ĐỀ tài NGHIÊN cứu KHOA học của SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN cứu KHOA học năm học 2017 2018 một số ỨNG DỤNG THỰC tế của CHÉO HOÁ MA TRẬN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2017-2018 MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA CHÉO HỐ MA TRẬN Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên Tháng 3/2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2017-2018 MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA CHÉO HOÁ MA TRẬN Sinh viên thực hiện: Nguyễn Đức Quang Lớp: D16TO02 Khoa: Khoa học tự nhiên Năm thứ: Số năm đào tạo: 3.5 Sinh viên thực hiện: Lê Nguyễn Viết Tường Lớp: C15TO03 Khoa: Khoa học tự nhiên Năm thứ: Số năm đào tạo: Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Kim Ngân Nam/Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Ngành học: Cử nhân Toán học Nam/Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Ngành học: Cao đẳng sư phạm Tốn UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT Độc lập – Tự – Hạnh phúc THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Thông tin chung: Tên đề tài: MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA CHÉO HOÁ MA TRẬN Sinh viên thực hiện: Nguyễn Đức Quang Lớp: D16TO02 Năm thứ: Nam/Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Khoa: Khoa học tự nhiên Số năm đào tạo: 3.5 Sinh viên thực hiện: Lê Nguyễn Viết Tường Lớp: C15TO03 Khoa: Khoa học tự nhiên Năm thứ: Số năm đào tạo: Ngành học: Cử nhân Toán học Nam/Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Ngành học: Cao đẳng sư phạm Toán Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Kim Ngân Mục tiêu đề tài: Tìm hiểu nghiên cứu số ví dụ thực tế phương pháp chéo hóa ma trận [1, III.5], [2, chap.5] - Hệ động lực tuyến tính rời rạc xk 1  Axk (ví dụ di truyền học [3], mối liên hệ thú bị ăn thịt thú ăn thịt [2, 5.6], ứng dụng dãy Markov dự đoán dân số [2, 4.9], công thức tổng quát dãy Fibonacci [4, chap 10],…) - Hệ động lực tuyến tính liên tục (hệ phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất) (ví dụ mạch điện [2, 5.7], hệ thùng chất lỏng nhà máy hóa chất [ 4, chap 11],…) Tính sáng tạo: Kết đề tài sinh viên tổng hợp, nghiên cứu từ nhiều tài liệu nước TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ, Toán cao cấpTập 2, NXB Giáo dục 1999 [2] David C Lay, Linear algebra and its applications, 4th Edition, Addison-Wesley, 2012 [3] Ali A Dad-del, Genetics, https://www.math.ucdavis.edu/~daddel/linear_algebra_appl/Applications/Genetics/genetics/n ode4.html [4] Philippe Malbos, Analyse Matricielle et algebra lineaire applique, http://math.univlyon1.fr/~malbos/Ens/amalaa11.pdf Kết nghiên cứu: Một báo cáo tổng kết đề tài Đóng góp mặt kinh tế - xã hội, giáo dục đào tạo, an ninh, quốc phòng khả áp dụng đề tài: Đây đề tài hữu ích cho sinh viên ngành Tốn nói riêng sinh viên khoa Khoa học tự nhiên nói chung trình học tập nghiên cứu Là tài liệu tham khảo cho mơn Đại số tuyến tính Tốn cao cấp A2 Công bố khoa học sinh viên từ kết nghiên cứu đề tài (ghi rõ họ tên tác giả, nhan đề yếu tố xuất có) nhận xét, đánh giá sở