Bạn nên dành ít nhất 60 phút mỗi ngày để học các công thức Toán học, cho đến khi bạn tin chắc những công thức đó đã nằm gọn trong đầu bạn thì bạn vẫn phải ôn lại chúng mỗi ngày. Hãy bắt đầu bằng việc học lại các công thức đơn giản nhất, làm lại các bài tập với các phép tính đơn giản nhất, hãy bắt đầu lại với: cộng, trừ, nhân, chia…Có thể bạn sẽ không tin, nhưng nếu bạn làm đi làm lại những công thức này nhiều lần chúng sẽ tự động được cài vào bộ nhớ của não bạn, đều này có lợi rất lớn cho bạn trong những bài tập sau này. Tiếp đến, hãy tập làm quen với những công thức khó, không gì tốt hơn cho sự ghi nhớ là học đi học lại nhiều lần .
CÔNG PHÁ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN BẰNG KỸ THUẬT CASIO Lâm Hữu Minh - NHẬP MÔN KỸ THUẬT CASIO Kỹ thuật CASIO luyện thi THPT Quốc gia tập hợp thao tác sử dụng MTBT CASIO theo cách khác bình thường mà chí người thi Học sinh giỏi giải toán máy tính CASIO chưa thực Bởi Kỹ thuật CASIO sáng tạo hình thức luyện thi THPT Quốc gia, mà toán đề thi Học sinh giỏi giải toán máy tính CASIO lại thuộc dạng khác hẳn Kỹ thuật CASIO hướng đến mục tiêu: + Thứ nhất: luyện cho bạn dẻo tay bấm máy tính trình giải toán Sau thời gian luyện tập khiến bạn nhanh nhạy cầm máy trước vấn đề dù nhỏ, dẫn đến tăng tốc độ “CÔNG PHÁ” trước giới hạn thời gian + Thứ hai: đưa cho bạn phương pháp bấm máy hiệu để tránh thao tác thuộc loại “trâu bò” mà lâu nhiều bạn bấm, xử lí đẹp số liệu xấu, tìm hướng giải ngắn cho toán Dù đề thi ngày hướng đến tư duy, suy luận cao tìm cách hạn chế việc bấm máy, học Kỹ thuật CASIO lâu Bộ hạn chế bạn sử dụng máy tính, miễn mang máy vào phòng thi! + Thứ ba: luyện cho bạn linh hoạt sử dụng máy tính Đó niềm đam mê nghiên cứu khám phá tính mới, lối tư toán kết hợp hài hòa việc giải tay giải máy, óc sáng tạo để tìm phương pháp ngày ngắn gọn, nhắm đến tối ưu hóa trình giải toán Và từ đó, bạn tự nghiên cứu mở rộng Kỹ thuật CASIO sang môn học tự nhiên khác + Thứ tư: thành thục Kỹ thuật CASIO kết hợp với vốn kiến thức Toán học bạn, tạo nên tâm lý vững vàng bước vào kì thi (tất nhiên không phép chủ quan đâu đấy! ) Để đạt điều đó, phải suy nghĩ nhiều viết sách này: Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com + Thứ phải sử dụng cách truyền đạt để bạn dễ tiếp thu mà lại kích thích óc sáng tạo bạn tính ỷ lại! Muốn vậy, chắt lọc lượng VD vừa đủ đưa vào, phân tích toán mức độ đủ dài để bạn tiếp thu Dù có số chuẩn bị đầy đủ trước viết vào, hầu hết tự bịa lúc viết, phân tích theo tư người vừa bắt đầu tiếp xúc vấn đề chuẩn bị để nói lại Do đó, hướng làm đưa có dài có ngắn, có hay có dở, chí tắc có! Trong trình phân tích thường xuyên hỏi bạn câu hỏi để tìm công việc phải làm, để rèn luyện tư bạn nên thử suy nghĩ trước đọc tiếp + Thứ hai: phân tích dễ hiểu, mà phải có thêm chút hương vị hài hước để tạo hứng thú cho bạn đam mê khám phá! Vậy bám sát Kỹ thuật CASIO liệu có làm bạn “suy giảm trí tuệ” không nhỉ? Câu hỏi đáng phải trả lời đấy! Các bạn tư phép tính đơn giản 45 32; 665 23; … lôi máy bấm Những bạn cố gắng nhẩm trình học, tập nhẩm tính thường xuyên giúp cho đầu óc nhanh nhạy đấy, không dạy Nếu muốn bạn search Google tìm 30 kỹ thuật tính nhẩm nhanh mà luyện tập ngày Những kỹ thuật tối ưu hóa phần nhiều giúp bạn loại bỏ công việc đơn giản lại thời gian, không cần thiết, VD khai triển đa thức bậc cao, nhẩm nghiệm PT,… Những không làm cho bạn bị dốt Tuy nhiên kỹ thuật cao phân tích PT, hệ PT, khai số phức hay chứng minh BĐT đối xứng kỹ thuật mà lạm dụng mức bạn dốt