Sử dụng số phức vào giải câu hình học phẳng trong đề thi tuyển sinh đại học môn Toán và đề thi học sinh giỏi

Bài viết giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hình học phẳng theo ngôn ngữ số phức. Từ đó, bài viết đưa ra cách tiếp cận khác đối với các câu hỏi khác nhau về hình học giải tích trên mặt phẳng trong các đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán, cũng như đề thi học sinh giỏi về hình học phẳng theo ngôn ngữ số phức.

429 SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI CÂU HÌNH HỌC PHẲNG TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MƠN TỐN VÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HV Phạm Hoài Trung TS Trần Lê Nam Tóm tắt Trong báo, giới thiệu số kiến thức hình học phẳng theo ngơn ngữ số phức Từ đó, viết đưa cách tiếp cận khác câu hỏi khác hình học giải tích mặt phẳng đề thi tuyển sinh Đại học mơn Tốn, đề thi học sinh giỏi hình học phẳng theo ngơn ngữ số phức Mở đầu Từ kỉ XVI nhu cầu phát triển tốn học giải phương trình đại số mà số phức xuất Số phức kể từ đời tìm nhiều ứng dụng hiệu nhiều lĩnh vực khác Vật lí Tốn học Riêng khía cạnh Tốn học, số phức cung cấp cơng cụ hiệu để giải số dạng tốn đại số, giải tích, hình học tổ hợp (xem [4]) Trên thực tế, kì thi học sinh quốc gia, Olympic quốc tế có nhiều tốn liên quan đến số phức Dùng số phức ta tìm lời giải tự nhiên hữu hiệu (xem [4]) Chính vậy, chúng tơi nghĩ đến việc ứng dụng số phức vào giải tốn hình học giải tích hình học phẳng Câu hình học giải tích phẳng đề thi tuyển sinh Đại học năm gần thuộc dạng câu hỏi phân loại học sinh khá, giỏi Vì vậy, có nhiều học sinh khơng giải câu Bài viết giới thiệu thể số khái niệm hình học giải tích phẳng theo ngơn ngữ số phức Từ đó, áp dụng vào giải tập dạng tốn Đồng thời, chúng tơi tiếp cận thêm với đề thi học sinh giỏi mơn Tốn học Kiến thức chuẩn bị f : R  C ,  a, b  a  bi Chúng ta biết nhờ song ánh nên điểm M  a, b  mặt Oxy đồng với số phức zM  a  bi Theo cách đồng véc-tơ OM có tọa độ (hay tọa vị) z M (Hình 1) Nói cách khác, véc-tơ a   a, b  đồng với số phức za  a  bi Khi đó, phép cộng, trừ hai véc-tơ, nhân số thực với véc-tơ phép tốn số phức tương ứng Phép nhân vô hướng véc-tơ tính theo cơng thức   a.b  Re za zb    z a zb  z a z b a  za za Đặc biệt, độ dài a tính theo cơng thức 430 Hình 1: Một điểm véc-tơ mặt phẳng đồng với số phức 2.1 Hai đường thẳng vuông góc Hai đường thẳng z z z A  zB  C D z A  zB zC  zD AB CD vng góc với 2.2 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng zM  z A  zB Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB 2.3 Phương trình đường thẳng d Giả sử   đường thẳng qua điểm A nhận a  làm véc-tơ phương d Điểm M nằm đường thẳng   AM  ta, t  R Điều tương đương với đẳng thức zM  z A z  z A  zM  z A   t hay M   za za  za  Do đó, đường thẳng d  có phương trình dạng d  : z  z A zM  z A  za za Lý luận tương tự, đường thẳng véc-tơ pháp tuyến có phương trình dạng  d ' :  d  qua điểm A nhận n  làm z  zA z  zA  M zn zn 2.4 Phương trình tắc đường trịn AB d A, B  , Do khoảng cách hai điểm A B , ký hiệu  nên d  A, B    zB  z A  zB  z A  Từ đó, suy đường trịn tâm A, bán kính R  có phương trình dạng  z  zA  z  z A   R2 431 Sử dụng số phức vào giải câu hình học phẳng đề thi tuyển sinh đại học mơn Tốn đề thi học sinh giỏi Bài (Tuyển sinh khối A năm 2009 ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có I (6, 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M (1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng  : x  y   Viết phương trình đường thẳng AB Chuyển giả thuyết toán sang mặt phẳng phức M   5i; I   2i;  : (1  i ) z  (1  i ) z  10 Từ đó, có tốn: Trên mặt phẳng phức cho hình chữ nhật ABCD có I   2i giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M   5i thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng  : (1  i ) z  (1  i ) z  10 Viết phương trình đường thẳng AB Giải Gọi N điểm đối xứng với M qua I , ta suy N thuộc đường thẳng CD tọa độ N  2I  M  11  i Vì E   nên E   5i  iE Hơn nữa, đường thẳng EI vng góc với đường thẳng EN nên ta suy Hình EI EN  EI EN  E  6i 2iE  (6  26i ) E  38  80i     E   2i Từ đó, ta có phương trình  Với E   i ta IE  3i Phương trình đường thẳng AB : z  z  10i Khi AB : y   • Với E   2i ta IE   4i Phương trình AB : x  y  19  đường thẳng AB : (1  4i) z  (1  4i) z  38 Khi Bài (Tuyển sinh khối A năm 2010 ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6;6); đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x  y   Tìm tọa