CONG PHA TOAN 2CHUONG 4GIOI HAN

Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Cơng Phá Tốn Tập 2” Q Thầy Cơ mua trọn File Word “Cơng Phá Tốn Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN GIỚI HẠN DÃY SỐ A LÝ THUYẾT I DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Định nghĩa Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn ( hay có giới hạn ) với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Kí hiệu: lim un = Nói cách ngắn gọn, lim un = un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Từ định nghĩa suy rằng: a) lim un = ⇔ lim un = b) Dãy số không đổi ( un ) , với un = , có giới hạn c) Dãy số ( un ) có giới hạn un gần được, miễn n đủ lớn Một số dãy số có giới hạn Định lí 4.1 Cho hai dãy số ( un ) ( ) Nếu un ≤ với n lim = lim un = STUDY TIP Định lí 4.1 thường sử dụng để chứng minh dãy số có giới hạn Định lí 4.2 Nếu q < lim q n = Người ta chứng =0 a) lim n b) lim = n c) lim k = với số nguyên dương k cho trước n Trường hợp đặc biệt : lim = n nk = với k ∈ ¥ * a > cho trước an STUDY TIP Cách ghi nhớ kết bên sau: Khi tử số không đổi, mẫu số lớn (dần đến dương vơ cực) phân số nhỏ (dần ) II DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định nghĩa d) lim Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn số thực L lim ( un − L ) = Kí hiệu: lim un = L Dãy số có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn STUDY TIP a) Dãy số không đổi ( un ) với un = c , có giới hạn c b) lim un = L khoảng cách un − L trục số thực từ điểm un đến L trở nên nhỏ miễn n đủ lớn; nói cách hình ảnh, n tăng điểm un “ chụm lại” quanh điểm L c) Không phải dãy số có giới hạn hữu hạn Một số định lí Định lí 4.3 Giả sử lim un = L Khi a) lim un = L lim un = L b) Nếu un ≥ với n L ≥ lim un = L Định lí 4.4 Giả sử lim un = L , lim = M c số Khi a) lim ( un + ) = L + M b) lim ( un − ) = L − M c) lim ( un ) = LM D) lim ( cun ) = cL e) lim un L = (nếu M ≠ ) M Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân có cơng bội q thỏa q < Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: u S = u1 + u1q + u 1q + = 1− q III DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC Dãy số có giới hạn +∞ Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn +∞ với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Kí hiệu: lim un = +∞ Nói cách ngắn gọn, lim un = +∞ un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở Người ta chứng minh rằng: a) lim un = +∞ b) lim un = +∞ c) lim n k = +∞ với số nguyên dương k cho trước Trường hợp đặc biệt : lim n = +∞ d) lim q n = +∞ q > Dãy số có giới hạn −∞ Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn −∞ với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm Kí hiệu: lim un = −∞ Nói cách ngắn gọn, lim un = −∞ un nhỏ số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng trở Nhận xét: a) lim un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞ 1 = trở un un nên nhỏ được, miễn n đủ lớn Nói cách khác, lim un = +∞ lim = un b) Nếu lim un = +∞ un trở nên lớn miễn n đủ lớn Đo STUDY TIP −∞ Các dãy số có giới hạn +∞ gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vơ cực Định lí 4.5 Nếu lim un = +∞ lim =0 un STUDY TIP Ta diễn giải “nơm na” định lí 4.5 sau cho dễ nhớ: Khi tử số không đổi, mẫu số có giá trị tuyệt đối lớn(dần đến vơ cực) phân số nhỏ(dần ) Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực Quy tắc Nếu lim un = ±∞ lim v n = ±∞ lim ( un ) cho bảng sau: lim u n lim v n lim ( un ) +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ STUDY TIP Vì −∞ +∞ khơng phải số thực nên khơng áp dụng định lí giới hạn hữu hạn cho dãy số có giới hạn vô cực Quy tắc Nếu lim un = ±∞ lim v n = L ≠ lim ( un ) cho bảng sau: lim u n Dấu L lim ( un ) +∞ + − +∞ + − −∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ Quy tắc Nếu lim un = L ≠ lim v n = > < kể từ số hạng trở u lim n cho bảng sau: Dấu L Dấu v n + + − +∞ + − −∞ + − − lim un −∞ +∞ STUDY TIP Ở ba quy tắc, dấu, tương tự quy tác dấu phép nhân phép chia hai số Để cho dễ nhớ, ta diễn giải quy tắc cách “nôm na” sau: - Quy tắc 1: Tích hai đại lượng vơ lớn đại lượng vô lớn - Quy tắc 2: Tích đại lượng vơ lớn với đại lượng khác đại lượng vô lớn - Quy tắc 3: Khi tử thức có giới hạn hữu hạn khác , mẫu thức nhỏ(dần ) phân thức lớn(dần vơ cực) B CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC Câu 1: lim ( n3 − 2n + 1) A Đáp án D B C −∞ D +∞ Lời giải 1 3 Cách 1: Ta có: n − 2n + = n 1 − + ÷  n n  1  Vì lim n3 = +∞ lim 1 − + ÷ = > nên theo quy tắc 2, lim ( n − 2n + 1) = +∞ n   n Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức n3 − 2n + giá trị lớn n (do n → +∞ ) sau: Nhập vào hình biểu thức X − X + Bấm CALC Máy hỏi X ? Câu 2: nhập 105 , ấn = Máy kết hình bên Ta thấy kết tính tốn với X = 105 số dương lớn Do chọn D lim ( 5n − n + 1) A +∞ B −∞ C Hướng dẫn giải D −1 Chọn B  2 Cách 1: Ta có 5n − n + = n  −1 + + ÷ n n     Vì lim n = +∞ lim  −1 + + ÷ = −1 < nên lim ( 5n − n + 1) = −∞ (theo quy tắc 2) n n   Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Ta thấy kết tính tốn với X = 105 số âm nhỏ Do chọn đáp án có giới hạn −∞ Tổng quát: Cho k số nguyên dương k k −1 a) lim ( ak n + ak −1n + + a n + a0 ) = +∞ ak > k k −1 b) lim ( ak n + ak −1n + + a1 n + a0 ) = −∞ ak < Chẳng hạn: lim ( n − 2n + 1) = +∞ a3 = > ; lim ( 5n − n + 1) = −∞ a2 = −1 < STUDY TIP Cho un có dạng đa thức (bậc lớn 0) n - Nếu hệ số lũy thừa bậc cao n số dương lim un = +∞ - Nếu hệ số lũy thừa bậc cao n số âm lim un = −∞ Câu 3: lim un , với un = A 5n + 3n − bằng: n2 B C Hướng dẫn giải D −7 Chọn B  5n 3n    lim u = lim Cách 1: Ta có:  + − ÷ = lim  + − ÷ = n n n  n n    n Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi tương tự ví dụ Đây khơng phải giá trị xác giới hạn cần tìm, mà giá trị gần số hạng với n lớn, n dần vô cực Tuy nhiên kết giúp ta lựa chọn đáp án đúng, đáp án B STUDY TIP 1500044 15 = nên chọn B Một số dòng máy kết dạng phân số, chẳng hạn Do 300007 Câu 4: lim un , với un = A −3 2n3 − 3n + n + n3 − n + B C Hướng dẫn giải D Chọn C Cách 1: Chia tử mẫu phân thức cho n3 ( n3 lũy thừa bậc cao n phân 2− + + n n n Vì lim  − + +  = lim 1 − +  = ≠ thức), ta được: un =  ÷  ÷ n n n3    n n  1− + n n 2n − 3n + n + nên lim = = n3 − n + Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Ví dụ 5: Giới hạn dãy số ( un ) , với un = A B n3 + 2n + n + 3n3 + 5n + C +∞ Hướng dẫn giải D Chọn B Cách 1: Chia tử mẫu phân thức cho n ( n bậc cao n phân thức), ta + + n + 2n + n n3 n4 = = lim un = lim = lim n + 3n3 + 5n + 1+ + + n n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Ví dụ 6: Giới hạn dãy số ( un ) với un = A 3n3 + 2n − , 2n − n C +∞ B D Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Chia tử mẫu cho n ( n lũy thừa bậc cao n mẫu thức), ta 3n + − 3n3 + 2n − n n Vậy lim u = lim  3n  = +∞ = un = n  ÷ 2n − n   2− n Cách 2: Chia tử mẫu cho n3 ( n3 lũy thừa bậc cao n phân thức), ta 3+ − n n Vì lim  + −  = > , lim  −  = − > với lim un = lim  ÷  ÷ n n3  n n2  n n  − n n n nên theo quy tắc 3, lim un = +∞     n3  + − ÷ 3+ − ÷  n n   n n Vì lim n = +∞ = lim  n Cách 3: Ta có lim un = lim ÷ 1 2  ÷ − n 2− ÷ n   n  3+ − n n = > nên theo quy tắc 2, lim u = +∞ lim n 2− n Cách 4: Sử dụng MTCT tương ví dụ STUDY TIP Rõ ràng làm theo cách (chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao n mẫu thức) phải lập luận cách cách Tổng quát: ni + −1ni −1 + + a1n + a0 , , bk ≠ Xét dãy số ( un ) với un = bk n k + bk −1n k −1 + + b1n + b0 (dạng phân thức với tử số mẫu số đa thức n ) a) Nếu i > k (bậc tử lớn bậc mẫu) lim un = +∞ bk > 0, lim un = −∞ bk < b) Nếu i = k (bậc tử bậc mẫu) lim un = bk c) Nếu i < k (bậc tử nhỏ bậc mẫu) lim un = STUDY TIP Cho un có dạng phân thức n - Nếu bậc tử cao bậc mẫu ( un ) có giới hạn vơ cực - Nếu bậc tử bậc mẫu lim un hệ số lũy thừa cao tử chia cho hệ số lũy thừa cao mẫu - Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu lim un = sin ( n !) n2 + A Ví dụ 7: lim B C +∞ Hướng dẫn giải D Chọn A Ta có sin ( n !) 1 ≤ = nên chọn đáp án A mà lim 2 n +1 n +1 n +1 Lưu ý: Sử dụng MTCT Với X = 13 , máy tính cho kết hình bên Với X > 13 , máy bào lỗi việc tính tốn vượt q khả máy Do với này, MTCT cho kết mang tính chất tham khảo Nhận xét: Hồn tồn tương tự, ta chứng minh rằng: sin k ( un ) cos k ( un ) = 0; b) lim =0 a) lim vn Trong lim = ±∞, k nguyên dương nπ   sin cos 2n + cos3 ( 3n + 1) π  ÷ = ; … Chẳng hạn: ; lim = ; lim   n lim =0 n − n + n + n3 + 2n + STUDY TIP Khi sử dụng MTCT, với tốn liên quan đến lượng giác, trước tính toán ta cần chọn chế độ Rad (radian) Deg (degree) cho phù hợp với đề ( −1) lim n ( n + 1) n Ví dụ 8: A −1 B C +∞ Hướng dẫn giải D Chọn D ( −1) n ( n + 1) n Cách 1: Ta có 1 1 ( −1) = = < = mà lim = nên suy lim n ( n + 1) n.n n n n ( n + 1) n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Nhận xét: Dãy ( ( −1) ) n có giới hạn Ví dụ 9: Tính giới hạn I = lim (  ( −1) n  ÷, lim = ±∞ khơng có giới hạn dãy   ÷   n − 2n + − n ) A I = B I = −1 C I = Hướng dẫn giải D I = +∞ Chọn B ( Cách 1: Ta có I = lim ( n − 2n + − n ) = lim n − 2n + − n )( n − 2n + + n ) n − 2n + + n −2 + 2 −2 ( n − 2n + 3) − n = lim −2n + = lim n = = −1 = lim 2 +1 n − 2n + + n n − 2n + + n 1− + +1 n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ STUDY TIP 2 Hằng đẳng thức thứ ba: ( a − b ) ( a + b ) = a − b Hai biểu thức a − b a + b gọi biểu thức liên hợp Ví dụ: n2 − 2n + − n n2 − 2n + + n hai biểu thức liên hợp Nhận xét: a) bước ta chia tử mẫu cho n Lưu ý n = n     n − 2n + − n = n  − + − 1÷ lim − + − lim n = +∞ , Vì  ÷ ÷  ÷ = nên n n n n     không áp dụng quy tắc ví dụ trước b) Ta có ) ( 3 Ví dụ 10: lim n − 8n + 3n + bằng: B −∞ A +∞ C −1 Hướng dẫn giải D Chọn B ) (   3 Cách 1: Ta có lim n − 8n + 3n + = lim n 1 − + + ÷ n n ÷   ) (   = − = −1 < nên lim n − 8n3 + 3n + = −∞ Vì lim n = +∞, lim 1 − + + ÷ ÷ n n   Cách 2: Sử dung MTCT ví dụ ( ) Ví dụ 11: lim n − n 4n + bằng: A −1 B D −∞ C +∞ Hướng dẫn giải Chọn C   2 + ÷ Cách 1: Ta có n − n 4n + = n 1 − n n2 ÷     + 2÷ = > nên theo quy tắc 2, lim n − n 4n + = +∞ Vì lim n = +∞ lim 1 − ÷ n n   Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Tổng quát: ( ) Xét dãy số un = r ni + −1n i −1 + + a1n + a0 − s bk n k + bk −1n k −1 + + b1n + b0 , , bk > i k = : Giới hạn hữu hạn r s + Nếu hai bậc: Nhân chia với biểu thức liên hợp - Nếu r = s bk + Nếu hai không bậc: Thêm bớt với r ni nhân với biểu thức liên hợp i k ≠ : Đưa lũy thừa bậc cao n dấu Trong r s trường hợp un có giới hạn vơ cực Nhận xét: Trong chương trình lớp 12, em học bậc s ( s nguyên dương) - Nếu r ≠ s bk r lũy thừa với số mũ hữu tỉ Người ta định nghĩa a s = s a r , a số thực dương, r số nguyên dương, s số nguyên dương, s ≥ Các tính chất lũy thừa với số mũ hữu tỉ tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương Chẳng hạn: 1 n = n , n = n , n = n Chẳng hạn: a) Với un = n − 2n + − n = n − 2n + − n : nhân chia với biểu thức liên hợp n2 − 2n + − n n2 − 2n + + n Dãy số có giới hạn hữu hạn −1 b) Với un = n − 8n3 + 3n + = n3 − 8n3 + 3n + : đưa n3 dấu Giới hạn ( un ) = −∞ c) Với un = n − n 4n + = n ) ( n − 4n + : đưa n dấu Giới hạn ( un ) +∞ ) ( 3 Ví dụ 12 lim n − n + 3n + : A −1 C +∞ Hướng dẫn giải B D −∞ Chọn A Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) n − n + 3n + n3 − ( n3 + 3n + 1) 3 lim n − n + 3n + = lim   3 3  n + n n + 3n + + ( n + 3n + 1) ÷   −3 − n = lim = −1 3   + + + + 1 + + ÷ n n  n n  STUDY TIP ) ( 3 2 Hằng đẳng thức thứ bảy: a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) Hai biểu thức a − b a + ab + b2 gọi hai biểu thức liên hợp (bậc ba) Ví dụ 13 lim A ( ) n + n + − n3 + 3n + : B C +∞ Hướng dẫn giải Chọn A D −∞ Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp) Nhập vào hình sau Bấm CALC Máy hỏi B? nhập bấm phím =, máy hỏi A? nhập ấn phím = liên tiếp Ta thấy giá trị C ngày tăng lên Vậy chọn đáp án dãy số +∞ Dạng Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Ví dụ 23 Cho số thập phân vơ hạn tuần hồn a = 2,151515 (chu kỳ 15 ), a biểu diễn dạng phân số tối giản, m, n số nguyên dương Tìm tổng m + n A m + n = 104 B m + n = 312 C m + n = 38 D m + n = 114 Đáp án A Lời giải Cách 1: Ta có a = 2,151515 = + Vì 15 15 15 + + + 100 100 1003 15 15 15 15 + + + tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = , công 100 100 100 100 15 71 bội q = nên a = + 100 = 33 100 1− 100 Vậy m = 71, n = 33 nên m + n = 104 Cách 2: Đặt b = 0,151515 ⇒ 100b = 15 + b ⇔ b = Vậy a = + b = + 33 71 = 33 33 Do m = 71, n = 33 nên m + n = 104 Cách 3: Sử dụng MTCT Nhập vào máy số 2,1515151515 (Nhiều số 15, cho tràn hình) bấm phím = Máy hiển thị kết hình sau Có nghĩa 2, ( 15 ) = 71 33 Vậy m = 71, n = 33 nên m + n = 104 Cách 4: Sử dụng MTCT Bấm ALPHA = Máy hiển thị kết hình sau Có nghĩa 2, ( 15 ) = 71 33 Vậy m = 71, n = 33 nên m + n = 104 Ví dụ 24 Số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,32111 biểu diễn dạng phân số tối giản a, b số ngun dương Tính a − b A a − b = 611 B a − b = −611 C a − b = 27901 a , b D a − b = −27901 Đáp án B Lời giải Cách 1: Ta có: 32 1 32 289 0,32111 = + + + + = + 10 = 100 10 10 10 100 − 900 10 Vậy a = 289, b = 900 Do a − b = 289 − 900 = −611 Cách 2: Đặt x = 0,32111 ⇒ 100 x = 32,111 Đặt y = 0,111 ⇒ 100 x = 32 + y Ta có: y = 0,111 ⇒ 10 y = + y ⇒ y = Vậy 100 x = 32 + 289 289 = ⇒x= 9 900 Vậy a = 289, b = 900 Do a − b = 289 − 900 = −611 Cách 3: Sử dụng MTCT Nhập vào máy số 0,3211111111 ( Nhập nhiều số , cho tràn hình), bấm phím = Màn hình hiển thị kết sau Vậy a = 289, b = 900 Do a − b = 289 − 900 = −611 Cách 4: Sử dụng MTCT Bấm hình sau ALPHA = Máy hiển thị kết Vậy a = 289, b = 900 Do a − b = 289 − 900 = −611 Tổng quát Xét số thập phân vơ hạn tuần hồn a = x1 x2 xm , y1 y2 yn z1 z1 z k z1 z1 zk Khi a = x1 x2 xm + y1 y2 yn z z z + k 0 99 { { 0 { n − chu so Chẳng hạn, 2,151515 = + k − chu so n − chu so 15 32 ; 0,32111 = + 99 100 990 Dạng Tìm giới hạn dãy số mà tổng n số hạng dãy số khác 1 Ví dụ 25 Tổng S = + + + + bằng: A.1 B C D Đáp án B Lời giải Cách 1: S tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có u1 = q = Do S= 1 1− =2 Cách 2: Sử dụng MTCT Sử dụng chức tính tổng Nhập vào hình sau Bấm phím = , máy hiển thị kết Lưu ý: Ở này, phải nhập số hạng tổng quát tổng quát X −1 , u1 = = Nếu nhập số hạng 21−1 kết kết sai 2X Mặt khác, cho X chạy từ đến 103 máy báo lỗi khối lượng tính tốn q lớn, vượt q khả máy Trong trường hợp đó, ta quay lại điều chỉnh biên độ máy thơng báo kết −1 Ví dụ 26 Cho dãy số ( un ) với un = − + + + ( )n Khi lim un bằng: 2 A B C D 3 n +1 Đáp án A Lời giải Cách 1: un tổng n số hạng cấp số nhân có u1 = 1 q = − 2 n 1 1−  ÷ n n 1 1  1 1  1  2  lim u = lim − = =  −  ÷ ÷ Suy   ÷ ÷ Do un = n ÷ 3 2      ÷      1−  − ÷  2 n +1 n +1 1 1 −1)  1 −1) ( ( + ÷ = − + + + Cách 2: lim un = lim  − + + + n n 2 ÷ 2   Vậy lim un tổng cấp số nhân lui vô hạn với u1 = 1 = Do lim un =  1 1−  − ÷  2 Cách 3: Sử dụng MTCT Nhập vào hình sau 1 q = − 2 Ấn phím = , máy hiển thị kết Do chọn đáp án A Nhận xét: Rõ ràng, thuộc cơng thức tốn giải thông thường nhanh MTCT! STUDY TIP Tổng n số hạng cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q là: 1− qn S n = u1 1− q   1 + + Ví dụ 27 Tính lim  +  bằng: ( 2n − 1) ( 2n + 1)  1.3 3.5 A B C D Đáp án C Lời giải Cách 1: Ta có: 1 1 1 1  1  + + + = 1 − + − + + − ÷ = 1 − ÷ 1.3 3.5 2n −1 n +   2n +  ( 2n − 1) ( 2n + 1)  3   1 1  + + Vậy lim  +  = lim 1 − ÷= 1.3 3.5 n − n + 2 n + ( ) ( )     Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào hình biểu thức 100  X =1   ∑  ( X − 1) × ( X + 1) ÷÷, bấm dấu  = Máy hiển thị kết hình sau Vậy chọn đáp án C Tổng quát, ta có:   1 1 lim  + + + = ( k + ( n − 1) d ) ( k + nd )  d k  k ( k + d ) ( k + d ) ( k + 2d ) Chẳng hạn ví dụ k = d = Do giới hạn 1 = 1.2 Kinh nghiệm cho thấy nhiều bạn qn d tính tốn dãy có giới hạn + + + n Mệnh đề sau mệnh đề đúng? n2 + 1 B lim un = C lim un = D Dãy số ( un ) khơng Ví dụ 28 Cho dãy số ( un ) với un = A lim un = có giới hạn n → +∞ Đáp án B Lời giải Cách 1: Ta có: + + + n = Do lim un = lim n ( n + 1) ( n + 1) + + + n n ( n + 1) n ( n + 1) = Suy n2 + ( n + 1) = A Cách 2: Sử dụng MTCT Gán 105 cho biến A Nhập vào hình biểu thức ∑ ( X ) , bấm X =1 A +1 dấu = Máy hiển thị kết sau Do chọn đáp án B Lưu ý: Tổng + + + n ví dụ tổng dạng quen thuộc Đó tổng n số hạng cấp số cộng có số hạng đầu u1 = công sai d = Do khơng thuộc cơng thức + + + n = n ( n + 1) , ta sử dụng cơng thức tính tổng cấp số cộng để tính tổng Để làm tốt dạng tập trên, cần nhớ số tổng quen thuộc sau: a) b) c) n ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) 12 + 22 + + n =  n ( n + 1)  3 + + + n =     + + + n = STUDY TIP Tổng n số hạng cấp số cộng: S n = n ( u1 + un ) n  2u + ( n − 1) d  ; Sn =  2 Tổng n số hạng cấp số nhân: S n = u1 + + + + 4n − bằng: + + 12 + + 5n − A B − qn 1− q Ví dụ 1: lim C D Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Tử thức tổng n số hạng cấp số cộng ( un ) với n = , un = 4n − công bội d = Do + + + + 4n − = n ( + 4n − ) n ( 4n − ) = 2 Tương tự ta có: + + 12 + + n − = Vậy lim n ( + 5n − 3) n ( 5n − 1) = 2 n ( 4n − ) + + + + 4n − = lim = + + 12 + + 5n − n ( 5n − 1) 1000 Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào hình ∑ ( X − 3) X =1 1000 ∑ ( X − 3) , bấm = phím, ta thấy kết X =1 3998    ≈ ÷ Vậy chọn đáp án A 4999    Studytip: Nếu tử thức tổng n+i số hạng cấp số cộng có công sai d, mẫu thức tổng n+k số hạng cấp số cộng có cơng sai d’ phân thức có giới hạn d' d Ví dụ 2: lim ( i, k ∈ ¢ ) + 32 + 33 + + 3n bằng: + + 22 + + 2n A +∞ B C D Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Ta có tử thức tổng n số hạng cấp số nhân ( un ) với u1 = q = Do + 32 + 33 + + 3n = 3n − n = ( − 1) −1 Mẫu thức tổng n+1 số hạng cấp số nhân ( ) với = q = Do + + 22 + + n = 2n +1 − = ( n +1 − 1) −1 n n  3 1  ÷ − ÷ n n + + + + 3 −1 3 = lim n+1 = lim    n  = +∞ Vậy lim n + + + + −1 1 2− ÷ 3 20 Cách 2: Nhập vào hình ∑3 X =1 1000 ∑2 X X −1 , bấm = phím, ta thấy kết hiển thị X =1 hình 2493,943736 Do chọn đáp án A Bổ sung: (Định lí kẹp) Xét ba dãy số ( un ) , ( ) , ( wn ) Giả sử với n ta có un ≤ ≤ wn Khi có lim un = lim wn = L lim = L  Studytip: Nếu tử thức tổng n+i số hạng cấp số nhân có cơng bội q > , mẫu thức tổng n + k số hạng cấp số nhân có cơng bội q ' > thì:  Phân thức có giới hạn +∞ q > q ' ;  Phân thức có giới hạn q < q ' n   + + + Ví dụ 3: lim  ÷ n +n  n +1 n + A B C D +∞ Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Ta có + + + n n + + + n ≤ + + + ≤ n +n n +1 n + n +n n2 + n ( n + 1) n ( n + 1) + + + n 1 + + + n Mà lim = lim 2 = ; lim = lim 22 = 2 n +n n +n n +1 n +1 2 n   + + + Vậy lim  ÷= n +n  n +1 n + A Cách 2: Sử dụng MTCT Gán 10 cho A Nhập vào hình ∑A X =2 X , bấm +X = phím Kết hiển thị 0.5001664168 Vậy chọn đáp án B Ta thấy trường hợp không thuộc cơng thức, sử dụng máy tính cầm tay giải pháp hiệu Tuy nhiên rèn luyện nhiều, cọ xát nhiều dạng tập sử dụng MTCT cho kết chậm tính tốn thơng thường C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG 1: BÀI TẬP LÝ THUYẾT Câu 1: Chọn khẳng định A lim un = un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở B lim un = un lớn số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở C lim un = un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở D lim un = un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Câu 2: Chọn khẳng định A lim un = +∞ un bé số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở B lim un = +∞ un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở C lim un = +∞ un bé số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở D lim un = +∞ un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở Câu 3: Chọn khẳng định A lim un = a un − a nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở B lim un = a un − a lớn số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở C lim un = a un − a nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở D lim un = a un − a lớn số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Câu 4: Câu 5: Câu 6: Chọn khẳng định A lim q n = q > B lim q n = q < C lim q n = q > D lim q n = q < Chọn khẳng định A lim q n = +∞ q > C lim q n = +∞ q < B lim q n = +∞ q > D lim q n = +∞ q < Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai? A Nếu q ≤ limq n = B Nếu lim un = a , lim = b lim(un ) = ab C Với k số nguyên dương lim k = n D Nếu lim un = a > , lim = +∞ lim(un ) = +∞ Câu 7: Biết lim un = Chọn mệnh đề mệnh đề sau 3un − 3un − 3un − =3 = = −1 A lim C lim B lim un + un + un + D lim 3un − = un + Câu 8: Biết lim un = +∞ Chọn mệnh đề mệnh đề sau un + 1 un + un + 1 un + = =0 = = +∞ A lim C lim B lim D lim 3un + 3un + 3un + 5 3un + DẠNG 2: BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Câu 9: Trong dãy số sau đây, dãy số có giới hạn? A (sin n) C (( −1) n ) B (cos n) Câu 10: Trong dãy số sau đây, dãy số có giới hạn khác 0? A ((0,98) n ) C ((−0,99) n ) B ((0,99) n ) D ( ) D ((1, 02) n ) Tính lim un n3 B lim un = Câu 11: Biết dãy số (u n ) thỏa mãn un − < A lim un = C lim un = −1 D Không đủ sở để kết luận giới hạn dãy số (u n ) Câu 12: Giới hạn +∞ ? A lim(3n − n3 ) C lim(3n − n) (2n − 1)2 ( n − 1) bao nhiêu? (n + 1)(2n + 1) A B B lim(n − 4n3 ) D lim(3n3 − n ) C D +∞ Câu 13: lim Câu 14: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn +∞ ? A lim n + 3n3 + n2 + n C lim 2n − 3n n3 + 3n B lim n3 + 2n − n − 2n D lim n2 − n + − 2n Câu 15: Trong giới hạn hữu hạn sau, giới hạn có giá trị khác với giới hạn lại A lim(1 + n sin 3n ) n3 + C lim n + sin 3n n2 + B lim 2n − cos 5n 5n D lim 3n + cos n 3n +1 Câu 16: Để tính lim( n − − n + n ) , bạn Nam tiến hành bước sau: Bước 1: lim( n + n − n − 1) = lim(n + Bước 2: lim(n + 1 − n 1− ) n n 1 1 − n − ) = lim n( + − − ) n n n n Bước 3: Ta có lim n = +∞ ; lim( + 1 − 1− ) = n n Bước 4: Vậy lim( n − − n + n ) = Hỏi bạn Nam làm sai từ bước nào? A Bước B Bước C Bước D Bước C −∞ D +∞ C −∞ D +∞ Câu 17: lim( 3n − − n − 1) bằng? A Câu 18: lim B n2 + − n + bằng? 3n + A Câu 19: lim(1 − 2n) B n+3 bằng? n + n +1 A C −∞ B -2 D +∞ Câu 20: Trong giới hạn sau, giới hạn hữu hạn? A lim( n + − n )n B lim C lim( n + n + − n + 1) n + − n +1 D lim( n + n + − n) Câu 21: Trong giới hạn sau, giới hạn không hữu hạn? n2 + + n n A lim n +1 + n C lim B lim( + n3 − n) D lim( n − n3 + n) n − 4n − 4n + Câu 22: Biết lim = n3 + n − n m 6− m − , phân số tối giản, m n số n n 3n + − n nguyên dương Chọn khẳng định khẳng định sau: A m.n = 10 C m.n = 15 B m.n = 14 Câu 23: Tìm lim D m.n = 21 − 2.3n + n : 2n (3n+1 − 5) C DẠNG 2: TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN A +∞ B D 1 1 n−1 m Câu 24: Cấp số nhân lùi vô hạn 1, − , , − , , ( − ) , có tổng phân số tối giản Tính n m + 2n A m + 2n = C m + 2n = B m + 2n = D m + 2n = Câu 25: Số thập phân vơ hạn tuần hồn 0, 27323232 biểu diễn phân số tối giản m ( m , n n số nguyên dương) Hỏi m gần với số số đây? A 542 B 543 C 544 D 545 Câu 26: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 2, tổng số hạn Số hạn đầu cấp số nhân là? A B 5 Câu 27: Phương trình x + + x − x + x − x + =  −7 ± 97  A S =    24  C D , x < , có tập nghiệm là:   −3 ± 41   C S =     16    −7 + 97  B S =    24    −3 + 41   D S =     16   Câu 28: Cho tam giác A1 B1C1 cạnh a Người ta dựng tam giác A2 B2C2 có cạnh đường cao tam giác A1 B1C1 ; dựng tam giác A3 B3C3 có cạnh đường cao tam giác A2 B2C2 tiếp tục Tính tổng diện tích S tất tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,… 3a 3a B C a D 2a DẠNG 4: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI A Câu 29: Cho số thực a dãy số (un ) xác định bởi: u1 = a un +1 = + un với n ≥ Tìm giới hạn dãy số (un ) A a B a C D Câu 30: Cho dãy số (un ) xác định u1 = 3, 2un +1 = un + với n ≥ Gọi S n tổng n số hạng đàu tiên dãy số (un ) Tìm lim S n A lim S n = +∞ C lim S n = B lim S n = −∞ D lim Sn = −1 un +1 + un với n ≥ Tìm lim un C D 3 Câu 31: Cho dãy số (un ) xác định u1 = 1, u2 = 2, un + = A +∞ B u Câu 32: Cho dãy số (un ) xác định u1 = , un +1 = un + n với n ≥ Tìm lim un 1 A lim un = C lim un = B lim un = D lim un = +∞ Câu 33: Cho dãy số (un ) xác định u1 = 1, un +1 = un + 2n + với n ≥ Khi lim A +∞ B C DẠNG 5: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CĨ CHỨA THAM SỐ Câu 34: Cho dãy số (un ) xác định u1 = a, u2 = b, un + = D un +1 + un với n ≥ , a b số thực cho trước, a ≤ b Tìm giới hạn (un ) a + 2b A lim un = a C lim un = B lim un = b Câu 35: Cho dãy số (un ) với un = un +1 un D lim un = 2a + b 3n − m , m tham số Để dãy (un ) có giới hạn hữu hạn thì: 5n + A m số thực B m nhận giá trị C m nhận giá trị D Không tồn số m Câu 36: Cho dãy số (un ) với un = 4n + n + , a tham số Để (un ) có giới hạn an + giá trị tham số a là? A -4 B C D Câu 37: Tìm tất giá trị tham số thực a để dãy số (un ) với un = 2n2 + n − a 2n − n có giới hạn hữu hạn A a ∈ ¡ C a ∈ (1; +∞) B a ∈ (−∞;1) D a = Câu 38: Tìm hệ thức liên hệ số thực dương a b để: lim( n + an + − n + bn + 3) = A a + b = B a − b = an + − 4n − Câu 39: Tìm số thực a để lim = 5n + A a = 10 B a = 100 C a + b = D a − b = C a = 14 D a = 144 C a = D a = Câu 40: Tìm số thực a để lim(2n + a − 8n3 + 5) = A a = B a = Câu 41: Tìm số thực a b cho lim( − n3 − a n − b) = a = −1 a =  a = −1 a = A  B  C  D  b = b = b = −1 b = DẠNG 6: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ MÀ SỐ HẠNG TỔNG QUÁT LÀ TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT DÃY SỐ KHÁC + + + + n bằng: + + + + 2n A B Câu 42: lim Câu 43: lim + + 2 + + n bằng: + + 52 + + 5n A B C 1   Câu 44: Tìm lim (1 − )(1 − ) (1 − )  ta được: n   A B Câu 45: lim D +∞ C D C D C D n! bằng: (1 + ).(1 + 22 ) (1 + n ) B +∞ A Câu 46: Cho dãy số (un ) Biết n ∑ uk = k =1 A B 3n + 9n với n ≥ Tìm nun C + + 32 + + 3k Câu 47: lim ∑ bằng: 5k + k =1 17 17 A B C 100 200 Hướng dẫn giải chi tiết n ∑u k =1 k D +∞ n D Trong đáp án cho tập đây, có nhiều tơi nêu việc áp dụng kết trình bày phần lí thuyết ví dụ Lời giải đầy đủ việc sử dụng MTCT xin dành lại cho độc giả DẠNG Bài tập lí thuyết Câu 1: Đáp án A Xem lại định nghĩa dãy số có giới hạn Câu 2: Đáp án B Xem lại định nghĩa dãy có giới hạn +∞ Câu 3: Đáp án C Xem lại định nghĩa dãy có giới hạn hữu hạn Câu 4: Đáp án D Xem lại định lí 4.2 Câu 5: Đáp án A Xem lại kết dãy số có giới hạn +∞ Câu 6: Đáp án A Nếu q = lim q n = lim1 = ≠ Câu 7: Đáp án C 3un − 3lim un − 3.3 − = = = = Ta có : lim un + lim un + +1 Câu 8: Đáp án C 1 + 1 un + un un2 = Ta có : Vì lim un = +∞ nên lim = , lim = un un 3un + + un un + + 0 = = =0 Vậy lim 3un + + DẠNG Bài tập tính giới hạn dãy số cho cơng thức Câu 9: Đáp án D Ta có : l im s n = lim 1 = 2 Bổ sung : a) Ta chứng minh dãy số ( sin n ) khơng có giới hạn Thật vậy, sin n ≤ nên dãy số ( sin n ) có giới hạn giới hạn hữu hạn Giả sử lim sin n = L Suy lim sin ( n + ) = L Do : = lim sin ( n + ) − sin n  = 2sin1.lim cos ( n + 1) ⇒ lim cos ( n + 1) = ⇒ lim cos n = ⇒ lim cos ( n + ) = ⇒ = lim cos ( n + ) − cos n  = −2sin1.sin ( n + 1) ⇒ sin ( n + 1) = Vậy ta có : = lim ( sin ( n + 1) + cos ( n + 1) ) = + = ( vô lý) Suy đpcm b) Chứng minh tương tự, ta có dãy số ( cos n ) khơng có giới hạn c) Ta chứng minh dãy số ( ( −1) ) khơng có giới hạn hữu hạn n Thật vậy, trục số, số hạng dãy số biểu diễn hai điểm −1 Khi n tăng lên, điểm Câu 10: Đáp án D n Vì 1, 02 > nên lim ( 1, 02 ) = +∞ ( Các dãy số lại có q < nên có giới hạn ) Câu 11: Đáp án A Vì lim = nên lim un − = Suy : lim un = n Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Cơng Phá Tốn Tập 2” Quý Thầy Cô mua trọn File Word “Công Phá Toán Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM ... STUDY TIP D Khi sử dụng máy tính cầm tay, nhập giá trị X lớn, máy báo lỗi giá trị a n , a > tăng nhanh X tăng, nên vượt khả tính tốn máy Khi cần thử lại giá trị khác X Như tốn chứa a n , a > ta... sau Có nghĩa 2, ( 15 ) = 71 33 Vậy m = 71, n = 33 nên m + n = 104 Cách 4: Sử dụng MTCT Bấm ALPHA = Máy hiển thị kết hình sau Có nghĩa 2, ( 15 ) = 71 33 Vậy m = 71, n = 33 nên m + n = 104... kết sau Vậy a = 289, b = 900 Do a − b = 289 − 900 = −611 Cách 4: Sử dụng MTCT Bấm hình sau ALPHA = Máy hiển thị kết Vậy a = 289, b = 900 Do a − b = 289 − 900 = −611 Tổng quát Xét số thập