SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 10 TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC NĂM HỌC 2016 – 2017 (Thời gian làm bài: 120 phút) Câu (3,5 điểm): Cho hàm số y x x hàm số y 2 x m Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trọng tâm G tam giác OAB đến trục tọa độ (điểm O gốc tọa độ) Câu (6.5 điểm): xy x y x y a) Giải hệ phương trình: x y b) Giải phương trình: x 3( x x) x x3 Câu (1,5 điểm): Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức hb p( p b) ( hb độ dài đường cao ứng với cạnh AC) Chứng minh tam giác ABC tam giác cân Câu (3,5 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;1) Trên trục Ox, Oy lấy hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông A Tìm tọa độ điểm B, C cho diện tích tam giác ABC lớn biết hoành độ điểm B tung độ điểm C không âm Câu (3,0 điểm): Cho đường tròn tâm O ba dây cung song song AB, CD, EF đường tròn Gọi H, I, K trực tâm tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H, I, K thẳng hàng Câu (2,0 điểm): Cho a, b, c thỏa mãn: a b c ab 2bc 2ca Chứng minh: c2 c2 ab 2 2 a b (a b c) a b - Hết -Họ tên thí sinh: SBD: Chú ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD & ĐT HÀ NỘI KỲ THI OLYMPIC MƠN TỐN 10 TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM Câu (3,5đ) Nội dung đáp án Xét phương trình hồnh độ giao điểm: Điểm 1,5 x x 2 x m x x m (1) Hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt A, B Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m 8 Gọi x A , xB hai nghiệm phương trình (1), G trọng tâm tam 1,0 giác OAB x A xB xO 2 xG Ta có: y y A yB yO 12 2m G 3 Yêu cầu toán xG yG 1,0 12 2m m 3 m 9 Kết hợp điều kiện,vậy m=-3 thỏa mãn yêu cầu toán 2a Điều kiện: x 1; y (3,5 đ) Với điều kiện trên, hệ phương trình 0,5 1,5 x y y xy ( x y ) x y ( x y )( x y 1) x y x y (loại) x y x 1 y x y 2 y 1,0 y x 0,5 KL: Vậy hệ phương trình có nghiệm (5; 2) 2b Điều kiện: x (3,0 đ) 0,25 Với điều kiện trên, phương trình tương đương: 1,0 x( x 2) x x x x( x 2) x ( x 2)(2 x x 2) ( x 2)(3 x x x x 2) (loại) x 2 3 x x x x 0(1) 0,5 (1) 2(2 x 1) x x x 2(2 x 1) x 0(2) x2 x Đặt t 0,5 2x 1 (t 0) x Phương trình (2) trở thành: 2t 3t t 2 t Với t (loại) 2x 1 x 0,5 x2 8x x x Kết hợp điều kiện, tập nghiệm phương trình là: (1,5đ) S {4-2 3; 4+2 3} 0,25 Ta có: 0,5 2S S bhb hb b S p ( p a )( p b)( p c) Theo đề bài: 2S b p ( p b) 0,5 2S b p ( p b) ( p a )( p c) b ( p a )( p c) p a p c pa pc 0,5 0 pa pc ac Vậy tam giác ABC cân B (3,5đ) Gọi B(b;0), C(0;c) ( b, c ) 1,5 AB (b 3; 1) AB (b 3) AC (3; c 1) AC (c 1) Tam giác ABC vuông A AB AC 3(b 3) (c 1) c 10 3b Mà c 10 3b b Lại có: S ABC 10 1,0 (b 3) (c 1) (b 3) (3 b) b 9b 15 Xét hàm số f ( x) x x 15 ( x Bảng biến thiên: x 1,0 10 ) 10 3 f(x) 15 Vậy diện tích tam giác ABC lớn 15 b=0 B(0;0), C (0;10) (3,0đ) *) Chứng minh tính chất: Cho tam giác ABC Gọi H, O trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì: OA OB OC OH Gọi A’ điểm đối xứng A qua O, D trung điểm BC Ta có: tứ giác BHCA’ hình bình hành nên D trung điểm HA’ 1,0 Mà OB OC 2OD AH OB OC OH OA OA OB OC OH *)Ta có: H, I, K trực tâm tam giác ACF, AED, BCE 1,0 OH OA OC OF(1) OI OA OE OD(2) OK OB OC OE (3) Từ (1)và (2) IH DC EF (1)và (3) KH BA EF Mà AB//CD//EF m, n cho DC mEF , BH nEF 1,0 IH (m 1)EF , KH (n 1)EF IH , KH phương I , H , K thẳng hàng (3,0đ) a c Đặt x , y 1,0 b (x,y >0) c Theo đề : a b c ab 2bc 2ca x y xy x y ( x y 1) xy Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: xy ( x y)2 ( x y)2 x y 2 Do đó: x y 1 Ta có: P 1,5 c2 c2 ab 2 a b (a b c) a b xy 1 2 x y ( x y 1) x y xy 1 x y xy x y xy 1 2 xy xy x y x y xy 2 ( x y) xy x y 2 ( x y) 2( x y ) xy P 2 x y ( x y) 2( x y ) 2 2 2 2.2 Dấu xảy x = y =1 a=b=c 0,5 ...SỞ GD & ĐT HÀ NỘI KỲ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 10 TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM Câu (3,5đ) Nội dung đáp án Xét phương... c 10 3b Mà c 10 3b b Lại có: S ABC 10 1,0 (b 3) (c 1) (b 3) (3 b) b 9b 15 Xét hàm số f ( x) x x 15 ( x Bảng biến thi n: x 1,0 10 ) 10 3... Bảng biến thi n: x 1,0 10 ) 10 3 f(x) 15 Vậy diện tích tam giác ABC lớn 15 b=0 B(0;0), C (0 ;10) (3,0đ) *) Chứng minh tính chất: Cho tam giác ABC Gọi H, O trực tâm, tâm