Do đó, luyện tập giải tay cho ổn tính đến máy tính Và vậy, Kỹ thuật CASIO phù Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com hợp với HS lớp 12 nói riêng luyện thi THPT Quốc gia nói chung HS lớp 10; 11 Nhưng dù học bạn phải nhớ tinh thần học xuyên suốt chúng ta, là: không ngừng sáng tạo vươn xa! Mình thiết nghĩ đưa việc sáng tạo kỹ thuật CASIO vào làm môn học chương trình THPT khó môn Tin học đấy! (Thuận miệng nói vui!!! ) Bằng cách cố gắng xây dựng cầu nối toán chưa tìm cách giải với vấn đề tương đồng mà máy tính làm được, kết hợp với việc áp dụng kỹ thuật có sẵn để xử lí thử, bạn nghiên cứu kỹ thuật CASIO cho toán Từ mở rộng phạm vi áp dụng để kỹ thuật trở nên hoàn chỉnh hữu ích Đấy phương pháp nghiên cứu mà áp dụng, nói sơ qua chút cho bạn có thêm ý chí khám phá! Loại máy tính sử dụng thông dụng: CASIO fx-570ES, loại khác cần có hình hiển thị tương tự áp dụng (tự điều chỉnh làm theo chứ?), chí có nhiều chức chờ bạn khai thác Tất sách hoàn toàn nghiên cứu ra, nhiều Kỹ thuật sưu tầm từ nhiều nguồn khác nhau, tiêu biểu tác giả: Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com I Một số kỹ thuật đơn giản quan trọng Hẳn nhiều người có chút thắc mắc việc chia phần làm kỹ thuật đơn giản kỹ thuật phức tạp làm cho công, theo họ cần xếp kỹ thuật từ dễ đến khó Mình nghĩ qua vấn đề Mình thấy làm hợp lí, song lí khác mà tách riêng làm phần thêm cụm từ “nhưng quan trọng” vào, nghe đớ chút lại đánh dấu “lí khác” Lí là: kỹ thuật phần kỹ thuật xuất hầu hết kỹ thuật phần thứ hai, nghĩa chúng dùng xuyên suốt kỹ thuật phức tạp sau thao tác phụ trợ cho kỹ thuật Nói cách khác, chúng mang tính kết nối, điểm chung kỹ thuật phức tạp, kỹ thuật phức tạp kia, nội dung liên quan đến Vì lẽ bọn chúng “ở nhà riêng”! Và mà kỹ thuật nhỏ “quan trọng”, chúng thao tác góp phần tăng nhanh tốc độ giải toán mà bạn cần nắm kỹ trước lĩnh hội kỹ thuật phía sau Bây bắt đầu! Nhập phương trình hiệu Cái chắn nhiều người lờ đi, tiếc thay người chưa biết cách nhập PT (phương trình) phù hợp, thuận tiện tính toán Đơn giản bạn nghĩ PT nhập vào thế, nhập thêm kí hiệu “ ” vào việc kết hợp với kỹ thuật cao cấp khác phần sau bất tiện, gây Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com chậm chạp, bạn không nên nhập kí hiệu “= 0” mà chuyển hết đại lượng sang vế trái nhập vế trái vào thôi! VD Ta nhập PT 2( x 2) x3 vào máy hình sau: 2( x 2) x Khi nhập này, bạn sẽ: + Thứ nhất: tối ưu hóa việc giải nghiệm PT kĩ xảo phía + Thứ hai: tính giá trị biểu thức 2( x 2) x với giá trị x khác nhanh mà cần nhấn CALC không cần quay lại xóa kí tự “= 0” (nhất PT cồng kềnh), sửa PT thành biểu thức để tính với CALC nhanh Tối ưu hóa việc giải nghiệm PT Chúng ta xét PT trên: 2( x 2) x Sau nhập PT theo kỹ thuật 1, bạn nhấn , kết kệ ta cần giữ lại PT để giải nhiều lần Cái kết chẳng qua giá trị X có sẵn từ trước mà Khởi đầu bạn nên gán X theo điều kiện (ĐK) x, không tìm (hoặc ngại tìm) ĐK bạn gán X = (nếu X chưa 0), gọi giá trị khởi đầu việc dò nghiệm Bài sau gán X = 0, máy cho ta X 5,541381265 , bạn lưu vào biến A Ở có thao tác phải nhắc lại nhiều người làm sao, để lưu nghiệm biến (cụ thể X, ban đầu ta dùng biến X để giải) sang biến khác Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com (ở biến A) bạn nhấn: ALPHA X SHIFT RCL ( STO) () ( A) , hình X A Bây bạn nhấn để quay lên PT lưu, nhấn trỏ nằm đầu Tiếp tục nhấn ( SHIFT DEL , lúc trỏ chuyển thành hình tam giác, chức chèn biểu thức xuất vào biểu thức khác Cụ thể hình: 2( X 2) X Tiếp tục bấm , biểu thức xuất