VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí SỞ GD & ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 TRƯỜNG THPT CON CNG NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) Cho phương trình: m x 2m 1 x 3m (1) a) Giải phương trình (1) m b) Giả sử x1; x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m cho 2m 1 x1 m x22 m Câu (3,0 điểm) Giải phương trình: x x 1 x x 3x 1 Câu (2,0 điểm) Cho a, b số thực thỏa mãn: a, b ;2 a b 4ab Tìm giá trị lớn biểu thức: P a b 2a b Câu (3,0 điểm) Cho sin cos , 0; Tính giá trị biểu thức sau: 4 P cos 1 sin cos sin cos 4 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC Điểm M thuộc cạnh BC cho MC 3MB , I điểm thuộc đoạn AM cho AI 3IM Xác định điểm K thuộc cạnh AC cho ba điểm B, I , K thẳng hàng Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 2;6 , đường phân 3 2 tiếp tam giác ABC có phương trình: x y x y 30 giác góc A cắt cạnh BC D 2;- Viết phương trình cạnh BC Biết đường tròn Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Nội dung Câu a) Giải phương trình (1) m Khi m PT (1) có dạng: x x Ta có: a b c PT (1) có nghiệm phân biệt: x1 x2 b) Tìm giá trị m thỏa mãn m a 2m 1 m 3m 3 Để PT(1) có nghiệm m m 10 10 (*) m m 40 m 23 4 2m 3m Theo hệ thức Viet ta có: x1 x2 x1 x2 m2 m2 Theo ra: 2m 1 x1 m x2 m x1 x2 x1 x22 Điểm 5,0 1,5 0,5 0,5 0,5 3,5 0,5 1,0 0,5 0,5 2m 3m 17 m m (Không thỏa mãn) m2 17 m2 Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn tốn Giải phương trình: 0,5 0,5 3,0 ĐK: x x 1 Trên ĐK PT x x x x 1 0,5 Giải PT(1) Ta nhận thấy x không nghiệm PT (1) nên PT (1) Đặt t x x 1 2 x x x 0,5 ; ĐK: t x 0,5 t t 2 (Loại) Ta PT: t 2t t 2t 0,5 x x 1 x x x Vậy PT cho có ba nghiệm: x x 1,0 Khi t ta có x VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Tìm giá trị lớn biểu thức 2,0 Ta có: P a b a b a b a b Đặt: t a b 0,5 Khi đó: P f (t ) t 3t Theo ra: a b 4ab a b a b t (do a b a, b 0;2 a b ab a b ) 0,5 ab 16 16 2a b a b t 7 16 Xét hàm số: f (t ) t 3t đoạn 1; 7 Ta có bảng biến thiên: t 0,5 80 49 2 f (t ) Vậy maxP 16 80 2 a 2; b a ; b 49 7 0,5 Tính giá trị biểu thức Ta có: cos 3,0 sin cos 4 2 1 sin cos sin cos P 1,0 1 sin cos sin cos sin cos 0,5 Theo ra: sin cos sin cos sin cos 2 Do 0; sin cos sin cos 4 3 Vậy: P Xác định điểm K Đặt: AB a ; AC b AK t AC 2 1,0 0,5 4,0 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Khi đó: BK a t.b Ta có: 0,5 AI AM AB BM ; BM BC 4 AC AB AI a b 16 16 3 Mà BI AI AB a b a a b 16 16 16 16 Để ba điểm B, I , K thẳng hàng m : BK mBI a t.b m a b 16 16 7m 16 m 16 t 3m t 16 Suy AK AC AK AC 7 Vậy điểm K thuộc cạnh AC cho AK AC Viết phương trình cạnh BC A 1,0 K I B M C 0,5 0,5 1,0 3,0 Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I ;1 0,5 Phương trình đường thẳng AD : x 0,5 Giao điểm E khác A AD với đường tròn (C) nghiệm hệ: A x x 2; y 4 x 2; y E 2; 4 x y x y 120 CAE (do AD phân giác) Mặt khác: BAE B EC IE BC EB 2 1,0 I D C 0,5 E Mà IE ; 5 cạnh BC có vtpt n 1; 2 3 Phương trình cạnh BC: 1 x y x y 2 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Một số điểm lưu ý: Học sinh giải cách khác đáp án cho điểm tương ứng đáp án nêu Cách giải khác Câu 3: (Dồn biến theo tích a.b) Ta có: P a b a b 16 ab 12ab Đặt: t ab Khi đó: P f (t ) 16t 12t 16 Theo ra: 4ab a b 16 ab ab 2 1 t (do ab ) 4 16 a, b 0;2 a b ab a b ab 8ab ab 4 t 7 1 4 Xét hàm số: f (t ) 16t 12t đoạn ; 4 7 Ta có bảng biến thiên: t 2 f (t ) Vậy maxP 80 49 80 2 t a 2; b a ; b 49 7 Cách giải khác Câu 5: (Bằng cách sử dụng định lí Menelaus) Định lí (Menelaus): Là định lí khơng quen thuộc chương trình giáo khoa THCS Vì yêu cầu học sinh cần nêu rõ tên nội dung định lí (khơng cần chứng minh) Định lí (Menelaus): Cho tam giác ABC, ba điểm M,N,P nằm A K I B M C VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí đường thẳng AB, BC, CA Nếu M,N,P thẳng hàng MA NB PC 1 MB NC PA Áp dụng định lí (Menelaus) cho tam giác AMC ta có ba điểm I,B,K nằm ba đường thẳng AM, MC, CK Khi I, B, K thẳng hàng Mà IA 3IM IA BM KC 1 IM BC KA IA BM ; MC 3MB IM BC KC AK KC KA Từ ta có: Vậy điểm K thuộc cạnh AC cho AK KC Cách khác câu 5: (giải theo CT lớp 9) A Kẻ MN // BK , N thuộc AC K CM CN Theo định lí Talet tam giác CBK ta có: 3 MB NK Theo định lí Talet tam giác AMN ta có: Từ suy ra: AI AK 3 IM KN AK CN AK CN NK KN NK Mà CK CN NK NK Suy ra: AK CK Hết N I B M C ... m a 2m 1 m 3m 3 Để PT(1) có nghiệm m m 10 10 (*) m m 40 m 23 4 2m 3m Theo hệ thức Viet ta có: x1 x2 x1 x2 ... b a b t 7 16 Xét hàm số: f (t ) t 3t đoạn 1; 7 Ta có bảng biến thi n: t 0,5 80 49 2 f (t ) Vậy maxP 16 80 2 a 2; b a ; b 49 7 0,5 Tính giá trị... 8ab ab 4 t 7 1 4 Xét hàm số: f (t ) 16t 12t đoạn ; 4 7 Ta có bảng biến thi n: t 2 f (t ) Vậy maxP 80 49 80 2 t a 2; b a ; b 49 7 Cách giải khác Câu