Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I Các kiến thức thƣờng dùng Tính chất : * a b b c a c *a b a c b c * a b c d a c b d * Nếu c a b ac bc Nếu c a b ac bc *a b a b a b2 *a b a n bn *a b Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a a a với số thực a * * x a * x a a x x a ( Với a a x ( Với a a Bất đẳng thức Cô - Si a) Đối với hai số không âm a Cho a 0, b , ta có b 0) 0) ab Dấu '=' xảy a b b) Đối với ba số không âm Cho a 0, b 0, c , ta có a b c abc Dấu '=' xảy a b c) Đối với n số không âm (n  N*, n  2) Với n số thực không âm a1 , a2 , , an , ta có a1  a   a n n  a1 a a n (*) n Dấu xảy a1  a2   an Chú ý 1: i) (*)  a1  a2   an  n n a1 a2 an ii)  a  a2   an  (*)  a1 a2 an    n   n Một số kết thƣờng dùng 4.1 Với hai số thực x y, ta ln có a) x  y  xy; b) ( x  y )  xy; c) 2( x  y )  ( x  y ) Dấu xảy x=y 4.2 Với ba số thực x, y, z ta ln có a) 3( x  y  z )  ( x  y  z ) ; b) x  y  z  xy  yz  zx; c) ( x  y  z )  3( xy  yz  zx) Dấu xảy x=y=z II MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI Phƣơng pháp biến đổi tƣơng tƣơng c 1.1 Cách 1: Dùng tính chất biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng sau 2 +) A  B  C  ) a1  a   a n  với a1  0,a  0, ,a n  Ví dụ 1: Cho hai số thực a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau cho biết đẳng thức xảy a) ab a2 b2 a b) ab c)  a  b2  c    a  b  c  b 2 d)  a  b  c    ab  bc  ca  2 Lời giải a2 a) Ta có ab b2 a2 b2 b) Bất đẳng thức tương đương với 2ab a b)2 (a 0 Đẳng thức a b b ab  a  2ab  b  4ab   a  b   (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy a b c) BĐT tương đương  a  b  c   a  b  c  2ab  2bc  2ca   a  b    b  c    c  a   (đúng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy a b c d) BĐT tương đương a  b  c  2ab  2bc  2ca   ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca     a  b    b  c    c  a   (đúng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 2: Cho năm số thực a,b, c, d,e Chứng minh a b2 c2 d e2 a(b c d e) Lời giải Ta có : a b2 c d e a(b c d e) a2 a2 a2 a2 ( ab b ) ( ac c ) ( ad d ) ( 4 4 a a a a ( b)2 ( c)2 ( d )2 ( e)2 đpcm 2 2 a b c d e Đẳng thức xảy Ví dụ 5: Cho a, b, c số thực Chứng minh a) a b4 4ab b2 c) a b2 ab 2 ab a b2 Lời giải a) BĐT tương đương với a b2 2 ab e2) 0 b) a a2 ae b4 b a2 2a 2b 2a 2b 4ab (đúng) Đẳng thức xảy a b 4 b 2b b) BĐT tương đương với a a 2b 2ab a4 b4 2a 2b 2a 2b 4ab a4 4a (a b2 )2 2(a b)2 (a 1)2 (đúng) Đẳng thức xảy a b 2ab a b c) BĐT tương đương với a b a2 a 4a b 2 b2 b2 1 b2 a2 b 4b a 2 a b b a2 a2 a2 b2 2ab 0 (đúng) Đẳng thức không xảy 1.2 Cách 2: Dùng tính chất biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng sau a1 a  a n  với a1  0,a  0, ,a n  Ví dụ 3: Cho số thực x Chứng minh x Lời giải Bất đẳng thức tương đương với x 4x 4x   x  1  x3  x  x  3    x  1  x  x  3  2   x  1  x  1  1  (đúng với số thực x )   Đẳng thức xảy x  1 Ví dụ 4: Cho ab Chứng minh : a b 1 ab Lời giải 1 1 ( ) ( ) Ta có 2 a b 1 ab a 1 ab b 1 ab ab a ab b a b b a a b b a a 2b b 2a ( ) ab (1 b )(1 a ) (a 1)(1 ab) (b 1)(1 ab) ab b a (a b)2 (ab 1) (1 ab)(1 b )(1 a ) a b (a b)(ab 1) ab (1 b )(1 a ) Nhận xét : Nếu b 1 BĐT có chiều ngược lại : y3 b) x 3x Lời giải x y y3 x y x2 y x y2 3y b) Bất đẳng thức tương đương x y3 x x2 y x Đẳng thức xảy x Theo câu a) ta có x ab 3y xy y 2 a) Bất đẳng thức tương đương x x 1) a b y Chứng minh rằng; Ví dụ 6: Cho hai số thực x , y thỏa mãn x a) x (Do ab y xy 0 (đúng với x y2 x x y 3x y 3xy y ) ĐPCM y y3 3x 3y y , ta cần chứng minh y2 x y 3x BĐT (*) 3y x y x y x y x y x y 2 (*), Thật vậy, 12 x y 16 x y 0 (đúng với x y ) Đẳng thức xảy không xảy Phƣơng pháp: Xuất phát từ bất đẳng thức biết dùng tính chất để suy bất đẳng thức (BĐT) cần chứng minh 2.1 Cách 1: Từ bất đẳng thức chiều biết, cộng theo vế để bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ : Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a b2 c2 2(ab bc ca) Lời giải Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : a b c ac bc c Tương tự bc ba b ; ca cb c cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Ví dụ 10: Chứng minh a a b c 16 Lời giải Từ giả thiết ta suy a 9,b 8, c 4,b 5, c a b2 c2 90 áp dụng * ta có a a 0, b b lại ta được: a2 b2 c2 13(a b c) 118 0, c c nhân cộng BĐT chiều suy 90 a b c 118 16 a b c 13 a b c 16 dấu “=” xảy a 4,b 5, c 2.2 Cách 2: Từ bất đẳng thức chiều biết có vế khơng âm, nhân theo vế để bất đẳng thức cần chứng minh 1 b c Ví dụ 2: Cho a, b, c số dương Chứng minh a b c a Lời giải Áp dụng BĐT côsi ta có a b c a b a ,b b c b ,c c a c a 1 a b c b c ĐPCM b c a b c a Đẳng thức xảy a b c Phƣơng pháp: Phối hợp cách Ví dụ : Cho a,b, c [0;1] Chứng minh : a b c Lời giải Cách 1: Vì a,b, c [0;1] (1 a )(1 b )(1 c ) Suy a a 2b Ta có : a 2b2c2 b 2c c 2a 0; a 2b a 2b 2c b 2c a2 c 2a b2 a 2b a 2b b 2c c 2a c (*) b 2c c 2a nên từ (*) ta suy a2 b2 c2 a 2b b 2c c 2a a 2b b 2c Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a2 a2 Mà a, b, c 0;1 a2 b2 b a,b b, c c2 c Ta cần chứng minh a Thật vậy: a, b, c a b c 2a đpcm b b2 c c c a c2 a c a b b b c c a 0;1 nên theo nhận xét * * ta có abc a a