ĐỀ tài NGHIÊN cứu KHOA học của SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN cứu KHOA học năm học 2017 2018 một số ỨNG DỤNG THỰC tế của CHÉO HOÁ MA TRẬN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2017-2018 MỘT SỐ ỨN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2017-2018

MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA CHÉO HOÁ MA TRẬN

Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên

Tháng 3/2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2017-2018

MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA CHÉO HOÁ MA TRẬN

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Đức Quang Nam/Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Lớp: D16TO02 Khoa: Khoa học tự nhiên

Năm thứ: 2 Số năm đào tạo: 3.5 Ngành học: Cử nhân Toán học Sinh viên thực hiện: Lê Nguyễn Viết Tường Nam/Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Lớp: C15TO03 Khoa: Khoa học tự nhiên

Năm thứ: 3 Số năm đào tạo: 3 Ngành học: Cao đẳng sư phạm Toán Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Kim Ngân

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

1 Thông tin chung:

Tên đề tài: MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA CHÉO HOÁ MA TRẬN

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Đức Quang Nam/Nữ: Nam Dân tộc: Kinh

Lớp: D16TO02 Khoa: Khoa học tự nhiên

Năm thứ: 2 Số năm đào tạo: 3.5 Ngành học: Cử nhân Toán học

Sinh viên thực hiện: Lê Nguyễn Viết Tường Nam/Nữ: Nam Dân tộc: Kinh

Lớp: C15TO03 Khoa: Khoa học tự nhiên

Năm thứ: 3 Số năm đào tạo: 3 Ngành học: Cao đẳng sư phạm Toán Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Kim Ngân

2 Mục tiêu đề tài:

Tìm hiểu nghiên cứu một số ví dụ thực tế của phương pháp chéo hóa ma trận [1, III.5], [2, chap.5]

- Hệ động lực tuyến tính rời rạc x k1 Ax k (ví dụ về di truyền học [3], mối liên hệ giữa thú bị

ăn thịt và thú ăn thịt [2, 5.6], ứng dụng của dãy Markov về dự đoán dân số [2, 4.9], công thức tổng quát của dãy Fibonacci [4, chap 10],…)

- Hệ động lực tuyến tính liên tục (hệ phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất) (ví dụ về các mạch điện [2, 5.7], hệ các thùng chất lỏng trong một nhà máy hóa chất [ 4, chap 11],…)

3 Tính mới và sáng tạo:

Kết quả của đề tài được sinh viên tổng hợp, nghiên cứu từ nhiều tài liệu nước ngoài

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ, Toán cao cấp-

Tập 2, NXB Giáo dục 1999

[2] David C Lay, Linear algebra and its applications, 4th Edition, Addison-Wesley, 2012

[3] Ali A Dad-del, Genetics,

https://www.math.ucdavis.edu/~daddel/linear_algebra_appl/Applications/Genetics/genetics/node4.html

[4] Philippe Malbos, Analyse Matricielle et algebra lineaire applique, lyon1.fr/~malbos/Ens/amalaa11.pdf

http://math.univ-4 Kết quả nghiên cứu:

Một báo cáo tổng kết đề tài

5 Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc phòng và khả năng áp dụng của đề tài:

Đây sẽ là một đề tài hữu ích cho sinh viên ngành Toán nói riêng và sinh viên khoa Khoa học

tự nhiên nói chung trong quá trình học tập và nghiên cứu Là tài liệu tham khảo cho môn Đại

số tuyến tính cũng như Toán cao cấp A2

6 Công bố khoa học của sinh viên từ kết quả nghiên cứu của đề tài (ghi rõ họ tên tác giả,

nhan đề và các yếu tố về xuất bản nếu có) hoặc nhận xét, đánh giá của cơ sở đã áp dụng các

kết quả nghiên cứu (nếu có):

Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên thực hiện đề

tài (phần này do người hướng dẫn ghi):

Ngày … tháng … năm 2018

Xác nhận của lãnh đạo khoa Người hướng dẫn

UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN:

Họ và tên: Nguyễn Đức Quang

Ngày, tháng, năm sinh: 15/ 10/ 1998

Nơi sinh: TP.HCM

Lớp: D16TO02 Khóa: Khoa: Khoa học tự nhiên

Địa chỉ liên hệ: 45B/3- Đồng An 3- Bình Hoà- Thuận An-Bình Dương

Điện thoại: 01204145356 Email: cibunguyen@gmail.com

II QUÁ TRÌNH HỌC TẬP (kê khai thành tích của sinh viên từ năm thứ 1 đến năm đang

Xác nhận của lãnh đạo khoa Sinh viên chịu trách nhiệm chính

(Ký và ghi rõ họ, tên)

