Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH Dƣơng Văn Sơn Phƣơng trình (pt), bất phƣơng trình (bpt) kiến thức trọng tâm chƣơng trình môn Toán THPT Tuy nhiên phƣơng pháp (pp) giải pt, bpt SGK đƣa toán (bt) pt, bpt đề thi đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi, … lại phong phú đa dạng Do sử dụng pp giải có SGK học sinh (hs) khó giải đƣợc bt dạng Mặt khác, tài liệu viết pt, bpt chƣa đƣa phƣơng pháp cụ thể để giải bt dạng này, đồng thời kiến thức đƣa chƣa có tính chất phân hóa đối tƣợng hs nên phù hợp với đối tƣợng khá, giỏi mà chƣa thực quan tâm đến đối tƣợng hs trung bình, yếu, Vì định chọn viết: “Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình” nhằm trao đổi với quý thầy cô đồng nghiệp số kinh nghiệm Tuy nhiên, với khả có hạn thân, viết chƣa đầy đủ nhiều thiếu sót Rất mong nhận đƣợc góp ý quý thầy cô giáo đồng nghiệp! I MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH Các phƣơng pháp thƣờng dùng để giải pt, bpt gồm +) Phương pháp biến đổi tương đương +) Phương pháp đặt ẩn phụ +) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu +) Phương pháp sử dụng bảng biến thiên đồ thị +) Phương pháp đánh giá +) Phương pháp sử dụng phép biến đổi hệ Sau xin giới thiệu chi tiết pp giải pt f  x   (1) (Đối với bpt ta củng có pp tƣơng tự) để tiện cho việc minh họa pp chọn chủ đề pt chứa ẩn dấu làm ví dụ Đồng thời phƣơng pháp đƣa tập phù hợp với đối tƣợng học sinh Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng 1.1 Nội dung pp: “Dùng phép biến đổi tƣơng đƣơng biến đổi pt (1) tƣơng đƣơng với pt biết cách giải chẳng hạn pt bậc nhất, bậc hai, …” 1.2 Một số phép biến đổi tương đương thường dùng +) Định lí trang 68 SGK Đại số 10 – Nâng cao +) Nếu f  x   g  x   f x  g x    f x2n  g x2n , với n  N * +) f x   g x    f x 2n1  g x 2n1 , với n  N *  g x   * f x   g x    n , với n  N  f x   g x  +) 2n +) n 1 f x   g x   f x   g x  n 1 , với n  N *  f x    g x   +) f x .g x     1.3 Các ví dụ (vd) Ví dụ 1.1 (Vd trang 148 SGK Đại số 10 – Nâng cao) Giải pt 3x  24 x  22  x  (1.1) Lời giải vắn tắt (HD:)  x    (1.1)   2   x  1  x  21 3x  24 x  22  2 x  1   x  21 2x   Nhận xét vd 1.1 dành cho hs đại trà Đối với hs khá, giỏi ta đƣa vd sau Vd 1.2 (Khối D năm 2006) x   x  3x   (1.2) ( x  R ) Giải pt HD:   x  3x    x 1 (1.2)  x    x  3x      x   2 x    x  x      Vd 1.3 Giải pt x  1 x   3x   (1.3) HD: x 1    x   x   3x    3x    x  (1.3)   x 1  Nhận xét vd 1.3 dành cho đối tƣợng hs đại trà Từ vd ta củng nâng dần độ khó để cho hs khá, giỏi cách đƣa vd 1.4 1.5 sau Vd 1.4 Giải pt a) x  1x  2  x  1 3x   b) x  3x   1  x  3x  x2  3x    x 3x  c) (Pt vd 1.4 biến đổi pt vd 1.3) Vd 1.5 Giải pt x   3x   a)   x3 (1.5a) b)  x   2x  x  (1.5b) c) (Khối B năm 2010) 3x    x  3x  14 x   (1.5c) HD: a) Điều kiện (đk) x  (1.5a)  x3 x   3x   x3  x   3x    x  b) Đk x  (1.5b)  x   x    x  24  x x6 3 x2   2x x3  x3    3  x  x   x       11  x   x6 3 x2 2     c) Đk   x  (1.5c)  3x      x  3x  14 x    3 x  5 3x    x5 1  x   x  53 x  1     x  5   3x  1   x   3x     x  * Trong vd 1.5 dùng kỹ thuật liên hợp để rút nhân tử chung Các bạn muốn tìm hiểu kỹ vấn đề liên hệ với để lấy tài liệu Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 2.1 Nội dung pp: “Đặt ẩn phụ cách hợp lí để chuyển pt (1) pt hệ pt biết cách giải” 2.2 Một số cách đặt ẩn phụ +) Đặt t  g  x  chuyển pt (1) pt ht   +) Đặt t1  g1 x , t  g x , , t n  g n x  chuyển pt (1) pt ht1 , t , ,t n   +) Đặt t  g  x  chuyển pt (1) pt h x, t   +) Đặt t1  g1 x , t  g x , , t n  g n x  chuyển pt (1) hệ pt ẩn t1 , t , ,t n +) Đặt t  g  x  chuyển pt (1) hệ pt ẩn x, t +) Đặt x  g t  chuyển pt (1) pt ht   2.3 Các vd Xuất phát từ bt 66d trang 151 SGK Đại số 10 – Nâng cao, ta đƣa bt sau với mức độ khó tăng dần Vd 2.1 Giải pt sau a) x  x  b) x   x  (Từ câu a thay x x+2) c) x  3x   x  3x  (Từ câu b thay x x2 + 3x) d) (bt 66d trang 151 SGK Đại số 10 – Nâng cao) x  1x  2  x  3x  (2.1d) e) f) x2 x2  x 1   3x (2.1e) x2 x   x   x  x   (2.1f) Hƣớng dẫn d) Đặt t  x  1x  2  x  3x  , t  t  2 t 3 Pt (2.1d) trở thành t  t   t  t    Do t=3 hay x  3x    x    37 e) Đk x  1 (*) Với đk (*) (2.1e)  (2.1d)  x  Vậy pt (2.1e) có nghiệm x  f) Đk x    37   37   26 (*) Với đk (*) (2.1f)  x   x   x  x   (2.1d)  x  Vậy pt (2.1f) có nghiệm x    37   37 Vd 2.2 Giải pt 2x  3x  2  x  (2.2) HD: Đk x  2 (2.2)  2x  x  4  x  2  x  x  x  Đặt u  x  x   0, v  x   Ta có pt 2u  v   3uv  u  2v Do (2.2)  x  x   x   x   13 (thỏa mãn đk) Vd 2.3 Giải pt 4 x  1 x   x  x  (2.3) HD: Đặt t  x   , pt (2.3) trở thành  2 Do (2.3)  x   x   x  t  x   4 x  1t  2t  x    t Vd 2.4 Giải pt 18  x  x   (2.4) HD: Đặt u  18  x  0, v  x   , ta có hệ pt  u  0, v    uv 3  u  v  17   u   4  v  Do (2.4)   x    u   x 1     v  x2  x  17  Vd 2.5 Giải pt x   23 x  (2.5) HD: Đặt t  x  , ta có hệ pt x3 2t t3 2x x 1 1 x    t Do (2.5) x  x    x Vd 2.6 Giải pt x  1  x   x 21  x  HD: Đk   x  Đặt x  cost , với t  [0;  ] , ta có pt (2.6) trở thành cos3 t  1  cos t     cos t  cos2 t  cos3 t  sin t  sin t cos t  sin t  cos t  1  2 1  Từ tìm đƣợc x  x  2 sin t  cos t   Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu Ở nói đến cách giải pt (1) pt (1) có tập xác định khoảng đoạn nửa khoảng 3.1 Nội dung pp: “Biến đổi pt (1) dạng g(x) = g(x0) g[h(x)] = g[k(x)] g hàm số đơn điệu” 3.2 Các vd Vd 3.1 Giải pt x   x   (3.1) HD: Đk x  1  Xét hàm số f x   x   x  với x   ;  2  1  1 Dễ thấy hàm số f(x) đồng biến  ;  Do (3.1)  f x   f    x  2 2  Vd 3.2 Giải pt x   23 x  (3.2) HD: (3.2)  x  x  x   23 x  Xét hàm số f t   t  2t Dễ thấy hàm số