áp dụng kết nghiên cứu (nếu có): Khơng có Ngày … tháng … năm 2018 Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài (Ký ghi rõ họ, tên) Nhận xét người hướng dẫn đóng góp khoa học sinh viên thực đề tài (phần người hướng dẫn ghi): Ngày … tháng … năm 2018 Xác nhận lãnh đạo khoa Người hướng dẫn (Ký ghi rõ họ, tên) (Ký ghi rõ họ, tên) UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT Độc lập – Tự – Hạnh phúc THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Ảnh 4x6 I SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN: Họ tên: Nguyễn Đức Quang Ngày, tháng, năm sinh: 15/ 10/ 1998 Nơi sinh: TP.HCM Lớp: D16TO02 Khóa: Khoa: Khoa học tự nhiên Địa liên hệ: 45B/3- Đồng An 3- Bình Hồ- Thuận An-Bình Dương Điện thoại: 01204145356 Email: cibunguyen@gmail.com II Q TRÌNH HỌC TẬP (kê khai thành tích sinh viên từ năm thứ đến năm học): * Năm thứ 1: Ngành học: Toán học Khoa: Khoa học tự nhiên Kết xếp loại học tập: Sơ lược thành tích: HKI: HKII: * Năm thứ 2: Ngành học: Toán học Khoa: Khoa học tự nhiên Kết xếp loại học tập: Sơ lược thành tích: HKI: Xác nhận lãnh đạo khoa (Ký ghi rõ họ, tên) HKII: Ngày tháng năm Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài (Ký ghi rõ họ, tên) DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI STT Họ tên MSSV Lớp Khoa Nguyễn Đức Quang 1624601010075 D16TO02 KHTN Lê Nguyễn Viết Tường 1511402090133 C15TO03 KHTN MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 30 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu đề tài Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận phương pháp nghiên cứu Sản phẩm khả ứng dụng Nội dung nghiên cứu Chương I – PHƯƠNG PHÁP CHÉO HÓA MA TRẬN 10 Giá trị riêng – Vectơ riêng 10 1.1 Định nghĩa 10 1.2 Định nghĩa 10 1.3 Định nghĩa 10 1.4 Định nghĩa 11 1.5 Tính chất [1, trang 262] 11 Chéo hóa ma trận 12 2.1 Định nghĩa 12 2.2 Điều kiện chéo hóa 12 2.3 Thuật tốn chéo hóa ma trân 14 Chương II – MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA 16 CHÉO HÓA MA TRẬN 16 Hệ động lực tuyến tính rời rạc [2, 5.6, trang 301] 16 1.1 Bài toán di truyền học [3] 16 1.2 Mối liên hệ thú bị ăn thịt thú ăn thịt [2, 5.6] 19 1.3 Ứng dụng dãy Markov dự đoán dân số [2, 4.9] 20 1.4 Tính số hạng tổng quát dãy Fibonacci 22 Hệ động lực tuyến tính liên tục [2, 5.7] 23 2.1 Ứng dụng mạch điện [2, 5.7] 25 2.2 Hệ thống thùng chất lỏng [4, chương 11] 26 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 PHẦN MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Đại số tuyến tính học phần sinh viên ngành Toán ứng dụng thực tế lớn Các sách tham khảo môn học thư viện trường nói đến ví dụ thực tế Chính vậy, chúng tơi định chọn đề tài “Một số ứng dụng thực tế chéo hóa ma trận” nhằm muốn tìm hiểu ứng dụng thực tế, đặc biệt lĩnh vực Tốn, Lý, Hóa, Sinh, Mơi trường mơn học nói chung phương pháp chéo hóa ma trận nói riêng để gắn lý thuyết với thực hành, tạo hứng thú học tập Mục tiêu đề tài Tìm hiểu nghiên cứu số ví dụ thực tế phương pháp chéo hóa ma trận [1, III.5], [2, chap.5] - Hệ động lực tuyến tính rời rạc xk 1  Axk (ví dụ di truyền học [3], mối liên hệ thú bị ăn