chèn lên tử số phân thức Tiếp tục thao tác chỉnh sửa ta thu được: 2( X 2) X ( X A) (chú ý phải có dấu ngoặc đơn mẫu!) Bây bạn tiếp tục cho máy giải PT 2( X 2) X , máy hỏi giá trị X hay A ( X A) đừng có thay đổi, mà cho giải thôi! Do ta đưa ( X A) xuống mẫu nên máy hiển thị lại nghiệm tìm (đã lưu vào A), buộc phải tìm nghiệm khác (nếu có) Và ta tối đa hóa việc vét nghiệm PT Nghiệm ta thu là: X 5,541381265 Trước lưu vào B bạn 2( X 2) X lại quay lại PT ấn để lưu lại (kết mặc kệ! ) ( X A) Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com 2( X 2) X Bây giờ, thực thao tác tương tự bạn sửa PT thành sau ( X A)( X B ) lại cho máy giải, không cần quan tâm giá trị X, A, B làm gì… Vâng, lần máy báo Can’t Solve, nghĩa PT 2( X 2) X vô nghiệm, nói ( X A)( X B ) cách khác, PT cho không nghiệm khác nghiệm A, B Vậy với PT có vô số nghiệm PT lượng giác sao? Khi học kỹ thuật, bạn tiếp thu tốt biết đặt băn khoăn, thắc mắc vấn đề nói đến Với PT lượng giác, nghiệm có dạng x a kb (k ) , a (2;2) , để việc vét nghiệm PT lượng giác mà chúng có ích cho việc giải PT, ta cần vét hết giá trị a được, phần kb không cần quan tâm Và cách vét đó, hoàn toàn giống với loại PT khác nói trên, với giá trị ban đầu X = Khi đọc đến phần phía sau liên quan đến việc giải PT lượng giác, bạn hiểu rõ thao tác sử dụng để vét nghiệm nào… Nguyên tắc thử giá trị tốt Nguyên tắc đơn giản nghĩ ra, từ trước đến chưa thấy tài liệu MTBT có đề cập đến nó, nên bạn xem lần đưa vậy! Như nói, nguyên tắc đơn giản, muốn kiểm tra máy tính xem f ( x) g ( x) hay không, ta nhập khoảng 1; giá trị X phù hợp để tính giá trị biểu thức f ( X ) g ( X ) , kết chứng tỏ f ( x) g ( x) ! Nói buồn cười, thực bạn thử giá trị X kết luận f ( x) g ( x) đâu! Thời gian không cho phép, kĩ thuật tối ưu hóa phải tối ưu thời gian kết Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Cụ thể: + Nếu f(x), g(x) hàm vô tỉ (chứa căn), ta thử với X số thập phân hữu hạn (như 1,364; 5,2235;…) + Nếu chúng hàm lượng giác, ta thử với số nguyên khác (càng lớn tốt) + Cuối f(x), g(x) không rơi vào trường hợp trên, ta gán X số siêu việt (như ; e; …) Mình quy định cách thử khác mục đích để cần thử 1; lần kết luận có xảy f ( x) g ( x) cách chắn nhất, việc đơn giản dựa vào đặc trưng hàm mà ta muốn thử mà Chính điều mà công việc buồn cười xem kỹ thuật Nhìn làm phức tạp hóa vấn đề thực đâu, bạn dùng vài lần quen Nó biến thành phản xạ tự nhiên bạn Giống ấy: dùng phản xạ tự nhiên từ trước đến phân định rạch ròi làm kiểu viết sách sin x cos x sin x 4 VD Ta biết đẳng thức lượng giác sau đúng: cos x sin x cos x 4 Thế ngồi phòng thi không người nhầm lẫn nhớ đẳng thức Cụ thể nhớ mang máng ta để xác định xác cos x sin x ? Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Giả sử nhớ mang máng cos x sin x cos x , nhập vào 4 máy sau: cos( X ) sin( X ) cos X (lưu ý bạn ghi máy phải 4 đặt chế độ radian, không bị sai lại trách mình! ) Sử dụng CALC để tính biểu thức f ( x) cos x sin x cos x , không 4 biết kỹ thuật này, thông thường gán X đẹp X , thu kết quả: f (0) f ( ) f ( x) cos x sin x cos x , hoàn toàn sai! 4 Thay vào đó, với kỹ thuật trên, ta cho X = đi, thu f (1) 1,68294197 kết luận cos x sin x cos x (khác cần giá trị đủ) 4 Do đó, quay lại biểu thức nhập, sửa thành cos( X ) sin( X ) cos X 4 (vẫn theo nhớ mang máng! ) X 1 Vâng, lần với ta thu kết = X Vậy ta kết luận chắn: cos x sin x cos x 4 Qua VD bạn rút điều gì? Rõ ràng, thấy điều kiện tiên để sử dụng kỹ thuật phải nhớ mang máng biểu thức bên vế phải (cái mà ta cần biến đổi thành), vế bên trái có đề (có có sẵn ta cần đẳng thức để biến đổi chứ! ) Thà nhớ sửa thử nhiều lần, không nhớ tí Dẫu áp dụng thủ thuật có cao siêu đến đâu cần có kiến thức, dù ít! Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Tương tự để xem nốt B, bạn lại SHIFT vào menu lúc nãy, chọn thứ 2, B Ấn S D B Thay vào phương trình y A BX ta kết PT đường thẳng cần lập là: y 13 x x y 13 3 Quá trình hồi quy hiểu nôm na tìm công thức chung Nghĩa từ tọa độ điểm A, B mà bạn nhập vào, máy tiến hành tìm công thức chung liên hệ X Y cho điểm này, mối liên hệ PT đường thẳng AB mà Và kết hồi quy PT đường thẳng, nên gọi hồi quy tuyến tính Từ đó, nhìn lại bảng liệt kê chức sách hướng dẫn trích phía trên, bạn tự suy luận kiểu hồi quy lại Vậy đương nhiên có thắc mắc: nhập thêm điểm C vào bảng liệu hồi quy đấy, liệu cho ta PT đường thẳng không? Giả sử lấy điểm C ( 2;1) bất kì, bạn mở lại bảng liệu cách nhấn SHIFT , nhập thêm tọa độ điểm C xuống cùng: X Y 3 1 2 (đáng lẽ vẽ hình nữa) Rồi quay lại làm lại bước để kiểm tra A, B xem Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Có phải phương trình y 40 x ? Tuy nhiên PT lại không chứa điểm 13 13 điểm Lí thứ điểm C ta chọn không thuộc đường thẳng AB có PT x y 13 tìm, nên chẳng có thánh lập PT đường thẳng qua điểm cả! Còn việc máy cho kết y 40 x : hiển thị bừa bãi, mà 13 13 lí thứ toán thống kê mà bạn không cần tìm hiểu làm Vậy ta thay đổi C đi, chẳng hạn C (5;1) (lần điểm thẳng hàng rồi), bạn quay lại bảng sửa liệu điểm C xem kết thay đổi Vâng, kết lại giống PT thứ nhất: x y 13 Vậy ta có kết luận: + KL 1: liệu nhập có điểm A, B, máy cho phương trình đường thẳng AB + KL 2: liệu có điểm thứ C, mà PT nhận khác PT AB, suy điểm A, B, C không thẳng hàng Còn nhận PT AB cũ, chứng tỏ A, B, C thẳng hàng VD2 Lập PT parabol qua điểm: A(2;3), B (1;5), C ( 2;1) Các bạn có dò lại câu kết VD1 thuộc mục 4c)3)) Phân tích PT vô tỉ chứa đa thức bậc cao không? Mình nói là: "về cách tìm c kiểu bậc sau cho bạn cách tìm khác nhanh nhiều", cách làm sử dụng VD2 Khi phân tích PT vô tỉ hay sử dụng cách này, bất lợi chỗ phải đổi từ MODE COMP (dùng để giải PT) sang MODE STAT mà Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Nguyên lí dùng giống VD1, có điều thay chọn MODE , ta chọn MODE 3 , để sử dụng "Hồi quy bậc hai" - tìm PT có dạng y A Bx Cx (các bạn đừng thắc mắc PT lại "trái khoáy" nhé, nhà sản xuất ý kiến thêm! ) Hoặc nhấn SHIFT 1 để mở để sẵn MODE STAT Và bảng liệu y hệt hồi quy tuyến tính: X Y Hình thức giống cách nhập liệu khác, chất chức khác rõ ràng Các bạn tự khám phá hướng làm tương tự VD1 xem nào! Nếu kết PT parabol y 20 x x Tương tự VD1, sau nhập xong liệu, ta tắt bảng ấn SHIFT chọn , , để xem A, B, C Và nhớ PT máy cho y A Bx Cx y Ax Bx C lâu thấy sách, viết Cuối cùng, giống VD1, bạn có thêm điểm D mà muốn kiểm tra xem có thuộc parabol qua A, B, C hay không, ta sử dụng PT lập từ điểm A, B, C, D Nếu giống PT liệu có A, B, C thuộc, ngược lại không Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Các dạng hồi quy lại bảng chức nêu bạn thích vọc, không thôi! Vì phần hình phẳng đề thi MODE theo có b) MODE VECTOR MODE hẳn nhiều người biết hơn, nên không nói nhiều, học liên quan đến phép tính vector hình học giải tích Oxyz bạn khám phá, bắt nguồn từ việc tính tích có hướng Khi bạn nhấn MODE , hình xuất vector A, B, C để lựa chọn, thích dùng Giả sử bấm chọn vector A, máy lại hỏi tiếp muốn chơi Oxyz hay Oxy! Thông thường MODE dùng tính tích có hướng thôi, chọn tiếp tức chọn loại vector có số tọa độ (trong không gian Oxyz mà) Bây hình ta nhập vào tọa độ vector a (1;2;3) bình thường thôi: A [ 3] Vậy ta nhập xong vector Nhưng làm gì, muốn thêm vector b(2; 1;1) vào, bạn nhấn tiếp SHIFT chọn (vector B), nhập thông tin thường Nhấn SHIFT mở menu chức MODE này, bạn thấy cách để xem lại liệu nhập vào vector Cách chọn (Data), chọn vector muốn xem Cách chọn trực tiếp vector muốn xem số phím ; ; (tương ứng vector A, B, C), Cách ngại dùng SHIFT 1 Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Bây đến khoản tính tích có hướng n [a , b] Trong máy tính, phép tính viết phép nhân bình thường, nghĩa cần nhập vào hình VctA VctB nhấn xong Thao tác nói chung có phím: SHIFT SHIFT Kết nhận n (5;5; 5) , đẹp! Trong menu vừa bạn thấy phím thứ chức "Dot" có phải không? Cái tính tích vô hướng Cụ thể nhập vào: VctA VctB , ta tích vô hướng Vậy xong MODE thứ hai c) Sáng kiến giải hệ bậc PT ẩn Tại lại nằm phần hình học? + Thứ bên đại số chỗ cho "sống" + Thứ hai: hình giải tích Oxyz ta lập PT mặt cầu hay mặt phẳng qua số điểm cho trước (mà bạn PT có hệ số phải tìm), không nhiều, hệ PT bậc ẩn PT, mà ta cần giải x y z t x z 2t VD1 Giải hệ PT: y z 3t x y t 1 Trước hết ta loại phương trình phức tạp hệ, theo PT thứ 3, ta x y z t lại hệ: x z 2t x y t 1 Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Mình ý định sáng tạo phương pháp "số đếm" cho giải hệ PT loại đâu, thực chất xấp xỉ "cố hữu" mà Tiếp theo t 1000 vào hệ trên, thu hệ nữa: x y z 1000 x z 2001 x y 1001 Bây sử dụng EQN, nghiệm thu ứng dụng phương pháp xấp xỉ để biểu diễn x 1001 t lại biến x, y, z theo t: y 2002 2t z 1 Bấy giờ, hết x, y, z theo t vào PT ta bỏ hệ ban đầu, ta PT bậc x ẩn t: ( 2t 2) 3t t y 2 3 Kết luận: nghiệm ( x; y; z; t ) ; ;1; 5 5 Vậy từ hệ PT bậc ẩn, PT ta quy hệ PT bậc ẩn PT PT bậc riêng lẻ, thông qua phương pháp xấp xỉ Ý tưởng khởi nguồn từ câu hỏi là: giải hệ ẩn cách dùng EQN Để "giải trí" thêm chút nữa, mời bạn giải thử VD2! 2 x y z 5t x y z 4t VD2 Giải hệ sau: y z t 3 x y z Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com x y z 4000 Vứt PT đi, t = 1000, ta hệ mới: y z 1003 x y 4z 7089 7t 89 x 2363 3 990 t 10 Giải hệ ta thu được: y 330 3 2019 2t 19 z 673 49 7t 89 t 10 2t 19 Thế vào PT hệ gốc: 2 5t t 3 521 x 29 y 68 z Cái chỗ thấy lo chỗ xấp xỉ x 7t 89 , nhìn không chắn y với z, cuối cùng, thử xác, không sửa lại Cái việc để xấp xỉ cho đúng, việc học kỹ thuật linh hoạt ra, phải tập nhiều dày dạn kinh nghiệm Còn số lưu ý để xấp xỉ xác cho bạn thấy lần sử dụng trước đó, nên chẳng cần thêm VD3 làm Như thêm ẩn giải phương pháp trên, ấn từ ẩn xuống ẩn cách ẩn 1000 1000000 (!), 100 10000, xấp xỉ Có điều ẩn Nhưng ẩn rồi, kết thúc luôn! Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Chứng minh bất đẳng thức đối xứng Đây vấn đề nhỏ mà không chịu học, biết thế, ước mơ 9đ có lẽ nhiều bạn học khá, chí giỏi Toán Bởi thế, không khuyến khích bạn học nhiều làm gì, kỹ thuật không giúp nhiều gì, bạn cần phải học lấy kiến thức túy (không có máy tính) Việc học BĐT đề thi THPT Quốc gia khó không vô tận kinh khủng chất toàn vẹn BĐT Toán học, có phương pháp ứng dụng BĐT (Cauchy, Bunhia), đưa biến đạo hàm, người ta khủng Có người thầy nói: phương pháp tốt để học tốt tích phân học công thức đọc thật nhiều giải sẵn Theo để bạn có khả làm BĐT đề thi này, áp dụng tốt BĐT phải đọc thêm nhiều giải sẵn Bây ta vào vấn đề chính, sử dụng phương pháp tiếp tuyến c/m BĐT đối xứng Dạng toán thường áp dụng tiếp tuyến sau: cho x1 x2 xn k , chứng minh P f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) m (hoặc bắt tìm P ) Chiều ngược lại c/m tương tự Với BĐT đối xứng, thông thường điểm rơi (là giá trị biến để dấu "=" xảy ra) giá trị tất biến nhau, cụ thể dạng ta dự đoán điểm rơi xi k (i 1; n) n Và phương pháp tiếp tuyến áp dụng theo bước sau: + Bước 1: lập PT tiếp tuyến y pxi q hàm số y f ( xi ) điểm có hoành độ xi k (trong i 1; n ) n Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com + Bước 2: c/m f ( xi ) pxi q với dấu "=" xảy xi k n + Bước 3: cộng vế kết luận: P p ( x1 x2 xn ) nq pk nq VD1 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 1 a b2 c2 a b c Ta viết lại BĐT: 1 a b c , dạng áp dụng tiếp tuyến a b c chúng ta: P f ( a) f (b) f (c) Dự đoán điểm rơi: a b c Ở giấy nháp, ta giả sử f (a ) pa q , sử dụng máy tính để tìm p với q đây? p f '(1) Đơn giản, y pa q PT tiếp tuyến đồ thị y f (a ) a = 1, nên q f (1) p Cầm máy tính lên sử dụng chức tính đạo hàm điểm: nhấn SHIFT hình d () |x , không? dx Muốn tính f '(1) , ta nhập biểu thức hoàn chỉnh d 2 X nhấn , ta dx X x1 thu p 4 , từ q f (1) p Bây trình bày làm: ta chứng minh a 4a a Phần việc máy tính đến hết rồi, lại bạn tự c/m tiếp Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Tương tự ta có 1 b 4b 4; c 4c b c Cộng vế BĐT lại ta được: 1 a b c 4( a b c ) 12 4.3 12 ( dpcm) a b c VD2 Cho số dương a, b, c, d thỏa mãn a b c d Chứng minh rằng: 6(a b3 c3 d ) a b c d Trước hết xác định hàm số cần lấy tiếp tuyến: f ( a) 6a a Thứ hai xác định điểm rơi: a b c d 1 p f ' 4 Thứ xác định tiếp tuyến y pa q điểm a , ta có: q f p 4 Sử dụng máy tính tính biểu thức d ta p , từ suy q (6 X X ) dx 8 x Vậy bạn chứng minh BĐT nhỏ: 6a a a 8 Sau cộng vế bọn chúng lại nhận lấy kết quả: 5 1 6( a3 b3 c d ) (a b c d ) ( a b c d ) ( dpcm) 8 VD3 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com (2a b c ) (2b c a) (2c a b) 8 2a (b c) 2b (c a ) 2c (a b) Trong đề thi chuyện "chuẩn hóa", tính đối xứng BĐT nên giấy nháp ta có quyền "chuẩn hóa" a b c để dự đoán điểm rơi a b c 1, tìm hướng giải cho trường hợp a b c , bưng vào đề việc giải theo cách tương tự Nhìn qua BĐT này, chắn nhiều người thấy bất lực với tiếp tuyến, chuẩn hóa a b c sửa đổi tí hàm biến ngay, cụ thể sau: (2a b c ) (2b c a ) (2c a b) 2a (b c) 2b (c a) 2c ( a b) (a 3) (b 3) (c 3) 2a (3 a ) 2b (3 b) 2c (3 c) a 6a b 6b c 6c 3a 6a 3b 6b 3c 6c a 6a b 6b c 6c Vậy ta cần c/m: 24 a 2a b 2b c 2c Chú ý điều kiện a, b, c dương nên a, b, c (0;3) a 6a Đến dễ rồi, tìm tiếp tuyến y 4a ta c/m 4a a 2a BĐT tương tự Vậy bê vào đề thi phải trình bày nào? Đơn giản, cần chuyển toán giải giấy nháp VIETMATHS.NET Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Tức là: đặt a kx; b ky; c kz (k 0) cho x y z , ta có x, y , z (0;3) (2 x y z ) (2 y z x) (2 z x y ) BĐT cần c/m trở thành: 8 x ( y z )2 y ( z x)2 z ( x y )2 Chúng ta sang VD4, tổng quát chút VD4 cho bạn tiếp xúc với dạng tổng quát phương pháp tiếp tuyến phương pháp hệ số bất định (UCT), phương pháp cực dễ nắm bắt VD4 ta làm có dạng: cho x1 , x2 , , xn thỏa mãn g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xn ) k , chứng minh P f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) m Đây BĐT đối xứng nên điểm rơi dự đoán xi x0 (i 1; n) k m Ta giả sử BĐT phụ cần c/m có dạng: f (t ) g (t ) , dấu "=" xảy t x0 n n Vấn đề cần tìm xem k m Theo ta có hàm số h(t ) f (t ) g (t ) đạt cực trị t x0 , nói cách n n khác: h '( x0 ) f '( x0 ) g '( x0 ) Vậy BĐT phụ ta cần c/m là: f (t ) Như ta có f ( xi ) f '( x0 ) g '( x0 ) f '( x0 ) k m g (t ) g '( x0 ) n n f '( x0 ) k m g ( x ) i 1; n i g '( x0 ) n n Cộng BĐT phụ lại ta được: P Đấy phương pháp UCT f '( x0 ) g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xn ) k m m (dpcm) g '( x0 ) VIETMATHS.NET Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Trong phương pháp này, bạn cần phải nắm thêm mẹo điều kiện, đề mà cho (hoặc ta chuẩn hóa) g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xn ) k thay tổng trên, để áp dụng phương pháp này, bạn cần chuyển dạng tổng cách lấy logarit vế: ln[ g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xn )] ln k ln g ( x1 ) ln g ( x2 ) ln g ( xn ) ln k Vậy câu hỏi đặt BĐT phụ có hay không? Đáp: đúng, hầu hết loại mà bạn thi Nếu nhỡ may không đúng, ta phải chia trường hợp theo điều kiện xét đổi dấu, để giải tiếp Được rồi, áp dụng làm VD4 VD4 Cho a, b, c dương thỏa mãn a b c Tìm GTNN biểu thức: 1 1 P 3( a b c ) a b c 2 f (t ) 3t Viết lại P 3a 3b 3c t a b c g (t ) t BĐT phụ ta cần c/m có dạng: f (t ) pt q Vì điểm rơi a b c 1, theo công thức chứng minh, ta bấm máy d 2 3X dx X x1 1 p , từ suy q f (1) d 2 (X 2) dx x 1 Vậy nói chung điểm quan trọng toán ta phải c/m BĐT: 3a biến, khó cả, bạn tự làm tiếp nhé! 2 a a 2 Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com VD5 Cho a, b, c Chứng minh: a(a bc) b(b ca) c(c ab) 0 2a bc 2b ca 2c ab Bài lại khó VD3 nữa, ta chuẩn hóa, tội không chuẩn hóa phát nhỉ! Nhìn theo cụm ta nhận thấy BĐT cần c/m chứa số hạng a bc, mặt khác phải chuẩn hóa cho có dạng f (a ) f (b) f (c ) , ta chuẩn hóa abc = 1 1 1 a a2 b b2 c c2 a b c 0 Khi đó, BĐT trở thành: 1 2 2a 2b 2c a b c Viết gọn lại a(a 1) b(b3 1) c(c 1) 0 2a 2b3 2c Điều kiện abc = chưa dạng ta cần, ta áp dụng logarit hóa: ln( abc ) ln1 ln a ln b ln c điểm rơi a b c a(a 1) Vậy theo UCT, ta phải c/m BĐT phụ: p ln a q , đó: 2a d X4 X dx X x 1 p q f (1) ln1 d (ln( X )) dx x 1 BĐT a(a 1) ln a bạn có c/m không? Vì chứa ln a hàm khác loại 2a thao tác khó so với hàm đa thức nên lúc có đạo hàm c/m dễ thôi! Mục đưa VD với phương pháp phổ biến thôi, phương pháp dễ sử dụng nên thêm tí nữa, bạn search Google để tìm thêm tập dạng muốn luyện tập khám phá! Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com LỜI KẾT Dự liệu sách mắt vào năm 2014 để bạn tuổi (sinh năm 1997) có tài liệu luyện thi năm 2015, số việc quan trọng khác khiến hoãn lại đến tận 23/8/2015 hoàn thành Và bây giờ, trở thành tài liệu luyện thi cho 98er trở sau nguồn tham khảo cho muốn nghiên cứu kỹ thuật CASIO để phục vụ cho việc học tập Cuốn sách tâm huyết thời gian gần năm rưỡi, sách tổng hợp sáng tạo chiêu thức sử dụng máy tính CASIO học tập quý giá Mình soạn không đam mê nghiên cứu Toán học mà hướng đến mục tiêu góp phần vào việc tối ưu hóa điểm số môn Toán hệ học sinh phía sau Do đó, hi vọng bạn sau học xong, dùng phục vụ tích cực cho việc học tập, mà dùng truyền cảm hứng sáng tạo cho hệ sau Một ước mơ nhỏ nhoi, có thôi! [...]... nhất, nên mình sẽ không nói thêm nữa Các bạn trong quá trình học có thể thấy nó dài, nó phức tạp hay như thế nào đấy thì tùy nhưng khi thử làm đề thi THPT Quốc gia rồi thì mới thấy nó thật không đáng tính tiền Nếu chẳng may nó có khó để xuất hiện trong đề thi HSG thì thường sẽ khó sau khi chuyển được về PT vô tỉ thôi Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Còn PT lượng giác, bắt đầu từ năm 2015 Bộ đã... Các bạn cứ yên tâm rằng đã là PT bậc 2 trong đề thi Quốc gia thì không có chuyện hệ số xấu đâu, và cũng chẳng to lắm, do đó mà cách này chắc chắn có hiệu quả Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Để sử dụng được kỹ thuật này trước hết các bạn phải hiểu rõ về MODE 7 , tức chức năng TABLE Cái này hầu hết mọi người không để ý tới, thế nhưng đã học thủ thuật CASIO thì không thể nào bỏ qua được một chức... trong các hệ số ai (i 1; n 1) Đây chính là 1 trong số những kỹ thuật đầu tiên của bạn Bùi Thế Việt đã cho mình thấy những “sức mạnh bí ẩn” của máy tính CASIO trong Toán học, và nó đã kéo mình vào niềm đam mê nghiên cứu các thủ thuật máy tính CASIO Còn đối với các bạn, hi vọng các bạn đã đam mê nó ngay từ những dòng đầu tiên của cuốn sách Chúng ta cùng bắt đầu thôi nào! a) Đa thức không chứa tham... nhưng vì các bạn sẽ không gặp loại đa thức như Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com vậy, nên thôi không viết thêm nữa Cũng là do công việc này không phải là quan trọng trong đề thi Sở dĩ mình nói “về mặt lí thuyết” là vì trong đề thi THPT QG cực hiếm gặp đa thức bậc 5 trở lên, nếu chẳng may các bạn có gặp thì hầu như tại phương pháp các bạn sử dụng không đúng mà thôi, tiêu biểu trong số đó là bình phương... rằng mình đã sáng tạo được 1 cách khác để xử nhưng đa thức mà bậc của m cao hơn 1, phức tạp hơn Nhưng cách đó khá rối rắm, và đề thi cũng không yêu cầu cao cái đó, nên mình sẽ không viết thêm nữa 4 Phân tích phương trình Thực chất mình đã từng đặt mục này là mục 5, nhưng thi t nghĩ việc phân tích đa thức nguyên thành nhân tử cũng thuộc nội dung này nên mình đã “cắt khẩu phần” mục 4 của riêng nó đi... các bạn khi giải PT lượng giác nên cho X = 0 mà không phải 1 số lớn, dù số đó cũng có tác dụng trong việc xác định chính xác họ nghiệm, lí do là vì: không cần thi t Bởi vì không có nghĩa là việc phân tích PT lượng giác trong mục này sẽ nhất thi t phải tìm bằng được họ nghiệm rồi mới tìm được nhân tử để mà phân tích Mà chúng ta chỉ cần tìm được phần chính a của nghiệm là chuyển sang bước tìm nhân tử... sherlockttmt@gmail.com Kết quả ta được X = 999 Do M = 1000 nên trả lại vào X ta được X 999 M 1 , từ đó dự đoán x m 1 Thử lại với các cặp giá trị ( X ; M ) ( 1; ); (e 1; e) (để nhập số e các bạn nhấn ALPHA và 10 x (bên trái nút Ans )) ta thấy kết quả là 0, do đó nghiệm là x m 1 Vậy f ( x) ( x m 1)[x 2 (m 1) x 2] Mặc dù loại nghiệm này hiếm gặp, song ta cũng phải biết đối phó với nó nếu... ngay từ đầu không chắc PT có nghiệm cố định hay nghiệm chứa tham số thì các bạn cứ gán M 1000 (đồng thời cũng phải chọn X lớn lớn nếu không máy khó giải): + Nếu máy cho giá trị X hữu tỉ và X 5 (đề thi THPT Quốc gia chỉ có đến thế là cùng, không thì X 10 ) thì đến 99% nó là nghiệm cố định cần tìm + Còn nếu X 100 và hữu tỉ thì thì ta phân tích nó thành x = am + b ( a 5; b 5 ), đó chính là... dụng hết được những chức năng của máy tính cũng như giải quyết được bài toán một cách nhanh nhất 1 Xác định nghiệm đẹp của phương trình Như các bạn biết, PT mũ và loga là loại PT đơn giản nhất trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán, thứ nhì là PT lượng giác, và cuối cùng là loại PT thuộc phần phân loại HS khá giỏi, đó là PT vô tỉ Đặc trưng nghiệm của mỗi loại thì chỉ có 3 loại, đó là: + Nghiệm là số hữu... 22 0 , hay: ( X 3)3 (1 4 X )(2 X 7) 2 15 X 3 107 X 2 197 X 22 Nhờ có “nguyên tắc TGTTN” mà kết quả trên được xác nhận là đúng Các bạn thấy rồi đó, khá là nhanh chóng trong một bài thi Đại học vì chỉ cần bấm máy rồi ghi kết quả dần dần, không đụng tí giấy nháp nào cả Sau này mình sẽ gọi đây là phương pháp “xấp xỉ” nhé! VD2 Đa thức f ( x) ( x 2)3 ( x 2 1)( x 2 3x 2)