b c b 1 ab bc c ca a b b c c a BĐT ban đầu chứng minh Chứng minh : Ví dụ : Cho số thực a,b,c thỏa mãn : a b c 2(1 a b c ab bc ca ) abc Lời giải Vì a b2 c2 a,b, c [ 1;1] nên ta có : (1 a)(1 b)(1 c) a b c ab bc ca abc (*) Mặt khác : (1 a c)2 b Cộng (*) (**) ta có đpcm a a 4b b 4c c 4a a 2012 b 2012 c 2012 Lời giải Vì ba số a, b, c thuộc 1;1 nên b2 )(1 Mặt khác a Suy a b2 a4) a 2012,b b4 a 4b a a 2012 b4 b 2012 b 2012 bc a 2012 2012 2012 2012 b ab c bc ca (**) a 4b (*) 1;1 a 4b (**) a 4b b 4c Cộng vế với ta ab b 2012 với a, b thuộc Từ (*) (**) ta có a 2012 Tương tự ta có a 2,b 2, c a4 c 1;1 không đồng thời khơng Chứng minh Ví dụ 11: Cho ba số a, b, c thuộc Suy (1 b hay c 4a a 2012 a a 4b c 2012 2012 2012 2012 b c 4a b 2012 2012 2012 2012 a a 2012 b 2012 b b 2012 c 2012 c c 2012 c 1 3 a 4b b 4c c 4a ĐPCM a 2012 b 2012 c 2012 Phƣơng pháp: Dùng bất đẳng thức Cô – Si (Lƣu ý kỹ thuật chọn điểm rơi hay dự đoán dấu bằng) 4.1 Các ví dụ Ví dụ 2: Cho a, b, c số dương Chứng minh Hay b) a (1 c) (1 b2 ) a )(1 b2 (1 b)(1 c2 ) c) c2 (1 a2) abc 6abc d) a bc b2 ac c2 ab a b c Lời giải b) Áp dụng BĐT cơsi cho hai số dương ta có a2 a2 2a , tương tự ta có b Suy a (1 b2 ) b (1 c2 ) c (1 c2 2b, a2) a 2b 2c b 2c c 2a Mặt khác, áp dụng BĐT cơsi cho ba số dương ta có a 2b b2c c2a a 2b.b 2c.c 2a 3abc 2 2 Suy a (1 b ) b (1 c ) c (1 a ) 6abc ĐPCM Đẳng thức xảy a b c ab bc ca a b c) Ta có (1 a )(1 b)(1 c) Áp dụng BĐT cơsi cho ba số dương ta có ab bc 3 ab.bc.ca ca Suy (1 a)(1 b)(1 c) abc 3 a abc b Suy a bc b ac c 3 abc ab ab ba abc a c2 abc b 2 ac abc 3 abc c Đẳng thức xảy a b c d) Áp dụng BĐT cơsi cho hai số dương ta có b c a c a bc a , b ac b , c ab 2 c b 2c ca c 2b (1) Mặt khác theo BĐT cơsi cho ba số dương ta có a a b3 b3 b3 a a a c3 a 2b ,ba ,ac , 3 c3 c3 a b3 b3 c3 c3 c3 b3 c 2a ,bc ,cb 3 2 2 2 3 b c (2) Suy a b b a a c c a b c c b a Từ (1) (2) suy a bc b2 ac c2 ab a Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 5: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: ab bc c a Lời giải a) ac b a b a) Áp dụng BĐT cơsi ta có c ab c b) bc a a b2 b c2 ab bc c a bc ac ac ba 2c, 2a a b b c Cộng vế với vế BĐT ta ab bc ac ab bc 2 a b c c a b c a Đẳng thức xảy a b c b3 c3 c a2 a b c 2b Tương tự ta có b) Áp dụng BĐT cơsi ta có a b2 a a b2 a ac b b a b c ĐPCM ĐPCM b c , 2 b c a c a c Cộng vế với vế BĐT ta a b c 1 2 b2 c2 a a b c a b c Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 1: Cho a, b số dương thỏa mãn a Tương tự ta có a b a b b a b a2 Lời giải a) Áp dụng BĐT cơsi ta có b) a a) a b b a