Ảnh 4x6

DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

1 Nguyễn Đức Quang 1624601010075 D16TO02 KHTN

2 Lê Nguyễn Viết Tường 1511402090133 C15TO03 KHTN

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 30

1 Tính cấp thiết của đề tài 9

2 Mục tiêu đề tài 9

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu 9

4 Sản phẩm và khả năng ứng dụng 9

5 Nội dung nghiên cứu 9

Chương I – PHƯƠNG PHÁP CHÉO HÓA MA TRẬN 10

1 Giá trị riêng – Vectơ riêng 10

1.1 Định nghĩa 10

1.2 Định nghĩa 10

1.3 Định nghĩa 10

1.4 Định nghĩa 11

1.5 Tính chất [1, trang 262] 11

2 Chéo hóa ma trận 12

2.1 Định nghĩa 12

2.2 Điều kiện chéo hóa được 12

2.3 Thuật toán chéo hóa ma trân 14

Chương II – MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA 16

CHÉO HÓA MA TRẬN 16

1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc [2, 5.6, trang 301] 16

1.1 Bài toán về di truyền học [3] 16

1.2 Mối liên hệ giữa thú bị ăn thịt và thú ăn thịt [2, 5.6] 19

1.3 Ứng dụng của dãy Markov về dự đoán dân số [2, 4.9] 20

1.4 Tính số hạng tổng quát của dãy Fibonacci 22

2 Hệ động lực tuyến tính liên tục [2, 5.7] 23

2.1 Ứng dụng trong mạch điện [2, 5.7] 25

2.2 Hệ thống thùng chất lỏng [4, chương 11] 26

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Đại số tuyến tính là học phần cơ bản của sinh viên ngành Toán và ứng dụng của nó trong thực tế rất lớn Các sách tham khảo về môn học này ở thư viện trường hiện nay rất ít nói đến những ví dụ thực tế

Chính vì vậy, chúng tôi quyết định chọn đề tài “Một số ứng dụng thực tế của chéo hóa ma trận” nhằm muốn tìm hiểu những ứng dụng thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực Toán, Lý, Hóa, Sinh, Môi trường của môn học này nói chung và phương pháp chéo hóa ma trận nói riêng để gắn lý thuyết với thực hành, tạo hứng thú trong học tập

2 Mục tiêu đề tài

Tìm hiểu nghiên cứu một số ví dụ thực tế của phương pháp chéo hóa ma trận [1, III.5], [2, chap.5]

- Hệ động lực tuyến tính rời rạc x k1 Ax k (ví dụ về di truyền học [3], mối liên hệ giữa thú bị

ăn thịt và thú ăn thịt [2, 5.6], ứng dụng của dãy Markov về dự đoán dân số [2, 4.9], công thức tổng quát của dãy Fibonacci [4, chap 10],…)

- Hệ động lực tuyến tính liên tục (hệ phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất) (ví dụ về các mạch điện [2, 5.7], hệ các thùng chất lỏng trong một nhà máy hóa chất [ 4, chap 11],…)

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

- Đối tượng: các ví dụ trong các lĩnh vực Toán, Lý, Hóa, Sinh, Môi trường sử dụng kiến thức chéo hóa ma trận với các tài liệu tham khảo:

[1] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ, Toán cao cấp-

Tập 2, NXB Giáo dục 1999

[2] David C Lay, Linear algebra and its applications, 4th Edition, Addison-Wesley, 2012

[3] Ali A Dad-del, Genetics,

https://www.math.ucdavis.edu/~daddel/linear_algebra_appl/Applications/Genetics/genetics/node4.html

[4] Philippe Malbos, Analyse Matricielle et algebra lineaire applique, lyon1.fr/~malbos/Ens/amalaa11.pdf

http://math.univ Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp chéo hóa ma trận và các ứng dụng thực tế của nó

- Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, sử dụng phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp để trình bày lại các ứng dụng thực tế của chéo hóa ma trận

4 Sản phẩm và khả năng ứng dụng

Đây sẽ là một đề tài hữu ích cho sinh viên ngành Toán nói riêng và sinh viên khoa Khoa học

tự nhiên nói chung trong quá trình học tập và nghiên cứu Là tài liệu tham khảo cho môn Đại

số tuyến tính cũng như Toán cao cấp A2

5 Nội dung nghiên cứu

Nội dung đề tài gồm hai chương Ở chương I, chúng tôi nhắc lại cơ sở lý thuyết của phương pháp chéo hóa ma trận Ở chương II, chúng tôi đề cập ứng dụng của chéo hóa ma trận với hai dạng phương trình động lực tuyến tính rời rạc và phương trình động lực tuyến tính liên tục thường gặp trong các lĩnh vực của cuộc sống

1

Chương I – PHƯƠNG PHÁP CHÉO HÓA MA TRẬN

Lý thuyết chương I tham khảo sách [1, chương III]