độ đỉnh B C , biết điểm E (1; 3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho 432 Chuyển giả thuyết toán sang mặt phẳng phức Gọi  : x  y   H trung điểm BC Khi đó, A   6i; E   3i;  : (1  i ) z  (1  i ) z  Từ đó, có tốn: Trên mặt phẳng phức, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A   6i; đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình  : (1  i ) z  (1  i ) z  Tìm tọa độ đỉnh B C , biết điểm E   3i nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho Giải Phương trình đường thẳng AH AH : (1  i ) z  (1  i ) z  Gọi I giao điểm AH  Khi đó, I trung điểm AH tọa độ I nghiệm hệ phương trình Hình (1  i) z  (1  i ) z   z   2i  (1  i) z  (1  i ) z  Vậy, I   2i Vì H đối xứng với A qua I nên H  2I  A  2  2i Phương trình đường thẳng BC : (1  i) z  (1  i) z  8 Vì B  BC nên B  4  4i  iB Do C đối xứng với B qua H nên C  iB Chúng ta suy C  4  4i  B Do đường thẳng AB vng góc với đường thẳng CE nên ta được: A B CE  AB C  E hay ( A  B)(C  E )  (C  E )(C  D)   B  6  2i 2iB  (4  12i) B  48  16i    B   i  Từ ta có phương trình • Với B  6  2i, suy C   6i • Với B  4i, suy C  4 Vậy, B(6; 2), C (2; 6) B(0; 4), C (4;0) Bài (Tuyển sinh khối A năm 2014 ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có M trung điểm AB, N điểm thuộc AC cho AN  3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M (1; 2) N (2; 1) 433 Chuyển giả thuyết tốn sang mặt phẳng phức Chúng ta có tốn: Trên mặt phẳng phức cho cho hình vng ABCD có M trung điểm AB, N điểm thuộc AC cho AN  3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M   2i N   i Giải Gọi F giao điểm MN CD Giả sử F  x  yi, x, y  R Ta NM  1  3i, có NF  x   ( y  1)i FC NC NF    MA NA MN Vì NM  3NF nên F  2i Hình CD  ME      MEF  DCP  90  DP  MF   DCP  MEF Xét hai tam giác , có   Do EMF  CDP EMF  NDF  90  EFN hay NDF  EFN  90 Từ đó, DN  MF Phương trình đường thẳng DN : (1  3i) z  (1  3i) z  10 Vì ND  MN  10 nên D giao đường tròn DN Tọa độ D nghiệm hệ phương trình  N ; ND  đường thẳng ( z   i )( z   i )  10   (1  3i ) z  (1  3i ) z  10  zz  (2  i ) z  (2  i ) z   Hệ tương đương với  (1  3i) z  (1  3i) z  10  z  1  2i 4    i  z  (2  4i) z  10  5i    z   Suy  5  Vậy D  1  2i D  • Với D  1  2i ta có Khi CD : y   DF  10 Phương trình CD : z  z  4i 434 DF    2i   (4  3i ) 3 • Với D  ta có Phương trình CD : (4  3i) z  (4  3i) z  30i Khi CD : 3x  y  15  Bài (MOP 1995) Cho BB1 CC1 hai đường cao ABC AB  AC Gọi M trung điểm BC , H trực tâm ABC D giao điểm BC B1C1 Chứng minh DH  AM Giải Trong này, ký hiệu chữ thường tọa vị chữ in hoa Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường trịn đơn vị Từ a.a  b.b  c.c  Vì b1 , c1 chân đường cao kẻ từ B , C , m trung điểm BC H trực tâm tam giác ABC nên ta có:  a  b  c  acb   1 ac   a  b  c   2 b   a  b  c  abc   bc m ; h  a  b  c 1 ab   a  b  c   2 c  b1  c1  Phương trình đường thẳng (bc) : z  bcz  b  c Vì d  (bc) nên Hình d bcd bc b1  d b1  c1   a Theo đề b1 , c1 d cộng tuyến nên ta có: b1  d b1  c1 d  a b1  b1  d a2 d a 2b  ab2  a 2c  ac  b2c  bc  2abc 2(a  bc) Suy Do d h ma  ( dh )  ( am ) m  a Thật vậy, ta có: Để chứng minh ta chứng minh d  h d  h abc(b  c  2a)  d h (ac  ab  2bc) m  a abc(b  c  2a)  m  a (ac  ab  2bc) Do đó, ta điều phải chứng minh 435 Kết luận Qua viết thực được:  Giới thiệu số kiến thức hình học phẳng theo ngơn ngữ số phức  Sử dụng số phức giải câu hình học tọa độ mặt phẳng đề thi tuyển sinh đại học mơn Tốn khối A năm 2009, năm 2010, năm 2014 đề thi học sinh giỏi MOP năm 1995 Tài liệu tham khảo [1] Bộ giáo dục Đào tạo (2009), Đề thi tuyển sinh đại học môn Toán khối A [2] Bộ giáo dục Đào tạo (2010), Đề thi tuyển sinh đại học mơn Tốn khối A [3] Bộ giáo dục Đào tạo (2014), Đề thi tuyển sinh đại học mơn Tốn khối A  A1 [4] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh (2009), Biến phức định lý áp dụng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội  ...  R2 431 Sử dụng số phức vào giải câu hình học phẳng đề thi tuyển sinh đại học mơn Tốn đề thi học sinh giỏi Bài (Tuyển sinh khối A năm 2009 ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ... thi? ??u số kiến thức hình học phẳng theo ngôn ngữ số phức  Sử dụng số phức giải câu hình học tọa độ mặt phẳng đề thi tuyển sinh đại học mơn Tốn khối A năm 2009, năm 2010, năm 2014 đề thi học sinh. .. thi học sinh giỏi MOP năm 1995 Tài liệu tham khảo [1] Bộ giáo dục Đào tạo (2009), Đề thi tuyển sinh đại học mơn Tốn khối A [2] Bộ giáo dục Đào tạo (2010), Đề thi tuyển sinh đại học mơn Tốn khối