Chéo hóa ma trận

Lời cảm ơn Trớc hết, em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm Khoa toán Tổ hình học với quý thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới cô Đinh Thị Kim Thúy, ngời hớng dẫn tận tình thờng xuyên động viên em trình hoàn thành đề tài Em xin đợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận Do thời gian có hạn, kiến thức thân hạn chế nên nội dung khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đợc đóng góp ý kiến tiếp tục xây dựng đề tài quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Trịnh Thị Lệ Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận đợc hoàn thành kết nghiên cứu tìm hiểu thân, với hớng dẫn tận tình cô Đinh Thị Kim Thúy Khóa luận với đề tài: Chéo hóa ma trận không trùng với kết công trình nghiên cứu khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Trịnh Thị Lệ Mục lục A mở ®Çu .1 1.Lý chọn đề tài 2.Mục đích nghiên cứu 3.Đối tợng nghiên cøu .1 4.NhiƯm vơ nghiªn cøu 5.Phơng pháp nghiên cứu B néi dung .2 Ch¬ng 1: kiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 trËn 1.2 Ma trËn cđa ®ång cÊu tun tÝnh 1.3 C¬ së trùc chuÈn 1.4 .Vectơ riêng giá trị riêng 1.5 Các phơng pháp tính giá trị riêng vectơ riêng tù ®ång cÊu f 11 Ch¬ng 2: chÐo hãa ma trËn .23 2.1 ChÐo hãa ma trËn cđa tù ®ång cÊu 23 2.2 ChÐo hãa trùc giao 29 2.3 Phơng pháp chéo hãa ma trËn 30 2.4 øng dông chÐo hãa ma trËn .46 2.7 Bµi tËp ¸p dông 47 C kÕt luËn 54 Tài liệu tham khảo .55 Chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp A më đầu 1.Lý chn ti Có thể nói Đại số tuyến tính môn học quan trọng sinh viên ngành Toán Nó đợc coi môn học sở cho tất môn toán mà sinh viên đợc học Trong ma trận toán liên quan đến ma trận phần kiến thức bản, gây đợc nhiều hứng thú nội dung môn học Có nhiều vấn đề khó liên quan ®Õn ma trËn, vµ chÐo hãa ma trËn lµ mét vấn đề nh Do em muốn sâu vào tìm hiểu vấn đề Đợc hớng dẫn nhiệt tình cô Đinh Thị Kim Thúy với lòng yêu thích môn học em lựa chọn nghiên cứu đề tài Chéo hóa ma trận 2.Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khắc sâu kiến thức ma trận chéo phơng pháp chéo hóa ma trận 3.Đối tợng nghiên cứu Các vấn đề vỊ chÐo hãa ma trËn 4.NhiƯm vơ nghiªn cøu Nghiªn cứu số kiến thức liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận hai toán chéo hóa ma trận 5.Phơng pháp nghiên cứu Tìm tham khảo tài liệu, phân tích tổng hợp tập minh họa, tham khảo ý kiến giáo viên hớng dẫn Trịnh Thị Lệ K35C SP Toán B néi dung Chơng 1: kiến thức chuẩn bị 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa Cho trờng tùy ý Một bảng gồm mn phần tử aij có dạng: a11 a1 a1n   a2n    amn   a22  a21 am1 am đợc gọi ma trận kiểu (m,n) Mỗi ma trận Vectơ dòng (hay hàng) ai1 đợc gọi