thịt thú ăn thịt [2, 5.6], ứng dụng dãy Markov dự đoán dân số [2, 4.9], công thức tổng quát dãy Fibonacci [4, chap 10],…) - Hệ động lực tuyến tính liên tục (hệ phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất) (ví dụ mạch điện [2, 5.7], hệ thùng chất lỏng nhà máy hóa chất [ 4, chap 11],…) Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận phương pháp nghiên cứu - Đối tượng: ví dụ lĩnh vực Tốn, Lý, Hóa, Sinh, Mơi trường sử dụng kiến thức chéo hóa ma trận với tài liệu tham khảo: [1] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ, Toán cao cấpTập 2, NXB Giáo dục 1999 [2] David C Lay, Linear algebra and its applications, 4th Edition, Addison-Wesley, 2012 [3] Ali A Dad-del, Genetics, https://www.math.ucdavis.edu/~daddel/linear_algebra_appl/Applications/Genetics/genetics/n ode4.html [4] Philippe Malbos, Analyse Matricielle et algebra lineaire applique, http://math.univlyon1.fr/~malbos/Ens/amalaa11.pdf - Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp chéo hóa ma trận ứng dụng thực tế - Cách tiếp cận phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, sử dụng phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp để trình bày lại ứng dụng thực tế chéo hóa ma trận Sản phẩm khả ứng dụng Đây đề tài hữu ích cho sinh viên ngành Tốn nói riêng sinh viên khoa Khoa học tự nhiên nói chung q trình học tập nghiên cứu Là tài liệu tham khảo cho mơn Đại số tuyến tính Tốn cao cấp A2 Nội dung nghiên cứu Nội dung đề tài gồm hai chương Ở chương I, nhắc lại sở lý thuyết phương pháp chéo hóa ma trận Ở chương II, đề cập ứng dụng chéo hóa ma trận với hai dạng phương trình động lực tuyến tính rời rạc phương trình động lực tuyến tính liên tục thường gặp lĩnh vực sống Chương I – PHƯƠNG PHÁP CHÉO HÓA MA TRẬN Lý thuyết chương I tham khảo sách [1, chương III] Giá trị riêng – Vectơ riêng 1.1 Định nghĩa Cho f toán tử tuyến tính K – khơng gian vectơ V Số   K gọi giá trị riêng f tồn vectơ u V \ 0 cho f  u   u Vectơ u  gọi vectơ riêng f ứng với giá trị riêng  Ví dụ 1: Xét tốn tử tuyến tính f khơng gian vectơ f: 2  x1; x2   2; 2  Khi với giá trị riêng    5x1  x2 ;8x1  x2  ta có f  2; 2    2; 2  (1.1) nên  2; 2  vectơ riêng f ứng với 1.2 Định nghĩa Cho ma trận A  M n  K  Số   K gọi giá trị riêng A tồn vectơ x   x1 , x2 , , xn   K n \ 0 cho  x1   x1  x  x  A      (1.2)          xn   xn  Vectơ x  gọi vectơ riêng A ứng với giá trị riêng  Để thuận tiện, ta viết đẳng thức (1.2) đơn giản Ax   x, tức xem x  K n  M n.1  K  5  Ví dụ 2: Xét A    ma trận tốn tử tuyến tính f ví dụ   2 2 Khi với u   2;    ta có: A      nên u vectơ riêng A ứng với giá trị  2   2 riêng   1.3 Định nghĩa Cho   K giá trị riêng tốn tử tuyến tính f K – khơng gian vectơ V Khi đó, E     u V | f  u   u không gian V gọi không gian riêng f ứng với giá trị riêng  Ví dụ 3: Theo ví dụ 1, không gian riêng ứng với giá trị riêng   Chương II – MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA CHÉO HÓA MA TRẬN Hệ động lực tuyến tính rời rạc [2, 5.6, trang 301] Giá trị riêng vectơ riêng chìa khóa để hiểu phát triển hệ động lực mô tả với phương trình khác biệt (difference