Chéo hoá ma trận

Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa tốn, thầy mơn Hình học trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp em thời gian vừa qua Đặc biệt, em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Đinh Thị Kim Thuý tận tình hướng dẫn giúp đỡ em, để em hồn thành tốt khố luận tốt nghiệp q trình học tập Bên cạnh đó, em muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè tạo điều kiện để em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Do điều kiện thời gian có hạn, nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để khóa luận hồn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Đông Nguyễn Thị Quỳnh Đơng K32G Tốn LỜI CAM ĐOAN Khố luận tốt nghiệp kết em thời gian học tập nghiên cứu vừa qua, hướng dẫn cô Đinh Thị Kim Thuý Em xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp đề tài ― Chéo hố ma trận‖ khơng trùng với khoá luận tốt nghiệp khác Ngƣời thực Nguyễn Thị Quỳnh Đông MỤC LỤC A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn B NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Ma trận hạng ma trận 1.1.1 Ma trận 1.1.2 Hạng ma trận 1.2 Vectơ riêng – giá trị riêng 1.2.1 Không gian bất biến 1.2.2 Vectơ riêng – giá trị riêng 1.2.3 Đa thức đặc trưng phép biến đổi tuyến tính 1.2.4 Định lí Cayley – Hamilton, đa thức tối tiểu 1.2.5 Các phương pháp tính giá trị riêng vectơ riêng tự đồng cấu f 1.3 Chéo hóa ma trận tự đồng cấu 1.4 Chéo hoá trực giao 1.4.1 Cơ sở trực chuẩn 1.4.2 Phương pháp trực giao trực chuẩn Gram – Schmidt 1.4.3 Ma trận trực giao Chương BÀI TỐN CHÉO HĨA MA TRẬN 2.1 Bài toán 2.2 Bài toán 2.3 Bài tập C KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chéo hóa ma trận vấn đề lý thú quan trọng Toán học Nó có nhiều ứng dụng chuyên ngành khác tốn học như: Giải tích, Hình afin, Vì đề tài ―Chéo hóa ma trận‖ đề tài hấp dẫn nhiều lớp sinh viên u thích mơn hình học Đặc biệt q trình học tập mơn học giảng chuyên đề, chúng em tiếp thu số kiến thức: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, vectơ riêng giá trị riêng ma trận, sở trực chuẩn, ma trận trực giao,chéo hóa ma trận chéo hóa trực giao…Chính kiến thức tạo cho em niềm say mê mong muốn tìm hiểu kĩ tốn chéo hóa ma trận Vì lý hướng dẫn, giúp đỡ tận tình Đinh Thị Kim Thúy nên em định chọn đề tài: “ Chéo hóa ma trận” Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư lôgic đặc thù môn Khắc sâu tìm hiểu kiến thức chéo hóa ma trận Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số kiến thức sở lí thuyết liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận Nghiên cứu hai tốn chéo hóa ma trận Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp phân tích đánh giá tổng hợp Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu, luận văn gồm chương: Chương 1: Cơ sở lí thuyết Chương 2: Bài tốn chéo hóa ma trận B NỘI DUNG CHƢƠNG CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Ma trận hạng ma trận 1.1.1 Ma trận Định nghĩa 1.1: Cho K trường tuỳ ý Một bảng gồm mxn phần tử aij K (1≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n) có dạng: a a a  12 1n   a a a 2n  22  21     a  a a  m1 m2 mn  11 gọi ma trận kiểu (m,n) Mỗi a gọi thành phần ma ij trận Kí hiệu : A = ( aij )mxn Vectơ dòng ( hay hàng) ai1 ain gọi dòng (hay hàng)  thứ i ma trận A a1j  a   2j  Vectơ cột gọi cột thứ j ma trận A     amj  Khi m = n ma trận ( aij )nxn gọi ma trận vuông cấp n Kí hiệu A= ( aij )nxn Định nghĩa 1.2: Hai ma trận vuông A B Mat(n n, K ) Avà B đồng dạng có ma trận khả nghịch C Mat(n n, K ) ta nói hai ma trận cho -1 B =C AC Định nghĩa 1.3: t Ma trận A gọi đối xứng A = A 1.1.2 Hạng ma trận Định nghĩa 1.4: Cho ma trận A có dạng : a11 A (a ) ij mn  a1 a1n   a2 a2n    a21     a a a m2  m1 mn    Hạng ma trận A hạng hệ vectơ cột a1 , , an  với a1 j    a2 j  a  j  (j=1,…,n)    a Kí hiệu là: r(A) rank(A) Định lí 1.5:   mj  Giả sử ma trận A (aij ) Mat(mn, K) Khi đó, hạng ma trận A cấp cao định thức khác không A Nói rõ hơn, r(A) = k có định thức cấp k A khác định thức cấp lớn k (nếu có) A không Nhận xét: Định thức cấp r A định lí 1.5 gọi định thức sở ma trận A Hệ 1.6: Hạng ma trận hạng vectơ hàng Chú ý: Một ma trận có nhiều định thức sở khác cấp chúng hạng ma trận * Quy tắc tính r(A) định thức: Bước 1: Bằng cách ta tìm định thức Dk cấp k ≠ (1 ≤ k ≤ min{n,m}) Bước 2: Ta tính định thức cấp k + bao Dk (nếu có) + Nếu định thức cấp k + khơng kết luận r(A) = k + Nếu tồn định thức cấp r+1 khác khơng ta tính định thức cấp k + bao Dk+1 ≠ (nếu có) Cứ tiếp tục ta tìm r(A) Ví dụ 1: Tính hạng ma trận sau:  10   A 1     1  12   1 1  1  0 Lời giải: Ta thấy 1 D2   10 Vì D2 ≠ nên xét tiếp định thức cấp bao D2 là: 1 0 D3  1 1 0 Vì D3 ≠ nên xét tiếp định thức cấp bao D3 bao là:   1=   Chuẩn hóa 1  (44, -22, 26) – 12.( 6, -2, 2) + 27.( 1, 0, 0) = ( -1, 2, 2) 1 2  được: e1 ( , , )3 3 Với 2 = 9, xét hệ :  d1.P1  d1.P2  d1.P3 18.d1    99.d 162.d1  2.d2  2.d2 d2 0 d3 0 0  d2 0 2.d3 d3 0  0 9.d1  9.d2  9.d3 Chọn d1 = ta có :d2 = -9, d3 = 18  Vậy vectơ riêng  có dạng :   = 1.C(2) + (-9).C(1) + 18.C(o)   = (44, -22, 26) – 9.( 6, -2, 2) +18.( 1, 0, 0)   = ( 8, -4, 8)  Chuẩn hóa2 1  2 được: e2 ( ,, ) 3  Với 3 = 3, xét d1  hệ: P2   d1.P1  d1.P3  d2 0 d3 0 0 3.d1 3.d2 3.d3 18.d1  99.d1  162.d1  3.d1  3.d2  3.d3 d2 0 d3 0 0 Chọn d1 = 1, ta có :d2 = - 15, d3 = 54  Vậy vectơ riêng  có dạng :   = 1.C(2) + (-15).C(1) + 54.C(o)   = (44, -22, 26) – 15.( 6, -2, 2) + 54.( 1, 0, 0)   = ( 8, 8, -4) 2 1  Chuẩn hóa 3 được: e3 ( , , ) 3    Vậy ( e1 ,e ,e ) sở trực chuẩn gồm toàn vectơ riêng A  Ma trận trực giao làm chéo hóa ma trận A là:   1  2 Q    2  3   1   3   13 Ma trận chéo B là: 6 0    B     0   0 Ví dụ 2: Cho ma trận A, tìm ma trận Q để đưa A dạng đường chéo -1 B=Q A.Q Tìm ma trận B 1  2  A 2  2  Lời giải: Ta có :  1  1   1 2 A2 2  2     2   2  8  8 A3 A.A2 2 42   2        8   8 1    9 88  41 42   8   9 8 42 4241 42 42 41  Ta có : S1 Tr A aii 111 3 i1 S2 Tr  A  S3 Tr  A 2 a 9 9 9 27  i i 3 414141 123  i  Ta có :  P1  P1   S1 P    P.S ) (S     (27 9)  P 9  2    2 2  P    P S (S  3  1 P ) S 3   P   (123 3.27 9.3) 5  3  Vậy đa thức đặc trưng ma trận A : 3 3. 9.5 Các giá trị riêng ma trận A nghiệm phương trình : 3 3. 