thành phần j ain đợc gọi dòng (hay hàng) thứ i ma trận  a1 j    a2 j   Vectơ cột đợc gọi cột thứ j cña ma trËn   a   mj Ta thờng kí hiệu ma trận chữ A,B,Ma trận kí hiệu đơn giản bởi: A=( aij )mn Ta còng nãi A lµ ma trËn có m dòng, n cột Khi m = n ma trận ( aij )mn đợc gọi ma trận vuông cấp n Kí hiệu A=( aij )nn A=( aij )n Tập hợp tất ma trận kiểu (m,n) với phần tử thuộc trờng đợc kí hiệu Mat(mn,) 1.1.2 Các kiểu ma trận a.Ma trận đơn vị Phần tử đơn vị vành Mat(nn,) lµ ma trËn: 1   En =   0 0      Ta gọi En ma trận đơn vị cấp n b.Ma trËn chun vÞ Cho  a11   a21 A=( aij )mn =  Ma trËn a1 a1n   a2n   a22   a a a  m1 m2 mn   a11 a21 am1    a12  a22 am  ( aij )nm =     a amn a1n n đợc gọi ma trËn chun vÞ cđa ma trËn A , kÝ hiệu t A c.Ma trận nghịch đảo Ta gọi ma trận vuông AMat(nn,) ma trận khả nghịch (hay ma trËn kh«ng suy biÕn) nÕu cã ma trËn vu«ng BMat(nn,) ch A.B  B.A  En Khi B đợc gọi ma trận nghịch đảo o cđa A vµ kÝ 1 hiƯu BA lµ d.Ma trận chéo Đờng chéo chứa phần tử a11, a22 , , ann cđa ma trËn vu«ng A=( aij )n đợc gọi đờng chéo ma trận A, đờng chéo lại đợc gọi đờng chéo phụ Ma trận vuông A=( aij )n có tất phần tử nằm đờng chéo đợc gọi ma trận chéo e.Ma trận đối xứng Ma trận A đợc gọi đối xứng t A A g.Ma trËn trùc giao Ma trËn thùc A vuông cấp n đợc gọi ma trận trực giao nÕu t t A A  En , A ma trận chuyển vị A , hay nói cách khác hệ vectơ cột A lµ mét hƯ trùc chn n víi tÝch vô hớng tắc A ma trận trực giao VÝ dô: XÐt ma trËn  cos sin   A=  cos   sin  cos sin  Khi ®ã: At =   At.A =  sin cos ,    cos sin   cos .  sin cos   sin VËy A lµ ma trËn trùc giao  sin   1 =  cos   0  = E2 Nhận xét: Nếu A khả nghịch t AA h.Ma trận đồng dạng ma trận trực giao th× A 8D2D2  1 16  0  D2+D3D2  4 16     0    0 1/8D1,1/8D2,1/8 16 D3    16   0  4D1D2D1 4D1+D3 D1  0   8   0    1  2 0   VËy d¹ng chÐo cđa ma trËn A lµ:   0 1    0 2.4 øng dông chÐo hãa ma trËn ViƯc tÝnh lòy thõa bËc n cđa ma trận vuông A theo công thức nhân ma trận thông thờng việc khó khăn Bây ta tìm công thức tính lũy thừa bậc n ma trận vuông dựa vào ma trận chéo Giả sử cho ma trËn A  Mat(nn,), A cã ma trËn chéo B với BC A.C ta A  C.B.C cã n A  n C.B.C n  C.B.C 1 n  A  C.B C 1 VÝ dơ: Cho ma trËn : 1 Sư dơng tÝnh chÊt nµy ta cã: 1 1 1 1 C.B.C C.B.C , mà C C n E (6) Đây công thức cần tìm A 0    TÝnh An cách chéo hóa ma trận A? Lời giải: Bằng phơng pháp chéo hóa ma trận phần trớc ta tìm đợc ma trận làm chéo hóa ma trËn A lµ: 1  C   0   1  Khi ®ã ma trËn chÐo cđa ma trËn A lµ : 2 0   B=C-1.A.C= 02   0 áp dụng công thức (6) ta tính đợc : n n A  C.B C   0 0n 0    1 0 1 n    1 0 n 2 0n      3n  2n 2n        n 2.7 Bài tập áp dụng Bài 1: Trong ma trận sau ma trận chéo hóa đợc? Nếu đợc đa dạng chÐo? 0 1 A=  ;   1 0   