equation) xk 1  Axk Giả sử A ma trận chéo hóa ánh xạ tuyến tính f có n vectơ riêng độc lập tuyến tính v1 , v2 , , tương ứng với giá trị riêng 1 , 2 , , n Để thuận tiện hơn, ta giả sử 1  2   n Khi v1 , v2 , ,  sở n vectơ x0 ban đầu viết dạng x0  c1v1  c2v2   cnvn Khi tính toán trường hợp tổng quát, ta vectơ xi sau: x1  Ax0  c1 Av1   cn Avn  c11v1   cnnvn Tổng quát có: k k xk  c1  1  v1   cn  n  với k  1,2, Mặt khác xk 1  Axk  A2 xk 1   Ak x1  Ak 1 x0 1k 0 0  1   0   k 0 2  k   Mệnh đề 1: Xét ma trận chéo D  Khi D          n   n k  0  Mệnh đề 2: Nếu A chéo hóa tồn ma trận khả nghịch P, ma trận chéo D cho D  P1 AP Ak  PDk P1 Chứng minh Ta có: D  P1 AP nên A  PDP 1 k Do Ak   PDP 1    PDP 1  PDP 1   PDP 1   PDP 1PDP 1 PDP 1  PDk P 1 Vậy với tốn có dạng hệ động lực tuyến tính rời rạc, tính xk ta cần tính Ak theo mệnh đề ta đưa tính D k cách đơn giản 1.1 Bài toán di truyền học [3] Một vấn đề phổ biến lĩnh vực tìm xác suất kiểu gen định sau số năm Giả sử muốn nghiên cứu tỉ lệ kiểu gen hệ thứ n bị có điều kiện tỉ lệ ban đầu Giáo sư Vetar, đại học Davis California phát bị có gen AA sản xuất sữa chất lượng tốt kiểu gen khác Nếu chọn gen AA kết hợp với kiểu gen khác xác suất AA, Aa aa bao nhiêu? Để phân tích vấn đề, ta xét trường hợp :  Nếu lai AA với AA ln cho kiểu gen AA Do xác suất hệ AA , Aa aa tương ứng 1,  Nếu lai Aa với AA có nửa hội để có gen AA nửa gen Aa Do xác suất của AA, Aa aa tương ứng 1/ 2; 1/  Nếu lai aa với AA ln cho kiểu gen Aa Do đó, xác suất kiểu gen AA, Aa aa tương ứng 0, Khung thể qua bảng sau đây: Kiểu gen cha mẹ Kiểu gen AA – AA AA – Aa AA – aa AA 1/ Aa 1/ 0 aa 1 /  Ma trận sau kết quan sát: A  0 /  0 0  0  1  1 /      Trong cột   , 1 /  1  tương ứng AA lai với AA, AA lai với Aa AA lai với       aa Giả sử phân bổ ban đầu bò đồng kiểu gen Do vectơ phân phối ban đầu 1 / 3 x0 cho là: x0  1 / 3 1 / 3 1 1/  1/ 3 1/ 2 Một năm sau đó, phân bổ x1  Ax0  0 1/  1/ 3  1/  0 0 1/ 3   Sau năm phân bổ là: 1 1/  1 1/  1/ 3 3 /  x2  Ax1  A2 x0  0 1/  0 1/  1/ 3  1/  0 0 0 0 1/ 3   Sau n năm phân bổ là: xn  An x0 * Xét A   I  ta giá trị riêng 1  0; 2  ; 3  + Không gian riêng E  1  ứng với giá trị riêng 1  không gian nghiệm hệ  a  b0  a  c  1   b  c   b  2c 2 c   0c    Vậy E  1   c 1; 2;1 | c   Do dim E  1   có sở B1  1; 2;1 + Không gian riêng E  2  ứng với giá trị riêng 2  không gian nghiệm hệ 10 1 a  b0 2 a  b    b  c    c   c   Vậy E  2   b  1;1;0  | b   Do dim E  2   có sở B2   1;1;0  + Không gian riêng E  3  ứng với giá trị riêng 3  không gian nghiệm hệ 1 2 b  a      b  c   b    c   c    Vậy E  3   a 1;0;0  | a   Do dim E  3   có sở B3  1;0;0  Vì khơng gian riêng có số chiều số bội giá trị riêng tương ứng nên A chéo hóa  1  0 0    Do ta có ma trận nghịch đảo P   2  ma trận chéo D  0 /  cho  0  0  D  P 1 AP Theo mệnh đề 2, ta có An  PDn P1 0  1   Suy An   2  0    0   0  1  n  n Suy A  0  2n 0   2n  2n 1    2n 1    1    0 2n 0        0   0  2n  1 1     0   1  0   0   1 1     11 1  1   1  1  2n  2n 1    1  2n       1  1     Như sau n năm phân bổ xn    2n 2n 1     2n  0  1    0            1 Bây n tiến vô  n    n n1 