Suy a b a 2, b a b b a b a b a2 a b b a2 a b2 a 2b2 a b a b Từ (1) (2) suy b a b a2 Đẳng thức xảy a b b) Ta có a b a2 2ab Áp dụng BĐT cơsi ta có a 2ab b 2 2ab a a3 3ab 3a 2b Suy a 2ab Do a b b2 16ab 16ab b a2 ĐPCM c b2 ab b2 ab ab (1) ĐPCM a3 a3 3ab a2 a 3ab 3a 2b b3 ab a3 Chứng minh 2ab b2 b2 b3 b2 b c a2 (1) ab Mặt khác ta có b c2 a b b2 a 2 a b2 3ab 3a 2b 3a 2b b3 b3 16ab a2 b2 b ĐPCM Đẳng thức xảy a b Ví dụ 3: Cho a,b, c, d số dương Chứng minh a) b) c) a b b c3 a b3 a c b d c d3 abcd d a3 c a b b 8abc b)(b c)(c c (a abc Lời giải a) Áp dụng BĐT cơsi ta có a) a ab b Suy a ab , c d b d c cd ab 4 Dấu xảy a b) Áp dụng câu a) ta có 16 cd cd b c ab cd abcd ĐPCM d abcd a2 a b3 b c3 a b c d 3 3 b c d a abcd a b c d Suy a b c d ab cd 3 b c d a abcd Đẳng thức xảy a b c d c) Áp dụng câu a) ta có VT c d3 a 44 d a3 b 44 c (a 3 abc a 27(a 8abc b)(b c)(c b b)(b c b c c)(c 27 a 44 a) b c (a 3 abc 8abc b)(b c)(c a) a) Như ta cần chứng minh 4 a a 16 ĐPCM b b a 27(a b b)(b c c c c)(c a) a (*) Áp dụng BĐT cơsi cho ba số ta có a b b c c a a b b c c a a b c 27 Suy BĐT (*) nên BĐT ban đầu ĐPCM Đẳng thức xảy a b c Nhận xét: BĐT câu a) bất đẳng cơsi cho bốn số khơng âm Ta có BĐT cơsi cho n số không âm sau: Cho n số không âm , i 1,2, , n a1 a2 an n a1a2 an n 4.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi hay dự đốn dấu bằng) Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 x 2x a) h x với x b) k x với x x x Định hƣớng tìm lời giải câu a: Nếu học sinh giải sau: (Áp dụng BĐT Cô - si ta có Khi ta có 3 x x x Vậy giá trị nhỏ biểu thức h(x) ) lời giải khơng vì: h x x x , vô lý (Do x ) x Mấu chốt dấu bất đẳng thức dùng không xảy Bây ta dự đoán trước h(x) đạt giá trị nhỏ x bao nhiêu? Bằng cách dùng máy tính, ta dự đốn h(x) 3 3x đạt giá trị nhỏ x 2, x = ta tách dung bất đẳng thức x Cô – Si lời giải sau (Vì sử dụng bất đẳng thức Cơ – Si cho hai số khơng âm dấu xảy hai số nhau) h x x Lời giải a) Ta có h x x 3x x Áp dụng BĐT cơsi ta có Mặt khác x 3x x x suy h x 3x x x Đẳng thức xảy x 3x x 3x x 4 2 x Định hƣớng tìm lời giải câu b: Ta dự đoán trước k(x) đạt giá trị nhỏ x bao nhiêu? 1 Bằng cách dùng máy tính, ta dự đoán h(x) đạt giá trị nhỏ x , x 2 1 x x ta tách dung bất đẳng thức Cơ – Si lời giải sau (Vì sử dụng bất 8x đẳng thức Cô – Si cho ba số khơng âm dấu xảy ba số nhau) x x b) Ta có k x 8x 8x 1 3 x x Áp dụng BĐT cơsi ta có x x 2 8x 8x 7 Mặt khác x suy k x 2 2 8x x 8x Đẳng thức xảy x x x Vậy k x a2 b2 c2 a b c Ví dụ 8: Cho a, b, c số dương Chứng minh b c c a a b a2 a b c Định hƣớng : Dự đoán