Phân rã QR chéo hóa ma trận

PHÂN RÃ QR & CHÉO HÓA MA TRẬN Phân rã QR Phân rã QR (thừa số hóa) phân rã ma trận thành ma trận trực giao (Q) ma trận tam giác (R) Phân tích nhân tử QR sử dụng để giải tốn bình phương nhỏ tuyến tính tìm giá trị riêng Có số phương pháp để thực tính tốn phân rã QR, chẳng hạn quy trình Gram – Schmidt , phép biến đổi Householder phép quay Givens => Nhưng nghiên cứu quy trình Gram - Schmidt Giải thuật Gram-Schmidt • • Cho sở B không gian vector A= 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 Tìm sở trực giao {𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 } ▪ 𝑢1 = 𝑎1 ▪ 𝑢2 = 𝑎2 − ▪ 𝑢3 = 𝑎3 − ▪ ⋮ ▪ 𝑢𝑛 = 𝑎𝑛 − ‫𝑎ۦ‬2 ,𝑢1 ۧ 𝑢1 𝑎3 ,𝑢1 𝑢1 𝑎𝑛 ,𝑢1 𝑢1 𝑢1 𝑢1 − 𝑎3 ,𝑢2 𝑢2 𝑢1 − 𝑎𝑛 ,𝑢2 𝑢2 𝑢2 𝑢2 − 𝑎𝑛 ,𝑢𝑛−1 𝑢𝑛−1 Giải thuật Gram-Schmidt • Từ sở trực giao 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 tìm họ trực chuẩn{𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 } 𝑢 ▪ 𝑞1 = ▪ 𝑞2 = ▪ 𝑞3 = ▪ ▪ ⋮ 𝑞𝑛 = 𝑎1 𝑢2 𝑢2 𝑢3 𝑢3 𝑢𝑛 𝑢𝑛 => Chúng ta thu sở trực giao từ sở thông thường cho không gian vector V Phân rã QR Viết lại ma trận dạng ma trận: 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛 ⋯ 𝑎2 , 𝑞1 𝑎1 , 𝑞1 ⋯ 𝑎2 , 𝑞2 ⋱ = 𝑞1 𝑞2 ⋯ 𝑞3 0 𝑎𝑛−1 , 𝑞𝑛−1 0 0 Hoặc A = 𝑄𝑅 • 𝑎𝑛 , 𝑞1 𝑎𝑛 , 𝑞2 ⋮ 𝑎𝑛 , 𝑞𝑛−1 𝑎𝑛 , 𝑞𝑛 => Chúng ta thu phân rã QR ma trận A trình Gram-Schmidt, Q ma trận trực chuẩn R ma trận tâm giác Ví dụ 1: Cho ma trận 𝐴 = 0 Xét vector 𝑎1 = 1, 0, , 𝑎2 = 2, 0, , 𝑎3 = 4, 5, Tìn sở trực giao 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 : • 𝑢1 = 𝑎1 = 1, 0, • 𝑢2 = 𝑎2 − • 𝑢3 = 𝑎3 − ‫𝑎ۦ‬2 ,𝑢1 ۧ 𝑢1 𝑎3 ,𝑢1 𝑢1 𝑢1 = 0, 0, 𝑢1 − 𝑎3 ,𝑢2 𝑢2 𝑢2 = (0, 5, 0) Ví dụ 1: Tìm sở trực chuẩn {𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 } 𝑎 • 𝑞1 = = 1, 0, • 𝑞2 = 𝑎1 𝑢2 𝑢2 𝑢3 𝑢3 = (0, 0, 1) • 𝑞3 = = (0, 1, 0) 0 𝑄 = 0 ,R = 0 𝐴 = 𝑄𝑅 0 0 = 0 6 0 Ví dụ 2: Cho ma trận 𝐴 = 1 Xét vector 𝑎1 = 0, 0, , 𝑎2 = 1, 1, , 𝑎3 = 2, 2, Tìn sở trực giao 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 : • 𝑢1 = 𝑎1 = 0, 0, • 𝑢2 = 𝑎2 − • 𝑢3 = 𝑎3 − ‫𝑎ۦ‬2 ,𝑢1 ۧ 𝑢1 𝑎3 ,𝑢1 𝑢1 𝑢1 = 1, 1, 𝑢1 − 𝑎3 ,𝑢2 𝑢2 𝑢2 = (0, 0, 2) Ví dụ 2: Tìm sở trực chuẩn {𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 } 𝑎 • 𝑞1 = = 0, 0, • 𝑞2 = • 𝑞3 = 𝑄= 𝑎1 𝑢2 