0 0   0 C=  ; 0 0 1   0  1 0 B= 1     0 2   0   D=  0  0 0 0   0 0 Đáp số: Ma trận hóa là: A có dạng chÐo  1 0      0 1   0  0  Ma trËn B cã d¹ng chÐo hãa lµ:     0 2   1 0  1 0   Ma trËn C cã d¹ng chÐo hãa lµ: 0  0     Ma trËn D kh«ng chÐo hóa đợc không tồn sở gồm vectơ riêng Bài 2: Giả sử f tự đồng cấu - không gian vectơ V, có ma trận A Hãy tìm sở V ®Ĩ ma trËn cđa f ®èi víi c¬ së Êy lµ mét ma trËn chÐo :  2  A= 2 2 ;    2     2  B=      2 1 2   ; 1   2  0  1 0  C=    0  0 1  D= 0  3 0 0 1 1 0 Đáp số: §èi víi ma trËn A:{(2,2,1);(-2,1,2);(1,-2,2)} B:{(1,0,1);(-1,0,1);(1,1,0)} C:{(0,0,0,1); (1,1,0,0);(0,0,1,1);(0,1,0,0)} D:{(0,-1,-1,2);(0,0,-1.-1);(-2,3,7,0); (0,1,1,1)} Bài 3: Cho ma trận vuông cấp hai thực hay phức: a b A= Tìm điều kiện cần đủ a, b, c, d để ma trận A c d chéo hóa đợc Hớng dẫn: Đa thức đặc trng ma trận A: A .E a  b  c     a  d    ad  bc d    a  d 2  4 ad bc Trờng hợp 1: A ma trận thực + Nếu > A có hai giá trị riêng phân biệt, A chéo hóa đợc + Nếu = A có giá trị riêng Để A chéo hóa đợc A phải có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính:    x , x  ;    y , ,  x x    Khi ®ã ta cã: y 1 2    y1 y    a  0  x1  bx2  , cx1   d  0  x2     a  0  y1  by2  cy1   d  0  y2  x x Hai hÖ phơng trình trên2 có y1 y2 c d  0  Hay:  a  0 b0 ; nª a  n 0  b  vµ d  0 Suy a = d vµ b = c =  c0 Tõ điều ta dễ dàng suy điều kiện cần đủ để ma trận thực A chéo hóa đợc >0 a = d b = c = Trờng hợp 2: A ma trận phức Tơng tự nh trờng hợp thực ta suy ra: Điều kiện cần đủ để ma trận phức A chéo hóa đợc hoặc a = d b = c = Bµi 4: Cho ma trận thực A, tìm ma trận Q để Q1 A.Q cã d¹ng chÐ o?  0    0     A=  0  1 0    0 Híng dÉn: Trêng hỵp 1: n chẵn (n = 2k) Đa thức đặc trng A lµ: det(A - .En) =  0  1 =(2 - 1 Quy n¹p theo k ta suy ra: D2k = (  1).D 2(k-1)  - 1)k Khi đó: A có hai giá trị riêng 1 = (bội k), 2 = -1 (béi k) Với = ta dễ dàng tìm đợc së trùc chuÈn: Trịnh Thị Lệ 50 K35C SP Toán   1  u  ,0, ,0,   2      u  0, , , ,0   2     1  u  0, , , , ,0 k   2   Víi 2 = -1 ta t×m đợc sở trực chuẩn: u 0, ,  1 , ,0  k 1  2,     u  0,  , , ,0  2k 1   2      u   ,0, , ,0  2k  2   Ma trËn trùc giao Q cÇn tìm là:   Q=     đợc: 0    1         Trờng hợp Khai triển theo dòng thứ k+1và sau tính nh tr2: n lẻ ( n êng hỵp 1, ta = 2k+1) det(A - .En) = D2k+1 = (1 - ).(2 – 1)k VËy A có hai giá trị riêng = (bội k+1), 2 = -1 (béi k) Tõ ®ã suy ma trận trực giao C trờng hợp giống nh trờng hợp chẵn Bài 5: Chứng minh rằng: Hai ma trận đồng dạng có đa thức đặc trng, có giá trị riêng? Hớng dẫn: Giả sử A, B hai ma trận đồng dạng, tồn ma trận khả nghịch T cho B=T-1.A.T Khi ®ã: B  E 1  T A.T  .E T 1  A  .E  A   E T Bµi 6: Cho ma trËn 1 a  1 a  a2 A=  a 2  , với a số thực khác Hãy atÝnh An  a  víi