2) O M' M Hình d) Điểm bất động phép biến hình Một điểm M  P điểm bất động (hoặc điểm kép) phép biến hình f f (M )  M Như điểm M điểm bất động phép biến hình f điểm M biến thành qua phép biến hình f Đối với phép đối xứng trục ZO , điểm nằm trục đối xứng ∆ điểm bất động, điểm lại P điểm bất động Đối với phép đối xứng tâm ZO có tâm đối xứng O điểm bất động Đối với phép tịnh tiến   T mà v  0, ta khơng có điểm bất động v   Nếu v = , điểm P bất động ta có phép Tv phép đồng Đối với phép đồng e : bất động H ... 1: Một số kiến thức phép biến hình mặt phẳng Chương 2: Phép co - dãn mặt phẳng 2.1 Định nghĩa 2.2 Các tính chất phép co – dãn 2.3 Áp dụng phép co - dãn để giải toán ... thức phép biến hình mặt phẳng Chương 2: Phép co - dãn mặt phẳng Chương 3: Bài tập đề nghị CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG PHẲNG 1.1 Khái niệm phép biến hình mặt phẳng. .. tình Đinh Thị Kim Thúy em định chọn đề tài cho là: "Phép co - dãn mặt phẳng" Có nhiều tốn, phương pháp giải tốn hay xoay quanh phép co - dãn mặt phẳng bước đầu làm quen với Nguyễn Thị Thùy -1- Lớp