MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HỒ SỸ HÙNG- GV TRƯỜNG THPT CHUN PHAN BỘI CHÂU NGUYỄN THỊ KIM DUN- GV TRƯỜNG HUỲNH THÚC KHÁNG Có thể khẳng định tốn bất đẳng thức cực trị ln tốn khó ln chiếm vị trí quan trọng thi Hiện nguồn tài liệu bất đẳng thức phong phú, đa dạng, nhiên việc xử lí nguồn tài liệu cách có hiệu điều khó khăn giáo viên học sinh Trong khn khổ viết chúng tơi muốn trao đổi với bạn bè đồng nghiệp số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp nhằm đưa cách nhìn nhiều chiều tốn bất đẳng thức cực trị I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Nội dung phương pháp Phương pháp chủ yếu sử dụng phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cần chứng minh kết biết Ví dụ áp dụng Để khai thác sâu tập dạng này, cần có số bất đẳng thức cơng cụ sau: a) Cho a, b, c số thực bất kì, ta có: a  b  2ab 2(a  b )  a  b ab    ab   a  b  c  ab  bc  ca 3(a  b  c )  a  b  c  a  b  c2  3(ab  bc  ca) Các bất đẳng thức đơn giản, nhiên nhiều tốn xây dựng từ bất đẳng thức Chẳng hạn có ví dụ sau: số thực khơng âm thoả mãn x  y  Chứng minh Ví dụ Cho x, y x y (x2  y )  32   1x y CM Ta có x y ( x  y )  xy xy.( x  y )    2   2 2  xy  x  y      x  y 6  Dấu  xẩy x  y  32 32 Ví dụ Cho x, y, z số thực thoả mãn xy  yz  zx  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  16 y  27 z Lời giải P  x  18 z  3x  12 y  y  z  12 xz  12 xy  12 yz  12 x  y 1   1   x; y; z   1; ;  x; y; z     1; ;  Dấu  xẩy  x  3z 3  3   xy  yz  zx    Ví dụ Tìm số thực T lớn thoả mãn a  b  c  d  e  T a  b  c  d  e a, b, c, d , e số thực khơng âm cho a  b  c  d  e Lời giải Đặt Ta có a  b   với ab  cd e  X a  b2 c  d  e  X X2 ; c2  d  e2  3 2   a2  b2  c2  d  e2  5X  X (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schatrz ta có: a  b  2(a  b)  X ; c  d  e  3(c  d  e)  X  ( a  b  c  d  e)2  Từ (1) (2) suy  a  b2  c2  d  e2 a b c d  e Vậy giá trị lớn T    30 2     2 X 30 2  (2) 2a  2b  3c  3d  3e Cho a, b, c số thực đơi phân biệt: b) +) Đặt S k  ak bk ck   thì: S  S1  0; (a  b)( a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) S  1; S  a  b  c; S  a  b  c  ab  bc  ca +)  ab  bc  bc  ca  ca  ab    1 ab bc bc ca ca a b +) ab bc bc ca ca ab    1 a b bc bc c a ca a b +) ab bc ca    1 (b  c)(c  a) (c  a )( a  b) (a  b)(b  c) Ví dụ Cho a, b, c số thực đơi khác Chứng minh  a 2b a  b    b 2c b  c    c2a2 c  a   Chứng minh Ta có  ab  bc  bc  ca  ca  ab   ab    bc    ca    1        a b bc bc ca c a a b  a b   bc   c a  2  ab  bc  bc  ca  ca  ab   ab    bc    ca    )2        2( a b bc bc c a c a a b  a b   bc   c a  2 2 cộng vế theo vế hai bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho a, b, c số thực đơi khác Chứng minh a  1   b2  c2     2        a  b b  c c  a    Chứng minh Ta có ab bc ca a  b b  c b  c c  a c  a a  b          2 2 a b bc ca a  b b  c b  c c  a c  a a  b 2  VT   a2  b2  a2  b2 a  b  b2  c2   b2  c2 b  c  c2  a2 a  b 2 b  c 2 c  a 2   c2  a2 c  a  c2   a2  b2 a  b 2 b  c 2 c  a 2 ab bc ca    2 (b  c)(c  a ) (c  a )( a  b) (a  b)(b  c) Vấn đề thảo luận nghiên cứu: Sử dụng đẳng thức để xây dựng bất đẳng thức Bài tập Giả sử a, b, c, x, y, z số thực cho a  x  b  y  c  z  a  b  c  x  y  z Chứng minh ay  