Một số kỹ thuật tham số dùng khi giải toán

Đây là một vấn đề trong toán học, học sinh có thể dùng tham số để giải một bài toán, có thể dùng máy tính để giải bài toán trắc nghiệm một cách dễ dàng nhất khi làm bài thi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Dùng máy tính sẽ dự đoán được y đạt giá trị lớn nhất khi x = 2 và y đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 2, từ đó ta giải được như lời giải 1 hoặc 2.

DÙNG THAM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ví dụ Giải phương trình 2x  x   x  x   3x  Định hướng: +) Nhận thấy : x  1, x  nghiệm phương trình cho ( Các bạn sử dụng máy tính CasiO để tìm nghiệm x  1, x  ) nên tìm cách để rút nhân tử chung x(x-1) +) Khi x  1, x  : +) Khi x  : x2  x     x2  x    3x   x  : 3x   nên ta phải chọn a,b để 3x   (ax+b)=Ax(x  1) (*) (Trong A biểu thức chứa x) Từ (*), cho x = ta – b = hay b = Từ (*), cho x = ta – a – b = Do a = b = Từ ta có lời giải sau 1 Lời giải : Điều kiện : x PT  x  x  x  x    3x   x  1  2 x  x     x2  x 3x   x  x  3x   x  x2  x         x  x          0  x   x  x  x9 3  x   x2  x    x  Vậy Tập nghiệm PT (Vì x 1   x2  x     0) 3x   x  S  0;1  Ví dụ Giải phương trình :  x  x    x   x Định hướng: Điều kiện : 1  x  Đặt : a   x ; b   x Ta tách x  dạng x   m 1  x    m  11  x   2m  Phương trình cho trở thành 4a  ma   m  1 b2  2m   3ab  5b  ma   3b   a   m  1 b  5b  2m    m   Xem a ẩn số, b tham số ta cần chọn m để: a   3b    4m  m  1 b2  5b  2m  5 4a   4m2  4m   b    5m  b  8m2  20m  16 có dạng  a  k  b    hay  a tam thức bậc hai ẩn b có  '    5m    4m2  4m  8m2  20m  16   Dùng máy tính giải phương trình tìm nghiệm m = 1, từ có lời giải sau Lời giải: Điều kiện : 1  x  Đặt : a   x ; b   x  a, b  0  x   1  x    x  1  Phương trình cho trở thành : 4a  a  2b2   3ab  5b  a  a  3b    2b  5b   * Xem a ẩn số, b tham số ta có : a   3b     2b2  5b  3  b2  4b    b   2   3b     b    b   a Từ suy phương trình (*) có nghiệm :    3b     b    2b  a   +) Với a  b  , ta có :  x   x   x   +) Với a  2b  , ta có :  x   x  VN  Vậy phương trình cho có nghiệm : x   x2 Ví dụ Giải hệ phương trình sau y2 x xy 2xy 7x (1) 5y (2) Định hướng: Nhân hai vế phương trình (1) với cộng theo vế với phương trình (2) 2 x 2xy 7x 5y x xy y Chọn x2 2y y x y 5y để phương trình phương trình bậc hai ẩn x (Xem y tham số) có 2y x y y2 5y y2 y 72 36 12 24 13  x  k  y    hay 'y 4 2 12 24 13 36 72 Từ ta có lời giải sau(ngoài ta trừ vế với vế) Lời giải: Cộng hai phương trình hệ ta có 2x y 3xy 7x 5y y 2x y x y 2x y 2x y x y x x2 Suy hệ phương trình tương đương với Giải hệ (3): y x x 2x Giải hệ (4): x2 x y x y x2 y 2x x 2x x y 2x (3) 3x x2 y 9x y 2x 2x y2 xy x x y (4) x y 2x 3 y2 xy x x2 y x 2 x Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y 1;1 2; Ví dụ Giải hệ phương trình x3 x 2xy 2y 2x 2y xy x 2y Định hướng: Nhận thấy biến y thấy có tương đồng bậc hai phương trình có hệ ta nhân với phương trình hai số thực khác không cộng vế với vế với phương trình đầu ta x3 2xy 2x x2 y2 2y 2x 2y 2x x x3 y xy x2 x 2, 2x x x 2 thỏa mãn (*) ta có lời giải sau x 2xy x2 x 2y x x 2xy x y 2x 2y y x 2 y 2y x2 x x 2 cộng vế với vế với phương trình đầu ta 2x 2y xy x 2y 4y 2y x3 2x 2 x x3 x x x Lời giải: Nhân phương trình thứ hai với x 2xy 2 x 2y 2 2y 2x cho với y , suy 2x Ta chọn (*) Ta có 2x Dễ thấy x x 2x 2 2xy 4y x 2x 0 y 1 0) x (vì x y vào phương trình thứ hai ta có Thay x 2y 2y 2y 2y 4y 2;1 Vậy phương trình có nghiệm x ; y y Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số  y  x   x2  Định hướng tìm lời giải 1: TXĐ hàm số D =   5;  Vì hàm số hàm số lẻ D nên cần tìm giá trị lớn biểu thức   A= y  x   x với x  D Đưa vào tham số thực dương k Với x  D, áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có   x2     k   x    1 k   x k k   (1) Suy           A  x   1 k   x    1 k   x x    1 k  k  k  k    x2 x2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có k    x2 x2  k   x2  x2 k   2 (2) Do A k2 5     1 k  Chọn k cho tồn x  D để đẳng thức (1) (2) đồng thời xảy hay  k  k2  5  x2    x  k  k  3 ( Vì k > )       5 k2 x2  x  2    2k  k k   x  x 2  Do chọn k = Lời giải 1: TXĐ hàm số D =   5;  Với x  D, áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có   x  3   x  3  13   x     =  x2 Suy y  x   x  x  x  x  x  (1.1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 8  x x   x2  x2 4 (1.2) Từ (1.1) (1.2) suy y   8  y  y= chẳng hạn x = 2; y=-8 chẳng hạn x = -2 Vậy max y  8; y  8 D D Định hướng tìm lời giải 2: Đưa vào tham số thực dương l Với x  D, ta có   A  y  x   x2  x    1 2l x  x  x  l x  x 2l 2l Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có   l x  x  l x   x Suy A 3x    2 l x   x2 2l l 1 x  x  Hay A  (Đẳng thức xảy l x   x ) 2l 2l Đặt t  x (t  0) , A  f (t )  l 1 t  3t  2l 2l l 1 3l  f(t) tam thức bậc hai (ẩn t) đạt giá trị lớn t   Nếu Do ta cần 2l l 1 l 1  hay l  (0;1) tồn x thỏa mãn chọn số thực dương l cho 2l   x  l x   x 2  l 1  x   3l   9l 2 x    l 1  l 1   ( Vì l  (0;1) )  Vì chọn l cho l  (0;1)   9l   l 2 l  l 1    Do chọn l = Lời giải 2: TXĐ hàm số D =   5;    Ta có y  x   x  x  x  x = x   x  x2  Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có   x  x2  x2   x2 4 Suy 3 y   x2  x     x  2   4 Hay y   8  y  y= chẳng hạn x = 2; y=-8 chẳng hạn x = -2 Vậy max y  8; y  8 D D Định hướng tìm lời giải 3: Dùng máy tính dự đoán y đạt giá trị lớn x = y đạt giá trị nhỏ x = - 2, từ ta giải lời giải