1 Giá trị riêng – Vectơ riêng

1.1 Định nghĩa

Cho f là một toán tử tuyến tính trên K – không gian vectơ V Số K được gọi là một giá

trị riêng của f nếu tồn tại một vectơ u V \ 0  sao cho

Vectơ u0 đó gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng 

Ví dụ 1: Xét toán tử tuyến tính f trên không gian vectơ 2

E   uV f u u là không gian con của V và được gọi là không gian con riêng của

f ứng với giá trị riêng 

Ví dụ 3: Theo ví dụ 1, không gian con riêng ứng với giá trị riêng  1 là

2

Phương trình f A  0 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A

Ví dụ 4: Theo ví dụ 1, trước tiên ta tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc của 2

Bổ sung vào cơ sở này để thu được một cơ sở của V: Bu u1, 2, , ,u u l l1, ,u n

Vì f u 1 o u1, f u 2 o u2, , f u l o l u nên ma trận của f trong cơ sở B có dạng:

Vì f A  nhận o làm nghiệm bội k nên k1, nghĩa là 1dimE o k

Định lí 2: Các vectơ riêng của mỗi toán tử tuyến tính f ứng với các giá trị riêng khác nhau

từng đôi lập thành một hệ độc lập tuyến tính

3

Chứng minh

Giả sử  1, 2, ,m là các giá trị riêng khác nhau tứng đôi một và u u1, 2, ,u m là các vectơ riêng lần lượt ứng với chúng Ta chứng minh hệ u u1, 2, ,u m độc lập tuyến tính bằng phép

quy nạp theo m

Nếu m1 thì hệ gồm một vectơ riêng u1 là độc lập tuyến tính vì u10

Giả sử điều khẳng định của định lí đúng cho mọi hệ gồm k vectơ riêng k 1 và

0

k

k i i i

Một ma trận vuông được gọi là chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo

2.2 Điều kiện chéo hóa được

2.2.1 Định lí [1, Định lí 5.8.1, trang 264]: Điều kiện cần và đủ để ma trận AM n K

chéo hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính

Chứng minh:

Điều kiện cần

Giả sử AM n K chéo hóa được

Gọi f là toán tử tuyến tính trên n

K có ma trận là A trong cơ sở chính tắc

4

Khi đó f cũng chéo hóa được, nghĩa là tồn tại cơ sở Be e1, , ,2 e n của n

Giả sử AM n K có n vectơ riêng độc lập tuyến tính là u k x k1,x k2, ,x kn, k 1, ,n

trong đó u k là vectơ riêng ứng với giá trị riêng k (các k có thể trùng nhau)

Vậy AC CD

Vì các vectơ u u1, 2, ,u n độc lập tuyến tính

Nên rank C n hay detC0, do đó tồn tại ma trận nghịch đảo 1

C Nhân C1 vào bên trái hai vế của đẳng thức ACCD ta có: C AC1 C CD1 D

Vậy ma trận A được chéo hóa bởi ma trận C

2.2.2 Định lí

Ma trận AM n K chéo hóa được khi và chỉ khi A có n giá trị riêng kể cả bội và số chiều

của tất cả không gian con riêng bằng số bội của giá trị riêng tương ứng

Nghĩa là, nếu AM n K có các giá trị riêng phân biệt  1, 2, ,k với số bội tương ứng là



 Khi đó B gồm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A nên theo định lí 2.2.1, A

chéo hóa được

2.3 Thuật toán chéo hóa ma trân

Cho AM n K Để chéo hóa A (nếu có thể), ta có thuật toán sau đây:

Bước 1: Lập đa thức đặc trưng của A và giải phương trình đặc trưng để tìm các giá trị riêng

của A

+ Nếu A không có giá trị riêng nào thì A không chéo hóa được Thuật toán kết thúc

+ Giả sử A có k giá trị riêng đôi một phân biệt  1, 2, ,k với số bội tương ứng là

1, 2, , k

(i) Nếu n1  n2 n k n thì A không chéo hóa được Thuật toán kết thúc

(ii) Nếu n1  n2 n k n thì làm tiếp bước 2

Bước 2: Với mỗi giá trị riêng i tính rank A i n I r i (lúc đó dimE i  n r i), i1, k

6

+ Nếu tồn tại i mà r i  n n i (nghĩa là dimE i n i ) thì A không chéo hóa được Thuật

toán kết thúc

+ Nếu r i  n n i (nghĩa là dimE i n i),  i 1, ,k thì kết luận A chéo hóa được Với mỗi

i

 , tìm một cơ sở của không gian con riêng E i , i1, k Sau đó làm tiếp bước 3

Bước 3: Lập ma trận C mà các cột lần lượt là các vectơ cơ sở của các không gian con riêng

