de thi hsg mon toan lop 10 truong thpt con cuong nghe an nam 2015 2016

VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí SỞ GD & ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 TRƯỜNG THPT CON CNG NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) Cho phương trình:  m   x   2m  1 x  3m   (1) a) Giải phương trình (1) m  b) Giả sử x1; x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m cho  2m  1 x1   m   x22  m  Câu (3,0 điểm) Giải phương trình: x x 1    x  x  3x  1    Câu (2,0 điểm) Cho a, b số thực thỏa mãn: a, b   ;2  a  b  4ab Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a  b  2a  b Câu (3,0 điểm) Cho sin   cos     ,    0;  Tính giá trị biểu thức sau:  4   P  cos      1  sin cos   sin   cos   4  Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC Điểm M thuộc cạnh BC cho MC  3MB , I điểm thuộc đoạn AM cho AI  3IM Xác định điểm K thuộc cạnh AC cho ba điểm B, I , K thẳng hàng Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  2;6  , đường phân  3  2 tiếp tam giác ABC có phương trình: x  y  x  y  30  giác góc A cắt cạnh BC D  2;-  Viết phương trình cạnh BC Biết đường tròn Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Nội dung Câu a) Giải phương trình (1) m  Khi m  PT (1) có dạng: x  x   Ta có: a  b  c  PT (1) có nghiệm phân biệt: x1  x2  b) Tìm giá trị m thỏa mãn m   a      2m  1   m   3m  3  Để PT(1) có nghiệm   m  m      10  10  (*)  m    m  40 m  23    4 2m  3m  Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  x1 x2  m2 m2 Theo ra:  2m  1 x1   m   x2  m    x1  x2  x1  x22  Điểm 5,0 1,5 0,5 0,5 0,5 3,5 0,5 1,0 0,5 0,5  2m   3m     17 m   m  (Không thỏa mãn)   m2 17  m2  Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn tốn Giải phương trình: 0,5 0,5 3,0 ĐK: x  x 1 Trên ĐK PT    x  x   x  x  1 0,5 Giải PT(1) Ta nhận thấy x  không nghiệm PT (1) nên PT (1)  Đặt t  x x 1    2 x    x x  0,5 ; ĐK: t  x 0,5 t  t  2 (Loại) Ta PT: t   2t   t  2t     0,5   x  x 1  x    x   x Vậy PT cho có ba nghiệm: x  x   1,0 Khi t  ta có x VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Tìm giá trị lớn biểu thức 2,0 Ta có: P   a  b    a  b    a  b    a  b  Đặt: t  a  b  0,5 Khi đó: P  f (t )  t  3t Theo ra: a  b  4ab   a  b   a  b   t  (do a  b  a, b   0;2   a   b    ab   a  b    ) 0,5 ab 16 16  2a  b    a  b   t  7  16  Xét hàm số: f (t )  t  3t đoạn 1;   7  Ta có bảng biến thiên: t 0,5 80  49 2 f (t )  Vậy maxP   16 80 2 a  2; b  a  ; b  49 7 0,5 Tính giá trị biểu thức   Ta có: cos    3,0     sin   cos   4 2 1  sin cos   sin   cos    P 1,0 1  sin   cos   sin   cos   sin   cos  0,5 Theo ra:  sin   cos     sin   cos      sin   cos    2   Do    0;   sin   cos    sin   cos     4 3 Vậy: P  Xác định điểm K       Đặt: AB  a ; AC  b AK  t AC 2 1,0 0,5 4,0 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí    Khi đó: BK   a  t.b Ta có: 0,5       AI  AM  AB  BM ; BM  BC 4       AC  AB  AI  a  b 16 16        3 Mà BI  AI  AB  a  b  a   a  b 16 16 16 16 Để ba điểm B, I , K thẳng hàng         m : BK  mBI   a  t.b  m   a  b  16   16 7m 16      m    16   t  3m t   16    Suy AK  AC  AK  AC 7 Vậy điểm K thuộc cạnh AC cho AK  AC Viết phương trình cạnh BC    A  1,0 K I B M C 0,5 0,5 1,0 3,0     Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I   ;1 0,5 Phương trình đường thẳng AD : x   0,5 Giao điểm E khác A AD với đường tròn (C) nghiệm hệ: A  x    x  2; y  4    x  2; y   E  2; 4  x  y  x  y  120      CAE  (do AD phân giác) Mặt khác: BAE B   EC   IE  BC  EB   2   1,0 I D C 0,5 E  Mà IE   ; 5   cạnh BC có vtpt n  1; 2  3  Phương trình cạnh BC: 1 x     y     x  y   2  0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Một số điểm lưu ý: Học sinh giải cách khác đáp án cho điểm tương ứng đáp án nêu Cách giải khác Câu 3: (Dồn biến theo tích a.b) Ta có: P   a  b    a  b   16  ab   12ab Đặt: t  ab  Khi đó: P  f (t )  16t  12t 16 Theo ra: 4ab   a  b   16  ab   ab  2 1  t  (do ab  ) 4 16 a, b   0;2   a   b    ab   a  b     ab  8ab    ab  4 t  7 1 4 Xét hàm số: f (t )  16t  12t đoạn  ;  4 7 Ta có bảng biến thiên: t  2 f (t )  Vậy maxP   80 49 80 2 t   a  2; b  a  ; b  49 7 Cách giải khác Câu 5: (Bằng cách sử dụng định lí Menelaus) Định lí (Menelaus): Là định lí khơng quen thuộc chương trình giáo khoa THCS Vì yêu cầu học sinh cần nêu rõ tên nội dung định lí (khơng cần chứng minh) Định lí (Menelaus): Cho tam giác ABC, ba điểm M,N,P nằm A K I B M C VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí đường thẳng AB, BC, CA Nếu M,N,P thẳng hàng MA NB PC 1 MB NC PA Áp dụng định lí (Menelaus) cho tam giác AMC ta có ba điểm I,B,K nằm ba đường thẳng AM, MC, CK Khi I, B, K thẳng hàng Mà IA  3IM  IA BM KC 1 IM BC KA IA BM  ; MC  3MB   IM BC KC   AK  KC KA Từ ta có: Vậy điểm K thuộc cạnh AC cho AK  KC Cách khác câu 5: (giải theo CT lớp 9) A Kẻ MN // BK , N thuộc AC K CM CN Theo định lí Talet tam giác CBK ta có:  3 MB NK Theo định lí Talet tam giác AMN ta có: Từ suy ra: AI AK  3 IM KN AK CN    AK  CN  NK KN NK Mà CK  CN  NK  NK Suy ra: AK  CK Hết N I B M C ... m   a      2m  1   m   3m  3  Để PT(1) có nghiệm   m  m      10  10  (*)  m    m  40 m  23    4 2m  3m  Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  x1 x2 ...  b    a  b   t  7  16  Xét hàm số: f (t )  t  3t đoạn 1;   7  Ta có bảng biến thi n: t 0,5 80  49 2 f (t )  Vậy maxP   16 80 2 a  2; b  a  ; b  49 7 0,5 Tính giá trị...  8ab    ab  4 t  7 1 4 Xét hàm số: f (t )  16t  12t đoạn  ;  4 7 Ta có bảng biến thi n: t  2 f (t )  Vậy maxP   80 49 80 2 t   a  2; b  a  ; b  49 7 Cách giải khác Câu