Kiến thức cần nhớ khi giải toán hình học không gian

LÝ THUYẾT HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (HỌC SINH TỰ VẼ HÌNH) I Cách tìm hình chiếu điểm A lên mp(Q) +) Tìm mặt phẳng (P) chứa A (P) vuông góc với (Q) +) Tìm giao tuyến d (P) (Q); +) Gọi H hình chiếu A lên d Suy H hình chiếu A lên (Q) Đặc biệt: Nếu SA  ( ABC ) hình chiếu B lên (SAC) hình chiếu B lên AC Nếu SA  ( ABC ) tìm hình chiếu A lên (SBC) sau: Gọi K hình chiếu A lên BC; gọi H hình chiếu A lên SK Ta chứng minh H hình chiếu A lên (SBC) Chú ý: Trong hình chóp hình chóp có cạnh bên hình chiếu đỉnh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy II Góc Cách tính góc hai đường thẳng TH1 Hai đường thẳng song song trùng nhau: Góc chúng 00 TH2 Hai dường thẳng cắt (Khi góc đt góc nhỏ góc) AB  AC  BC cos( AB , AC )  cos BAC  Từ suy góc AB AC AB AC TH3 Hai đường thẳng a b chéo Cách Tìm c song song với a, c cắt b Suy góc a b góc b c (tính theo TH2) Cách Để tính góc hai đường chéo AB CD ta làm sau AB CD +) cos( AB , CD)  cos AB , CD  AB CD   2 +) Biểu thị AB, CD theo vec tơ có điểm đầu, từ tính AB CD , AB , CD suy cos(AB,CD) Cách tính góc đường thẳng mặt phẳng TH1: Đường thẳng nằm song song với mp: Góc chúng 00 TH2: Đường thẳng vuông góc với mp: Góc chúng 900 TH3: Không xảy TH1 TH2 Khi để tìm góc a (P) ta làm sau Cách 1: +) Tìm giao điểm M a (P) +) Trên a lấy A khác M, tìm hình chiếu H A lên (P) +) Ta có MH hình chiếu a lên (P), góc a (P) góc AM MH góc AMH Tính cosAMH, suy góc AMH Cách 2: +) Tìm giao điểm M a (P) +) Trên a lấy A khác M, gọi H hình chiếu A lên (P) +) Ta có MH hình chiếu a lên (P), góc a (P) góc AM MH góc AMH MH AM  AH  +) cos AMH  Tính AM, AH = d(A,(P)) AM AM Cách tính góc hai mặt phẳng (P) (Q) Cách 1: Tìm a b vuông góc với (P) (Q) Khi góc (P) (Q) góc a b Tìm góc a b suy góc (P) (Q) Cách 2: Tìm giao tuyến d (P) (Q) Tìm (R) vuông góc với d; a b giao tuyến (R) với (P) (Q) Khi góc (P) (Q) góc a b Tìm góc a b suy góc (P) (Q) Cách 3: (ít dùng) +) Tìm đa giác (P) có diện tích S +) Tìm hình chiếu đa giác (Q), tính diện tích S’ đa giác S' +) Gọi  góc (P) (Q), ta có S '  S cos  cos  Từ suy  S Chú ý: Nếu hai tam giác AMN BMN cân A B để xác định góc (AMN) (BMN) ta gọi I trung điểm MN Suy AI, BI vuông góc với MN Vậy góc (AMN) (BMN) góc AI BI Nếu hai tam giác AMN BMN để xác định góc (AMN) (BMN) ta gọi H hình chiếu A lên MN Suy AH, BH vuông góc với MN Vậy góc (AMN) (BMN) góc AH BH (hay dùng) Nếu có đường thẳng a vuông góc với (P) thì: +) Tìm A, B giao điểm a với (P), (Q) ((Q) mặt đáy) +) Tìm giao tuyến (P) (Q) Gọi H hình chiếu A (hoặc B) lên giao tuyến +) Ta chứng minh AH BH vuông góc với giao tuyến +) Vậy góc (AMN) (BMN) góc AH BH III KHOẢNG CÁCH Cách tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC Gọi H hình chiếu A lên BC Ta có d(A,BC)=AH TH1: Tam giác ABC vuông A 1   Tính AB, AC dùng hệ thức , từ tính AH 2 AH AB AC TH2: Tam giác ABC cân A: Tính AB, BC áp dụng định lí Pitago cho tam giác AHB vuông H TH3: Tam giác ABC không vuông, không cân A 2S Ta có S ABC  AH BC  AH  ABC Tính SABC BC, Từ tính AH BC Cách 2: Tính gián tiếp (xem cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.) Cách tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Cách 1: (Tính trực tiếp) TH1: AB, AC, AD đôi vuông góc: Gọi H hình chiếu A lên (BCD) Tính 1 1    AB, AC, AD dùng hệ thức , từ tính AH 2 AH AB AC AD TH2 A.BCD hình chóp đỉnh A: Gọi H hình chiếu A lên (BCD); Gọi M trung điểm CD Tính cạnh hình chóp 2  BM  Ta có AH  AB  BH  AB   BC )  (với BM    TH3 Không xảy TH1 TH2: Tìm hình chiếu H A lên (BCD) Khi d(A,(BCD))=AH (tính AH giống cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng) Cách 2: (Tính gián tiếp) Dựa vào tính chất d  A,   MA TC1: Nếu AB     M  d B,   MB TC2: Nếu AB //   d  A,    d B,   3V Cách 3: Dựa vào công thức thể tích d(A,(BCD))  ABCD SBCD Cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b TH1: a  b +) Tìm mp (P) chứa a vuông góc với b; +) Tìm giao điểm H b (P) +) Gọi K hình chiếu H lên a Chứng minh HK  a +) Vậy HK đoạn vuông góc chung a b hay d(a,b) = HK (tính HK giống cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng) TH2 a b không vuông góc, a thuộc đáyhoặc a thuộc mặt bên tứ giác +) Tìm mp(P) chứa b song song với a (tìm c cắt b c song song với a Khi (P) mp chứa b c) +) Ta có d(a,b) = d(a,(P)) = d(A,(P)) với A điểm thuộc a 2 ... góc: Gọi H hình chiếu A lên (BCD) Tính 1 1    AB, AC, AD dùng hệ thức , từ tính AH 2 AH AB AC AD TH2 A.BCD hình chóp đỉnh A: Gọi H hình chiếu A lên (BCD); Gọi M trung điểm CD Tính cạnh hình chóp...   Tính AB, AC dùng hệ thức , từ tính AH 2 AH AB AC TH2: Tam giác ABC cân A: Tính AB, BC áp dụng định lí Pitago cho tam giác AHB vuông H TH3: Tam giác ABC không vuông, không cân A 2S Ta có S... hình chóp 2  BM  Ta có AH  AB  BH  AB   BC )  (với BM    TH3 Không xảy TH1 TH2: Tìm hình chiếu H A lên (BCD) Khi d(A,(BCD))=AH (tính AH giống cách tính khoảng cách từ điểm đến đường