Chuyên đề tọa độ Oxyz không gian lớp 12

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ BÀI 3.1 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT CƠ BẢN I Tọa độ vectơ r r r r r a = a1.i + a2 j + a3 k ⇔ a = ( a ; a2 ; a3 ) r r 2)Tính chất: Cho a = ( a ; a2 ; a3 ) ; b = ( b ; b2 ; b3 ) Ta có: 1)Định nghĩa       a1 = b1 r r  a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 r r a ± b = ( a ±b ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) r ka = ( ka ; ka2 ; ka3 ) , k ∈ ¡ r r r r = (0;0;0), i = ( 1;0;0 ) , j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1) r r r r r r a phương b ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb b ≠ A1 a1 a2 a3 = = ( b1, b2 , b3 ≠ ) ⇔ x b1 b2 b3 ( z A3 A r k rO i r2 r r i = j = k =1 rr r r r r i j = j.k = k i = Ox : trục hoành Oy : trục tung Oz : trục cao r j A2 y ) A′ II Tọa độ điểm: uuuu r r r r Định nghĩa: OM = x.i + y j + z.k ⇔ M ( x; y; z ) Chú ý:  M ∈ ( Oxy ) ⇔ z = 0; M ∈ ( Oyz ) ⇔ x = 0; M ∈ ( Oxz ) ⇔ y =  M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = Tọa độ hình chiếu M lên mặt phẳng ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Oxz ) là: ( x; y;0 ) , ( 0; y; z ) , ( x;0; z )  Tọa độ hình chiếu M lên trục Ox, Oy, Oz là: ( x;0;0 ) , ( 0; y;0 ) , ( 0;0; z ) Tính chất: uuur  AB = ( x B − x A ; yB − y A ; z B − z A )  x + x y + yB z A + zB  ;  M trung điểm AB ⇔ M  A B ; A ÷ 2    x + x + x y + y B + yC z A + z B + zC  ; G trọng tâm ∆ABC ⇔ G  A B C ; A ÷ 3   uuur uuur uuur uuur  A, B, C thẳng hàng ⇔ AB AC phương ⇔ AB = k AC ( k ∈ ¡ ) III Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng r r Cho a = ( a ; a2 ; a3 ) ; b = ( b ; b2 ; b3 ) Ta có: rr  a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 r  a = a12 + a22 + a32 r r  ar ⊥ b ⇔ ar.b = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = rr a b a1b1 + a2b2 + a3b3 r r  cos(a , b ) = r r = a b a1 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) 2 IV Phương trình mặt cầu 1)Dạng 1:Mặt cầu tâm I ( a; b; c ) , bán kính R cóa phương trình: ( x − a ) + ( y – b ) + ( z – c ) = R 2 Chú ý: Phương trình mặt cầu tâm O , bán kính R là: x + y + z = R 2)Dạng 2: Phương trình x + y + z – 2ax – 2by – 2cz + d = thỏa điều kiện a + b + c – d > , phương trình trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) , bán kính R = a + b + c − d V Tích có hướng hai vectơ: r r 1)Định nghĩa: Cho a = ( a ; a2 ; a3 ) ; b = ( b ; b2 ; b3 ) Ta có: r r r r a a a a aa   a, b  = a ∧ b =  , , ÷ = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )    b2 b3 b3 b1 b1 b2  2)Tính chất: r r r r r r r r r r   a, b  ⊥ a;  a, b  ⊥ b   a, b  = − b, a  3)Ứng dụng: r rr r r r  a, b, c đồng phẳng ⇔  a , b  c = r r r r r  a b phương ⇔  a , b  = uuur uuur SY ABCD =  AB, AD  Diện tích hình bình hành ABCD : r uuur uuu  AB, AC  S ∆ABC = Diện tích tam giác ABC :   uuur uuur uuur Thể tích khối hộp ABCD A′D′C ′D′ : VABCD A′B′C′D′ =  AB, AD  AA′ r uuur uuur uuu VABCD =  AB, AC  AD Thể tích khối tứ diện ABCD C B A D D B A B′ A′ C D′ C D B A B A Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền C′ C ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ B CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN Loại 1: TÌM TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ, CỦA ĐIỂM Kiến thức vận dụng r r r r r  Định nghĩa: a = a1.i + a2 j + a3.k ⇔ a = ( a ; a2 ; a3 ) , r r  Tính chất: Cho a = (a ; a2 ; a3 ); b = (b ; b2 ; b3 ) Ta có: r r a ± b = (a ±b ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) , uuuu r r r r OM = x.i + y j + z.k ⇔ M ( x; y; z ) r k a = (ka ; ka2 ; ka3 ) , uuur AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) a1 = b1 r r  a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 VÍ DỤ MINH HỌA r r r r r Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho vectơ a = −i + j − 3k , b = ( 3;0;1) , r r r r c = 2i + j , d = ( 5;2; −3) r r r r a)Tìm tọa độ vectơ: a + b , 3a − 2c r r r r r r b)Tìm tọa độ vectơ: a + b − c ; 3a − 2c + 3d r r r r c)Phân tích vectơ d theo vectơ a ; b ; c Lời giải a)Ta có: r r r r  a = ( −1;1; −3) , b = ( 3;0;1) ⇒ a + b = ( 2;1; −2 ) r r r r  3a = ( −3;3; −9 ) , 2c = ( 4;6;0 ) ⇒ 3a − 2c = ( −7; −3; −9 ) b)Ta có: r r r r r r  a = ( −1;1; −3) , b = ( 3;0;1) , c = ( 2;3;0 ) ⇒ a + b − c = ( 0; −2; −2 ) r r r r r r  3a = ( −3;3; −9 ) , 2c = ( 4;6;0 ) , 3d = ( 15;6; −9 ) ⇒ 3a − 2c + 3d = ( 8;3; −18 ) 5 = − m + 3n + p r r 19 24 r r ⇒ 2 = m + p ⇔ m = ,n = , p = c)Giả sử d = ma + nb + pc  11 11 11 −3 = −3m + n  r 19 r 24 r r Vậy d = a + b + c 11 11 11 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1; −3;1) ; B ( 2;5;1) vectơ uuur r r r OC = −3i + j + 5k a)Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành b)Tìm tọa độ điểm E cho tứ giác OABE hình thang có hai đáy OA ; BE OA = BE uuu r uuuu r uuuu r c)Tìm tọa độ điểm M cho AB + AM = 3CM Lời giải Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền B A C ĐT: 0977802424 D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ a)Gọi D ( x; y; z ) Ta có: uuur uuur  BC = ( −5; −3;4 ) , AC = ( −4;5;4 ) uuur uuur −5 −3 ≠ ⇒ BC , AC không phương −4 uuur5  AD = ( x − 1; y + 3; z − 1)  x − = −5  x = −4 uuur uuur   ABCD hình bình hành ⇔ AD = BC ⇔  y + = −3 ⇔  y = −6 Vậy ( −4; −6;5 ) z −1 = z =   b)Gọi E ( x; y; z ) Ta có: uuu r uuur O  OA = ( 1; −3;1) , OB = ( 2;5;1) uuu r uuur −3 ≠ E ⇒ OA, OB không phương B uuu r5  EB = ( − x; − y; − z ) A 1 = − x uuu r uuu r 13  Từ đề cho ta suy ra: OA = EB ⇔ −3 = 10 − y ⇔ x = , y = , z = 2 1 = − z   13  Vậy E  ; ; ÷ 2 2 c)Gọi M ( x; y; z ) Ta có: uuur uuur  AB = ( 1;8;0 ) ⇒ AB = ( 3;24;0 ) uuuu r uuuu r AM = ( x − 1; y + 3; z − 1) ⇒ AM = ( x − 2;2 y + 6;2 z − ) uuuu r uuuu r CM = ( x + 3; y − 2; z − ) ⇒ 3CM = ( x + 9;3 y − 6;3 z − 15 ) 3 + x − = 3x +  x = −8 uuu r uuuu r uuuu r    AB + AM = 3CM ⇔ 24 + y + = y − ⇔  y = 36 0 + z − = 3z − 15  z = 13   Vậy M ( −8;36;13) Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A ( 1;0;1) , B ( 2;1; ) , D ( 1; −1;1) , C ' ( 4;5; −5 ) Xác định toạ độ đỉnh lại hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Lời giải D′ uuur Gọi C ( x; y; z ) Ta có: AB = ( 1;1;1) ; uuur DC = ( x − 1; y + 1; z − 1) A′ uuur uuur Tứ giác ABCD hình bình hành ⇔ AB = DC x −1 = x = D   y + = ⇔ y = ⇒ C 2;0;2 ( )   z −1 = z = A   uuuur uuur Gọi D′ ( x; y; z ) Ta có: D′C ′ = ( − x;5 − y; −5 − z ) ; DC = ( 1;1;1) Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền C′ B′ C B ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ 4 − x = x = uuuur uuur   Tứ giác DCC ′D′ hình bình hành ⇔ D′C ′ = DC ⇔ 5 − y = ⇔  y = ⇒ D′ ( 3;4; −6 )  −5 − z =  z = −   uuuur uuur Gọi A′ ( x; y; z ) Ta có: A′D ' = ( − x; − y; −6 − z ) ; AD = ( 0; −1;0 ) 3 − x = x = uuuur uuur   Tứ giác ADD′A′ hình bình hành ⇔ A′D′ = AD ⇔ 4 − y = −1 ⇔  y = ⇒ A′ ( 3;5; −6 )  −6 − z =  z = −6   uuuur uuuur Gọi B′ ( x; y; z ) Ta có: A′B′ = ( x − 3; y − 5; z + ) ; D′C ′ = ( 1;1;1) Bài 2: x − = x = uuuur uuuur   Tứ giác A′B′C ′D′ hình bình hành ⇔ A′B′ = D′C ′ ⇔  y − = ⇔  y = ⇒ B′ ( 4;6; −5 )  z + =  z = −5   BÀI TẬP TỰ LUYỆN r r r r Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho vectơ a = −3i + k , b = ( 2m + 3n; m − 3n + 1;5 ) , r r ( m, n ∈ ¡ ) , c = ( 3; −1; ) , d = ( −3; −1; ) r r r a)Tìm tọa độ vectơ: 2c + d − 3a r r b)Tìm m, n cho b = h.a , ( h ∈ ¡ ) r r r r r c)Tìm tọa độ vectơ e cho a + 3c − 2e = d Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A ( 1;1;1) , B ( −1;3; ) , C ( 3;5;3) , Câu D ( 0;2; −5 ) , E ( m;2n − 3;3 p + 1) , ( m, n, p ∈ ¡ ) uuu r uuur a)Tìm tọa độ vectơ: AB + 5CD AFDC b)Tìm tọa độ điểm F tứ uuurcho u uurgiácuuur r hình bình hành m , n , p c)Tìm cho AB + AD − BC = BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM r r r r r [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = −i + j − 3k Tọa độ vectơ a Bài 1: A ( −1;2; −3) B ( 2; −1; −3) C ( −3;2; −1) D ( 2; −3; −1) Lời giải Chọn A Câu r r r r r Theo định nghĩa tọa độ vectơ a = −i + j − 3k ⇔ a = ( −1;2; −3) r r r r [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = j − 5k Tọa độ vectơ a A ( 0; −5;3) B ( −5;3;0 ) C ( 3;0; −5 ) D ( 0;3; −5 ) Lời giải Chọn D r r r r Theo định nghĩa tọa độ vectơ a = j − 5k ⇔ a = ( 0;3; −5 ) Câu r r r [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = j Tọa độ vectơ a A ( 0;0;4 ) B ( 0;4;0 ) C ( 4;0;0 ) D ( 1;4;1) Lời giải Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ Chọn B r r r Theo định nghĩa tọa độ vectơ a = j ⇔ a = ( 0;4;0 ) Câu r r r r r r r [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = 2i + j − 4k ; b = j + 3k Tọa r r r độ vectơ u = a + b A ( 3;4; −1) B ( 3;6; −4 ) C ( 2;4; −1) D ( 2;3; −12 ) Lời giải Chọn C r r r r r Theo đề ta có a = ( 2;3; −4 ) , b = ( 0;1;3) ⇒ u = a + b = ( 2;4; −1) Câu r r r r r r r [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = i − j − 3k ; b = 2i − k Tọa độ r r r vectơ u = 2a − 3b A ( −4;3; −4 ) B ( 8; −4; −9 ) C ( 4;4;3) D ( −4; −4; −3) Lời giải Chọn D r r r r r Theo đề ta có a = ( 1; −2; −3) , b = ( 2;0; −1) ⇒ u = 2a − 3b = ( −4; −4; −3 ) Câu r r r [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( 3; 2;1) , b = ( 1;3; ) , c = ( 0;1;1) r r r r Tọa độ vectơ u = 2a − 3b + c A ( 3; −4; −3) B ( 3;4;3) C ( 4; −3; −3) D ( −4;3;3) Lời giải Chọn A r  2a = ( 6;4;2 )  r r r r r Ta có: 3b = ( 3;9;6 ) ⇒ u = 2a − 3b + c = ( 3; −4; −3) r c = ( 0;1;1) Câu r r [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( 2; −1;1) , b = ( 1; −2; ) , r r c = ( 3; −2;1) Tọa độ vectơ ur = ar − 2b − 3cr A ( 9; −9;4 ) B ( −9;9; −6 ) C ( 9; −4;9 ) D ( −9;9;9 ) Lời giải Chọn B r  a = ( 2; −1;1)  r r r r r Ta có:  2b = ( 2; −4;4 ) ⇒ u = a − 2b − 3c = ( −9;9; −6 )  r 3c = ( 9; −6;3) Câu [2H3-2] Trong không gian với hệ trục r r r b = ( 2m + 1;3 − 2n;1) Tìm m , n , k để b = 2a A m = , n = , k = 4 Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền tọa độ Oxyz , cho r a = ( 3; −1; k − 1) , 5 B m = , n = , k = 2 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ 5 C m = , n = , k = 2 D m = , n = , k = 4 Lời giải Chọn B  m = r  2m + =   a = ( 3; −1; k − 1) r r   ⇒ b = 2a ⇔ 3 − 2n = −2 ⇔ n = Ta