bx  ac  xz Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh b  c  a  a   1  b   1  c   1  c  a  b  Cho x, y, z số thực dương thoả mãn 8x  y  16 z  15 xy  14 xz  76 yz  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  2y y  6z II PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 1.Bất đẳng thức đại lượng trung bình cộng trung bình nhân (AM- GM) a) Nội dung bất đẳng thức Cho a1 , a , , a n số thực khơng âm, ta có a1  a   a n n  a1 a a n n Dấu  xẩy a1  a   a n b) Các hệ Hệ Cho a1 , a , , a n số thực khơng âm, ta có a1n  a2n   ann  na1a2 an Hệ Cho a1 , a , , a n số thực dương, ta có  a1  a   a n   a1  1   a2 an    n  c) Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho a, b số thực dương thoả mãn a  b  Chứng minh a  b  1   a b 2  a  b Chứng minh VT  3 a  b2 a  b       ab 2(a  b) 2(a  b) a  b 1 3 2(a  b) 2(a  b) 2 Dấu  xẩy a  b  Ví dụ Cho a, b, c số thực khơng âm thoả mãn a  b  c  3abc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c Lời giải Tacó a  b  c  3abc   (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ca)   P  P  a  b  c   abc  ab  bc  ca abc  a  b  c    P  1 P   2(a  b  c) 2(a  b  c) 2  Vậy giá trị nhỏ P chẳng hạn a  1; b  c  Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1  2 abc a b c Lời giải Áp dụng BĐT AM- GM ta có ab  bc  ca  33 a b c  a  b  c  33 abc  abc  P P   ab  bc  ca  33 abc 3 abc  9abc  2 ab  bc  ca a b c 1    2 ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca a b c   30 a  b  c  2ab  2bc  2ca a  b  c 2 2 Vậy giá trị nhỏ P 30 chẳng hạn a  b  c  Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thoả mãn 21ab  2bc  8ca  12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    a b c Lời giải Nét đặc trưng tốn chổ dấu đẳng thức xẩy a  ; b  ; c  a  Đặt 4   x; b  y; c  z  P  2x y 2z 1 1 1 15           15 2x 2x 2x y y 2z 2z x y z Mặt khác ta có 15  xy  yz  zx  xy   xy  yz   yz  zx   zx  1515 x12 y 10 z  x12 y 10 z   x y z  Vậy giá trị nhỏ P 15 a  ; b  ; c  Ví dụ Cho x, y, z số thực khơng âm thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức P  3( xy  yz  zx)  xyz Lời giải Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta có: x    x  x   3x Tương tự y   y; z   3z Cộng vế theo vế bất đẳng thức suy x  y  z  Ta có  3xyz  x  y  z  3xyz  ( x  y  z )( x  y  z  xy  yz  zx)  3( x  y  z  xy  yz  zx )   xyz  x  y  z  xy  yz  zx  P  3( xy  yz  zx)  x  y  z  xy  yz  zx   ( x  y  z)     Vậy giá trị lớn P x  y  z  2) Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz a) Nội dung bất đẳng thức Cho hai dãy số thực a1 , a , a n b1 , b2 , bn , ta có a1b1  a2b2   an bn 2  a   a22   an2 b12  b22   bn2  Dấu  xẩy Nhân xét: a a1 a    n b1 b2 bn Trong trường a1b1  a2 b2   an bn  a  hợp hai  dãy a1 , a , a n  a22   an2 b12  b22   bn2  khơng b1 , b2 , bn âm b) Ví dụ áp dụng Ví dụ cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1   a (b  c) b (c  a) c (a  b) Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz cho hai dãy 1 , , a (b  c) b (c  a) c (a  b) a(b  c) , b(c  a) , c(a  b) ta có 1 1      ab  bc  ca  ab  bc  ca a b c  P    2(ab  bc  ca ) 2(ab  bc  ca ) 2 Vậy giá trị nhỏ P Ví dụ Cho a  b  c  số thực dương thoả mãn a, b, c a  b  c  Chứng minh a2 b2 c2    3(a  b  