Mở rộng một số kết quả của hình học phẳng khi giải toán hình học không gian

Trong bài biết này, tác giả lựa chọn một số dạng toán tiêu biểu về đẳng thức hình học trong không gian sử dụng kết quả hình học phẳng, nhằm khắc sâu và vận dụng kiến thức hình học phẳng, giúp học sinh, sinh viên nhìn nhận kết quả tổng quát khi mở rộng chiều không gian.

ính kết hình phẳng cho tam giác vng COP, với cạnh huyền CP hình chiếu OP lên cạnh huyền HP 2 Tương tự: SOBC  S ABC SBHC , SOCA  S ABC SCHA 2 2 Cộng đẳng thức ta được: SOAB  SOBC  SOCA  S ABC  S AHB  S BHC  SCHA   S ABC Như khẳng định không gian Việc mở rộng không gian kết tương tự tam giác vuông dành cho bạn đọc 2 2 4) Chứng minh: XA  XB  XC   XH (hình 14) OA2 OB OC OH Ta có: OX  x.OA  y.OB  z.OC x+y+z=1 (Do điểm X nằm ABC)    x.OA  x.OAOA  OX  y.OB  z.OC OA A  OX OA  y.OB.OA  z.OC.OA  OX AO 2    AO  OX  OX  AO    2 1    AX  OX  AO    OX  OA2  AX      2  OX XA2   x  1     OA2 OA2  Tương tự ta có: H  OX XB   OX XC  y  1   ; z  1    2   OB OB   OC OC  Vì x+y+z=1 nên:  OX XA2   OX XB2   OX XC     1    1    1   1  OA2 OA2   OB OB2   OC OC   3 OX OX OX XA2 XB XC    2   2 OA OB OC OA2 OB OC 1  XA2 XB XC    OX       2  2  OA OB OC  OA OB OC Do 1 1 OX2=OH2+XH2    2 OA OB OC OH 2 2 2 2 2 Nên:  OX  XA  XB  XC   OH  HX  XA  XB  XC 2 2 2 OH OA OB OC OH OA OB OC  2 C O HX XA2 XB XC đpcm    OH OA2 OB2 OC X B Hình 14 L.T.Trang/ No.21_Jun 2021|p.62-72 Các tập tương tự: Bài Cho tứ diện SABC, Q điểm ABC Kẻ QA’, QB’, QC’ song song với SA, SB, SC tương ứng cắt mặt (SBC), (SCA), (SAB) A’, B’, C’ Chứng minh đẳng thức: QA '  QB '  QC '  SA SB SC HD Chú ý cách dựng điểm A', B', C' Sau dùng kết tốn Bài Cho hình bình hành ABCD Qua đỉnh A, B, C, D kẻ tia Ax, By, Cz, Dt song song với nửa không gian, với bờ mp(ABCD) Một mp(α) cắt tia Ax, By, Cz, Dt A', B', C', D' Chứng minh: A'B'C'D' hình bình hành ta có đẳng thức: AA'+CC'=BB'+DD' HD Dùng định lí giao tuyến để chứng minh A'B'C'D' hình bình hành Dùng tính chất đường trung bình hình thang để có đẳng thức cần chứng minh Bài Cho từ diện ABCD, gọi ha, hb, hc, hd lần lượng khoảng cách từ A, B, C, D đến mặt đối diện M điểm tùy ý tứ diện, gọi x, y, z, t khoảng cách tương ứng từ M đến mặt (BCD), (ACD), (ABD) (ABC) Chứng minh rằng: x y z t     hb hc hd HD Dùng phương pháp hình học phẳng toán 2, tỉ số thể tích Bài Cho tứ diện ABCD Một mp(α) qua trọng tâm G tứ diện cắt AB, AC, AD B', C', D' Chứng minh AB  AC  AD  AB' AC' AD' HD Xem hình 15 A Gọi A'=AG  (BCD) A' trọng tâm BCD, M=BA'  CD M trung điểm CD Gọi N trung điểm BA' N'=B'G  AN, M'=AM  C'D' Áp dụng kết toán cho ACD, ABA', AMN ta B' N' có: G AC AD AM (1)  2 AC ' AD ' AM ' AB AA ' AN (2)  2 AB ' AG AN ' D' M' C' B N AM AN AA ' AM AN AA ' (3)  2 2 2 4 AM ' AN ' AG AM ' AN ' AG D A' M C Hình 15 Cộng (1), (2), (3) ta có AB AC AD AA'   3   đpcm AB' AC' AD' AG Bài Cho tứ diện ABCD Một điểm M nằm tứ diện Gọi V1, V2, V3, V4 thể tích khối MBCD, MACD, MABD, MABC b) Với điểm I ta có: V1 IA  V2 IB  V3 IC  V4 ID  V IM , V thể tích ABCD HD Đây mở rộng kết hình học phẳng khơng gian.Tham khảo qua toán: Cho ABC, điểm M tam giác Gọi S, S a, Sb, Sc thứ tự diện tích tam giác ABC, MBC, MCA, a) Chứng minh: MAB Chứng minh: Sa MA  Sb MB  Sc MC  V1 MA  V2 MB  V3 MC  V4 MD  với điểm I ta có: L.T.Trang/ No.21_Jun 2021|p.62-72 Sa IA  Sb IB  Sc IC  S.IM Bạn đọc mở rộng sang không gian 3- Kết luận REFERENCES [1] Ministry of Education and Training, Grade 11 Geometry, Viet Nam Education Publishing Trong viết tác giả tổng kết số tốn hình học khơng gian sử dụng kết hình học phẳng, mục đích giúp người học kết nối tính chất tương tự chuyển từ khơng gian hai chiều sang ba chiều, từ phát triển tư trình học tập nghiên cứu hình học khơng gian House, 2019 Qua thực tế giảng dạy chuyên đề trên, nhận thấy học sinh sinh viên làm tốt yêu cầu đặt ra, tập dượt với với pháp tự học, tự nghiên cứu, tạo hứng thú với môn học, đặc biệt hình học khơng gian problems, Hanoi Pedagogical University Publishing Các tốn đẳng thức hình học phẳng khơng gian cịn gắn liền với tốn bất đẳng thức hình học, điểm đặc biệt tam giác, mở rộng không gian từ chiều sang chiều, vấn đề tương tự dành cho bạn đọc tự [2] Cuong, V.N (Editor)., Hung, H.N., Hung, D.M., Thai, H.T (2005) Ministry of Education and Training, Secondary school Teacher training Project, Elementary Geometry and Practicing Math House, Vietnam [3] Du, N.V., Nghia, T.Q., Truong, N.A (1997) Mathematical methods of spatital geometry for class 11, Da Nang Plublising House, Vietnam [4] Quynh, D (Editor in chief)., Cuong, V.N (Editor)., Ban, P.K., Man, T (2006) Grade 11 Geometry (Advanced), Viet Nam Education Publishing House, Vietnam nghiên cứu trao đổi tiếp Trong chuyên đề [5] Thuy, V.D (Editor)., Dam, N.N (2006) sau, tác giả đề cập đến chủ đề Hi vọng Advanced Mathematics and Theme of Geometry Grade 8, Viet Nam Education Publishing House, gợi ý tốt cho học sinh, sinh viên giáo viên học tập giảng dạy hình học khơng gian Vietnam  ... sử dụng kết hình học phẳng, mục đích giúp người học kết nối tính chất tương tự chuyển từ không gian hai chiều sang ba chiều, từ phát triển tư q trình học tập nghiên cứu hình học khơng gian House,... đọc mở rộng sang không gian 3- Kết luận REFERENCES [1] Ministry of Education and Training, Grade 11 Geometry, Viet Nam Education Publishing Trong viết tác giả tổng kết số tốn hình học khơng gian. .. University Publishing Các tốn đẳng thức hình học phẳng khơng gian cịn gắn liền với tốn bất đẳng thức hình học, điểm đặc biệt tam giác, mở rộng không gian từ chiều sang chiều, vấn đề tương tự