có:  r b = ( 2m + 1;3 − 2n;1) 1 = 2k −    k =  Câu r r [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( 2;1;1) , b = ( 3; −1; ) Tìm tọa r r r r r độ vectơ c thỏa: 2c − a + b =  −7  A  ;2; ÷ 2  −5   −1 B  ; −2; ÷    −7 −5  C  ;2; ÷    −1  D  ;2; ÷  2 Lời giải Chọn C 5 r r r r r 1r 3r  Ta có: 2c − a + 3b = ⇒ c = a − b =  − ;2; − ÷ 2 2  r r Câu 10 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( −1;2;3) , b = ( 2; −3;4 ) , ur r ur r c = ( 3;4; −5 ) , d = ( −4;5; −1) Hãy phân tích vectơ d theo vectơ ar, b , cr ur 97 r 59 r 17 r ur 97 r 59 r 17 r A d = a − b − c B d = − a + b + c 96 48 96 96 48 96 ur ur 59 r 97 r 17 r 97 r 17 r 59 r C d = − a + b − c D d = − a + b + c 48 96 96 96 96 48 Lời giải Chọn A  − m + n + p = −4 r r 97 59 17 r r ⇔ 2m − 3n + p = ⇔ m = ,n = − , p = − Giả sử d = ma + nb + pc  96 48 96 3m + 4n − p = −1  Câu 11 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( −1;2;3) , B ( 2; −3;4 ) , uuur r r r OC = 2i − j + k Hãy tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A ( −1;2;2 ) B ( −1;2;1) C ( −1;2;0 ) D ( −1;2;3) Lời giải 0 = x +  x = −1 uuur uuur   Gọi D ( x; y; z ) Ta có: BC = AD ⇔ 0 = y − ⇔  y =  −3 = z −  z =   C B Chọn C A D Vậy D ( −1;2;0 ) Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ uuur r r r Câu 12 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;0;1) , OB = 3i − j − 3k Hãy tìm tọa độ điểm C cho tứ giác ACOB hình bình hành A ( −4;2;2 ) B ( 4; −2; −2 ) C ( 2; −2; −4 ) D ( −2;2;4 ) Lời giải Chọn D  x − = −3  x = − uuur uuur   ⇔ y = Gọi C ( x; y; z ) Ta có: AC = BO ⇔  y = z −1 = z =   O C B A Vậy C ( −2;2;4 ) Câu 13 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;0;1) , B ( 2;1;0 ) , C ( 3; 2;1) Hãy uuuu r uuuu r uuur tìm tọa độ điểm M cho: AM = BM + AC A ( 10;9; ) B ( 9;10; ) C ( 10;9;9 ) D ( 9;2;10 ) Lời giải Chọn A  ( x − 1) = x − + 10  x = 10 uuuu r uuuu r uuur   Gọi M ( x; y; z ) Ta có: AM = BM + AC ⇔ 2 ( y − ) = y − + 10 ⇔  y =  z =   ( z − 1) = z + Vậy M ( 10;9;2 ) Câu 14 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 3;1;1) , B ( 2;1; ) , C ( 2; 2; −1) uuuu r uuuu r uuuu r r Hãy tìm tọa độ điểm M cho: AM − BM + 3CM = A ( 1;2; −12 ) B ( 1; −2;12 ) C ( 2; −4;10 ) D ( −2;4; −10 ) Lời giải Chọn B  x − − ( x − 2) + 3( x − 2) = x = uuuu r uuuu r uuuu r r   Gọi M ( x; y; z ) Ta có: AM − BM + 3CM = ⇔  y − − ( y − 1) + ( y − ) = ⇔  y = −2   z = 12   z − − ( z − ) + ( z + 1) = Vậy M ( 1; −2;12 ) Loại TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Kiến thức vận dụng: r r Cho a = ( a ; a2 ; a3 ) ; b = ( b ; b2 ; b3 ) , ta có rr  a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 r  a = a12 + a22 + a32 r r  ar ⊥ b ⇔ ar.b = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ rr a.b a1b1 + a2b2 + a3b3 r r  cos(a , b ) = r r = a b a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) 2 VÍ DỤ MINH HỌA r r Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho vectơ a = ( 1;2;1) , b = ( 3; −1;2 ) , r r r c = ( 4; −1; −3) , d = ( 3; −3; −5 ) , u = ( 1; m; ) , ( m ∈ ¡ ) r rr r r r r a)Tính a.b , b ( a + 2c ) , a + 2b r rr rr r b)So sánh a b c a.b c r r r r r r c)Tính góc a , b , a + b ,3a − 2c r r r d)Tìm m để u ⊥ b + d r r ° e)Tìm m để ( u , a ) = 60 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Lời giải r r r r r r r a)Tính a.b , b ( a + 2c ) , a + 2b r r rr  a = ( 1;2;1) , b = ( 3; −1;2 ) a.b = 1.3 + ( −1) + 1.2 = r r r r  c = ( 4; −1; −3) ⇒ 2c = ( 8; −2; −6 ) ⇒ a + 2c = ( 9;0; −5 ) r r r b ( a + 2c ) = 3.9 + ( −1) + ( −5 ) = 17 r r r r r  2b = ( 6; −2;4 ) ⇒ a + 2b = ( 7;0;5 ) ⇒ a + 2b = + +52 = 74 r rr rr r b)So sánh a b c a.b c rr r rr  b c = 3.4 + ( −1) ( −1) + ( −3 ) = ⇒ a b c = ( 7;14;7 ) rr r rr  a.b = 1.3 + ( −1) + 1.2 = a.b c = ( 12; −3; −9 ) r rr rr Vậy a b c ≠ a.b c r r r r r r c)Tính góc a , b , a + b ,3a − 2c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r ⇒ cos a ,b = a = 1;2;1 ,  ( ) b = ( 3; −1;2 ) ( ) r r ⇒ a , b ; 70°54′ ( ) 1.3 + 2.( −1) + 1.2 12 + 22 + 12 32 + ( −1) + 22 r r r r r r r r  a + b = ( 4;1;3) , 3a − 2c = ( −5;8;9 ) ⇒ cos a + b ,3a − 2c ( ) = = 21 ( −5 ) + 1.8 + 3.9 42 + 12 + 32 ( −5) + 82 + 15 r r r r ⇒ a + b ,3a − 2c ; 76°57 ' 26 170 r r r d)Tìm m để u ⊥ b + d r r r  b + d = ( 6; −4; −3) , u = ( 1; m;2 ) r r r r r r  u ⊥ b + d ⇔ u b + d = ⇔ − 4m − = ⇔ m = ( ( = ( ) ) ) ( ) Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ r r ° e)Tìm m để ( u , a ) = 60 2m + r r r r = ⇔ 6m + 30 = 4m + ( u , a ) = 60° ⇒ cos ( u , a ) = ⇔ 2 m +  4m + ≥ m ≥ − −12 + 129 ⇔ 2 ⇔m= ⇔  m + 30 = m + ( )  10m + 48m + =  r r r r ° Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a b cho a , b = 120 , ( ) r r r r r r a = 2, b = Tính a + b a − 2b r r2 r r  Ta có: a + b = a + b r r Vậy a + b = ( ) ( r2 r r r  Ta có: a − 2b = a − 2b r r Vậy a − 2b = 13 ( Lời giải r2 r2 r r r r = a + b + a b cos a; b ) )  1 = + + 2.2.3  − ÷ =  2 r2 r2 r r r r = a + b − a b cos a; b ( )  1 = + 36 − 4.2.3  − ÷ = 52  2 Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2; −1;1) , B ( 3;5; ) , C ( 8; 4;3) , D ( −2;2m + 