tiến Khi xn tiến tới 2 1    Nghĩa kiểu gen AA kết hợp với kiểu gen cho tỉ lệ AA gần 100%     n tiến vô 1.2 Mối liên hệ thú bị ăn thịt thú ăn thịt [2, 5.6] Trong rừng Redwood California, chuột rừng cung cấp lên đến 80% chế độ ăn cho cú (loài ăn thịt chuột rừng) Ta biểu thị số lượng cú chuột rừng thời gian k O  xk   k  Ok số lượng cú tính theo k tháng Rk số lượng chuột  Rk  nghiên cứu qua k tháng Giả sử: Ok 1  (0,5)Ok  (0, 4) Rk Rk 1   p.Ok  (1,1).Rk Trong đó, p tham số dương cho trước, (0,5)Ok phương trình thể khơng có chuột rừng để làm thức ăn cho cú có nửa cú tồn tháng, số lượng chuột dồi  0,  Rk làm tăng số cú lên Trong phương trình thứ hai, (1,1) Rk biểu thị khơng có cú săn mồi chuột rừng tăng 10% tháng,  p.Ok thể số lượng chuột giảm bị cú ăn thịt Ok  0,5 0,  Ta có xk 1  Axk , với A   xk       p 1,1   Rk  a  Giả sử ban đầu số cú a số chuột gỗ rừng b Khi ta có: x0    b  Giả sử xét p  0,104, ta có: Sau tháng, số cú số chuột khu rừng biểu thị: x1  A.x0 Sau tháng, số cú số chuột khu rừng biểu thị: x2  A.x1  A2 x0 Sau k tháng, số cú số chuột khu rừng biểu thị: xk  Ak x0 * Xét A   I  ta giá trị riêng 1  1,02; 2  0,58 + Không gian riêng E  1  ứng với giá trị riêng 1  1,02 không gian nghiệm hệ 10  0,52 x1  0, x2   x1  x2  13  0,104 x1  0,08 x2    x2  12  10   Vậy E  1  =  x2 ; x2  | x2     13  Do dim E  1  =1 có sở B1  10; 13 + Không gian riêng E  2  ứng với giá trị riêng 2  0,58 không gian nghiệm hệ 0,08 x1  0, x2   x  x2   0,104 x1  0,52 x2   x2  Vậy E  2  =  x2 ; x2  | x2   Do dim E  2  = có sở B2   5; 1 Vì khơng gian riêng có số chiều số bội giá trị riêng tương ứng nên A chéo hóa  1,02 10 5 Từ ta có ma trận chéo D   ma trận khả nghịch P     cho 0,58  13 1 D  P 1 AP Theo mệnh đề 2, ta có Ak  PDk P1 10 5 (1,02) Suy Ak    13 1  k     55  (0,58) k   13  55  11   2  11  k k k k 10 1,02   10  0,58    2 1,02   13  0,58     11  2,6 1,02 k  2,6  0,58 k 13 1,02 k   0,58 k    Vậy sau k tháng số lượng cú chuột biểu thị là: k k k k 10 1,02   10  0,58    a   2 1,02   13  0,58   xk   11  2,6 1,02 k  2,6  0,58 k 13 1,02 k   0,58 k  b    k k  10b  2a 1,02   13a  10b  0,58     11 13b  2,6a 1,02 k   2,6a  2b  0,58 k    Bây k tiến vô  k    tỉ lệ cú chuột 10b  2a 13b  2,6a 1.3 Ứng dụng dãy Markov dự đoán dân số [2, 4.9] Mỗi năm 5% dân số thành phố di chuyển đến vùng ngoại ô, 3% dân từ ngoại ô di chuyển đến thành phố 0,95 0,03 Gọi A    ma trận thể số dân thay đổi di chuyển hai vùng, với 0,05 0,97  5% dân số thành phố rời khu vực ngoại ô 3% dân số vùng rời Hàng thứ A biểu thị thành phố có 95% dân số thành phố 3% dân số vùng ngoại ô đến sống thành phố, hàng thứ hai vùng ngoại có 5% dân số thành phố sinh sống ngoại ô 97% dân số vùng ngoại ô (sao cho theo cột tổng dân số vùng thành phố ngoại ô 100%) Khi ta có: 13 thành phố ngoại  0,95 0,03 thành phố 0,05 0,97  ngoại ô   Giả sử năm 2000 dân số thành phố 600000 người ngoại ô 400000 người Vậy dân số năm 2001 năm 2002 di chuyển khu vực thành phố có 3% dân số ngoại đến sinh sống, cịn khu vực ngoại có 5% dân số thành phố đến sinh sống? Cũng thay đổi dân số hai khu vực ngoại ô thành thị tăng giảm