9.5 0  5   12 0 5     1 (bội 1) (bội 2) Với 1 = 5, xét hệ phương trình : 4.x 2.x   2.x 2.x 0  4.x  x t  x1     2.x 0  x3 x   2.x1  x t2 x 0 t 0   4.x x t   2.x 0 Chọn 1 = ( 1, 1, 1) vectơ riêng ứng với 1 = 5, chuẩn hóa 1  e1     Với , ,   3 2 = 3 = -1 giải hệ (A- E3).x =0 2.x  2.x 0   2.x  2.x 1 2.x  2.x  2.x 2 2.x 0 2.x 0 x x x 0  t x   x  x    t t2 t t1, t2 0 Để tìm sở trực chuẩn không gian riêng ứng với 2 = 3 = -1 ta tìm theo cách: - Cách 1: Cơ sở không gian riêng ứng với 2 = 3 = -1 là:   a (0,1, 1) a (1,0,   1) ; Trực chuẩn hóa Gram- Schmidt hệ {a2 , a3}:   e a (1,0, 1) ;   e ,a    e a  e 3 , e2  e  e (0,1, 1)  (1,0, 1) e ,a ; với 23 e,e 22 = ;  ( 1 ,1, 1 e ) 2   Chuẩn hóa e2 e3 , được:  1  1 2 1  2 ( ,0, ) ; 3 (, , ) 2 - Cách 2: Vectơ riêng có dạng x x1, x2 , x1 x2 , Chọn 6  a2 (1,0, 1) 1   Chuẩn hóa a2 (1,0, ta 2 ( ,0, ) 2 1) 0 (1)    2  Tìm 3 = ( x1, x2, x3) cho thỏa mãn hệ:      ;  1  (2) Giải (1) ta x1 – x3 = x1 – (- x1 – x2) = x2 = - 2.x1  1  1  Kết hợp với (2), chọn x1 = ta : 3 ( , , ) 6 Vậy ma trận trực giao làm chéo hóa ma trận A là:    Q        1 1  Ma trận chéo B là: 0 5   B 0 1  0 1   Ví dụ 3: Cho ma trận thực A:  6  ; 6  1   6 0   0 A   0  1  1   0   0 -1 Hãy tìm ma trận trực giao Q để Q A.Q có dạng chéo Lời giải: * Trường hợp 1: n chẵn (n = 2k) Đa thức đặc trưng A là:   A E n D2 k     0  0   0     0 (do khai triển dòng thứ định thức)      0      1  1.D2.k 1 Quy nạp theo k ta suy D2k    1k Vậy A có hai giá trị riêng  1 (bội k) 2 1 (bội k) Với  1 ta dễ dàng tìm sở trực chuẩn là:   1 u  ,0, ,0,   2    u  0, , ,  ,0  2     u  , ,0  0,0, , , k   2   Với 2 1 ta dễ dàng tìm sở trực chuẩn là:    u1 0,0, , , , k 1 ,     u  0,  , , 2k 1    2  ,0   1   u  , 0, , 0, 2k   2  Vậy ma trận trực giao Q là: 1    1  2  Q       1   1 1   2          * Trường hợp 2: n lẻ (n = 2k+1) Khai triển theo dịng thứ k+1 sau tính trường hợp n chẵn, ta được: A E 1   1k D 2k 1 2k 1 Vậy A có hai giá trị riêng  1 (bội k+1) 2 1 (bội k) Từ suy ma trận trực giao C trường hợp giống n chẵn 2.3 Bài tập Bài 1: Trong ma trận A ma trận chéo hóa được? Nếu -1 tìm ma trận C làm chéo hóa A tìm ma trận B biết B = C A.C 3 i    A 0 i 3   A  ;    b  2    c A  2  0 1 1    1   3 1  1  A  3 1    a A chéo hóa : 1 2 1  C  ; B         1 5    b A chéo hóa và: 0 C   i i   0 ;    c Khơng chéo hóa d Khơng chéo hóa Bài 2: 3 Cho f : R → R xác định bởi: 1 0  B 0 i 0     0 i  0  0  3  1  Gợi ý: 1   f ( x1, x2, x3) = (4.x1 – 5.x2 + 2.x3, 5.x1 – 7.x2 + 3.x3, 6.x1 – 9.x2 + 4.x3) tìm sở R để sở ma trận f có dạng chéo tìm ma trận chéo Gợi ý: Ta có ma trận A sở tắc R là: 4  A  5  2  Cơ sở là: 1  6  7     (1,1,1);  3(1,1,0); (1,0, 3)và ma trận chéo là: 1 0    C 0    0  Bài 3: Chứng minh ma trận vng A giao hốn với tất ma trận vng cấp chéo hóa Gợi ý: - Giả sử A ma trận vuông cấp n - Vì A giao hốn với tất ma trận vuông cấp n nên A giao 1  0 hoán với ma trận chéo B, với B =    0   0  0   n  - Sử dụng tính chất giao hốn suy A có dạng chéo nên A chéo hóa Bài 4: Cho ma trận A : 0      1  ... tìm ma trận khả nghịch C (nếu có ) để C AC ma trận chéo gọi việc chéo hóa ma trận A Nhận xét : Giả sử A ma trận sở V f chéo hóa ma trận A f đồng dạng với ma trận chéo Định nghĩa 1.15: Ma trận. .. chéo Định nghĩa 1.15: Ma trận AMat  n n, K  B Mat  n n, K  đồng dạng với ma trận chéo A gọi ma trận chéo hóa Nếu A chéo hóa ma trận đồng dạng với chéo hóa Định lí 1.16:   Giả sử... cột thứ j ma trận A     amj  Khi m = n ma trận ( aij )nxn gọi ma trận vng cấp n Kí hiệu A= ( aij )nxn Định nghĩa 1.2: Hai ma trận vuông A B Mat(n n, K ) Avà B đồng dạng có ma trận khả