1; −3) a)Tính AB, BC , AC b)Chứng minh tam giác ABC là tam giác vng c)Tìm tọa độ điểm M nằm trục hoành cho MA = MB d)Tìm m cho tam giác ABD vng A e)Tính số đo góc A tam giác ABC Lời giải a)Tính AB, BC , AC uuur  AB = ( 1;6;1) ⇒ AB = 12 + 62 + 12 = 38 uuur  BC = ( 5; −1;1) ⇒ BC = 52 + ( −1) + 12 = 3 uuur  AC = ( 6;5;2 ) ⇒ AC = 62 + ( ) + 22 = 65 ABC là tam giác vuông b)Chứng uuur uuur minh tam giác uuur uuur AB.BC = 1.5 + ( −1) + 1.1 = ⇒ AB ⊥ BC ⇒ ∆ABC vuông B c)Tìm tọa độ điểm M nằm trục hồnh cho MA = MB Ta có: M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 ) MA = MB ⇒ ( − x) + ( −1) + 12 = ( − x) + 52 + 2 ⇔ x − x + = x − x + 38 ⇔ x = 16 Vậy M ( 16;0;0 ) m cho tam giác ABD vuông A d)Tìm uuur uuur AB = ( 1;6;1) , AD = ( −4;2m + 2; −4 ) uuur uuur ∆ABD vuông A ⇒ AB AD = ⇔ −4 + 12m + 12 − = ⇔ m = − Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 10 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ 5  A  −2;8; − ÷ 3  B ( −2;8;5 ) C ( 0;8;5 ) D ( −2;1;5 ) Lời giải Chọn B Điểm E ( x; y; z ) cho A trọng tâm tam giác EBC  x +3+ 1 =  x = −2  y+7+0   ⇒ 5 = ⇔  y = ⇒ E (−2;8;5)  z =  z − −1  =   Câu 36 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 2;0 ) , B ( 3; −2; ) , C ( 2;3;1) Khoảng cách từ trung điểm đoạn AB đến trọng tâm tam giác ABC A B C D Lời giải Chọn A Trung điểm đoạn AB I ( 2;0;1) Trọng tâm tam giác ABC G ( 2;1;1) ⇒ IG = ( − 2) + ( − ) + ( − 1) = 2 Câu 37 [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;2;5 ) , B ( 3;4;1) , C ( 2;3; −3 ) , G trọng tâm tam giác ABC M điểm thay đổi mp ( Oxz ) Độ dài đoạn GM ngắn A B C D Lời giải Chọn C Trọng tâm tam giác ABC G ( 2;3;1) M ∈ mp ( Oxz ) thỏa GM ngắn M hình chiếu G lên mp ( Oxz ) ⇒ M ( 2;0;1) Khi GM = ( − 2) + ( − 3) + ( − 1) = 2 Câu 38 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 3; 2;1) , B ( 3; 2;5 ) , có I trung điểm AB Khoảng cách từ I đến trục Oz A 14 B 15 C 13 D Lời giải Chọn C Trung điểm đoạn AB I ( 3;2;3) Hình chiếu I lên trục Oz H ( 0;0;3) d ( I , Oz ) = IH = ( − 3) + ( − ) + ( − ) = 13 Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 2 17 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ Loại CHỨNG MINH HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, KHÔNG CÙNG PHƯƠNG Kiến thức vận dụng: r r r a1 a2 a3 r r r = = ( b1, b2 , b3 ≠ ) a phương b ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb b ≠ ⇔ b1 b2 b3 ( ) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 8: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho vectơ r r r b = ( 3m + 2;3;6 − n ) Tìm m, n để a , b phương r a = ( 3;2;5 ) , Lời giải r r Ta có: a = ( 3;2;5 ) , b = ( 3m + 2;3;6 − n ) 3m + − n r r = = ⇔ m = ,n = − a , b phương Ví dụ 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1; 2;3) , B ( 2;1;1) , C ( 0; 2; ) a)Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác b)Tìm tọa độ điểm M ∈ mp ( Oyz ) cho điểm A, B, M thẳng hàng Lời giải uuur uuur a)Ta có: AB = ( 1; −1; −2 ) , AC = ( −1;0;1) uuur uuur −2 ≠ ⇒ AB, AC không phương −1 Vậy A, B, C đỉnh tam giác b)Tìm tọa độ điểm M ∈ mp ( Oyz ) cho điểm A, B, M thẳng hàng Ta có M ∈ mp ( Oyz ) ⇒ M ( x;0; z ) uuuu r uuur AM = ( x − 1; − 2; z − 3) , AB = ( 1; −1; −2 ) uuur uuuu r x − −2 z − A, B, M thẳng hàng ⇔ AB, AM phương ⇔ ⇔ x = 3, z = −1 = = −1 −2 Vậy M ( 3;0; −1) Bài 6: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A ( 1;1;1) , B ( 2; 4;3) , C ( 3;7;5 ) , D ( −1;5; ) a)Chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng b)Chứng minh điểm A, B, D không thẳng hàng c)Đường thẳng AB cắt mặt phẳng ( Oxy ) điểm M Tìm tọa độ điểm M d)Tìm tọa độ điểm N mp ( Oyz ) cho tứ giác ABDN hình thang có AB DN cạnh đáy BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM r Câu 39 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( 2;1;1) , r b = ( m; 2n − 4; ) phương Khi giá trị m, n A m = 4, n = B m = 4, n = −3 Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 18 C m = −4, n = D m = −4, n = −3 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ Lời giải Chọn A r m = m 2n − r = ⇔ a = ( 2;1;1) , b = ( m; 2n − 4; ) phương = 1 n = Câu 40 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Bộ điểm sau thẳng hàng A A ( 1;2;3) , B ( −1;3;2 ) , C ( 2;1;2 ) B D ( 2;3;1) , E ( 1;1;1) , F ( 3;2;3) C G ( 0;1;1) , I ( 2;1;2 ) , H ( 1;1;2 ) D M ( 1;1;1) , N ( 2;3; −1) , P ( 3;5; −3 ) Lời giải Chọn D uuuu r uuur uuur uuuu r MN = ( 1;2; −2 ) , MP = ( 2;4; −4 ) ⇒ MP = 2MN ⇒ M , N , P thẳng hàng Câu 41 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 2;1) , B ( 3; −2; ) , điểm M thuộc mp ( Oxy ) cho điểm A, B, M thẳng hàng Tọa độ điểm M A (−1;6;0) B (−1; −1;0) C (0;0;4) D (0;0;3) Lời giải Chọn A uuur uuuu r Gọi M ( x; y;0 ) ∈ mp ( Oxy ) Ta có: AB = ( 2; −4;1) , AM = ( x − 1; y − 2; −1) uuuu r uuur  x = −1 x − y − −1 A, B, M thẳng hàng ⇔ AM , AB phương ⇔ = = ⇔ M ( −1;6;0 ) −4 y = Loại TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU Phương pháp:  Phương trình: ( x − a ) + ( y – b ) + ( z – c ) = R phương trình mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) , bán 