* Tìm các không gian con riêng

+ Không gian con riêng E 1 ứng với giá trị riêng 1 5 là không gian nghiệm của hệ

Do đó dimE 1 2 (bằng số bội) và có một cơ sở là B1  1; 1;0 ; 0;0;1    

+ Không gian con riêng E 2 ứng với giá trị riêng 2 1 là không gian nghiệm của hệ

1 2

1 2

1 2

3 3

Do đó dimE 2 1 (bằng số bội) và có một cơ sở là B2  1;1;0 

Vì các không gian con riêng đều có số chiều bằng số bội của các giá trị riêng tương ứng nên

A chéo hóa được

Chương II – MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA

CHÉO HÓA MA TRẬN

1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc [2, 5.6, trang 301]

Giá trị riêng và vectơ riêng là chìa khóa để hiểu sự phát triển của hệ động lực được mô tả với một phương trình khác biệt (difference equation) x k1  Ax k

Giả sử A là ma trận chéo hóa được của ánh xạ tuyến tính f có n vectơ riêng độc lập tuyến

tính v v1, , ,2 v n tương ứng với các giá trị riêng  1, 2, ,n Để thuận tiện hơn, ta giả sử

1 2 n

     

Khi đó v v1, , ,2 v n là cơ sở của n

và do đó vectơ x0 ban đầu sẽ được viết dưới dạng

k n

1.1 Bài toán về di truyền học [3]

Một vấn đề phổ biến trong lĩnh vực này là tìm xác suất của một kiểu gen nhất định sau một

số năm Giả sử chúng ta muốn nghiên cứu tỉ lệ của 3 kiểu gen ở thế hệ thứ n của bò có điều

kiện tỉ lệ ban đầu

Giáo sư Vetar, tại đại học Davis ở California phát hiện ra rằng những con bò có gen AA có thể sản xuất sữa chất lượng tốt hơn các kiểu gen khác Nếu chỉ chọn gen AA kết hợp với các kiểu gen khác thì xác suất con AA, Aa hoặc aa được là bao nhiêu?

Để phân tích vấn đề, ta sẽ xét 3 trường hợp :

 Nếu lai AA với AA thì luôn cho kiểu gen AA Do đó xác suất của thế hệ con AA , Aa và

aa tương ứng là 1, 0 và 0

 Nếu lai Aa với AA thì con sẽ có một nửa cơ hội để có gen AA và một nửa gen Aa Do

đó xác suất của của AA, Aa và aa tương ứng là 1/ 2; 1/ 2 và 0

8

 Nếu lai aa với AA thì luôn cho kiểu gen Aa Do đó, xác suất của các kiểu gen AA, Aa

và aa tương ứng là 0, 1 và 0

Khung này được thể hiện qua bảng sau đây:

Kiểu gen của cha mẹ

Kiểu gen của con

 

 

 

 ,

1 / 2

1 / 20

Một năm sau đó, sự phân bổ là 1 0

Sau n năm thì sự phân bổ sẽ là: x n A x n 0

* Xét AI 0 ta được các giá trị riêng 1 0; 2 1; 3 1

2

      + Không gian con riêng E 1 ứng với giá trị riêng 1 0 là không gian nghiệm của hệ 1

a

c c

Vì các không gian con riêng đều có số chiều bằng số bội của các giá trị riêng tương ứng nên

A chéo hóa được

Như vậy sau n năm thì sự phân bổ sẽ là

Nghĩa là kiểu gen AA kết hợp với bất kì kiểu gen nào cũng cho ra tỉ lệ con AA gần 100%

khi n tiến ra vô cùng

1.2 Mối liên hệ giữa thú bị ăn thịt và thú ăn thịt [2, 5.6]

Trong rừng cây Redwood của California, chuột rừng cung cấp lên đến 80% chế độ ăn cho cú

(loài ăn thịt chính của chuột rừng) Ta biểu thị số lượng cú và chuột rừng tại thời gian k bởi

  trong đóO k là số lượng cú được tính theo k tháng và R k là số lượng chuột được

nghiên cứu qua k tháng Giả sử:

1 1

trình thứ hai, (1,1)R k biểu thị rằng nếu không có cú săn mồi thì các con chuột rừng sẽ tăng 10% mỗi tháng, trong khi p O k thể hiện số lượng chuột giảm do bị cú ăn thịt

O x R

 

  

 Giả sử xétp0,104, ta có:

Sau 1 tháng, số cú và số chuột của khu rừng sẽ được biểu thị: x1 A x 0

Sau 2 tháng, số cú và số chuột của khu rừng sẽ được biểu thị: x2  A x 1  A x2 0

Sau k tháng, số cú và số chuột của khu rừng sẽ được biểu thị: x k  A x k 0

* Xét AI 0 ta được các giá trị riêng 1 1,02;2 0,58

+ Không gian con riêngE 1 ứng với giá trị riêng 1 1,02 là không gian nghiệm của hệ

2

100,52 0, 4 0

130,104 0,08 0