f(t) đồng biến R Do (3.2)  f x   f  x 1  2x   x  2x    1 x    Phƣơng pháp sử dụng bảng biến thiên đồ thị hàm số 4.1 Nội dung pp: “Dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số ta suy đƣợc số nghiệm pt ta đƣợc nghiệm đó” 4.2 Các vd Vd 4.1 Giải pt x 1  2x (4.1) HD 1: Nghiệm pt (4.1) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  x  đồ thị hàm số y  x Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt có hoành độ lần lƣợt x   , x  HD: Đk x  1 (4.1)  x  x   (4.2) Xét hàm số f x  x  x  với x   1;  Tính f ' x , f " x  , từ dễ dàng chứng minh đƣợc f " x   với x   1;  ; pt f ' x   có nghiệm  1;  Dựa vào bảng biến thiên hàm số f(x)  1;  ta suy pt (4.2) có hai nghiệm x   , x  2 Vậy pt (4.1) có hai nghiệm x   , x  Phƣơng pháp đánh giá 5.1 Nội dung pp: “So sánh hai vế pt từ tìm nghiệm pt” 5.2 Một số kiến thức hay sử dụng +) A12  A22   An2   A1  A2   An  A  B B  C +) Nếu A  B  C A  C   5.3 vd Vd 5.1 Giải pt x  x    x  11 (5.1) HD: (5.1)     x3 2    x3 2   2x      x    2x   x    x  x  x  (5.2) Vd 5.2 Giải pt HD: Ta chứng minh đƣợc x    x  (Dấu xảy x = 2) x  x   (Dấu xảy x = 2)  2x    2x  Do (5.2)    x  4x      x    Vd 5.3 Giải pt 3x  x   4 x  2   x  x  (5.3) HD: (5.3)  3x  3x 2    2 x  1  2 x  12   (5.4)   +) Nếu 3x  2 x  1  x   Vậy x     hai vế pt (5.4) nghiệm pt (5.3)  1 +) Nếu x    ;   0;  hai vế pt (5.4) không 2   1 Vậy (5.3) nghiệm   ;   0;  2  +) Nếu  1 2  x    3x  2 x    3x   2 x  1 3x 2    2 x  12   3x  3x 2    2 x  1  2 x  12    2  Do     1  x   hai vế pt (5.4) không   1 5 Vậy (5.3) nghiệm   ;      +) Tƣơng tự (5.3) nghiệm   ;0  Vậy pt (5.3) có nghiệm x   Phƣơng pháp biến đổi hệ 6.1 Nội dung pp: “Sử dụng phép biến đổi hệ biến đổi pt pt hệ quả, giải pt hệ sau thử lại kết luận” 6.2 Các vd Vd 6.1 Giải pt x   x   3x  (6.1) HD:(6.1)     2x   x    3x     2 x  1x  1 x   x    x0  2 x  1x  1.3 3x     x    Thử lại ta thấy x=0 nghiệm pt (6.1), x   Vậy pt (6.1) có nghiệm x   nghiệm pt (6.1) Trong viết dùng pp để giải pt chứa ẩn dƣới dấu mà chƣa đề cập đến cách dùng pp để giải bpt chứa ẩn dƣới dấu căn, pt lƣợng giác, pt bpt mũ, pt bpt lôgarit,… Những vấn đề mong bạn đọc tiếp tục nghiên cứu! ... x    Phƣơng pháp sử dụng bảng biến thiên đồ thị hàm số 4.1 Nội dung pp: “Dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số ta suy đƣợc số nghiệm pt ta đƣợc nghiệm đó” 4.2 Các vd Vd 4.1 Giải pt x 1 ... vấn đề liên hệ với để lấy tài liệu Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 2.1 Nội dung pp: “Đặt ẩn phụ cách hợp lí để chuyển pt (1) pt hệ pt biết cách giải 2.2 Một số cách đặt ẩn phụ +) Đặt t  g  x  chuyển... hàm số f(x)  1;  ta suy pt (4.2) có hai nghiệm x   , x  2 Vậy pt (4.1) có hai nghiệm x   , x  Phƣơng pháp đánh giá 5.1 Nội dung pp: “So sánh hai vế pt từ tìm nghiệm pt” 5.2 Một số