Công phá toán lớp 12 luyện thi đh

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng.. - Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba nằm về hai phía đối với trụ

Trang 1

Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB

3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Ta thừa nhận định lí sau đây

Định lý 1

Giả sử hàm số y f x liên tục trên khoảng   Kx0 h x; 0 h và có 

đạo hàm trên K hoặc trên K\ x0 ,với h0

a Nếu f x 0 trên khoảng x0 h x và ; 0 f x 0 trên khoảng

x x0; 0 h thì  x0 là một điểm cực đại của hàm số f x  

b Nếu f x 0 trên khoảng x0 h x và ; 0 f x 0 trên khoảng

x x0; 0 h thì  x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x  .Hình 1.9 mô tả điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

điểm cực đại

Hình 1.9

STUDY TIP

Ở định lý 1 ta có thể hiểu

như sau:

* Khi f x   đổi dấu từ

dương sang âm qua x c 

thì x c  được gọi là điểm

cực đại của hàm số

* Khi f x   đổi dấu từ âm

sang dương qua x c  thì

x c  được gọi là điểm cực

Trang 2

Chủ đề 1: Hàm số và các ứng dụng của đạo hàm The best or nothing

ii f x'  phải đổi dấu qua x0 hoặc f x0 0

Một số lưu ý đối với cực trị của hàm số bậc ba y ax 3 bx2 cxd a, 0

Một số bài toán thường gặp:

, 0

điều kiện để:

a Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu (hay hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

có hoành độ trái dấu)

b Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu (hay hai điểm cực trị của đồ thị hàm

số có hoành độ cùng dấu)

c Hàm số có hai điểm cực trị x x x x 1;  2 so sánh với số thực .

d Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị (điểm cực đại và điểm cực tiểu) nằm cùng

phía, khác phía so với một đường thẳng)

Lời giải tổng quát

Trang 3

d Điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác

phía với một đường thẳng : mx ny k  0 Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A x y 1; 1 ;B x y2; 2

* Nếu mx1 ny1 k mx 2 ny2 k0thì A, B nằm cùng phía so với 

* Nếu mx1 ny1k mx 2 ny2 k0thì A, B nằm khác phía so với 

Một số trường hợp đặc biệt

- Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba nằm cùng phía so với trục Oy 

phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

- Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba nằm về hai phía đối với trục Oy 

phương trình y  0 có hai nghiệm trái dấu

- Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng phía với trục Oxy  0 có hai nghiệm phân biệt và y CD.y CT 0.

- Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía với trục Oxy  0 có hai nghiệm phân biệt và y CD.y CT 0.

- Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng nằm về một phía trên đối với trục Ox

- Hai điểm cực trị của đồt hị hàm số nằm cùng phía dưới với trục Oxy0

có hai nghiệm phân biệt và . 0

Giả sử hàm bậc ba yf x ax3bx2 cx d a, 0 có hai điểm cực trị là

số dư đó một cách tổng quát

Ta có y 3ax22bx c ;  y  6ax 2b Xét phép chia y cho y thì ta được:

   1

Trang 4

a với

2 3.9

Đến đây ta có thể nhập phương trình vào

máy tính và thử các giá trị của m trong 4 phương án, từ đó ta chọn được B

có cùng thừa số chung là 2 nên ta bỏ 2 đi)

Thử với A: Ấn rp2=thì máy kết quả khác 0 nên ta loại A

Thử với B: Tiếp tục ấn rp1= thì máy kết quả 0 nên ta chọn B

Bài toán tổng quát 4: Định m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị

Do đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng nên lúc này điểm uốn

 1; 1

I x y sẽ thuộc d và đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

vuông góc với d Tức là m thỏa mãn hệ sau:

Ví dụ 1: Cho hàm số yx33mx24m (với m là tham số) có đồ thị 3  C m

Tập tất cả các giá trị của m để hai điểm cực trị của đồ thị  C m đối xứng nhau qua đường thẳng :d y x là 

Trang 5

Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 2.2 Xét hàm số bậc bốn trùng phương có dạng 4 2  

Đến đây ta có nhận xét hàm số bậc bốn trùng phương luôn có điểm cực trị

Số điểm cực trị phụ thuộc vào nghiệm của phương trình 2ax2 b 0

 ab b c

a a

y ax bx c a0 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông

Với ab0 thì hàm số có ba điểm cực trị

Do điểm A 0;c luôn nằm trên Oy và cách đều hai điểm B, C Nên tam giác

ABC phải vuông cân tại A Điều này tương đương với ABAC(do AB AC

tạo thành tam giác vuông

cân điều kiện là

3

b8

a  

Ta loại được điều kiện a, b

trái dấu do từ công thức

cuối cùng thu được thì ta

luôn có a, b trái dấu

Trang 6

LOVEBOOK.VN| 64

TXĐ: D

Ta có: y 4x x 24m2 Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y 0 có 3 nghiệm phân biệt

0

 m Lúc đó, ba điểm cực trị là:

Để các điểm cực trị của đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông cân thì 3

8

 

b a

 238

81



12

  m

Nhận xét: Rõ ràng việc nhớ công thức và làm nhanh hơn rất nhiều so với việc suy ra từng trường hợp một

Bài tập rèn luyện lại công thức:

1 Cho hàm số y x 42mx2m22 Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông?

A m 1 B.m 1 C m 2 D m 2

2 Cho hàm số y  f x  x 4  2 m 2 x   2  m 2  5m 5  (C ) Giá trị nào của m để đồ m

thị của hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân thuộc khoảng nào sau đây?

Bài toán 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

Trang 7

32

y  x  2 m 2 x   m  5m 5 C  Với những giá trị nào của m thì

đồ thị  C m có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều?

A m 2 33 B m 2 33 C m 5 2 3  3 D.m 5 2 3  3

2. Cho hàm số 9 4   2

y x 3 m 2017 x 20168

    có đồ thị (C ) Tìm tất cả các giá trị của m

m sao cho đồ thị (C ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều? m

A m  2015 B m  2016 C m  2017 D m   2017

3 Cho hàm số y x 42mx22 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số có

ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều?

a0 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng S 0

Gọi H là trung điểm của BC thì lúc này H nằm trên đường thẳng chứa đoạn thẳng BC (hình vẽ)

Trang 8

4

b AH

a Diện tích tam giác ABC được tính bằng

a

Ví dụ 3: Cho hàm số yx42mx22m m 4. Với giá trị nào của m thì đồ thị

 C m có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

Bài tập rèn luyện lại công thức:

1 Cho hàm số y x 42m x2 21.Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32

A m 2; m    2 B m 0;m 2  

C m 0; m    2 D m 2; m    2; m 0 

2. Cho hàm số y f(x)   x4 2(m 2)x 2m25m 5 Tìm tất cả các giá trị của m để

đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

A m  3 B m   3 C m 2 D m 2

3 Cho hàm số y 3x 42mx22m m 4 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số

đã cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 3

A m  3 B m   3 C m 4 D m 4

4 Cho hàm số 4 2

y x 2mx  m 1 (1) , với m là tham số thực Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2

A m 2 B m 2 C m 4 D m 4 Đáp án

32

b S

b Max

Trang 9

Tam giác ABC có hai điểm cực trị 2

;

04

Từ bài toán tổng quát ban đầu ta có  0; ; ; ; ;

y ax bx c a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn

Do tam giác ABC là tam giác cân nên hai góc ở đáy bằng nhau Một tam giác không thể có hai góc tù, do vậy hai góc ở đáy của tam giác ABC luôn là góc nhọn Vì thế cho nên để tam giác ABC là tam giác có ba góc nhọn thì góc ở

đỉnh phải là góc nhọn Tức là tìm điều kiện để 𝐵𝐴𝐶̂ = 𝛼 là góc nhọn

Ở bài toán trên ta vừa tìm được cos 𝐵𝐴𝐶̂ = cos 𝛼 =𝑏3+ 8𝑎

Trang 10

Ta có S0p r (công thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội .tiếp)

0 2

 

S r

AB AC BC

5 3 4 2

b a

Trước tiên ta có các công thức sau:

4

ABC

AB BC CA S

Ở ngay đầu Dạng 3 ta đã có các công thức

Trang 11

c nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiếp

Do tam giác ABC cân tại A, mà A nằm trên trục Oy nên AO luôn vuông góc với

BC Do vậy để O là trực tâm của tam giác ABC thì ta chỉ cần tìm điều kiện để

c Nhận O làm tâm đường tròn ngoại tiếp

Để tam giác ABC nhận tâm O làm tâm đường tròn ngoại tiếp thì OA OB OC 

Mà ta luôn có OB OC , do vậy ta chỉ cần tìm điều kiện cho 

y ax bx c a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác sao cho trục hoành

chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau

Gọi M, N là giao điểm của AB, AC với trục hoành, kí hiệu như hình vẽ

Ta có ANM ACB 2 1

2

AMN ABC

  

  (Do trục hoành chia tam giác ABC

thành hai phần có diện tích bằng nhau)

này, ta lưu ý ta luôn có

tam giác ABC cân tại A,

Trang 12

Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm x x i i x i 1 mà tại đó f x  bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y f x  đơn điệu trên mỗi khoảng x x i; i1 Rõ ràng giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn a b;  là số lớn nhất

(số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a, b và các điểm x i

Ví dụ 1: Cho hàm số 5 6

2 3

x y x





 Biết M là giá trị lớn nhất của hàm số trên 0;1 ,

m là GTNN của hàm số trên 0;1, khi đó giá trị của biểu thức M m là

Trang 13

2

7 2 6

k

    







  1;1    

maxg x maxf t f 1 3

 

2

Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số   2sin 1

sin sin 1

x

y g x



  lần lượt là

A maxg x 1; ming x  2 B maxg x 0; ming x  1

C maxg x 1; ming x 0 D maxg x 1; ming x  1

Đáp án C

Lời giải

Ta có

2

x x  x     x

Tập xác định D Đặt tsin ,x t  1;1  Lúc đó   2 1

; 1; 1 1

t

t t

 

2 2 2

2

; 1

f t

t t

 

2 1; 1

t

f t

t

 

       

Bảng biến thiên

x 1 0 1

y + 0 

y 1

2

3 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có

   

1;1

maxg x maxf t 1 sinx 0

 

   

1;1

2

 



Ví dụ 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

  6 4 9 2 1

3

y g x x  x  x  trên 1;1lần lượt là

1;1 1;1

 

1;1 1;1

 

1;1 1;1

 

1;1 1;1

 

Đáp án A

Lời giải

Đặt t x 2 t 0;1 ,   x  1;1  Lúc đó   3 2 9 1

3

4 4

y f t  t t  t liên tục trên 0;1 

Nếu khảo sát trực tiếp

hoặc dùng miền giá trị

đều dẫn đến tính toán

phức tạp Phương pháp

đổi biến trong trường hợp

này rất hiệu quả Chú ý

khi đổi biến ta cần tìm

điều kiện của biến mới

STUDY TIP

Từ bài toán trong ví dụ 2 này

ta đưa ra ứng dụng sau:

Với bài toán:

Xác định m để phương trình

2

m sin x m 1 sin x

m 1 0 *

Ta có

  2sin x 1

sin x sin x 1



 * có nghiệm khi

0  m  1.

Trang 14

m 8

94

m m

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1x2   x n.

biến trên  0,5; 6 bên

cột f x  đưa ra giá trị của

Trang 15

III Đường tiệm cận

A Lý thuyết về đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Định nghĩa

Cho hàm số y f x  xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

a;  , ;b hoặc  ; ) Đường thẳng yy0 là đường tiệm cận ngang

(hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f x  nếu ít nhất một trong các

điều kiện sau được thỏa mãn

  0   0lim ; lim

là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất của đa thức tử số p x và đa thức  

mẫu số q x  

3 Nếu bậc của tử thức p x lớn hơn bậc của mẫu thức   q x thì đồ thị  

hàm số y f x  không có tiệm cận ngang

Một số lưu ý về các giới hạn đặc biệt

Kĩ năng sử dụng máy tính để tìm giới hạn đã được giới thiệu rất kĩ trong chủ

đề Giới hạn của cuốn Công phá toán tập 2 (lớp 11)

Với bài toán cần tìm giới hạn của hàm số tại vô cực ta sẽ sử dụng chức năng

rđể tính các giá trị của f x tại các giá trị x rất lớn  

Trang 16

LOVEBOOK.VN| 130

Lời giải

a Cách 1: Vì bậc của đa thức tử thức nhỏ hơn bậc của đa thức mẫu số nên y0

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho (hình 1.23)

Cách 2: Bấm máy tính với CALC x1010 ta thấy một giá trị gần 0, do đó đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y0

y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho (hình 1.24)

Cách 2: Bấm máy tính với CALC x1010 ta thấy màn hình hiện như hình bên,

do vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang 2

c Cách 1: Vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của đa mẫu thức nên đồ thị hàm số

không có tiệm cận ngang (hình 1.25)

Cách 2: Bấm máy tính máy hiện một giá trị rất bé khi CALC x1010 và khi CALC x 1010 thì ta có kết quả là một giá trị rất lớn Do vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

az2Q)^3$+3R3Q)d+1r10^10)=

Tiếp tục với x 1010 thì ta có rz10^10)=

B Lý thuyết về đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Định nghĩa

Đường thẳng xx o được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng)

của đồ thị hàm số y f x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

Trang 17

V Sự tương giao của hai đồ thị hàm số

Bài toán tổng quát: Xét sự tương giao của hai đồ thị  C1 :y f x  và

 C2 :y f x 

Phương pháp chung Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

     *

f x g x

Bước 2: Số giao điểm của  C1 và  C2 là số nghiệm của phương trình  *

- Nếu phương trình  * vô nghiệm thì hai đồ thị hàm số không có điểm chung

- Nếu phương trình  * có nghiệm kép thì hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau

- Nếu phương trình  * có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung n * 

Sự tương giao của đồ thị hàm bậc ba

* Đồ thị hàm số  C cắt trục hoành tại 3 điểm khi phương trình  1 có 3 nghiệm phân biệt  phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt khác 

Trang 18

LOVEBOOK.VN | 191

Hàm số lũy thừa, hàm số mũ – hàm số logarit

I Lũy thừa - Hàm số lũy thừa

A Khái niệm lũy thừa

1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a

a Kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xn  b .

- Trường hợp n lẻ và b : Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy

nhất là xn b

- Trường hợp n chẵn:

+ Với b0, phương trình vô nghiệm;

+ Với b0, phương trình có một nghiệm x0;

+ Với b0, phương trình có hai nghiệm đối nhau là 1

n k ank a

4 Lũy thừa với số mũ hữu tỷ

Cho a là số thực dương và số hữu tỷ r m,

n

 trong đó m ,n ,n2 Lũy

thừa của a với số mũ r là số a r được xác định bởi

m n

a a  a

5 Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Ta gọi giới hạn của dãy số  r n

a là lũy thừa của a với số mũ, kí hiệu là a.

lim r n

tương tự như của lũy

thừa với số mũ nguyên

Trang 19

Chủ đề 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ – hàm số logarit The best or nothing

6 Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Cho a, b là những số thực dương; m, n là những số thực tùy ý Khi đó

a a

2 Căn bậc n của 0 là 0 với mọi n nguyên dương

3 Số âm không có căn bậc chẵn

4 Với n là số nguyên dương lẻ, ta có n a  0 a 0 và n a  0 a 0

Đồ thị của hàm số lũy thừa yx luôn đi qua điểm  1;1

Trong hình 2.1 là đồ thị hàm số lũy thừa trên 0; ứng với các giá trị khác nhau của 

c Bảng tóm tắt tính chất của hàm số lũy thừa yx trên khoảng 0;.

lũy thừa tùy thuộc

vào giá trị của Cụ thể,

+ Với nguyên dương,

Trang 20

II Lôgarit - Hàm số lôgarit

A Logarit

1 Định nghĩa

Cho hai số dương a, b với a1 Số  thỏa mãn đẳng thức a b được gọi là

logarit cơ số a của b và kí hiệu là log a b  loga ba b

c

b b



5 Logarit thập phân, logarit tự nhiên

Logarit thập phân là logarit cơ số 10, log b10 thường được viết là logb hoặc lg b

Logarit tự nhiên (logarit Neper ): Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên,

Trang 21

IV Ứng dụng của hàm số mũ, hàm số logarit trong thực tế

a Dạng toán gửi lãi suất ngân hàng

Dạng 1: Gửi vào ngân hàng một số tiền a đồng với lãi suất r % mỗi tháng theo hình thức lãi kép Gửi theo phương thức không kỳ hạn Tính số tiền lãi thu được sau n tháng

Cuối tháng thứ nhất số tiền trong tài khoản là A1  a a r % a1 r% Cuối tháng thứ hai, số tiền trong tài khoản là

A a r a r r a r

…

Cuối tháng thứ n số tiền thu được là A na1 r%n đồng

Số tiền lãi thu được sau n tháng là a1 r%na đồng

Ví dụ 1: Ông A gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn 1 năm với lãi suất 7, 65% / năm Giả sử lãi suất không thay đổi Hỏi sau 5 năm, ông A thu được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu triệu đồng?

Áp dụng công thức tổng quát ở trên ta được

Số tiền ông A thu về sau 5 năm là 7,65 5  5

Dạng 2: Gửi vào ngân hàng một số tiền a đồng với lãi suất x %  r mỗi

tháng theo hình thức lãi kép Gửi theo phương thức có kỳ hạn m tháng Tính số tiền cả gốc lẫn lãi A sau n kỳ hạn

Từ “STUDY TIP” ở bên ta thấy đưa về một ghi nhớ quan trọng: Trong cùng

một kỳ hạn, lãi suất sẽ giống nhau mà không được cộng vào vốn để tính lãi kép

Ví dụ kỳ hạn là 3 tháng thì lãi suất táng 1 là ar, tháng 2 , tháng 3 cũng là ar, sau

hết kỳ hạn 3 tháng mà không rút ra thì số tiền lãi một kỳ hạn sẽ được cộng dồn vào tiền gốc

Sau kỳ hạn thứ nhất, số tiền nhận được là: A1 a amr a 1mr Sau kỳ hạn thứ hai, số tiền nhận được là:

Trang 22

Dạng 3: Mỗi tháng đều gửi vào số tiền là a đồng theo thể thức lãi kép với lãi

suất là x% = r mỗi tháng Tính số tiền thu được sau n tháng

Cuối tháng thứ nhất, số tiền nhận được là A 1  a 1 r  

Cuối tháng thứ hai số tiền nhận được là

A. 1.335.967.000 VNĐ B. 1.686.898.000 VNĐ

C. 743.585.000 VNĐ D 739.163.000 VNĐ

Phân tích: Đây lại là bài toán khác với bài toán trên, bởi ban đầu ông đã có sẵn vốn ở trong tài khoản, do vậy ta thử làm bài toán này dưới dạng xây dựng mô hình công thức như dưới lời giải sau

Đáp án A

Lời giải

Trang 23

Sau năm thứ nhất số tiền mà ông An nhận được là 200 1 7%  214 triệu đồng

Đầu năm thứ hai, ông An gửi vào 20 triệu, nên đến cuối năm 2 số tiền ông nhận được là 214 20 1 7%     triệu đồng

Đầu năm thứ 3, ông An gửi vào 20 triệu đồng, nên đến cuối năm thứ 3, số tiền ông nhận được là:

b Dạng toán vay lãi suất ngân hàng và dạng toán mua trả góp

Dạng 4: Vay A đồng từ ngân hàng với lãi suất x% = r mỗi tháng Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu để sau n tháng hết nợ (Trả tiền vào cuối tháng)

Cuối tháng thứ nhất, số tiền người đó còn nợ là N1 A 1  r a đồng Cuối tháng thứ hai, số tiền người đó còn nợ là

N N   r a A r a  r a Cuối tháng thứ ba, số tiền người đó còn nợ là:

Trang 24

A Đưa về cùng cơ số hoặc lôgarit hóa – mũ hóa

Dạng 1: Giải phương trình mũ logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số Dùng các phép biến đổi về lũy thừa và logarit bằng phương pháp đưa về một trong các dạng sau:

có nghĩa rồi mới biến đổi

Độc giả hay nhầm khi áp dụng các nhóm công thức sau:

Trang 25

Ví dụ 2: Tổng các nghiệm của phương trình 2 1

4x3x 3.18x2x

2

1log

3 C. 92

1log

3

Ví dụ 3: Phương trình log2x 1 2 log 34 x2 2 0 có nghiệm nằm trong khoảng

A  0; 3 B  1; 2 C  3; 5 D  2; 3 Đáp án A

3  x2  24 sau đó ấn CALC thử các giá trị của x trong

4 phương án đề cho, thì thấy khi x2 giá trị của biểu thức bằng 0 nên ta chọn

khoảng nào nên buộc ta

phải giải bài toán

Ở ví dụ 3 này ta thấy cơ

Trang 26

Điều kiện 1

3

x x

10 3

x x x

Vậy tích hai nghiệm của phương trình là 5.  5  5

1 25

log 2 51

3 5

x x x

2 5

log 2 5

2 5

log 5 log 7

3 2

3

11

Ta thấy trong phương

trình này hai vế đều xuất

hiện 3x 5  , tuy nhiên ở

vế trái 3x 5  xuất hiện

trong căn ở dưới mẫu số

Ta sẽ biến đổi để vế trái có

Trang 27

Với x3 thì  *  x2 4x  3 1 luôn đúng với  x 3

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S3;

Ví dụ 8: Tập nghiệm của bất phương trình

6

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S  0;1 

Một số bài tự luyện đơn giản

Câu 1 : Nghiệm của phương trình log 4 log x

1 125 25

Trang 28

Đến đây nhiều độc giả có thể chọn A, hoặc D Tuy nhiên so với điều kiện xác định thì x 2;x 4 không thỏa mãn Do vậy phương trình có nghiệm duy nhất  1

có thể thấy đây là dạng phương trình đẳng cấp bậc hai, do vậy nếu ta nhập các hệ số vào máy ta sẽ được kết quả là tỉ số giữa hai biến

Vậy đến đây ta có thể sử dụng MODE 5:EQN chọn giải phương trình bậc hai

và lần lượt nhập các hệ số a4;b 13;c9 thì ta được hai nghiệm là:9

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1: Phương trình 9x1  6x1  3.4x có bao nhiêu nghiệm?

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	7,95 MB