n lµ sè tù nhiên Gợi ý: Ma trận A chéo hóa đợc thành ma trận B= sở gồm hai vectơ (1,a);(-1,1) Ma trận chuyển từ sở cho sang sở gồm hai vectơ riêng nói T =  a  n A  (T B.T n ) 1 1 1    1  T B.T T B.T T B.T 2n1  1 a 1 2n 1 a  n  T B T 1   a 1  a  2n1 a  aa  2n 3 0 2011 Bµi 7: Cho ma A    TÝnh A trËn  1 Híng dÉn:  1 Ma trận A chéo hóa đợc thành ma trận D    Ma trËn lµm  3 chÐo hãa ma trËn A lµ 0 P 1 1  2 0 Do ®ã ta 2011 A  P.D2011.P1   cã: 1     12011   2 0   2   32011    32011 2011   2.3 1 1  0 C kÕt luËn Trong khóa luận tốt nghiệp với đề tài Chéo hóa ma trận em nghiên cứu số vấn đề sau đây: Ma trận ma trận đồng cấu tuyến tính, vectơ riêng giá trị riêng, số phơng pháp tính giá trị riêng vectơ riêng, chéo hóa ma trận, phơng pháp chéo hóa ma trËn, vµ øng dơng cđa ma trËn chÐo Trong khóa luận tốt nghiệp em nêu số nhận xét, ý ví dụ cụ thể để hiểu rõ nội dung khóa luận đề cập đến Mong tài liệu bổ ích cho bạn đọc quan tâm tíi vÊn ®Ị chÐo hãa ma trËn Qua viƯc thùc nghiên cứu đề tài này, em đợc mở rộng tầm hiểu biết vấn đề chéo hóa ma trận làm quen với việc nghiên cứu khoa học Do thời gian có hạn, lần làm quen với nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân hạn chế nên khãa ln cđa em cßn nhiỊu thiÕu sãt Em hy vọng nhận đợc đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc Tài liệu tham khảo Khu Qc Anh – Ngun Anh KiƯt – T¹ MÉn Nguyễn Doãn Tuấn (2001), Bài tập đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Bùi Thanh Hải Trịnh Thanh Đèo Thái Minh Đờng Trần Ngọc Hội, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Trần Trọng Huệ, Giáo trình đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Đoàn Quỳnh (1996), Giáo trình đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Lơng Hữu Thành (1998), Hớng dẫn giải tập đại số tuyến tính, Trờng Đại học Giao thông vận tải Nguyễn Duy Thuận, Bài tập đại số tuyến tính, NXB Đại học S phạ m 7.Phan Hồng Trờng (2001), Giáo trình đại số tuyến tính, Trờng Đại học S phạm Hà Nội Đặng Văn Vinh (2008),Bài giảng môn toán ứng dụng, Trờng Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh ... chọn nghiên cứu đề tài Chéo hóa ma trận 2.Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khắc sâu kiến thức ma trận chéo phơng pháp chéo hóa ma trận 3.Đối tợng nghiên cứu Các vấn đề chéo hóa ma trận 4.Nhiệm vơ nghiªn... gọi ma trận nghịch đảo o A kí hiệu BA d .Ma trận chéo Đờng chéo chứa phần tử a11, a22 , , ann ma trận vuông A=( aij )n đợc gọi đờng chéo ma trận A, đờng chéo lại đợc gọi đờng chéo phụ Ma trận. .. nằm đờng chéo đợc gọi ma trận chéo e .Ma trận đối xứng Ma trận A đợc gọi đối xứng t A A g .Ma trận trực giao Ma trận thực A vuông cấp n đợc gọi lµ ma trËn trùc giao nÕu t t A A En , A ma trận chuyển