Danh sách tập ĐSTT số cho K65, khoa Toán-Tin Giảng viên : Trần Đức Anh Mail: ducanh@hnue.edu.vn Tháng 9/2015 Tập hợp, ánh xạ Bài tập Cho A, B, C tập tập X Chứng minh đẳng thức sau: (i) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), (ii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), (iii) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C), (iv) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C) Bài tập Cho f : X → Y ánh xạ hai tập hợp Cho A, B ⊂ X C, D ⊂ Y Chứng minh (i) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) (ii) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B) Đẳng thức có xảy khơng? (iii) f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D) (iv) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D) (v) f −1 (C − D) = f −1 (C) − f −1 (D) f g Bài tập Cho X −→ Y −→ X ánh xạ tập hợp thỏa mãn g ◦ f = Id Chứng minh f đơn ánh g toàn ánh Bài tập (i) Tồn hay không song ánh từ N → Z? (ii) Cho < n ∈ N cố định Tồn hay không song ánh từ N → N × {1, 2, , n}? (iii) Tồn hay không song ánh từ N → N × N? (iv) Tồn hay không song ánh từ N → Q? Bài tập Cho X tập hợp f : X → P(X) ánh xạ từ X vào tập lũy thừa X Chứng minh f khơng thể tồn ánh Bài tập Xét tập M với quan hệ ∼ sau Xác định xem quan hệ tương đương lớp tương đương (i) M = R, a ∼ b ⇐⇒ |a| = |b| (ii) M = R, a ∼ b ⇐⇒ |a − b| < (iii) M = Z, a ∼ b ⇐⇒ a − b p với p số nguyên cố định cho trước Bài tập Chứng minh ánh xạ exp : R → R+ cho exp(x) = ex song ánh, với R+ tập tất số thực dương Bài tập Cho a < b số thực Ký hiệu (a, b) tập tất số thực x thỏa mãn x−a song ánh a < x < b Chứng minh ánh xạ f : (a, b) → R+ cho f (x) = b−x Bài tập Cho a < b số thực Chứng minh nửa khoảng [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} có lực lượng continuum Bài tập 10 Chứng minh X tập hợp có n phần tử tập lũy thừa P(X) có 2n phần tử Bài tập 11 Chứng minh tập sau tập đếm Z, Q, N × N Bài tập 12 Một số α ∈ C gọi số đại số nghiệm đa thức không tầm thường (tức không đồng không) với hệ số số hữu tỷ Chứng minh tập số đại số tập đếm Từ suy tồn số khơng đại số (số gọi số siêu việt) Bài tập 13 Chứng minh F G tập tập E (F ⊂ G ⇔ F ∪ G = G) (F ⊂ G ⇔ F ∪ G = E) Bài tập 14 Cho f : X → Y g : Y → Z ánh xạ Cho A tập tập X C tập tập Z Chứng minh (a) g(f (A)) = (g ◦ f )(A) (b) (g ◦ f )−1 (C) = f −1 (g −1 (C)) Bài tập 15 Nếu A tập có n phần tử B tập có m phần tử tập A × B có phần tử? Tập lũy thừa P(A) có phần tử? Bài tập 16 Cho A tập tập E Ta định nghĩa hàm đặc trưng f A E if x ∈ A Chứng minh if x ∈ A hàm sau hàm đặc trưng tập hợp mà ta xác định sau: sau: f nhận giá trị {0, 1} ⊂ N thỏa mãn f (x) = (a) − f, (b) f g and (c) f + g − f g Bài tập 17 Cho A, B C tập tập E thỏa mãn A∩B = A∩C A∪B = A∪C Chứng minh B = C Bài tập 18 Hỏi điều sau có khơng? P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)? 2 P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B)? f g Bài tập 19 Cho X −→ Y −→ X ánh xạ cho g ◦ f = Id, với Id ánh xạ đồng Chứng minh f đơn ánh g toàn ánh Bài tập 20 (i) Tồn hay không song ánh từ N → Z? (ii) Cho n số nguyên dương Tồn hay không song ánh từ N → N × {1, 2, , n}? (iii) Tồn hay không song ánh từ N → N × N? (iv) Tồn hay khơng song ánh từ N → Q? Bài tập 21 Cho X tập hợp f : X → P(X) ánh xạ từ X vào tập lũy thừa X Chứng minh f khơng tồn ánh