Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2019-2020 – Trường THCS Hương Sơn

Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán lớp 9. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi để nắm chi tiết nội dung.

PHỊNG GD& ĐT TÂN KỲ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (lần 2) Năm học: 2019­2020 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút TRƯỜNG THCS HƯƠNG  SƠN Bài 1 (4 điểm). Cho biểu thức: P =  x x −2 − x − x −1 x−2 x x +2 x +1 − x − 10 x−2 x −3 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P với x =  + 50 + − 50 Bài 2 (3 điểm) a) Tìm các số tự nhiên n để biểu thức P = n3 – 6n2 + 9n – 2 có giá trị là một  số ngun tố b) Chứng minh rằng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n M 24 với n là số ngun Bài 3 (3 điểm).  a) Giải phương trình nghiệm ngun: x2y + xy ­ 2x2 – 3x + 4 = 0 b) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn  a + b + c = 2019   a2 b2 c2 Tìm GTNN của:  M =   + + b+c c+a a+b Bài 4 (4 điểm). Giải các phương trình sau: a)  x − + 10 − x = x2 − 12x + 40 b)  2x − − x + = 3− x   Bài 5 (6 điểm).  Cho hình vng ABCD có AC cắt BD tại O. M là một điểm bất kỳ  trên  cạnh BC ( M khác B và C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB   lấy điểm E sao cho BE = CM a) Chứng minh rằng:  ∆ OEM vuông cân b) Chứng minh: ME // BN c) Từ  C kẻ  CH   ⊥   BN ( H   BN). Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng   hàng HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG TOÁN 9 LẦN 2 Ý Đáp án Bài 1 (4 điểm). Cho biểu thức: P =  a) Rút gọn biểu thức P x x−2 − x− x −1 x− x x+2 − x − 10 Điểm x +1 x− x −3 b) Tính giá trị của P với x =  + 50 + − 50 ĐKXĐ: x > 0, x  (  4x + 2) ( x − 3) − x + 10 x − x + x +1 (2 điểm) P =  x − ( ) x xx +−12) ( x + 1) ( 3x=− 3) x − P =  = ( x ( x − 3) ( x3 −72+) 50 ( x++3 17) −( x50− 3)= 14 – 3x b  Ta có x3x =  (2 điểm)  x3 + 3x – 14 = 0  2 (x – 2)(x −2  + 2x + 7) = 0  −5 = Với x = 2 thì P =  a  ( ) Bài 2 (3 điểm) (  x = 2 ) −3 0,5 1 0,5 0,5 0,5 a) Tìm các số tự nhiên n để biểu thức P = n3 – 6n2 + 9n – 2 có giá trị là một  số ngun tố b) Chứng minh rằng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n M 24 với n là số ngun Ta có: P = n3 – 6n2 + 9n – 2 = (n – 2)(n2 – 4n + 1) (1,5 điểm) Để P là số ngun tố thì n – 2 = 1 hoặc n2 – 4n + 1 = 1 +) n – 2 = 1   n = 3 +)  n2 – 4n + 1 = 1  n = 0 hoặc n = 4 Thử lại ta thấy n = 4 thì P là số ngun tố Vậy n = 4 thì P là số ngun tố b  Ta có: A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (1,5 điểm) Do n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là tích của 5 số ngun liên tiếp  A M 3  (1) Trong 5 số ngun liên tiếp ln có hai số chẵn liên tiếp   A M 8  (2)  Mà (3, 8) = 1 (3) Từ (1), (2), (3)   A M 3.8 = 24 Bài 3 (3 điểm).  a  0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + xy ­ 2x2 – 3x + 4 = 0 a  a + b + c = 2019   b) Cho các số dương a, b, c th ỏa mãn  a2 b2 c2 Tìm GTNN của:  M =   + + b + c + a a + b 2c Ta có: x y + xy ­ 2x  – 3x + 4 = 0 0,25        xy(x + 1) – 2x(x + 1) – (x + 1) = ­5        (x + 1)(xy – 2x ­ 1) = ­5 Do x, y là số nguyên nên ta có bảng x + 1 ­1 xy – 2x ­ 1 ­5 ­1 x ­2 y Khơng có ­1 7/2 Vậy PT có nghiệm (x, y) = (­2; ­1), (­6; 1) b  Vì a, b, c d ương nên theo bđt Cosi ta có: a2 b+c a2 b + c (1,5 điểm) + = a  .  b2 c ++ ca c a+b b + c b Tương tự  + b; + c c+a a+b a+b+c Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có  M + a + b + c 2019 = Hay  M  .  2019 2 Dấu bằng xảy ra khi  a = b = c =   2019 2019 a=b=c= Vậy  min M = (1,5 điểm) 0,25 0,5 ­5 ­6 0,5 0,5 a+b+c Bài 4 (4 điểm). Giải các phương trình sau: a)  x − + 10 − x = x2 − 12x + 40                        b)  2x − − x + = a  ĐKXĐ:  x 10 (2 điểm) Ta có: x2 – 12x + 40 = (x – 6)2 + 4   4 Dấu “=” xẩy ra khi x = 6     (1) Theo Bunhiacopxki ta có: x − + 10 − x ( + 1) ( x − + 10 − x ) Dấu “=” xẩy ra khi x = 6     (2) Từ (1), (2)   PT có nghiệm x = 6 ĐKXĐ: x      b  (2 điểm) =4 2x − − x − x −3 3− x 2x − − x + = + =0 2x1− + x + 2 + =0 x =3 ( x − 3) 2x − + x + 2 Vậy PT có nghiệm x = 3 0,5 0,5 3− x   0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,75 0,75 0,25 Bài 5 (6 điểm).  Cho hình vng ABCD có AC cắt BD tại O. M là một điểm bất kỳ  trên   cạnh BC ( M khác B và C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB   lấy điểm E sao cho BE = CM a) Chứng minh rằng:  ∆ OEM vuông cân b) Chứng minh: ME // BN c) Từ C kẻ CH  ⊥  BN ( H  BN). Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng O a M H                  (2,5 điểm) Xét  ∆ OMC =  ∆ OEB (c­g­c)  ﾷ ﾷ OM = OE   (1) và  EOB = MOC ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ Mà  MOB + MOC = 900 MOB + EOB = 900    (2) Từ (1) và (2)  ∆ OEM vuông cân b Ta có:  ∆ OMC  :   ∆ OEB (g­g)  (2 điểm) D C N CM MN =       (3) BM MA Mà CM = BE, BM = AE   (4) Từ (3), (4)  BE MN = AE MA  ME // BN (định lý Ta lét đảo) c Gọi H’ là giao điểm của OM với BN ﾷ ﾷ ' B = 450   (5) (1,5 điểm) Do EM // BN  OME = MH ∆MCO : ∆MHB (g− g)   MO MC = MB MH ' ﾷ ' C = MBO ﾷ ∆OMB : ∆CMH ' (c − g − c) MH = 450    (6) ﾷ ' B = 900    H’ trùng với H Từ (5), (6)  CH Vậy O, M, H thẳng hàng 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ... a) Tìm các số tự nhiên n để biểu thức P = n3 – 6n2 + 9n – 2 có giá trị là một  số ngun tố b) Chứng minh rằng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n M 24 với n là số ngun Ta có: P = n3 – 6n2 + 9n – 2 = (n – 2)(n2 – 4n + 1) (1,5 điểm)... 2c Ta có: x y + xy ­ 2x – 3x + 4 = 0 0,25        xy(x + 1) – 2x(x + 1) – (x + 1) = ­5        (x + 1)(xy – 2x ­ 1) = ­5 Do x, y là số nguyên nên ta có bảng x + 1 ­1 xy – 2x ­ 1 ­5 ­1 x ­2 y Khơng có... Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có  M + a + b + c 20 19 = Hay  M  .  20 19 2 Dấu bằng xảy ra khi  a = b = c =   20 19 20 19 a=b=c= Vậy  min M = (1,5 điểm) 0,25 0,5 ­5 ­6 0,5 0,5 a+b+c Bài 4 (4 điểm). Giải các phương trình sau: a)