Đề thi được biên soạn bởi trường THCS Nhĩa Đồng cung cấp cho giáo viên và học sinh một số bài tập nâng cao môn Toán lớp 9. Để nắm chi tiết nội dung các bài tập mời các bạn cùng tham khảo đề thi.
PHÒNG GD&ĐT TÂN KỲ TRƯỜNG THCS NGHĨA ĐỒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2019 - 2020 Môn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: ( 5,0 điểm ): Cho biĨu thøc: A = a. Rót gän A b.TínhgiátrịcủaAbiết: Cõu 2: ( 4,0 im ) a Gii phương trình: b Cho hai số dương thỏa mãn: Chứng minh: Câu 3: ( 4,0 điểm ): a) Tìm giá trị lớn biểu thức b) Chứng minh B = a5 - 5a3 + 4a chia hết cho 120 c) Cho Chứng minh giá trị biểu thức sau khơng phụ thuộc Bµi vào giá trị bin: 4:(5,0 im) ChotamgiácABCvuôngtạiA(AC>AB),đờngcaoAH(H BC).TrêntiaHC lấyđiểmDsaochoHD=HA.ĐờngvuônggócvớiBCtạiDcắtACtạiE a) ChứngminhrằnghaitamgiácBECvàADCđồngdạng.Tínhđộdàiđoạn BEtheo b) GọiMlàtrungđiểmcủađoạnBE.ChứngminhrằnghaitamgiácBHMvà BECđồngdạng.TínhsốđocủagócAHM c) TiaAMcắtBCtạiG.Chứngminh: Cõu 5: ( 2,0 điểm ): Cho ∆ ABC cân A, gọi I giao điểm đường phân giác Biết IA = cm, IB = 3cm Tính độ dài AB Hết./ Họ tên thí sinh: SBD: HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIOI MƠN TỐN Câu Nội dung cn t í im +ĐKXĐ:a>0;b>0và +Tacó 0,5 0,5 a 0,5 0,5 1 Vậy: Ta cã: b 5,0 vµ b = 5 Suy ra Điều kiện: 0,5 0,5 0,5 a 2,0 0,5 Vậy nghiệm pt là: Với hai số dương ta có: 0,5 (Theo Bunhiacopski) b (Vì a Hay Với điều kiện ) ta có: 0,5 0,25 1,25 0,25 M= Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số khơng âm, Ta có: 1,25 0,25 0,25 (vì x dương) Và: 0,25 (vì y dương) 0,25 Suy ra: M = Vậy giá trị lớn M b x = 2, y = B = a5 - 5a3 + 4a = a(a4 - 5a2 +4) = a(a4 - a2 - 4a2+4) B = a[a2(a2 - 1) - 4(a2 - 1)] = a(a2 - 1)(a2 - 4) B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) Mà 120 = 3.5.8 Mặt khác (3,5,8) = Nên B chia hết cho 120 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 c 1,25 1,5 0,25 Giá trị biểu thức khụng ph thuc giỏ tr ca x 0,5 +HaitamgiácADCvàBECcó: chung. a 0,5 (HaitamgiácvuôngCDEvàCABđồngdạng) Dođó,chúngdồngdạng(c.g.c). Suyra: giảthiết) Nên Suyra: (vìtamgiácAHDvuôngcântạiHtheo 2,0 0,5 0,5 dođótamgiácABEvuôngcântạiA. b 0,5 Tacó: (do giácAHDvuôngvântạiH) ).mà (tam 0,5 1,5 0,5 nên (do Dođó c ) (c.g.c),suyra: TamgiácABEvuôngcântạiA,nêntiaAMcònlàphângiácgóc BAC 0,5 Suyra: 0,5 , mà 1,5 0,5 Do ®ã: 0,25 Kẻ AM AB ( M thuộc tia CI) Chứng minh ∆ AMI cân A MI = AI = Kẻ AH MI HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > ) Xét ∆ AMB vng tại A ta có AM2 =MH.MB (2 )2 = x.(2x + 3) 2x2 + 3x – 30 = ( 2x – 5)(x + 4) = x = 2,5 x = -4 ( loại x > 0) Vậy MB = 8cm Ta có AC2 = AB2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 )2 = 64 – 20 = 44 AC = =2 cm AB = cm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 ... = Vậy giá trị lớn M b x = 2, y = B = a5 - 5a3 + 4a = a(a4 - 5a2 +4) = a(a4 - a2 - 4a2+4) B = a[a2(a2 - 1) - 4(a2 - 1)] = a(a2 - 1)(a2 - 4) B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) Mà 120 = 3.5.8 Mặt...HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIOI MƠN TỐN Cõu Ni dung cn t í im +ĐKXĐ:a>0;b>0và +Tacó 0,5 0,5 a 0,5 0,5 1 Vậy: Ta cã: ... giá trị x 0,5 +HaitamgiácADCvàBECcó: chung. a 0,5 (HaitamgiácvuôngCDEvàCABđồngdạng) Dođó,chúngdồngdạng(c.g.c). Suyra: gi thi t) Nên Suyra: (vìtamgiácAHDvuôngcântạiHtheo 2,0 0,5 0,5 dođótamgiácABEvuôngcântạiA.