sau k năm?  600000  Gọi x0    dân số ban đầu hai vùng thành phố ngoại ô năm 2000  400000  Năm 2001 dân số hai vùng thành phố ngoại ô biểu thị qua: 0,95 0,03 600000 582000 x1  Ax0     400000   418000 0,05 0,97      Năm 2002 dân số hai vùng thành phố ngoại ô biểu thị qua: 0,95 0,03 0,95 0,03 600000  565440  x2  Ax1  A2 x0       0,05 0,97  0,05 0,97   400000  434560  Sau k năm (kể từ năm 2000) phân bổ là: xk  Ak x0 * Xét A   I  ta giá trị riêng 1  1; 2  0,92 + Không gian riêng E  1  ứng với giá trị riêng 1  không gian nghiệm hệ  0,05 x1  0,03x2   x1  x2   0,05 x1  0,03 x2    x2     Vậy E  1  =  x2 ; x2  | x2         Do dim E  1  = có sở B1   ; 1     + Không gian riêng E  2  ứng với trị riêng 2  0,92 không gian nghiệm hệ 0,03x1  0,03x2   x   x2   0,05 x1  0,05 x2   x2  Vậy E  2  =   x ; x  | x 2   Do dim E  2  = có sở B2  {(1;1)} Vì khơng gian riêng có số chiều số bội giá trị riêng tương ứng nên A chéo hóa  0,6 1 1 Do ta có ma trận nghịch đảo P   ma trận chéo D     cho 1 0,92     D  P 1 AP Theo mệnh đề 2, ta có Ak  PDk P1 14 0,6 1 1 Suy Ak     0    0,625 0,625   0,92    0,625 0,375 k 0,375  0,625  0,92 k 0,375  0,375  0,92 k    k k 0,625  0,625  0,92  0,625  0,375  0,92   Vậy sau k năm (kể từ năm 2000) phân bổ là: 0,375  0,625  0,92 k 0,375  0,375  0,92 k  600000   xk    k k  0,625  0,625  0,92  0,625  0,375  0,92    400000 375000  225000  0,92 k   Hay xk   k 625000  225000  0,92   375000  k Bây k tiến vơ  k     0,92   Khi xk tiến tới   625000   1.4 Tính số hạng tổng quát dãy Fibonacci Dãy Fibonacci  Fn  dãy số nguyên xác định F0  0, F1  Fn1  Fn  Fn1 với n   Fn1  0 1  Fn  Ta có:      Fn  1 1  Fn1   Fn1   Fn  0 1 , A  , X  Đặt X n1    1 1 n  F     Fn   n1  Khi đó: X n1  AX n  A2 X n1   An X1  X n  An X * Tính An Xét det  A   I   ta giá trị riêng 1  1 1 ; 2  2  1   x1  x1  x2   1   + Với 1  ta có:   1 x1 x  1 x   x2    1 Khi khơng gian riêng ứng với giá trị riêng 1         V x1  x1    1; 1     x1;      1  1   sở V   1; 1  ,dimV    2      1  x1  x1  x2   1   + Với 2  ta có:   1 x1 x  1 x   x2    15 Khi không gian riêng ứng với giá trị riêng 2  1        V x1  x1    1; 2     x1;      1  1   sở V   1; 2  ,dimV    2     Vì khơng gian riêng có số chiều số bội giá trị riêng tương ứng nên A chéo hóa 1     T 1 AT   Đặt T    B 1 2   2  1  1n 1  2 n   1  Khi A  TB T   n1   2 n  1 2  2 n1  1 2  1 1  2 1 Ta có: det T  2  1    nên T 1     1  n 2 n   2 1 1  21n  12 n 2 n  1n  1  1 n Suy A       1n1 2 n1   1  21n1  12 n1 2 n1  1n1  n n 1  1  1n   1 2   1 n n 2 n  1n  0 1  2 n  1n  1  21  12       21n1  12 n1 2 n1  1n1  1  2 n1  1n1   Fn  1  2 n  1n  Hay     2 n1  1n1   Fn1  n n  1  1  Suy Fn  n   Suy X n      Hệ động lực tuyến tính liên tục [2, 5.7] Ở mục quan tâm đến phương trình khác biệt tương tự mục liên tục có dạng sau: x1  a11 x1  a12 x2   a1n xn x2  a21 x1  a22 x2   a n xn xn  an1 x1  an x2   ann xn Trong đó, x1 , x2 , , xn hàm khả vi biến t đạo hàm tương ứng x1 , x2 , aij số Ta viết lại hệ dạng phương trình ma trận: x  t   A.x  t  (1) , xn 16  x  t    x1  t    a11     a  x2  t   x2  t     Ở x  t    A   21  , x t              xn  t     an1  x t  n    1 0  Xét x  t   D.x  t  với D     0 Hay xi  t   i xi  t  với i  1,2, 0  , ta có:   n  a12 a22 an a1n  a21    ann   x  t    x t  1   x   t    x  t  2     xn  t   n xn  t  ,n  e it xi  t   i e  it xi  t    e it xi  t       e it xi  t   ci (hằng số)  xi  t   ci eit  x  t   1t 1  0    c1e     0 2t   x2  t   c2e  1t    Khi ta có:   c1 e   cn   ent                   c ent    1  n    xn  t   Trường hợp đề xuất nghiệm phương trình (1) tổ hợp tuyến tính vet với  giá trị riêng A v vectơ riêng A tương ứng với giá trị riêng  Thật vậy, x  vet vào phương trình (1) ta được: vet  Avet hay v  Av Do nghiệm tổng qt phương trình (1) có dạng: x  c1v1e1t  c2v2e2t   cnvnent với v1 , v2 , , vectơ riêng A ứng với giá trị riêng 1 , 2 , , n 17 2.1 Ứng dụng mạch điện [2, 5.7] Cho mạch điện hình vẽ sau: [2, Hình 1, trang 312] Gọi x1 (t ) x2 (t ) điện áp qua tụ điện C1 , C2 thời gian t i, i1 , i2 cường độ dòng điện qua R1 , C1 , C2 Theo Định luật Kirchhoff ta có: (1) i  i1  i2 ( với i1  C1 x1 i2  C2 x2 ) (2) iR1  x1  (3) iR1  x2  i2 R2  Suy x1 (t )  iR1  (i1  i2 ) R1  C1R1 x1 (t )  C2 R1 x2 (t ) x2 (t )  iR1  i2 R2  C1R1 x1 (t )  C2 R1 x2 (t )  C2 R2 x2 (t ) Dẫn đến phương trình ma trận sau:  1     / C  x  t     R R  R C   x t            x2  t    x   t         R C R C 2 2   Giả sử điện trở R1  1   , R2     , tụ điện C1  1 F  , C2   F  giả sử ban đầu có V  tụ C1 V  tụ C2 Chúng ta tìm cơng thức mơ tả điện thay đổi qua x1  t  x2  t  theo thời gian  1        / C1   3   x1  t   R R R C 2    Đặt A    , x t     , ta có: x  t   Ax  t      x t 1        1 R2C2 R2C2   Theo mục chương II, ta có: xi  t   ci vi e t , với i  1, i Do x  t   c1v1e t  c2v2e t với vi vectơ riêng, i giá trị riêng A  i  1,  * Xét A   I  ta giá trị riêng 1  1 ; 2  2 18 + Không gian riêng E  1  ứng với giá trị riêng 1  1 không gian nghiệm hệ    x1  x2   x1  x2   x  x   x2   2    Vậy E  1  =  x2 ; x2  | x2      Do dim E  1  = có sở B1  1;  + Không gian riêng E  2  ứng với trị riêng 2  2 không gian nghiệm hệ 1  x1   x2  x1  x2   2  x2    x1  x2  Vậy E  2  =   x2 ; x2  | x2   Do dim E  2  = có sở B2  {(1;1)} 1  21t  1 Suy x  t   c1   e  c2   e 2t  2 1  c1  c2  5  5  Mà x      nên    4  2c1  c2   4 c  c  c    2c2  c2  c2  2  1t   x1  t   3e  2e 2t   1 2t 1  21t Vậy x  t     e    e hay     1   2 1   x2  t   6e t  2e 2t    2.2 Hệ thống thùng chất lỏng [4, chương 11] Xét ba bể nhà máy hóa học, kết nối với hệ thống đường ống Các bể L1 , L2 , L3 có thể tích V Hệ thống đường ống cho phép trao đổi chất lỏng chứa ba bể Các đường ống dịng chảy chúng trình bày hình 2.2 19 1a 1a L1 L2 1a 2a 1a 2a L3 Hình 2.2 Ví dụ lưu thơng từ bể L1 đến L2 thể tích 1a lít chất lỏng giây, a số cố định Người ta giả định trao đổi chất lỏng bể liên tục Giả sử ba bể L1 , L2 L3 chứa nước Vào thời điểm t  , x (gam) hóa chất đổ vào bể L1 Chúng ta nghiên cứu khuếch tán hóa chất vào thùng khác, đặc biệt để xác định số lượng gam hóa chất bể vào thời điểm Giả sử xi  t  số lượng chất hóa học (tính gam) thùng Li thời điểm t Vào thời điểm t  ta có x1  0  x, x2    0, x3    xi  t  (gam/l) V Tỷ lệ thay đổi số lượng chất hóa học bể Li thể qua: Nồng độ chất hóa học bể Li thời điểm t dxi  t   (Lượng chất vào bể Li giây) – (Lượng chất bể Li giây) dt Do ta có hệ phương trình vi phân:  dx1  t  a a a  x2  t   x3  t   x1  t   V V V  dt  dx2  t  a a a  x1  t   x3  t   x2  t   V V V  dt  dx3  t  a a a  x1  t   x2  t   x3  t   V V V  dt  x1  t    3   x1  t   d   a   Hay x2  t     2   x2  t    dt V  x3  t    3  x3  t    x1  t    3  a  , x t   x t  , ta có: x ' t  Ax t Đặt A           V  x3  t    3 Theo mục chương II, ta có: xi  t   ci vi e t , i  1, 2,3 i Do x  t    ci vi e t với vi vectơ riêng, i giá trị riêng A  i  1, 2,3 i i 1 * Tìm giá trị riêng vectơ riêng A: Ta có đa thức đặc trưng A   I      3   5 20 Giải phương trình đặc trưng A   I  ta giá trị riêng: 1  0, 2  3, 3  5 3a  b  2c  a  2b  c  a  c    + Với 1  ta có hệ phương trình: a  2b  c   5b  5c   b  c 5b  5c  c  2a  b  3c     Do khơng gian nghiệm hệ phương trình c 1;1;1 | c  Suy vectơ riêng ứng với giá trị riêng 1  v1  1;1;1   1;1;1 b  2c  a  b  c  b  2c    + Với 2  3 ta có hệ phương trình: a  b  c   a  c   a  c  2a  b  a  c  c     Do khơng gian nghiệm hệ phương trình c 1; 2;1 | c    1; 2;1 Suy vectơ riêng ứng với giá trị riêng 2  3 v2  1; 2;1 2a  b  2c   a  c 2a  b  2c     b  + Với 3  5 ta có hệ phương trình: a  3b  c    5b  2a  b  2c  c    Do khơng gian nghiệm hệ phương trình c  1;0;1 | c  Suy vectơ riêng ứng với giá trị riêng 3  5 v3   1;0;1    1;0;1 1 1  1     0.t 3t Suy x  t   c1 1 e  c2  2  e  c3   e 5t 1      x  c1  c2  c3   x  Mà x      nên  c1  2c2     c1  c2  c3      x  c   c1  c2  c3  x 6c2  x  x     c1  2c2   c1  2c2  c2  c  c  c  c  3c   1 x  c3   1 1  1 x   x   3t x   5t Vậy x  t   1   2 e    e 1     21 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Còn nhiều ứng dụng chéo hóa ma trận sống mà chúng tơi chưa đề cập đến việc xếp hạng trang web (Pagerank) hay nhận dạng khuôn mặt riêng (Eigenfaces), … Bên cạnh đó, giải phương trình x  Ax gặp trường hợp ma trận A không chéo hóa Chúng tơi mong muốn tiếp tục tìm hiểu việc giải trường hợp thời gian tới 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ, Toán cao cấpTập 2, NXB Giáo dục 1999 [2] David C Lay, Linear algebra and its applications, 4th Edition, Addison-Wesley, 2012 [3] Ali A Dad-del, Genetics, https://www.math.ucdavis.edu/~daddel/linear_algebra_appl/Applications/Genetics/genetics/n ode4.html [4] Philippe Malbos, Analyse Matricielle et algebra lineaire applique, http://math.univlyon1.fr/~malbos/Ens/amalaa11.pdf ... ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2017- 2018 MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA... NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT Độc lập – Tự – Hạnh phúc THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Thông tin chung: Tên đề tài: MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA CHÉO HOÁ MA TRẬN Sinh viên thực hiện: Nguyễn... lại ứng dụng thực tế chéo hóa ma trận Sản phẩm khả ứng dụng Đây đề tài hữu ích cho sinh viên ngành Tốn nói riêng sinh viên khoa Khoa học tự nhiên nói chung q trình học tập nghiên cứu Là tài liệu