c ) b c a Chứng minh Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có:   a2 b2 c2 a2  b2  c2    b c a a b  b2c  c 2a a   b2  c2  3(a  b  c ) Bây ta chứng minh 2 a bb cc a  a(a  b)  b(b  c)  c(c  a)  điều cần chứng minh Ví dụ Cho x, y, z số thực thoả mãn x  y  z  Chứng minh x  y  z   xyz Chứng minh Ta có x  y  z   xyz  x(1  yz )  y  z  Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có: x(1  yz )  y  z  Bây ta chứng minh x  x   ( y  z )  (1  yz )    ( y  z )  (1  yz )   2(1  yz )(2  yz  y z )   y z  y z Điều hiển nhiên  y  z  yz Ví dụ Chứng minh x, y, z   1;1 thoả mãn điều kiện x  y  z  xyz  x   y   z   Chứng minh x yz 0 Nếu áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có: x   y   z   3( x  y  z  3)  Nếu x  y  z   xyz  Khơng tổng qt giả sử z  Từ suy x, y  0;1 Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có: x   y   z   2x  y   z  Ta chứng minh 2x  y   z    2( x  y )  2x  y   z 1 z 1   z ( xy  1)  2x  y   z 1 z 1  xy  2(1  xy ) z   x  y   xy  2(1  xy ) (1  x)(1  y)   2x  y   xy  xy  (1  x)(1  y )(1  xy )   x y Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có: xy  (1  x)(1  y )(1  xy )  x xy   x  xy  y  xy   xy  y   1 x y thực dương thoả thực lớn Bài tập a, b, c số a b c    1 b  c 1 c  a 1 a  b 1.Cho Cho a, b, c số mãn abc  cho Chứng minh 1    Chứng x y z minh x  y  z  x 1  y 1  z 1 Vấn đề thảo luận: Nêu định hướng giúp học sinh phát lời giải đứng trước tốn bất đẳng thức, cực trị có sử dụng bất đẳng thức cổ điển III PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Nội dung phương pháp Trong phương pháp sử dụng số tính chất hình học sau: +) Cho điểm A, B, C AB  BC  AC Dấu  xẩy B nằm đoạn AC +) Cho n điểm A1 , A2 , , An A1 A2  A2 A3   An1 An  A1 An +) Cho n vec tơ u1 , u , ,u n u1  u   u n  u1  u   u n Ví dụ áp dụng Ví dụ Chứng minh với số thực x, y, z ta có x  xy  y  x  xz  z  y  yz  z (2.2) Lời giải Ta có (2.2)  ( x   Đặt u   x   Khi đó: | u | 3 y)  ( y)  ( x  z)2  ( z )  y  yz  z 2 2    y; y  ; v    x  z; z 2  2   x  xy  y ;| v | x  xz  z 1 3  u  v   y  z; y z  ;| u  v | y  yz  z 2 2  2 | u |  | v || u  v | x  xy  y  x  xz  z  y  yz  z Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh a  2b2 b2  2c c  2a    ab bc ca Chứng minh Ta có a  2b b  2c c  2a 2 2    3   2    2 ab bc ca b a c b a c 1 1  1 2 2 ; v   ; ; w   ;  b a c b a c       Đặt u   ; a  2b2 b2  2c c  2a Khi đó: | u | ;| v | ;| w | ab bc ca 1 1 2 2 1 1 uvw   ;    ;| u  v  w |      a b c a b c a b c   Vì ab  bc  ca  abc  1   1 a b c Do đó: a  2b2 b  2c c  2a | u |  | v |  | w || u  v  w |    ab bc ca Dấu  xẩy a  b  c  Ví dụ Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x)  x  x   x  x  Lời giải Tập xác định D  R 2 1  3 1  3   Ta có f ( x)    x       x    2   2     3 ); v  ( x  ; ) 2 2 Đặt u  ( x  ; Khi đó: | u | x  x  1;| v | x  x  1; u  v  (1; 3);| u  v | Do | u |  | v || u  v | f ( x)  Vậy giá trị nhỏ f (x) x  IV PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HỐ Cơ sở phương pháp +) Mọi số thực a   1;1 tồn số thực x để a  sin x a  cos x +) Mọi số thực a tồn số thực x để a  tan x a  cot x +) Mọi số thực x, y thoả mãn x  y  tồn số thực  để x  sin  ; y  cos +) Mọi số thực x, y, z thoả mãn x  y  z  xyz tồn tam giác ABC cho x  tan A; y  tan B; z  tan C Nếu x, y, z dương tam giác ABC nhọn +) Mọi số thực x, y, z thoả mãn xy  yz  zx  tồn tam giác ABC cho x  cot A; y  cot B; z  cot C Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho a,b,c  (0;1) ab+bc+ca=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  Lời giải.Đặt a  tan  , b  tan  a b c   2 1 a 1 b 1 c2 , c  tan   Do a,b,c  0;1 nên chọn  ,  ,   (0; ) Ta có: ab  bc  ca   tan  tan   tan       tan     tan tan  2 tan   tan   tan   tan  tan  tan    ,  ,  ba cạnh tam giác, suy Khi đó: 2T  2.tan  tan    2.tan  tan Áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta có:    2.tan  tan   tan   tan   tan   tan   tan   tan   3 Dấu xẩy      hay a=b=c Vậy giá trị nhỏ T 3 a=b=c Ví dụ Cho a,b,c số thực dương thoả mãn abc +a+c=b Tìm giá trò lớn biểu thức T  2   a 1 b 1 c 1 Lời giải Đặt a  tan  , c  tan  , ta có : b      ac  tan(   ) Vì a,b,c > nên xem   0,    ac , đó: 2   2 1 a 1 b 1 c2  2cos2  cos2 (   )  cos2  P  cos2 - cos2(   )  cos2   2sin  sin(2   )  - 3sin  10 1 10     3sin   sin( 2     cos2 (2   )  3 3    a     2    cos(2   )     , suy ra: b  Dấu "=" xẩy     sin   sin( 2   ) sin    c    10 P Vậy giá trị lớn Ví dụ Chứng minh với số thực a, b, c ta có ac 1 a2 1 c2  ab  a2  b2  bc 1 b2 1 c2 Chứng minh Đặt a  tan  ; b  tan  ; c  tan  Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: sin(   )  sin(   )  sin(    ) Nhưng sin(   )  sin(       )  sin(   ) cos(   )  sin(   ) cos(   )  sin(   )  sin(   )  sin(    ) Bài tập Cho a, b, c số thực dương thoả mãn ab  bc  ca  Chứng minh 2a 1 a  2b 1 b  2c 1 c  10 Chứng minh bốn số dương ln chọn hai số a, b cho 0 a b  2  a  b  2ab V PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM Ý nghĩa phương pháp Sự xuất đạo hàm làm cho việc khảo sát tính đơn điệu hàm số trở nên đơn giản hơn, đồng thời đạo hàm giúp cho khảo sát cực trị giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Thơng thường tập bất đẳng thức, cực trị có sử dụng đạo hàm thường đặt dạng sau: +) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y  f (x) +) Cho quan hệ hai đại lượng a, b u cầu chứng minh quan hệ hai đại lượng f (a), f (b) , với f (x) hàm số đơn điệu miền +) Cho biểu thức điều kiện biến x, y, z, u cầu chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị Đây dạng tốn tiêu biểu thường xun xuất thi đại học năm gần Dạng tốn thường phân làm cấp độ sau: - Thế biến theo biến khảo sát hàm - Đặt ẩn phụ khảo sát hàm - Sử dụng số phép đánh giá bất đẳng thức (thơng thường bất đẳng thức cổ điển), đặt ẩn phụ khảo sát hàm Ví dụ áp dụng b a     Ví dụ Cho a  b  Chứng minh  a  a    b  b      Chứng minh Bất đẳng thức cho tương đương 1    1   a b b a      ln  a ln  b  a b Bây nhờ đạo hàm chứng minh hàm số f ( x)    ln  x nghịch biến 0;  x với giả thiết tốn ta có điều cần chứng minh Ví dụ Cho a, b số thực dương thoả mãn a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) P  ab  ab b) Q  a  b  1  a b Lời giải Rõ ràng câu a) đặt ẩn phụ t  ab ý với giả thiết tốn  t  Khi khảo sát hàm f (t )  t   1  0;  cho kết t  4 11 Đối với câu b) chưa tìm thấy ẩn phụ, phải đánh sau: Q  2ab  ab lại tiếp tục đặt t  ab , với ý  t  Ví dụ Chứng minh x, y, z số thực khơng âm thoả mãn điều kiện x  y  z  7( xy  yz  zx)  12  xyz Chứng minh Đặt f ( x, y, z )  7( xy  yz  zx)  xyz  12 Khơng tổng qt ta giả sử x  y  z  x2  y2 x2  y2  ; ;z   2   Ta chứng minh f ( x, y, z )  f  Sau chứng minh f (t; t;  2t )  nhờ đạo hàm Bài tập Cho hai số x, y thoả mãn: x2 + xy + y2 = Tìm GTLN GTNN biểu thức A = x2 – xy + y2 Cho x2 + y2 – xy = Tìm GTLN GTNN biểu thức A = x4 + y4 – x2y2 Cho hai số dương x, y thoả x + y = Tìm GTNN A  x y  1 x 1 y VI PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI Nội dung phương pháp +) Nếu tồn số thực  cho af ( )  tam thức f ( x)  ax2  bx  c có hai nghiệm phân biệt x1 , x thoả mãn x1    x +) Nếu phương trình bậc hai ax  bx  c  có nghiệm   +) Nếu tam thức bậc hai f ( x)  ax2  bx  c có   af(x)  với x  R Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho tam giác ABC , số thực x, y, z Chứng minh x  y  z  xy cos A  yz cos B  zx cosC Lời giải Bất đẳng thức tương đương x  y  z  (2 xy cos A  yz cos B  zx cosC )   f ( x)  x  2( y cos A  z cosC ) x  y  z  yz cos B  Bây   điều cần chứng minh Ví dụ Cho a, b hai số thực thoả mãn a  b  Chứng minh ac  bd  12  a  b  1c  d  1 với số thực c, d Chứng minh Nếu a  b  ta có điều cần chứng minh Nếu a  b  xét tam thức bậc hai f ( x)  a  b  1x  2(ac  bd  1) x  c  d  12 Có a  b  1 f (1)  nên theo định lí đảo dấu tam thức bậc hai tam thức f (x) có nghiệm hay   điều cần chứng minh VII PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ Nội dung phương pháp Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y  f (x) miền K tìm điều kiện để phương trình f ( x)  y có nghiệm K Ví dụ áp dụng Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y  x  2x  x2  x  2x  Lời giải Gọi y giá trị biểu thức x2  x  2x   y có nghiệm x2   phương trình  phương trình ( y  1) x  x  y   có nghiệm - Nếu y   x  - Nếu y  phương trình có nghiệm  ( y  1)(2 y  3)    y  2 Vậy giá trị lớn hàm số , giá trị nhỏ Ví dụ Cho x, y số thực thoả mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P  x  y 1 2x  y  Lời giải Đặt x  sin  ; y  cos Gọi P giá trị biểu thức  phương trình sin   cos  sin   cos  sin   cos   P có nghiệm sin   cos   phương trình (2P  1) sin   ( P  1) cos   3P có nghiệm  2P  1  P  1  1  3P  Vậy PMA·X  2 1 1 P 2 1 1 ; PMIN  2 Ví dụ Cho số thực x, y thoả mãn x  x   y   y Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P  x  y 13 Lời giải Gọi P giá trị biểu thức x  y hệ phương trình  x  y  P có nghiệm Bằng cách đặt ẩn phụ a  x  1; b   3( x   y  )  P PMax   15 ; Pmin  y  ta có  21 * Trên số phương pháp chung hai Thầy Cơ biên soạn Các bạn cần phương pháp cụ thể liên hệ với chúng tơi 14 ... sinh phát lời giải đứng trước tốn bất đẳng thức, cực trị có sử dụng bất đẳng thức cổ điển III PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Nội dung phương pháp Trong phương pháp sử dụng số tính chất hình học sau: +) Cho...  2y y  6z II PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 1 .Bất đẳng thức đại lượng trung bình cộng trung bình nhân (AM- GM) a) Nội dung bất đẳng thức Cho a1 , a , , a n số thực khơng âm,... dụng số phép đánh giá bất đẳng thức (thơng thường bất đẳng thức cổ điển), đặt ẩn phụ khảo sát hàm Ví dụ áp dụng b a     Ví dụ Cho a  b  Chứng minh  a  a    b  b      Chứng minh