dấu xảy a = b = c Khi a = b = c ta b c tách dung bất đẳng thức Cô – Si lời giải sau (Vì sử dụng bất đẳng thức Cơ – Si cho hai số khơng âm dấu xảy hai số nhau) Lời giải Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số thực dương ta có : Vậy h x a2 b c a2 b c a c b2 c a c2 b; Tương tự ta có c a a b Cộng ba BĐT lại với ta đươc : a2 b2 c2 a b c a b c c a a b a2 b2 c2 a b c b c c a a b Đẳng thức xảy a b c b c b a b b c c Ví dụ 9: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a a a) b b c a a3 b) c b Lời giải c c3 a a a) Đặt P b c a 2a b a 1 2b c b ab P bc 15 ca a ab bc Mặt khác ta có a b c Do ab bc ca 15 Đẳng thức xảy a a3 b) Đặt Q b ca (vì a ab c a a 4a b c 3) c2 b c 4a 4a b 4b 4b c 3 4a b , tương tự ta có c2 , c a 4a 4a b Cộng vế với vế lại ta Q 4c 4c a 3 4b 4b c 4c 4c a 3 Áp dụng BĐT cơsi ta có 4a 4a 4a b 16 Tương tự ta có 4b 4b 4b c 16 Áp dụng BĐT côsi ta có a b b2 2c a ca (theo ví dụ 1) c a 3 b c a b a 2a c3 b2 a2 c b bc 2a b c b c Suy a b b a c b3 a Ta có Q a 3 ĐPCM b c P Suy b b 2b , c c Cộng vế với vế ba BĐT ta 2P a 33 b b Tương tự ta có b 3 b c Áp dụng BĐT cơsi ta có a Chứng minh rằng: c 2 b3 b b c b, 4a 4a b 4c 4c a 4a 16 4c 16 b a 3 a c L 2c a 16 Cộng vế với vế lại ta L Vì a b Đẳng thức xảy a c Ví dụ 4: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a a) a 2b b 2c c 2a ab bc ca b) 2 c a b2 Lời giải a) Ta có a b2 c2 b c b2 c2 Chứng minh a4 Áp dụng BĐT cơsi ta có a a ĐPCM suy Q b c nên L c b b4 b4 c4 2a 2b 2, b 2a 2b c4 2b 2c 2b 2c 2, c 2c 2b a4 (1) 2c 2a Cộng vế với vế lại ta a b c a 2b b 2c c 2a (2) (3) Từ (1) (2) ta có a 2b b 2c c 2a Áp dụng BĐT cơsi ta có a a 2b 2 a a 2b 2a 2b , tương tự ta có b b 2c 2b 2c, c c 2a 2c 2a Cộng vế với vế ta a b 2c c 2a (4) b2 c2 a 2b b 2c c 2a 2 a 2b Từ giả thiết (3), (4) suy a 2b b 2c c 2a ĐPCM Đẳng thức xảy a b c b) Áp dụng BĐT cơsi ta có a2 3 b2 c2 b2 c2 bc a2 bc Tương tự ta có b2 ab c2 c2 a2 a c2 b2 c2 c2 b2 b2 b2 c2 , ca b2 b2 b2 c2 c2 c2 b2 ab bc ca ĐPCM 2 c a b Đẳng thức xảy a b c Chứng minh Ví dụ 6: Cho a, b, c dương cho a b c Cộng vế với vế ta a 3b b 3c c 3a c a b ab bc ca b) c a b Lời giải a) 3abc a 3b b 3c a 3b b 3c 2b 3ac a) Áp dụng BĐT cơsi ta có c a c a 3 3 3 3 bc ca ca ab 2abc , 2a 3bc Tương tự ta có a b b c a 3b b 3c c 3a 2abc a b c Cộng vế với vế ta có c a b c2 c2 b2 b2 a b2 a2 a2 b2 c2 c2 a2 a 3b b 3c c 3a c a b Đẳng thức xảy a 3abc ĐPCM b c ab b) BĐT tương đương với c ab c bc a 2 a ab Áp dụng BĐT côsi ta có c 2 ca b ca b bc Tương tự ta có a bc a b bc a ca b 2 c 2 ab c 2 ca 2c , b ab c 2 bc a ab c 2 bc a ca b 2b 2 2a 2 ab bc ca Cộng vế với vế rút gọn ta ĐPCM c a b Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 7: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b c Chứng minh a b c a) a b b c c a b) 2a 2b 2c Lời giải a) Áp dụng BĐT côsi ta có a b b a c abc b b c Tương tự ta có b c c c a , c a Nhân vế với vế lại ta b b 2a + Nếu ba số 3 2a 2b 2b 2c 2b 2a , 2a 2a a 2b 3 2a 2a 2b 0, 2b 2c 2a , 64 a b c c ĐPCM : BĐT hiển nhiên c , tương tự ta có b2 2c a 2b 2c abc 2b , suy racó Vậy BĐT chứng minh Đẳng thức xảy a b c b 2c dương Áp dụng BĐT cơsi ta có 2c a 0: a 2, 2b a b + Nếu hai ba số giả sử 2c 2b , 2a Nhân vế với vế ta Hay 3 a c c a Suy a b b c c a Đẳng thức xảy a b c b) * TH1: Với 2a 2b 2c * TH2: Với a 2a 2c âm số dương Khơng tính tổng qt 2b c (khơng xảy ra) Ví dụ 10: Cho a, b, c số dương thỏa mãn abc 1 a b2 Lời giải c2 a b Chứng minh c b c c a Ta có a b Do khơng tính tổng qt giả sử a b ab a b ab c Do ta cần chứng minh a2 b2 c2 a2 ab 1 b2 c2 ab a 2 a c b b b ab ca Áp dụng BĐT cơsi ta có c bc a bc ab 1 a a bc 1 b ab , a b c c ab b ca Cộng vế với vế BĐT ta a b c P a b c a b c a b c Đẳng thức xảy a b c Vậy P a b c Ví dụ 16: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a a) a b c 2 1) a 1 b a b c a c c b c Chứng minh b c a 2 a b c2 b) a 2b b 2c c 2a Lời giải a) Áp dụng BĐT cơsi ta có: a b2 b2 a ab ab a a a 2b b2 b2 b2 b bc c ca b c Tương tự ta có 2 c2 a2 Cộng vế theo vế BĐT ta được: a b c ab bc ca a b c 2 2 b c a ca Tương tự ta có c ca a bc Lời giải 1 1 2 c , 2ab (do abc ab c a b2 c2 1 1 ab c ĐPCM Cộng vế với vế ta 2 a b c2 Đẳng thức xảy a b c 4.3 Kĩ thuật côsi ngƣợc dấu Ví dụ 15: Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn bc c c Áp dụng BĐT cơsi ta có P ab ab bc ca Mặt khác ta có a Do b a c ab b c bc c b c a Đẳng thức xảy a b) Theo bất đẳng thức Côsi ta có : a a 2b 2ab a2 ca b ab ca 2b a a 3 ab b2 2c b c2 2a c b , c Tương tự ta có 3 b 2c c 2a Cộng vế theo vế BĐT ta được: a2 b2 c2 a b c b a a c2 3 3 a 2b b 2c c 2a 2b a a 2b 3 ĐPCM 2ab a bc c b2 Mặt khác a b c ta cần chứng minh: b a c b2 a c2 Thật vậy, theo bất đẳng thức Côsi ta có : 2ab b b a2 b a a 3 2bc c 2ca a ,a c Tương tự ta có c b 3 Cộng vế theo vế BĐT ta có: 2ab b 2bc c 2ca a b a c b2 a c2 ab bc ca 3 3 3 ĐPCM Từ suy ra: b a c b a c 3 Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 17: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh c b ab a ac 1 bc a Lời giải c Đặt P b a ab ac Áp dụng BĐT cơsi ta có bc ca cb abc abc c c ab ab 2 ab b ba bc a b , a Tương tự ta ta có ac bc Cộng vế theo vế BĐT ta được: ab bc ca P a b c c c Mặt khác a Hay ab Suy P b2 bc a c2 a ca b a b c b c ca c cb ab ac ab bc ca (*) c a b c (a b c 1)(3 a b c) (1) b c Từ giả thiết ta có a,b, c [0;1] a b c (2) Và từ (*) suy a b c (3) Từ (1), (2) (3) suy P ĐPCM Dấu xảy ba số a, b, c có số hai số lại Phƣơng pháp: Đặt ẩn phụ để chuyển toán phức tạp toán đơn giản 5.1 Cách 1: Đặt ẩn phụ chuyển toán ban đầu toán có số ẩn Ví dụ 1: Cho số dương a,b, c a 6b 8c 3a 2b c a b c 2a b b c a b b c b) Tìm giá trị nhỏ P a b c b c 4a Lời giải a) Đặt x a b c, y 2a b, z b c a) Chứng minh Suy a x b z, b Bất đẳng thức trở thành y x y x 4x y z x 4x y z x 2x y x y x z 4z y x z 4z y y z x z y 4x x y Suy BĐT (*) ĐPCM 2x y Áp dụng BĐT cơsi ta có x Đẳng thức xảy z 2z y x Khi ta có P P y 3x 4x 3y Suy P Vậy P x 15 6x 5y 15x z 15y Áp dụng BĐT cơsi ta có y 2y y y z z 4z x y z 7 10 (*) 4, z x x z y 2, y z 4z y 2z suy không tồn a,b, c c a 16b 5y z 15 4x y 16x z 3y 15z z 4x 3y c 21x ,c 16x 15z y 3x 4a, z z , 15y 16y 15z 16 , đẳng thức xảy 15 15 5b 5c 16 a 15 15 4x Ví dụ 3: Cho x , y, z số dương Chứng minh x Lời giải c a c a 16b y z ,b 2x 4x 2x Dấu đẳng thức không xảy b) Đặt x a b c, y b Suy a 2z, c 2y 2y z 3z a 5b 1590 x 1331 5c y z Ta có BĐT Đặt a x x y x x y z z ,b BĐT trở thành a x 2b x y y z y y z ,c z y x z y x z a, b, c dương a z b c 1590 1331 3c Áp dụng BĐT cơsi ta có 3 3 3 6 18 3 18 2 18 a a , 2b 2 b , 3c 3 c 11 11 11 11 11 11 11 11 11 Cộng vế với vế BĐT ta 588 18 18 a 2b 3c a b c 1331 11 11 1590 Suy a 2b 3c 1331 5.2 Cách 2: Đặt ẩn phụ đánh giá theo ẩn phụ để chuyển toán ban đầu toán có ẩn Ví dụ 4: Cho x , y, z số dương thỏa mãn x y z 1 15 Chứng minh x y z x y z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: x y z Suy x Đặt t x xyz 1 z x y 33 y x y z y z 3 xyz nên x y z x y y z x y x z t z z Khi ta cần chứng minh x y z y x t t z 15 Áp dụng BĐT cơsi ta có t t 4t t 27 4t t 4t 27 Đẳng thức xảy x y 15 ĐPCM z Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn biểu thức P a b c abc 1 a ab bc b Lời giải Ta có a b c abc ca c Tìm giá trị nhỏ Áp dụng BĐT cơsi ta có ab Suy t3 abc ab bc t 3t bc ca 3 abc abc 3 abc t t Do P t 3t Vậy P 2 Cũng theo BĐT cơsi ta có P a b c 3 abc abc Suy P 3t 3t t t t Áp dụng BĐT cơsi ta có 3t ca t3 t b c abc 3t t t 1 hay a b c yz zx , mặt khác t 1 1 x Ví dụ 6: Cho x, y, z dương thỏa mãn x2 Tìm giá trị lớn P abc , đẳng thức xảy t a 3t , với t y2 x z2 y z 14xyz z y 15xyz Lời giải x Ta có x2 y2 z2 y z 14xyz x Áp dụng BĐT côsi ta có: Từ (1) (2) ta có P x 8xyz y y z x x y x y z 1 y z z x 1 x y z y z z xy xyz 15 xyz xyz t 2t với x 4t 15 y z t t t 2t t 6t Xét 4t 15 12t 45 12t 45 t 2t Suy P 3 4t 15 hay x Đẳng thức xảy t y z Vậy max P x y z 1 Ví dụ (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  x  y  z  Tìm giá trị lớn 5 biểu thức P  x  y  z Lời giải: Với x + y + z = x2 + y2 + z2 = 1, ta có: 2  (x  y  z)  x  y  z  2x(y  z)  2yz   2x  2yz,nên yz  x  y2  z  x 1  x2 Mặt khác yz   ,suy ra:x   , 2 2  6 (*) x 3 Khi đó: P  x  (y  z )(y  z )  y z (y  z) 2 3 2 1   x  (1  x ) (y  z )(y  z)  yz(y  z)    x   x 2  2    1   x  (1  x )   x(1  x )  x  x      x   x  (2x  x)   2    Xét hàm f (x)  2x  x    6 ; , 3  suy f '(x)  6x  1; f '(x)   x    Ta có: f     6  6  6 6  f   ,f  f          3       Do f (x)  Khi x  6 6  Suy P   36 6 dấu xảy ;y  z   Vậy giá trị lớn P  36 Ví dụ (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2013) Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P xy x  xy  3y  x  2y 6 x  y Lời giải: x y 1 1  1  Do x > 0; y > 0; xy  y  nên            y y y y  y 2 Đặt t  x suy ra:  t   Khi P  y t 1 t2  t   t2 6(t  1) Xét f (t)  t 1 t2  t  Ta có: f '(t)  Với  t  Do đó:  t2 , với  t  6(t  1)  3t (t  t  3)3  2(t  1) 2 ta có: t  t   t(t  1)   3;  3t  t + >  3t  (t  t  3)3  3t 1 1     Suy f '(t)   0 2(t  1) 3 1     30 Do đó: P  f (t)  f  Khi x  y = 2, ta có P   30 Vậy giá trị lớn P   30 Ví dụ (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2013) Cho số thực dương a,b,c Tìm giá trị lớn biểu thức P a b c 4 2   a  b   a  2c  b  2c  Lời giải: Ta có: (a  b) (a  2c)(b  2c)  (a  b) a  b  4c a  b2  2ab  4ac  4bc  2(a  b2  c2 ) 2 Đặt t  a  b  c  4,suy t  P   t 2(t  4)   , với t > Ta có: t 2(t  4) 9t (t  4)(4t  7t  4t  16) f '(t)     t (t  4) t (t  4) Xét f (t)  Với t > ta có 4t  7t  4t  16  4(t  4)  t(7t  4)  Do f’(t) =  t = Bảng biến thiên t f '(y)  + f (y) Từ bảng biến thiên ta P  Khi a = b = c = ta có P  - 5 Vậy giá trị lớn P  8 ... chất để suy bất đẳng thức (BĐT) cần chứng minh 2.1 Cách 1: Từ bất đẳng thức chiều biết, cộng theo vế để bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ : Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a b2... biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng sau 2 +) A  B  C  ) a1  a   a n  với a1  0,a  0, ,a n  Ví dụ 1: Cho hai số thực a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau cho biết đẳng thức xảy... y x y2 3y b) Bất đẳng thức tương đương x y3 x x2 y x Đẳng thức xảy x Theo câu a) ta có x ab 3y xy y 2 a) Bất đẳng thức tương đương x x 1) a b y Chứng minh rằng; Ví dụ 6: Cho hai số thực x ,