2 kính R Phương trình x + y + z – 2ax – 2by – 2cz + d = thỏa điều kiện a + b + c – d > , phương trình trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) , bán kính R = a + b + c − d VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình sau phương trình mặt cầu, phương trình mặt cầu tìm tâm bán kính mặt cầu 2 a) ( x − ) + ( y + 3) + z = b) x + y + z − x + y − z + = c) x + y + z − x + y + 21 = Lời giải a)Phương trình ( x − 2) + ( y + 3) + z = có dạng ( x – a) + ( y − b ) + ( z − c ) = R nên 2 phương trình mặt cầu có tâm I ( 2; −3;0 ) bán kính R = b)Phương trình x + y + z − x + y − z + = có dạng x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d với a = 1, b = −2, c = 3, d = ⇒ a + b2 + c − d = 13 > Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 19 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ Vậy phương trình cho phương trình mặt cầu có tâm I ( 1; −2;3) bán kính R = 13 c)Phương trình x + y + z − x + y + 21 = ⇔ x + y + z − x + y + = có dạng 23 x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d với a = 1, b = − , c = 0, d = ⇒ a + b + c − d = − < Vậy phương trình cho khơng phải phương trình mặt cầu Ví dụ 11: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm m để phương trình sau phương trình mặt cầu 2 a) x + y + z − 2mx + ( m + 1) y − z + = 2 b) x + y + z − ( m − 3) x − 4mz + = Lời giải 2 a)Phương trình x + y + z − 2mx + ( m + 1) y − z + = có dạng x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d với a = m, b = − ( m + 1) , c = 2, d = ĐK: a + b + c − d > ⇔ m + ( m + 1) + 22 − > ⇔ 2m + 2m + > ⇔ m ∈ ¡ 2 2 b)Phương trình x + y + z − ( m − 3) x − 4mz + = có dạng x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d với a = m − 3, b = 0, c = 2m, d =  m<  ĐK: a + b + c − d > ⇔ ( m − 3) + ( 2m ) − > ⇔ 5m − 6m + > ⇔  m >  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Oxyz Trong khơng gian với hệ trục ,tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau: 2 a) x + y + z − x + y − z + = b) x + y + z − x + y − z + = Trong không gian với hệ trục Oxyz , tìm m để phương trình sau phương trình mặt cầu có bán Bài 7: Bài 8: 2 2 2 2 kính nhỏ nhất: x + y + z − 2mx + ( m − ) y + z + = BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 42 [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình ( x –1) + ( y + ) A ( −1;2;1) 2 + ( z + 1) = có tọa độ tâm B ( 1; −2; −1) C ( 1; −2;1) D ( 1;2;2 ) Lời giải Chọn B Theo lý thuyết mặt cầu có phương trình ( x – a) + ( y − b ) + ( z − c ) = R có tâm I ( a; b; c ) 2 Suy mặt cầu có phương trình ( x –1) + ( y + ) + ( z + 1) = có tâm I ( 1; −2; −1) 2 Câu 43 [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình ( x –1) + ( y + ) + ( z + 1) = có đường kính A 2 B C D 81 Lời giải Chọn B Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 20 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ Theo lý thuyết mặt cầu có phương trình ( x –1) + ( y + ) + ( z + 1) = có bán kính R = 2 Vậy đường kính mặt cầu R = Câu 44 [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình x + y + z – x + y + = Mặt cầu có tâm I , bán kính R  I ( 1; −3;0 ) B   R = 11  I ( 2; −6;0 ) A   R = 40  I ( −1;3;0 ) C   R =  I ( 1; −3;0 ) D   R = Lời giải Chọn D Theo lý thuyết mặt cầu có phương trình x + y + z – x + y + = có tâm I ( 1; −3;0 ) , bán kính R = 12 + ( −3) + 02 − = Câu 45 [2H3-2] Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất giá trị thực tham số m 2 2 để phương phương trình x + y + z + ( – m ) x – ( m + 1) z – 2m + 2m + = phương trình mặt cầu A m > C m < B m < D m = Lời giải Chọn C Phương trình x + y + z + ( – m ) x – ( m + 1) z – 2m + 2m + = có dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a = m − 3, b = 0, c = m + 1, d = −2m + 2m + 2 2 ĐK: a + b + c − d > ⇒ ( m − 3) + ( m + 1) − ( −2m + 2m + ) > ⇔ m < 2 Câu 46 [2H3-2] Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, có tất số tự nhiên tham 2 2 số m để phương phương trình x + y + z + ( m − ) y – ( m + 3) z + 3m + = phương trình mặt cầu A B C D Lời giải Chọn C Phương trình cho có dạng: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a = − m, b = m + 3, c = 0, d = 3m + ĐK: a + b + c − d > ⇒ ( − m ) + ( m + 3) − ( 3m + ) > 2 ⇔ − m + 2m + > ⇔ − < m < + ; m ∈ ¥ ⇒ m ∈ { 0,1, 2,3} Vậy có số tự nhiên thỏa yêu cầu Câu 47 [2H3-3] Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất giá trị thực tham số m 2 2 để phương phương trình x + y + z + ( m + ) x – ( m − 3) z + m − = phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ A m ∈ ¡ B m = C m = D m = Lời giải Chọn D Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 21 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ Phương x + y + z + ( m + ) x – ( m − 3) z + m − = trình có dạng: x + y + z − 2ax – −2by − 2cz + d = với a = − ( m + ) , b = 0, c = m − 3, d = m − ĐK để pt cho pt mặt cầu: a + b + c − d > ⇒ ( m + ) + ( m − 3) − ( m − 1) > 2 ⇔ m − 2m + 14 > ⇔ m ∈ ¡ ( m − 1) Khi bán kính mặt cầu R = m − 2m + 14 = + 13 ≥ 13 Do R = 13 m = Loại VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương pháp: Cách 1:  Tìm tâm I ( a; b; c )  Tìm bán kính R  Kết luận phương trình mặt cầu: ( x − a ) + ( y – b ) + ( z – c ) = R 2 Cách 2:  Gọi phương trình mặt cầu có dạng: x + y + z – 2ax – 2by – 2cz + d = (1) , a + b2 + c2 – d >  Từ giả thiết tìm a, b, c, d  Thay a, b, c, d vào phương trình (1) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: a)Có đường kính AB với A ( 4; − 3; ) , B ( 2; 1; 3) b)Có tâm C ( 3; −3;1) qua điểm A ( 5; −2;1) c)Có tâm thuộc mặt phẳng ( Oxy ) qua điểm A ( 1; 1; 1) , B ( 2; − 1; − ) , C ( −1; 0; ) d)Có tâm A ( 2; 4; − ) tiếp xúc với trục Oz Lời giải a)Có đường kính AB với A ( 4; − 3; ) , B ( 2; 1; )  Tâm I mặt cầu trung điểm AB ⇒ I ( 3; −1;5 ) 1 2  Bán kính mặt cầu R = AB = ( − ) + ( + 3) + ( − ) = 2 2 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x – 3) + ( y + 1) + ( z – ) = b)Có tâm C ( 3; −3;1) qua điểm A ( 5; −2;1)  Tâm mặt cầu C ( 3; −3;1) ( − 3) + ( −2 + 3) + ( − 1) = 2 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x – 3) + ( y + 3) + ( z –1) = c)Có tâm thuộc mặt phẳng ( Oxy ) qua điểm A ( 1; 1; 1) , B ( 2; − 1; − ) , C ( −1;  Bán kính mặt cầu R = CA = Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 22 2 0; ) ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ  Gọi phương trình mặt cầu dạng: x + y + z – 2ax – 2by – 2cz + d = , a + b + c − d > Mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) ∈ mp ( Oxy ) ⇒ c = ( 1) Mặt cầu qua điểm A ( 1; 1; 1) , B ( 2; − 1; − ) , C ( −1; 0; ) , suy ra: 3 − 2a − 2b − 2c + d =  14 − 4a + 2b + 6c + d = ( ) 5 + 2a − 4c + d =  Từ ( 1) ( ) ta tìm được: a = 12 32 , b = − , c = 0, d = − 10 5 24 32 = Vậy PTMC là: x + y + z − x + z − 5 d)Có tâm A ( 2; 4; − ) tiếp xúc với trục Oz Tâm mặt cầu A ( 2; 4; − ) Gọi H hình chiếu A lên trục Oz ⇒ H ( 0;0; −5 ) Bán kính mặt cầu R = AH = ( − 2) + ( − ) + ( −5 + ) = 20 2 Vậy PTMC là: ( x – ) + ( y − ) + ( z + ) = 20 Bài 9: 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: a)Có tâm A ( 2; −3;1) tiếp xúc với mặt phẳng ( Oyz ) b)Tiếp xúc với mp ( Oxz ) , có tâm thuộc trục tung có bán kính c)Qua điểm A ( 2; 1; 3) , B ( 3; 0; ) , C ( 1; 3; ) , D ( 0; 4; 1) d)Có tâm I ( 2;5;1) cắt mp ( Oyz ) theo đường tròn có bán kính r = BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 48 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 2;3) , B ( 3;0;1) Phương trình mặt cầu đường kính AB A ( x + ) + ( y + 1) + ( z + ) = B ( x – ) + ( y –1) + ( z – ) = C ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = D ( x – ) + ( y –1) + ( z – ) = 12 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Tâm I mặt cầu trung điểm AB ⇒ I ( 2;1;2 ) Bán kính mặt cầu R = 1 AB = 2 ( − 1) + ( − ) + ( − 3) = 2 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x – ) + ( y –1) + ( z – ) = 2 Câu 49 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu tâm A ( 1;2;3) qua O Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 23 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ A ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 14 2 C ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 B x + y + z = 14 2 2 D x + y + z = Lời giải Chọn A Tâm mặt cầu A ( 1;2;3) Bán kính mặt cầu R = OA = 12 + 22 + 32 = 14 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 14 2 Câu 50 [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 2; 3) Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp ( Oxy ) A ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = B ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = C x + y + ( z − 3) = D ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Tâm mặt cầu A ( 1;2;3) Hình chiếu A lên mp ( Oxy ) H ( 1;2;0 ) Bán kính mặt cầu R = d ( A, ( Oxy ) ) = AH = Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 Câu 51 [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho B ( 1;1; −1) Phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với trục hoành A ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) = B ( x − 1) + y + z = C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) = D ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) = 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn C Tâm mặt cầu B ( 1;1; −1) Hình chiếu B lên Ox H ( 1;0;0 ) Bán kính mặt cầu R = d ( B, Ox ) = BH = Vậy phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) = 2 Câu 52 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;1; ) , B ( 1;1; −1) , C ( −1;0;1) Phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm nằm mp ( Oxz ) 2 A x + y + z − x − z − = 2 2 C x + y + z − x + z − = 2 Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 24 2 B x + y + z − x + z + = 2 2 D x + y + z − y − z − = 2 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ Lời giải Chọn A  Gọi phương trình mặt cầu dạng: x + y + z – 2ax – 2by – 2cz + d = , a + b + c − d > Mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) ∈ mp ( Oxz ) ⇒ b = ( 1) Mặt cầu qua điểm A ( 1;1;2 ) , B ( 1;1; −1) , C ( −1;0;1) , suy ra: 6 − 2a − 2b − 4c + d =  3 − 2a − 2b + 2c + d = ( )  + 2a − 2c + d =  