𝑢2 𝑢3 𝑢3 2 2 𝐴 = 𝑄𝑅 =( 2 , , 0) 2 = (0, 0, 1) 0 0 2 = 1 2 2 = 2 2 1 ,R = 2 2 0 2 2 Chéo hóa ma trận Cho ma trận 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛 gọi ma trận chéo hóa tồn ma trận khả nghịch 𝑃 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛 cho 𝑫 = 𝑷−𝟏 𝑨𝑷 với D ma trận chéo Khi ta nói ma trận P làm chéo hóa A D dạng chéo A Thuật toán chéo hóa ma trận Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng 𝜑𝐴 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 Bước 2: Tìm trị riêng 𝜆 𝑖 với số 𝑟𝑖 tương ứng (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘) Bước 3: Với ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 tìm sở không gian riêng tương ứng với trị riêng Bước 4: Đặt P ma trận có cách dựng vector sở thành cột, ta có P làm chéo hóa A 𝑃−1 𝐴𝑃 có dạng chéo Ví dụ 1: Cho ma trận 𝐴 = 0 3−𝜆 𝐴 − 𝜆𝐼 = 6−𝜆 0 5−𝜆 Đa thức đặc trưng: 𝜑𝐴 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 = −(𝑥 − 7)(𝑥 − 5)(𝑥 − 2) Trị riêng 𝜑 𝜆 = ⇔ 𝜆 = 𝑏ộ𝑖 , 𝜆 = 𝑏ộ𝑖 , 𝜆 = 2(𝑏ộ𝑖 1) Vậy A có trị riêng 𝜆1 = 2, 𝜆2 = 5, 𝜆3 = 1 −2 ▪ 𝜆1 = 2: 𝐴 − 𝜆1 𝐼 = 𝐴 − 2𝐼 = → 0 −2 → 𝛼 0 0 0 Ví dụ 1: −2 • 𝜆2 = 5: 𝐴 − 𝜆2 𝐼 = 𝐴 − 5𝐼 = 2 −2 → 0 0 −4 • 𝜆3 = 7: 𝐴 − 𝜆3 𝐼 = 𝐴 − 7𝐼 = −4 2 −1 → 0 −2 0 −2 Lập ma trận 𝑃 = 1 − 1 →𝛼 1 −1 1 →𝛼 0 0 D= 0 2 − 5 15 −1 𝑃 = 0 5 −2 −1 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 = − Ví dụ 1: 2 0 0 0 − 5 15 5 = 0 Ví dụ 2: Cho ma trận 𝐴 = −4 1−𝜆 𝐴 − 𝜆𝐼 = 3−𝜆 −4 − 𝜆 Đa thức đặc trưng: 𝜑𝐴 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 = −(𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) Trị riêng 𝜑 𝜆 = ⇔ 𝜆 = 𝑏ộ𝑖 , 𝜆 = 𝑏ộ𝑖 , 𝜆 = 1(𝑏ộ𝑖 1) Vậy A có trị riêng 𝜆1 = 1, 𝜆2 = 2, 𝜆3 = 2 −4 − ▪ 𝜆1 = 1: 𝐴 − 𝜆1 𝐼 = 𝐴 − 1𝐼 = → → 𝛼 0 0 −4 1 Ví dụ 2: −1 • 𝜆2 = 2: 𝐴 − 𝜆2 𝐼 = 𝐴 − 2𝐼 = 2 −1 → −4 0 −2 • 𝜆3 = 3: 𝐴 − 𝜆3 𝐼 = 𝐴 − 3𝐼 = 2 −2 0 → −2 0 −4 Lập ma trận 𝑃 = −1 0 1 −1 −1 0 →𝛼 0 −1 → 𝛼 −1 −1 Ví dụ 2: 0 D= 0 −2 𝑃−1 = −2 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 = −1 0 1 −1 −1 1 0 0 0 −2 2 0 −2 = −4 0 THANK YOU! CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo, including icons by Flaticon, and infographics & images by Freepik Please keep this slide for attribution ... Chéo hóa ma trận Cho ma trận