Đang tải... (xem toàn văn)
Trong BD HSG Toán 9 bạn cần có nhiều đề để ôn luyện và rèn kĩ năng cho HS. Bạn muốn tìm tài liệu ôn thi cho HS dưới dạng các đề theo hệ thống. Bạn muốn tìm những đề thi có hệ thống và có hướng dẫn giải hãy đến với tài liệu đề thi sau. Gồm đủ 18 đề. (Đề 17)
ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ THI SÔ 17 Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4 điểm) a) Chứng minh A = 13 48 số nguyên 6 b) Cho x số thực dương thỏa mãn x B = x5 1 14 Tính giá trị biểu thức A = x x x x5 Câu (3 điểm) � x2 1 �� x � �x Cho biểu thức P = � � 2 � �x x x �� x � a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị x P có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu (4 điểm) a)Với a, b số nguyên Chứng minh 4a + 3ab 11b chia hết cho a4 b4 chia hết cho b) Giải phương trình: 2x x x x 1 x x 1 Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a M điểm nằm tam giác Gọi N, P, Q hình chiếu M cạnh AB, BC, AC a) Chứng minh M thay đổi, tổng MN + MP + MQ có giá trị không đổi b) Chứng minh MA, MB, MC độ dài ba cạnh tam giác Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Điểm M cạnh AC (M khơng trùng với A C ) Kẻ tia Ax vuông góc với BM, tia Ax cắt BC H Gọi K điểm đối xứng C qua H Kẻ tia Ky vng góc BM , tia Ky cắt AB I � Chứng minh rằng: Khi M di chuyển cạnh AC ta ln có AIM khơng đổi Câu (1 điểm) Cho a, b hai số dương thỏa mãn a b �1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F a b3 a b ab ==== hết === 1a) Ta có : 4a2 3ab 11b2 M 5� 5a2 5ab 10b2 a2 2ab b2 M � a2 2ab b2 M � a b M � a bM ( Vì số nguyên tố) - Ta có: a b a b a b a b M5 (đpcm) 4 Câu (3 điểm) � x2 1 ��4 x � �x Cho biểu thức P = � � 2 � �x x x �� x � a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị x P có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ � x2 1 �� x4 � a) P � � �x � �x x x �� x � x 1 x 1 x x 1 �4 x x �x � x2 x2 1 x4 x 1 � x4 1 x4 x2 1 x4 x2 x 1 x x 1 x2 x2 x2 x2 3 1 b) P x 1 x 1 x 1 � �� Do x 2 x 1 x 1 � � � � 3 x 1 2 với x Dấu xảy x = Vậy P = - x = Câu (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Điểm M cạnh AC (M không trùng với A C ) Kẻ tia Ax vng góc với BM, tia Ax cắt BC H Gọi K điểm đối xứng C qua H Kẻ tia Ky vng góc BM , tia Ky cắt AB I � Chứng minh rằng: Khi M di chuyển cạnh AC ta ln có AIM khơng đổi GIẢI: Dựng điểm F đối xứng với I qua A Nối CF Ta có: KI // AH (cung vng góc BM) Suy ra: BI BK BI BK BI BK � � � IK / /CF IA KH IA KH IF KC B Mà IK BM nên BK CF Do đó: � ABM � ACF � ) (cùng phụ BFC Xét ABM ACF có: � � CAF � 900 ABM � ACF ; AB = AC ; BAM Nên ABM = ACF (gcg) Suy AF = AM, AF = AI nên AM = AI K Vậy AIM vuông cân A � 450 Do AIM y I Câu (1 điểm) biểu thức: Cho a, b hai số dương thỏa mãn a b �1 Tìm giá trị nhỏ F a b3 a b ab 3 2 Ta có bđt a b �a b ab ab a b a, b Suy a b � ab a b Mà a b �1 nên a b � ab 3 2 x A M 3 H F + a b2 a b 2ab �1 2ab 3 Do đó: F a3 b3 a b ab � ab 2ab ab 2 1 15 � � 15 15 ab ab ab ab � ab � � 16 16 � � 16 16 Câu (4 điểm) 2 a)Giải phương trình: x 16 x 25 x 16 x 25 � x 16 25 x Áp dụng bất đẳng thức a b �a b , xảy dấu đẳng thức ۳ ab cho vế trái PT ta có: x 16 25 x �x 16 25 x = VP C �x 16 �0 �x �16 � �2 25 x �0 � �x �25 16 Dấu “=” xảy � � ۣ � 16 x2 25 x x2 25 � 5 �x �5 �4 �x �5 �x �5 � � �� 5 �x �4 �x �4 v x �4 � Nghiệm PT là: �x �5 ; 5 �x �4 b)Tính giá trị biểu thức A x3 3x 3 2017 x 2 �a �3 a b 2 2 32 � � �� 2 Giải: Đặt � b � � ab � 2 � Ta có: x3 a b a3 b3 3ab a b 3x Suy x3 3x Do đó: A x3 x 3 3 Câu (4 điểm) a) Cho biết x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by Chứng minh rằng: 2017 2017 1 2 1 a 1 b 1 c Giải: + Ta có: x + y = ax + by + 2cz = z + 2cz => x + y – z = 2cz x yz x yz x yz � c 1 1 2z 2z 2z 2z � (1) c 1 x y z �c y + z = 2ax + by + cz => y + z – x = 2ax � a + � yzx x yz � a 1 2x 2x 2x (2) a 1 x y z + z + x = 2by + ax + cz = 2by + y => z + x – y = 2by zx y zx y x yz � b 1 1 2y 2y 2y 2y � (3) b 1 x y z �b + Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta 2 x y z 1 2x 2y 2z 2 a 1 b 1 c 1 x y z x y z x y z x y z ab bc ca 5 �1 với a, b, c > abc = b) Chứng minh 5 a b ab b c bc c a ca Ta có: a5 b5 �a 3b2 a 2b3 � a5 a3b b5 a 2b3 �0 � a a b b3 a b �0 � a b a b3 �0 � a b a b a ab b �0 (bđt đúng) Dấu xảy a = b Ta có a5 b5 �a 3b2 a 2b3 � a5 b5 ab �a 3b a 2b3 ab ab a b5 ab ab a b a 2b3 ab a b ab abc a b ab abc abc ab a b c c abc Vậy ab c � a b ab a b c Tương tự bc a ca b � � ; 5 b c bc a b c c a ca a b c Cộng vế theo vế => đpcm Câu (3 điểm) a)Cho số nguyên n không chia hết cho Chứng minh giá trị biểu thức 4n 3n chia hết cho Giải: + Vì n khơng chia hết cho nên n = 6k + n = 6k – (Với k thuộc Z) + Nếu n = 6k + 4n 3n 6k 1 6k 1 36k 12k 18k 4.36k 4.12k 18k 144k 66k 12 24k 11k M6 + Nếu n = 6k – 4n 3n 6k 1 6k 1 24k 5k 1 M6 + Vậy ……………………… b) Chứng minh giá trị biểu thức n6 – n2 chia hết cho 60 với số nguyên n Ta có: 60 = 2 2 2 + B n n n n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 + Ta có n 1 n n 1 M3 � B M3 + Nếu n chẳn n2 chia hết cho � B M4 n lẻ thi n – n + số chẵn � n 1 n 1 M4 � B M4 + n2 có chữ số tận 0; 1; 4; 5; 6; + Nếu n2 có chữ số tận n M5 n2 có chữ số tận n 1M5 n2 có chữ số tận n 1M5 Suy � B M5 + Vì 3, 4, đơi ngun tố nên B chia hết cho 60 Câu (5 điểm) Câu (3 điểm) Câu (2 điểm) x 2y Cho x, y hai số dương thỏa mãn x y Chứng minh xy � x 2y � x 1 y y 1 x 1 x 1 y 1 x 1 y � x xy y xy y x xy � y xy � y xy � xy y y y y y2 Ta có: xy xy y 2 2 4 y y y y 1 y 1 � 8 8 1 Dấu “=” xảy y ; x 2 === hết=== Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, H trực tâm tam giác Đường thẳng vuông góc BC C cắt tia BH D Đường thẳng vng góc BC B cắt tia CH E Gọi M, N trung điểm BE, CD a) Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng b) Trung tuyến AI tam giác ABC cắt MN P Chứng minh BC2 = 4AI IP � HDC � ; BEH � DCH � a) + BE // CD EBH (sl trong) => HBE HDC (g.g) => HE BE EM EM HC CD 2CN CN � NCH � ; HE EM � HEM + HEM HCN có: MEH HC D HCN (c.g.c) CN � � Do đó: EHM CHN � NHE � 1800 � MHE � NHE � 1800 � M, H, E thẳng hàng mà CHN A N E H M B C 2 a) Cho a, b hai số thực thỏa mãn a a 2017 b b 2017 2017 Tính giá trị biểu thức P a b 20172 Giải a a a 2017 a a 2017 b a 2017 b b 2017 2017 � b 2017 2 � �� a a 2017 � b b2 2017 � � �� � 2017 a a 2017 b b 2017 � 2017 2017 2017 a a 2017 b � a a 2017 b b 2017 2017 � ab a b2 2017 b a 2017 a 2017 b 2017 2017 (1) Mặt khác từ giả thiết a b2 2017 b b 2017 2017 a a 2017 b b 2017 a 2017 b b 2017 2017 � ab a b2 2017 b a 2017 a 2017 b 2017 2017 Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta 2a b 2017 2b a 2017 � a b2 2017 b a 2017 (2) ... 2 017 b 2 017 2 017 (1) Mặt khác từ giả thi t a b2 2 017 b b 2 017 2 017 a a 2 017 b b 2 017 a 2 017 b b 2 017 2 017 � ab a b2 2 017 b a 2 017 a 2 017 b... 2 017 � b b2 2 017 � � �� � 2 017 a a 2 017 b b 2 017 � 2 017 2 017 2 017 a a 2 017 b � a a 2 017 b b 2 017 2 017 � ab a b2 2 017 b a 2 017 ... a 2 017 b b 2 017 2 017 Tính giá trị biểu thức P a b 2 0172 Giải a a a 2 017 a a 2 017 b a 2 017 b b 2 017 2 017 � b 2 017 2 