Từ ( 1) ( ) ta tìm được: a = , b = 0, c = , d = − 2 Vậy PTMC là: x + y + z − x − z − = 2 Câu 53 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;1; ) , B ( 1;1; −1) , C ( −1;0;1) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính A 3 B 3 C 3 D Lời giải Chọn A  Gọi phương trình mặt cầu dạng: x + y + z – 2ax – 2by – 2cz + d = , a + b + c − d > Mặt cầu qua điểm O, A ( 1;1;2 ) , B ( 1;1; −1) , C ( −1;0;1) , suy ra: d = 6 − 2a − 2b − 4c + d = −1  ⇔ a = ,b = ,c = , d =  2 3 − 2a − 2b + 2c + d =  + 2a − 2c + d = Vậy bán kính MC là: R = a + b + c − d = 3 Câu 54 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu có bán kính 3, có tâm tia Oy′ tiếp xúc với mp ( Oxz ) có tọa độ tâm A (0;3;0) B (0; −3;0) C (0;0;0) D (0; −3;0) ∨ (0;3;0) Lời giải Chọn B vì tâm mặt cầu tia Oy′ ⇒ I ( 0; a;0 ) , a < Mặt cầu tâm I ( 0; a;0 ) , tiếp xúc với mp ( Oxz ) ⇒ R = d ( I , ( Oxz ) ) = a  a = (l ) Theo đề R = ⇒ a = ⇒   a = −3 (n) Vậy tâm MC là: I (0; −3;0) Câu 55 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 25 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ x + y + y – x + y – z + = cắt mp ( Oxz ) theo đường tròn có bán kính A B C 2 D Lời giải Chọn C Mặt cầu có tâm I ( 1; −1;3) , bán kính I ( 1; −1;3) , R = + + − =  d ( I , ( Oxz ) ) = R ( Oxz ) Bán kính đường tròn là: r = R − d = 2 2 I d H (C ) Câu 56 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) = 36 cắt trục Oz điểm A, B Tọa độ trung điểm đoạn AB A (0;0; −1) 2 B (0;0;1) C (1;1;0) D (−1; −1;0) Lời giải Chọn A Mặt cầu có tâm I ( 1;1; −1) Gọi H trung điểm AB Ta có H hình chiếu I lên trục Oz ⇒ H ( 0;0; −1) Câu 57 [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình x + y + z – x – y + z – = cắt trục Oy điểm A, B Độ dài đoạn AB A 11 B 11 C 11 D 11 Lời giải Chọn C Mặt cầu có tâm I ( 2;3; −1) , bán kính R = + + − ( −2 ) = Gọi H trung điểm AB Ta có H hình chiếu I lên trục Oy ⇒ H ( 0;3;0 ) IH =  AB = AI = R − IH = 11 Loại TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Kiến thức vận dụng: r r Định nghĩa: Cho a = ( a ; a2 ; a3 ) ; b = ( b ; b2 ; b3 ) Ta có: r r r r a a a a aa  a, b  = a ∧ b =  , ,    b2 b3 b3 b1 b1 b2 Tính chất: r r r r r r  a , b  ⊥ a;  a , b  ⊥ b     r r r r r  ⇔ a phương a b  , b =  ÷ = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )  r r r r  a , b  = −  b, a      r rr r r r a, b, c đồng phẳng ⇔  a , b  c = Ứng dụng: uuur uuur SY ABCD =  AB, AD  Diện tích hình bình hành ABCD : Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 26 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ r uuur uuu  AB, AC    uuur uuur uuur VABCD A′B′C′D′ =  AB, AD  AA′ r uuur uuur uuu VABCD =  AB, AC  AD D S ∆ABC = Diện tích tam giác ABC : Thể tích khối hộp ABCD A′D′C ′D′ : Thể tích khối tứ diện ABCD : C B A B A D B′ A′ C C′ D′ B A B A C D C VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 13: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm: A ( 1;0;1) , B ( −1;1;2 ) , C ( −1;1;0 ) , D ( 2; −1; −2 ) a) Chứng minh rằng: A, B, C, D đỉnh tứ diện b) Tính thể tích tứ diện ABCD Suy độ dài đường cao tứ diện qua đỉnh A Lời giải a)Chứng minh rằng: tứ diện uuur uuur A, B, C, D u4uuđỉnh r AB = ( −2;1;1) , AC = ( −2;1; −1) , AD = ( 1; −1; −3) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ⇒  AB, AC  = ( −2; −4;0 ) ⇒ AD  AB, AC  = ≠ ⇒ AB, AC , AD không đồng phẳng Vậy A, B, C , D đỉnh tứ diện b)Tính độ uuur thể tích tứ diện uuur ABCD Suy uuu r dài đường cao tứ diện qua đỉnh A  AB = ( −2;1;1) , AC = ( −2;1; −1) , AD = ( 1; −1; −3) uuur uuur r uuur uuur uuu ⇒  AB, AC  = ( −2; −4;0 ) ⇒ VABCD = AD  AB, AC  = (đ.v.t.t) uuur uuur Ta có: BC = ( 0;0; −2 ) , BD = ( 3; −2; −4 ) uuur uuur uuur uuur ⇒  BC , BD  = ( −4; −6;0 ) ⇒ S ∆BCD =  BC , BD  = 13 3V 13 VABCD = d ( A; ( BCD ) ) S ∆BCD ⇔ d ( A; ( BCD ) ) = ABCD = S∆BCD 13 Ví dụ 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( −3;5;15 ) , B ( 0;0;7 ) , C ( 2; −1;4 ) , D ( 4; −3;0 ) Chứng minh AB CD cắt Lời giải uuur uuur uuur uuur Ta có: AB = ( 3; −5; −8 ) , AC = ( 5; −6; −11) , AD = ( 7; −8; −15 ) , CD = ( 2; −2; −4 ) uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur ⇒  AB, AC  = ( 7; −7;7 ) ⇒ AD  AB, AC  = ⇔ AB, AC , AD đồng phẳng ⇔ A, B, C , D thuộc mặt phẳng ( 1) Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 27 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ uuu r uuur uuur uuur r   AB, CD  = ( 4; −4;4 ) ≠ ⇔ AB, CD không phương ( ) Từ ( 1) ( ) suy ra: AB CD cắt BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM r r Câu 58 [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( 3; 2;1) , b = ( 3; 2;5 ) Khi đó: r r  a, b  có tọa độ   A ( 8; −12;5 ) B ( 8; −12;0 ) C ( 0;8;12 ) D ( 0;8; −12 ) Lời giải Chọn B r  a = ( 3;2;1) r r ⇒  a , b  = ( 2.5 − 2.1;1.3 − 3.5;3.2 − 3.2 ) = ( 8; −12;0 ) r b = ( 3;2;5 ) r r Câu 59 [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( 1; −2;1) , b = ( 2; −4; ) Khi đó: r r  a, b  có tọa độ   A ( 0;0;0 ) B ( 1;1;1) C ( 2;8;2 ) D ( 1; −2;1) Lời giải Chọn A r  a = ( 1; −2;1) r r ⇒  a , b  = ( 0;0;0 ) r b = ( 2; −4;2 ) r r r r Câu 60 [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a , b , c ≠ Chọn đáp án sai r r r r r r r r r r r r r A  a, b  a = B  a, b  c số C  a, b  số D  a, b  = ⇔ a ⊥ b Lời giải Chọn D r r r  ar, b  = ⇔ ar , b phương đáp án D sai   Câu 61 [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 2;0 ) , B ( 3; −2; ) , C ( 2;3;1) Tọa uuu r uuur độ vectơ  AB, AC  A ( 6;0; −6 ) B ( 6; −6;0 ) C ( −6;0;6 ) D ( −6;6;0 ) Lời giải Chọn C uuur  AB = ( 2; −4;2 ) uuur uuur   ⇒ u u u r   AB, AC  = ( −6;0;6 ) AC = 1;1;1 ( )  r r Câu 62 [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a = ( 1; 2;1) , b = ( m; m − 1; ) , r r r r c = ( −1; −1;3) Tìm m để  a, b  ⊥ c A m = B m = −2 Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền C m = 28 D m = −8 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ Lời giải Chọn B r  a = ( 1; 2;1) r r ⇒  a , b  = ( − m; m − 2; −m − 1)  r b = ( m; m − 1; ) r r r r r r   a, b  ⊥ c ⇔  a, b  c = ⇔ m − − m + − 3m − = ⇔ m = −2 r r Câu 63 [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = ( 1; 2;1) , b = ( m; m − 1; ) Tìm m r r để  a, b  = 26 m = A  m = B m = 6−5 6+5 ∨m= 3 m = C  m = D m = 6−2 6+2 ∨m= 3 Lời giải Chọn D r  a = ( 1; 2;1) r r ⇒  a , b  = ( − m; m − 2; −m − 1)  r b = ( m; m − 1; ) r r   a, b  = 26 ⇔ 6−2 6+2 ∨m= 3 r r Câu 64 [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , a = ( m;1;0 ) , b = ( 2; m − 1;1) , r r c = ( 1; m + 1;1) Tìm m để vectơ ar, b, cr đồng phẳng A m = −1 ( − m) + ( m − ) + ( −m − 1) = 26 ⇔ m = B m = C m = −1 D m = −2 Lời giải Chọn A r  a = ( m;1;0 ) r r ⇒  a , b  = ( 1; −m; m − m − )  r b = ( 2; m − 1;1) r r r r r r  a , b, c đồng phẳng ⇔  a, b  c = ⇔ − m − m + m − m − = ⇔ m = − Câu 65 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A ( 1;2;1) , B ( 2;1;3) , C ( 3;2;2 ) Diện tích tam giác ABC A 11 B C 13 D 14 Lời giải Chọn D uuur  AB = ( 1; −1;2 ) uuur uuur uuu r uuur ⇒  AB, AC  = ( −1;3;2 ) ⇒  AB, AC  = 14   uuur  AC = ( 2;0;1) Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 29 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ  S ∆ABC = uuu r uuur 14  AB, AC  =   Câu 66 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A ( 1;2;1) , B ( 2;1;3) , C ( 3;2;2 ) Độ dài chiều cao AH tam giác A 21 B 42 C 14 14 D Lời giải Chọn B uuur  AB = ( 1; −1;2 ) uuur uuur uuu r uuur ⇒  AB, AC  = ( −1;3;2 ) ⇒  AB, AC  = 14   uuur  AC = ( 2;0;1)  S ∆ABC = r uuur uuu 14  AB, AC  =   2 uuur 2S 42  BC = ( 1;1; −1) ⇒ BC = ⇒ AH = ∆ABC = BC Câu 67 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A ( 1;2;1) , B ( 2;1;3) , C ( 3;2;2 ) , D ( 1;1;1) Thể tích tứ diện ABCD A B C D Lời giải Chọn C uuur  AB = ( 1; −1;2 ) uuur uuur uuur ⇒  AB, AC  = ( −1;3;2 ) , AD = ( 0; −1;0 )   uuur  AC = ( 2;0;1) uuu r uuur uuur uuur uuur uuur   AB, AC  AD = −3 ⇒ VABCD =  AB, AC  AD = Câu 68 [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A ( 1;2;1) , B ( 2;1;3) , C ( 3;2;2 ) , D ( 1;1;1) Độ dài chiều cao DH tứ diện A 14 B 14 14 C 14 D 14 14 Lời giải Chọn D uuur  AB = ( 1; −1;2 ) uuur uuur uuur ⇒  AB, AC  = ( −1;3;2 ) , AD = ( 0; −1;0 )   uuur  AC = ( 2;0;1) uuu r uuur uuur uuur uuur uuur   AB, AC  AD = −3 ⇒ VABCD =  AB, AC  AD =  S ∆ABC = uuu r uuur 3V 14 14  AB, AC  = ⇒ DH = ABCD =   S∆ABC 14 Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 30 ĐT: 0977802424 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ Câu 69 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.EFGH với A ( 1;1;1) , B ( 2;1;2 ) , E ( −1;2; −2 ) , D ( 3;1;2 ) Thể tích khối hộp A B C D Lời giải Chọn A uuur  AB = ( 1;0;1) uuur uuur uuur ⇒  AB, AD  = ( 0;1;0 ) , AE = ( −2;1; −3)   uuur  AD = ( 2;0;1) uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur   AB, AD  AE = ⇒ VABCD.EFGH =  AB, AD  AE = Câu 70 [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.EFGH với A ( 1;1;1) , B ( 2;1;2 ) , E ( −1;2; −2 ) , D ( 3;1;2 ) Khoảng cách từ A đến mp ( DCGH ) A B C D Chọn B uuur  AB = ( 1;0;1) uuur uuur uuur ⇒  AB, AD  = ( 0;1;0 ) , AE = ( −2;1; −3)   uuur  AD = ( 2;0;1) uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur   AB, AD  AE = ⇒ VABCD.EFGH =  AB, AD  AE = uuur  AB = ( 1;0;1) uuur uuur ⇒  AB, AE  = ( −1;1;1)   uuur  AE = ( −2;1; −3) uuu r uuur ⇒ S ABFE =  AB, AE  = = S DCGH H Lời giải  VABCD.EFGH = d ( A, ( DCGH ) ) S DCGH ⇒ d ( A, ( DCGH ) ) = Sưu tầm biên soạn: Đặng Ngọc Hiền 31 G E F C D A B VABCD.EFGH = S DCGH ĐT: 0977802424 ... THEO CHUYÊN ĐỀ Chọn B r r r Theo định nghĩa tọa độ vectơ a = j ⇔ a = ( 0;4;0 ) Câu r r r r r r r [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = 2i + j − 4k ; b = j + 3k Tọa r r r độ. .. TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA THEO CHUYÊN ĐỀ uuur r r r Câu 12 [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;0;1) , OB = 3i − j − 3k Hãy tìm tọa độ điểm C cho tứ giác ACOB hình bình... Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho vectơ a = −i + j − 3k , b = ( 3;0;1) , r r r r c = 2i + j , d = ( 5;2; −3) r r r r a)Tìm tọa độ vectơ: a + b , 3a − 2c r r r r r r b)Tìm tọa độ vectơ: