CONG PHA TOAN 2CHUONG 5DAO HAM

Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Cơng Phá Tốn Tập 2” Q Thầy Cơ mua trọn File Word “Cơng Phá Tốn Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM CHỦ ĐỀ ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM A LÝ THUYẾT Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y  f  x  xác định  a; b  x0 � a; b  Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim x � x0 f  x   f  x0  giới hạn gọi đạo hàm hàm số y  f  x  điểm x0 x  x0  x0   xlim  x0  y�  x0  Vậy f � Kí hiệu: f � �x f  x   f  x0  x  x0 STUDY TIP Nếu x  x  x0 y  f  x   f  x0   f  x0  x   f  x0  f �  x0   lim x �0 y x  x gọi số gia đối số điểm x0 y gọi số gia hàm số tương ứng  Đạo hàm bên trái, bên phải a) Đạo hàm bên trái f�  x0   lim x � x0 f  x   f  x0  y   lim x � x0 hiểu x � x0 x  x0 x �  x x  x0 b) Đạo hàm bên phải f�  x0   lim x � x0 f  x   f  x0  y   lim x � x0 hiểu x � x0 x  x0 x �0 x x  x0 Nhận xét: Hàm số f  x  có đạo hàm điểm x0 � f �  x0  f � x0  tồn Khi f�  x0   f � x0   f � x0  Đạo hàm khoảng, đoạn a) Hàm số y  f  x  gọi có đạo hàm khoảng  a; b  có đạo hàm điểm khoảng b) Hàm số y  f  x  gọi có đạo hàm đoạn  a; b  có đạo hàm khoảng  a; b  có đạo hàm phải a đạo hàm trái b Quan hệ tồn đạo hàm tính liện tục hàm số - Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm điểm x0 liên tục điểm STUDY TIP  Hàm số liên tục điểm x0 khơng có đạo hàm điểm  Hàm số khơng liên tục x0 khơng có đạo hàm điểm B CÁC DẠNG TỐN TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: Tính đạo hàm hàm số y  f  x  điểm x0 định nghĩa Cách 1: - Tính xlim �x f  x   f  x0  (1) x  x0 Nếu tồn giới hạn (1) hàm số có đạo hàm x0 ngược lại hàm số khơng có đạo hàm x0 Cách 2: Tính theo số gia - Cho x0 số gia x : x  x  x0 � y  f  x0  x   f  x0  y Lập tỉ số x y Tính giới hạn lim x �0 x Mối quan hệ tính liên tục vào đạo hàm - - f  x   f  x0  � lim  Hàm số y  f  x  liên tục điểm x0 � xlim �x0 x �0 Hàm số y  f  x  có đạo hàm điểm x0 � y  f  x  liên tục điểm x0 Hàm số y  f  x  liên tục điểm x0 chưa có đạo hàm điểm x0 Ví dụ Cho hàm số f  x   x  Tính đạo hàm hàm số điểm x0  A B C 2 D Lời giải Đáp án A f  x   f  1 x 1   lim x �1 x � x 1 x 1 x 1 1  lim  lim  x �1  x  1 x   x�1 x   2  Cách 1: Xét lim   Cách 2: y  f  x  1  f  1  x   y x    x x lim x �0 y x    lim  lim  x � x �0 x x x  x  x    lim x �0   x  STUDY TIP Nhân lượng liên hợp: a b ab a b a b  Giải theo cách tỏ đơn giản nhanh cách a  b2 a b Ví dụ Khi tính đạo hàm hàm số f  x   x  x  điểm x0  , học sinh tính theo bước sau: Bước 1: f  x   f    f  x   11 f  x   f   x  x   11  x    x   Bước 2:    x7 x2 x2 x2 f  x   f  2  2  Bước 3: lim  lim  x    Vậy f � x �2 x �2 x2 Tính tốn sai sai bước A Bước B Bước C Bước D Tính tốn Lời giải Học sinh tính đạo hàm định nghĩa theo cách bước STUDY TIP Phương trình bậc hai ax  bx  c  có hai nghiệm x1 , x2 � a  x  x1   x  x2   Ví dụ Số gia hàm số f  x   x ứng với số gia x đối số x x0  1 là: A  x   2x  B  x   2x  2 C  x   2x D  x   2x Lời giải Đáp án D 2 Với số gia x đối số x điểm x0  1 , ta có: y   1  x     x   2x Ví dụ Cho hàm số f  x   x  x , đạo hàm hàm số ứng với số gia x đối số x x0 là:    x   x0 x  x A lim x �0  x  x0  1 B lim x �0  x  x0  1 C lim x �0  x   x0 x  x D lim x �0   Lời giải Đáp án B Ta có: y   x0  x    x0  x    x0  x0    x   x0 x  x 2 y  lim  x  x0  1 x �0 x x�0  x0  Khẳng định sau sai Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đao hàm điểm x0 f � � f�  x0   lim  x0   xlim A f � �x C f �  x0   lim h �0 f  x   f  x0  x  x0 f  x0  x   f  x0  x �0 x f  x  x0   f  x0   lim x � x0 x  x0 B f �  x0   lim f  x  h   f  x0  h  x0  D f � Lời giải Đáp án D - A theo định nghĩa - B x  x  x0 nên x � x0 � x � - C Đặt h  x  x  x0 � x  h  x0 , h � x � x0 f�  x0   lim x � x0 f  x   f  x0  f  x  h   f  x0  f  x0  h   f  x0   lim  lim h �0 h �0 h  x0  x0 x  x0 h - Vậy D sai Ví dụ Xét ba mệnh đề sau: (1) Nếu hàm số f  x  có đạo hàm điểm x  x0 f  x  liên tục điểm (2) Nếu hàm số f  x  liên tục điểm x  x0 f  x  có đạo hàm điểm (3) Nếu hàm số f  x  gián đoạn điểm x  x0 chắn f  x  khơng có đạo hàm điểm Trong ba mệnh trên: A (1) (3) B (2) C (1) (2) D (2) (3) Lời giải Đáp án A Mệnh đề (2) sai vì: Xét hàm số f  x   x có tập xác định D  � nên hàm số liên tục �, ta có: lim x �0 f  x   f  0 f  x   f  0  lim  1 nên hàm số khơng có đạo hàm x �0 x0 x0 x0 STUDY TIP - Khi x � 0 � x  nên x  x - Khi x � 0 � x  nên x   x Ví dụ Cho hàm số y  f  x   A x2  x  Tính đạo hàm hàm số điểm x0  1 x B C D Không tồn Lời giải Đáp án D Hàm số liên tục x0  1 Ta có xlim �1 lim x �1 f  x   f  1 x2  x   lim 0 x �1 x 1 x  x  1 (1) f  x   f  1 x2 1  lim  (2) x �1 x  x  1 x 1 Từ (1) (2) � hàm số khơng có đạo hàm điểm x0  1 STUDY TIP Hàm số f  x  có đạo hàm x0 � f �  x0   f � x0   f � x0  � 3 4 x Ví dụ Cho hàm số f  x   � � 1 A B 16 x �0 x    kết sau đây? Khi f � C Lời giải Đáp án A D Ta có: lim x �0 f  x   f  0 2 4 x 1  lim  lim  x � x � x0 x 2 4 x � x  �x  1 kết sau Ví dụ Cho hàm số f  x   � Khi f � x �1 �x  1 A B C D f � không tồn Lời giải Đáp án D Ta có: f  1   f�  1   lim x �1 x 1  lim x  x �1 1 x2 1  f � 1   lim  lim  x  1   x �1 x  x �1 x 1   Vì f '   �f '   nên hàm số f  x  không tồn đạo hàm x0  Ví dụ 10 Cho đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Mệnh đề sau sai A Hàm số có đạo hàm x  C Hàm số có đạo hàm x  B Hàm số có đạo hàm x  D Hàm số có đạo hàm x  Lời giải Đáp án B Tại x  đồ thị hàm số bị ngắt nên hàm số không liên tục Vậy hàm số khơng có đạo hàm x 1 STUDY TIP - Đồ thị hàm số liên tục khoảng đường liền khoảng - Hàm số khơng liên tục điểm x0 khơng có đạo hàm x0 �x  x �1 � Ví dụ 11 Tìm a để hàm số f  x   �x  có đạo hàm điểm x  � a x  � A a  2 B a  C a  Lời giải D a  Đáp án B Để hàm số có đạo hàm x  trước hết f  x  phải liên tục x  x2 1 x2 1 2 f  x   f  1 lim   f  1  a Khi � f  1  lim  lim x  1 x �1 x  x �1 x �1 x 1 x 1 Vậy a  STUDY TIP f  x   f  x0  Hàm số f  x  liên tục x0 � xlim �x0 �x  x �0 � Ví dụ 12 Tìm a, b để hàm số f  x   �x  có đạo hàm điểm x  � ax  b x  � �a  11 A � b  11 � a  10 � B � b  10 � a  12 � C � b  12 � �a  1 D � b 1 � Lời giải Đáp án D Trước tiên hàm số phải liên tục x  lim f ( x )   f (0), lim f ( x)  b � b  x �0 x �0 Xét lim x �0 lim x �0 f ( x)  f (0) x 1  lim  1 x �0 x  x f ( x )  f (0)  lim a  a x �0 x Hàm số có đạo hàm x  � a  1 STUDY TIP f ( x )  lim f ( x)  f ( x0 ) Hàm số f ( x) liên tục x0 � xlim � x0 x � x0 � x �0 ax  bx  Ví dụ 13 Tìm a, b để hàm số f ( x)  � có đạo hàm điểm x0  a s in x  b cos x x  � A a  1; b  B a  1; b  C a  1; b  1 D a  0; b  Lời giải Đáp án A Ta có: f (0)  lim f ( x)  lim (ax  bx  1)  x �0 x �0 lim f ( x)  lim (a s in x  b cos x)  b x �0 x �0 Để hàm số liên tục b  f� (0 )  lim x �0 ax  x   1 x x x x 2a sin cos  2sin a s inx  b cos x  2 f� (0 )  lim  lim x �0 x �0 x x x x sin sin x � lim � lim sin x  a  lim a cos � lim  � x �0 x x �0 � � x �0 x x �0 2 (0) � f � (0 )  f � (0  ) � a  Để tồn f � STUDY TIP s inx s inf(x)  � lim 1 Giới hạn lượng giác lim x �0 f ( x ) � x f ( x) (0) Ví dụ 14 Cho hàm số f ( x)  x( x  1)( x  2) ( x  1000) Tính f � A.10000! B 1000! C 1100! D 1110! Lời giải Đáp án B f ( x)  f (0) x ( x  1)( x  2) ( x  1000)  f� ( x )  lim  lim  lim( x  1)( x  2) ( x  1000) x �0 x � x �0 x0 x  (1)(2) (1000)  1000! STUDY TIP Hoán vị n phần tử: Pn  n !  1.2 ( n  1) n  C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu Câu Câu Số gia hàm số f ( x)  x ứng với x0  x  bao nhiêu? A 19 B C 19 D 7 y Tỉ số hàm số f ( x )  x ( x  1) theo x x là: x A x  2x  B x  2(x)  C x  2x  D x.x  2( x )2  2x Số gia hàm số f ( x)  x  x  ứng với x x là: A x(x  x  4) Câu B 2x  x � x2  1 � Cho hàm số f ( x ) xác định: f ( x)  � x � � 1 A B  2 C x(2 x  4x ) x �0 D x  4x (0) bằng: Giá trị f � x  C 2 D Không tồn �x  x  x x �1 � f ( x)  � x  x  � x  � Câu Cho hàm số f ( x ) xác định �\  2 Câu bằng: A B C Xét hai mệnh đề: ( I ) f ( x) có đạo hàm x0 f ( x) liên tục x0 ( II ) f ( x) có liên tục x0 f ( x) đạo hàm x0 (1) Giá trị f � D Không tồn Câu Mệnh đề đúng? A Chỉ ( I ) B Chỉ ( II ) Cho đồ thị hàm số y  f ( x ) hình vẽ: C Cả hai sai D Cả hai Hàm số khơng có đạo hàm điểm sau đây? A x  B x  C x  D x  � x3  x2  x   x �1 � (1) bằng: Câu Cho hàm số f ( x )  � Giá trị f � x 1 � x  � 1 1 A B C D x � x  � � (1) bằng: Câu Cho hàm số f ( x)  �x3  x  x  Giá trị f � x  � x 1 � A B C D Không tồn �x � x �0  Câu 10 Cho hàm số f ( x) xác định � f ( x )  �x Xét hai mệnh đề sau: � x  � (0)  (I ) f � ( II ) Hàm số khơng có đạo hàm x0  Mệnh đề đúng? A Chỉ ( I ) B Chỉ ( II ) C Cả hai D Cả hai sai Câu 11 Xét hai câu sau: x (1) Hàm số y  liên tục x  x 1 x (2) Hàm số y  có đạo hàm x  x 1 Trong câu trên: A (2) B (1) C.Cả (1) , (2) D Cả (1) , (2) sai �3 x   x  x �0 � (0) bằng: Câu 12 Cho hàm số f ( x)  � Giá trị f � x � x  0 � A B  �  x �0 �x sin x Câu 13 Với hàm số f ( x )  � � x  � bước sau:  f ( x)  x sin �x x 2.Khi x � x � nên f ( x) � C D.Khơng tồn .Để tìm đạo hàm f '( x )  học sinh lập luận qua f ( x) f ( x)  lim f ( x )  f (0)  nên hàm số liên tục x  3.Do xlim �0 x �0 4.Từ f ( x) liên tục x  � f ( x) có đạo hàm x  Lập luận sai bước: A.Bước B.Bước C.Bước D.Bước � �x sin x �0 x Câu 14 Cho hàm số f ( x)  � � x  � (1) Hàm số f ( x) liên tục điểm x  (2) Hàm số f ( x) khơng có đạo hàm điểm x  Trong mệnh đề trên: A.Chỉ (1) B Chỉ (2) C.Cả (1), (2) D Cả (1), (2) sai � ax  bx x �1 Câu 15 Cho hàm số f ( x)  � Tìm a, b để hàm số có đạo hàm x  x  x  � A a  1, b  B a  1, b  C a  1, b  D a  1, b  �sin x x  � (0) bằng: Câu 16 Cho hàm số f ( x)  � x Giá trị f � �x  x x �0 � A.1 B C D Câu 17 Xét hàm số y  f ( x) có tập xác định đoạn  a; b  đồng thời x � x0 � a; b  f ( x) � với điều kiện: I f ( x) hàm số liên tục trái liên tục phải x0 II f ( x0 )  III f ( x) có đạo hàm x0 Trong ba điều kiện trên, điều kiện cần đủ để f ( x) liên tục x0 là: A Chỉ I B Chỉ II C Chỉ I II D Chỉ II III Câu 18 Xét ba hàm số: I f ( x)  x x II g ( x )  x III h( x )  x  x Hàm số khơng có đạo hàm x  là: A Chỉ I B Chỉ II D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Đáp án C C Chỉ I II D Chỉ I III y  f  x0  x   f  x0    x0  x   x03 Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Với x0  2, x  � y  19 Đáp án C y f  x   f  x0   x  x0   x  x0    x  x0     x  x0  x x  x0 x  x0 (Với x0  x  x ) Đáp án A y  f  x  x   f  x    x  x    x  x     x  x  1  x  x  x   Đáp án A f  x   f  0 x2  1 1  lim  lim  Xét lim 2 x �0 x � x � x x x 1 1 Vậy f �  0  Đáp án D f  x   f  1 x  x  3 x  x  3x  lim  lim � Xét lim x �1 x � x � x 1  x  1  x    x  1  x  3x   Đáp án A (II) Sai : ví dụ: f  x   x f  x  liên tục x = f  x  khơng có đạo hàm x = (I) Đúng theo đáp án trình bày Đáp án B Tại x = 1, đồ thị hàm số bị gián đoạn nên hàm số khơng liên tục  hàm số khơng có đạo hàm Đáp án C f  x   f 1 x3  2x  x 1 x lim lim lim  x x x x  x  1 x3  2x  x 1 1 Đáp án D lim f  x   lim  x  3 5 x x x3  2x  7x  lim f  x   lim  lim  x  3x  4 0 x x x x  1 Vậy không tồn f � Câu 10 Đáp án B x 0 x f�  lim  �    lim x �0 x  x �0 x x Vậy (I) sai, (II) Câu 11 Đáp án B x Ta có: lim 0  f    Hàm số liên tục x  x x  f  x   f  0 x lim  lim  lim 1 x �0 x � x � x0 x  x  1  x  1 f  x   f  0 x 1  lim  lim  1 x �0 x�0 x  x  1 x�0  x  1 x0 Vậy hàm số khơng có đạo hàm x  Câu 12 Đáp án B lim 3 f  x   f  0 x   8x  4x     8x  lim  lim x x x x x2 x2 Ta có:    4x 8x  lim       2 x x  2 3   4x   4x    8x   Câu 13 Đáp án D f  x   f  0  sin Một hàm số liên tục x0 chưa có đạo hàm điểm đó, x x khơng có giới hạn x  Câu 14 Đáp án C Ta có:  x  x sin  x x 1  lim  x  lim x sin lim x 0  lim x sin 0  f   x x x x x x Vậy hàm số liên tục x  f  x   f  0   lim sin  Xét lim x x x   xn  Lấy dãy (xn): có:   2n lim  lim xn  lim n ��    2n  x � : x � Lấy dãy n n � �  � lim f  xn   lim sin �  2n � n �� n � � �2 �   2 n  , tương tự ta có: f  x  f  0  � � lim xn�  � lim f xn� � lim sin �  2n � � lim  lim sin không n �� n �� n �� x � x � x0 x �6 � tồn Câu 15 Đáp án C  lim f  x  a  b  f 1 x  a  b 1 Ta có:      lim f x  lim x    x  1 x  1 f  x   f 1 ax  bx   a  b  lim  lim  lim  a x  1  b 2a  b x  1 x x x x f  x   f 1 x    a  b 2x   lim  lim  lim 2 x x x x x x  a  b 1  a 1  Ta có hệ:   a  b 2  b 0   Câu 16 Đáp án A sin x  sin x   lim  sin x  0 x x x  x x  lim f  x   lim x  x 0 lim f  x   lim x x   Suy hàm số liên tục x  f  x   f  0 sin x f  x   f  0 x2  x  lim 1; lim  lim 1 x x x x x x x x  0  f � Vậy: f �  0   f � 0   lim Câu 17 Đáp án C - f(x) liên tục x0 tức x  x f  x   f  x  nên (I) (II) - f(x) có đạo hàm x0 điều điện đủ để f(x) liên tục x0 f(x) liên tục x0 f(x) khơng có đạo hàm điểm Câu 18 Đáp án B g  x   g  0  lim  Vậy g  x  khơng có đạo hàm x  Ta có: xlim  0 x x x CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A LÝ THUYẾT Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương Cho hàm số u  u  x  ; v  v  x  có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có:  u  v  � u �  v�  u - v  � = u� - v�  u.v  � u � v  v� u � u� � v� u� v  v� u �1 � �  � �� � �  v2 �v � �v � v STUDY TIP  u1 �u2 � �un  � u1� �u2� � �un� Mở rộng:  u.v.w  � u � v.w  u.v� w  u.v.w � Đạo hàm hàm số hợp Cho hàm số y  f  u  x    f  u  với u u  x  Khi đó: yx� yu� u x� Bảng công thức đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm hợp u u  x  Đạo hàm hàm số sơ cấp  c  � , c số  x  � � �1 � � �  �x � x  x  � x  x  �  x   1  sin x  � cos x � u� �1 � � �  �u � u � u� u  u   u  u  �  u�   1 cos u  sin u  � u�  cos x  �  sin x sin u  cos u  � u�   tan x cos x  cot x  �      cot x  sin x  tan u  �  tan x  � u�  u�   tan x  cos u   cot u   cot u  �   u � sin u STUDY TIP Với hàm số cho bảng xác định với điều kiện đầy đủ B Các dạng tốn quy tắc tính đạo hàm Đạo hàm hàm đa thức - hữu tỉ - thức hàm hợp Phương pháp: - Sử dụng quy tắc, cơng thức tính đạo hàm phần lý thuyết - Nhận biết tính đạo hàm hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức - Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Ví dụ 15 Đạo hàm hàm số y  x  x biểu thức đây? 4 4 A  10 x  B  10 x  C  10 x  x x x Lời giải Đáp án C D  10 x  x Lời giải y�  10 x  x Ví dụ Đạo hàm hàm số y  sau đây: A a  3 a 2x  biểu thức có dạng Khi a nhận giá trị  x  2 x2 B a  C a  Lời giải D a  5 Đáp án C y�   x  1 � x     x  1  x   � � a  2  x  2  x  2 STUDY TIP � ad  bc �ax  b � � � với c �0 ad  bc �0 �cx  d �  cx  d  ax  bx x2  x  Khi a.b bằng: Ví dụ Đạo hàm hàm số y  biểu thức có dạng  x  1 x 1 A a.b  2 B a.b  1 C a.b  D a.b  Lời giải Đáp án A  x  1  x  1   x2  x  1 x  x �  � a.b  2 Cách 1: y  2  x  1  x  1 1 x2  x � � y  1  Cách 2: y  x  2 x 1  x  1  x  1 STUDY TIP � aa� �ax  bx  c � x  2ab� x  bb�  ac� �0 ta có � Với a.a�  � x  b� � x  b�  a�  � a� ax  b x2  x  Khi a  b bằng: biểu thức có dạng 2 x  x    x  x 1 B a  b  C a  b  10 D a  b  12 Lời giải Ví dụ Đạo hàm hàm số y  A a  b  Đáp án D Cách 1: y  4  x  1 x2  x 1  4 8x   1 � y�   2 x  x 1 x  x 1  x  x  1  x  x  1 � u� u� v  uv� Cách 2: Áp dụng � � � v2 �v �  x  1 x  x   x  x   x  1 8 x  y�   � a  b  12 2 x2  x 1 x2  x 1         STUDY TIP a b a c b c x  x  � a b a1 c1 b1 c1 �ax  bx  c � 1 � � �a1 x  b1 x  c1 � a1 x  b1 x  c1   Ví dụ Đạo hàm hàm số y  ax   a  1 x  a  a (với a số) x �� là: A x  a  B 2ax   a C 2ax  3a  2a  D 2ax  a  Lời giải y�  2ax  a  Đáp án D STUDY TIP Với c số  c  �  c.u  � c.u�  x  � nx n n 1 , n ��* ax  b Khi a  b bằng: x2  x  B a  b  1 C a  b  D a  b  2 Lời giải x  x  1 �  2x 1 y�   � a b 1 2 x  x  x2  x 1 Ví dụ Đạo hàm hàm số y  x  x  biểu thức có dạng A a  b  Đáp án C   Ví dụ Đạo hàm hàm số y  x  x  A  x  x  1 C  x  x  1  x  1  x  1 là: B  x  x  1 D  x  x  1  x  1 Lời giải Đáp án C y�   x  x  1 x  x  1 �  x  x  1 STUDY TIP  x  1 u  u  � n.u� n Với u  u  x  : n 1 , n ��*  u  � 2u�u Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Cơng Phá Tốn Tập 2” Q Thầy Cơ mua trọn File Word “Cơng Phá Tốn Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM