Thông tin tài liệu
Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Điều kiện đủ để hàm số có cực trị STUDY TIP Ở định lý ta hiểu sau: Ta thừa nhận định lí sau Định lý Giả sử hàm số y f x liên tục khoảng K x0 h; x0 h có * Khi f x đổi dấu từ đạo hàm K K \x0 , với h dương sang âm qua x c x c gọi điểm cực đại hàm số a Nếu f x khoảng x0 h; x0 f x khoảng x ; x * Khi f x đổi dấu từ âm 0 h x điểm cực đại hàm số f x b Nếu f x khoảng x0 h; x0 f x khoảng sang dương qua x c x c gọi điểm cực tiểu hàm số x ; x 0 h x điểm cực tiểu hàm số f x Hình 1.9 mơ tả điều kiện đủ để hàm số có cực trị: điểm cực đại y y điểm cực tiểu O y STUDY TIP Nếu x c điểm cực trị hàm f 'c y f x x c O y Không phải điểm cực trị x c Không phải điểm cực trị f 'c khơng xác định, f 'c chưa x c điểm cực trị hàm số O c O x c x Hình 1.9 Quy tắc để tìm cực trị Quy tắc 1 Tìm tập xác định Tính f ' x Tìm điểm f ' x không xác định Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy cực trị Quy tắc Tìm tập xác định Tính f ' x Giải phương trình f ' x kí hiệu xi i 1, 2, 3, , n nghiệm Tính f '' x f '' xi , i 1; 2; 3; n LOVEBOOK.VN | 49 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing Tìm điều kiện để hàm số cho có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 2.1 Xét hàm số bậc ba có dạng y ax bx cx d, a Chú ý: Hàm số y f x xác định D có cực trị x0 D thỏa mãn hai điều kiện sau: i Đạo hàm hàm số x phải hàm số khơng có đạo hàm x0 ii f ' x phải đổi dấu qua x f x0 STUDY TIP Qua ta rút kết quả, đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị, khơng có điểm cực trị Một số lưu ý cực trị hàm số bậc ba y ax bx cx d, a Ta có y 3ax 2bx c - Để hàm số bậc ba có cực trị phương trình y ' có hai nghiệm phân biệt b2 3ac - Ngược lại, để hàm số khơng có cực trị phương trình y ' vơ nghiệm có nghiệm kép b2 3ac - Hoành độ x1 ; x2 điểm cực trị nghiệm phương trình y - Để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba, ta thường sử dụng phương pháp tách đạo hàm (xem toán tổng quát phía dưới) Một số tốn thường gặp: Bài toán tổng quát 1: Cho hàm số y f x ax3 bx2 cx d , a Tìm điều kiện để: a Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu (hay hai điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ trái dấu) b Hàm số có hai điểm cực trị dấu (hay hai điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ dấu) Chú ý c Hàm số có hai điểm cực trị x x1 ; x x2 so sánh với số thực Phương trình ta xét có hệ số d Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị (điểm cực đại điểm cực tiểu) nằm phía, khác phía so với đường thẳng) tất toán tổng quát hàm số bậc ba sách ta xét hệ số Ta có y 3ax 2bx c ; phương trình 3ax2 2bx c có b2 3ac Ví dụ dấu ac b Hàm số có hai điểm cực trị dấu y có hai nghiệm phân biệt hệ số (ở khác với biệt số delta tổng quát mà ta ghi nhớ Lời giải tổng quát a Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu y có hai nghiệm phân biệt trái b2 3ac dấu c 0 x1 x2 3a c Điều kiện để hàm số có cực trị x1 ; x2 thỏa mãn: * x1 x2 (tham khảo bảng trang 28; 29) LOVEBOOK.VN| 56 * x1 x2 * x1 x2 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB d Điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía với đường thẳng : mx ny k Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 * Nếu mx1 ny1 k mx2 ny2 k A, B nằm phía so với * Nếu mx ny1 k mx2 ny2 k A, B nằm khác phía so với Một số trường hợp đặc biệt - Hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba nằm phía so với trục Oy phương trình y có hai nghiệm phân biệt dấu - Hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba nằm hai phía trục Oy phương trình y có hai nghiệm trái dấu - Hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm phía với trục Ox y có hai nghiệm phân biệt yCD yCT - Hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm hai phía với trục Ox y có hai nghiệm phân biệt yCD yCT - Hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm phía trục Ox y y y có hai nghiệm phân biệt CD CT yCD yCT - Hai điểm cực trị đồt hị hàm số nằm phía với trục Ox y y y có hai nghiệm phân biệt CD CT yCD yCT Bài toán tổng quát 2: Viết phương trình qua hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y ax bx cx d, a Lời giải tổng quát Giả sử hàm bậc ba y f x ax3 bx2 cx d, a có hai điểm cực trị x1 ; x2 Khi thực phép chia f x cho f ' x ta f x Q x f x Ax B f x1 Ax1 B Khi ta có (Do f x1 f x2 ) f x2 Ax2 B Vậy phương trình qua hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số STUDY TIP Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba biểu diễn theo y’; y’’; y g x y y.y 18a y f x có dạng y Ax B Đến ta quay trở với toán toán 1, nhiệm vụ tìm số dư cách tổng quát Ta có y 3ax2 2bx c ; y 6ax 2b Xét phép chia y cho y ta được: 1 b y y. x g x * , g x phương trình qua hai điểm cực trị a đồ thị hàm số bậc ba 3ax b 6ax 2b Tiếp tục ta có * y y g x y y ' g x 9a 18a y y.y y y ' g x g x y 18a 18a LOVEBOOK.VN | 57 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm AB 4b2 12ac 9a 4k AB2 k k a 4b2 12 ac 9a AB The best or nothing AB b2 3ac a.9 a 1 k b2 3ac 4k k với k 9a a Ví dụ 1: Giá trị m để Cm : y x3 x2 m 1 x m3 m để khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị Cm A m 2 B m 1 85 27 C m 4 D m 3 Đáp án B Lời giải - Ta có b 3ac m 1 3m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị 2 - Lúc áp dụng cơng thức tốn tổng qt ta có 3m m 3m 3m 9 85 Đến ta nhập phương trình vào 27 máy tính thử giá trị m phương án, từ ta chọn B thỏa mãn Cách bấm máy tính: Nhập vào hình Trường hợp 3 X 3X 85 4 (do 9 27 có thừa số chung nên ta bỏ đi) Thử với A: Ấn rp2=thì máy kết khác nên ta loại A Thử với B: Tiếp tục ấn rp1= máy kết nên ta chọn B Trường hợp Bài toán tổng quát 4: Định m để điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d, a đối xứng qua đường thẳng d : y kx e STUDY TIP Điểm uốn đồ thị hàm số bậc ba điểm có hồnh độ thỏa mãn y nằm đồ thị hàm số y ax bx cx d, a 0 Lời giải tổng quát Do đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng nên lúc điểm uốn I x1 ; y1 thuộc d đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số yI kxI e vng góc với d Tức m thỏa mãn hệ sau: b2 c k 1 3 3a Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3mx m (với m tham số) có đồ thị Cm Tập tất giá trị m để hai điểm cực trị đồ thị Cm đối xứng qua đường thẳng d : y x A 2 Đáp án B LOVEBOOK.VN| 60 1 B ; 2 1 C ; ; 0 D ; 0 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB 2.2 Xét hàm số bậc bốn trùng phương có dạng y ax bx c, a x Ta có y ' 4ax3 2bx 2ax b Đến ta có nhận xét hàm số bậc bốn trùng phương ln có điểm cực trị Số điểm cực trị phụ thuộc vào nghiệm phương trình 2ax2 b b a Nếu tức a, b dấu b phương trình vơ nghiệm 2a có nghiệm x Khi hàm số có điểm cực trị x b Nếu b tức a, b trái dấu phương trình có hai nghiệm phân 2a biệt x y Ta vừa chứng minh trên, ab hàm số có ba điểm cực trị C B b b Nghĩa hàm số có ba điểm cực trị x 0; x 2a 2a x 0; x A x O b 2a Khi đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị là: b b A 0; c ; B ; ; C ; với b2 4ac (Hình minh họa) 2a 4a 2a 4a y A B b b b ab2 b2 (Chứng minh: ta có f a b c c 2a 2a 2a 4a 2a C x ab2 2ab2 4a2c ab2 4ac b2 4ac (đpcm)) 4a 4a2 4a2 AB AC b4 b b ; BC 2a 16a 2a O Bài tốn 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax bx c , a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số Lời giải tổng qt Với ab hàm số có ba điểm cực trị Do điểm A 0; c nằm Oy cách hai điểm B, C Nên tam giác y ax4 bx2 c , ABC phải vuông cân A Điều tương đương với AB AC (do AB AC có sẵn rồi) a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông b b2 b b2 Mặt khác ta có AB ; ; AC ; 2a 4a 2a 4a b3 8 cân điều kiện a Ta loại điều kiện a, b trái dấu từ công thức cuối thu ta ln có a, b trái dấu Do AB AC nên AB.AC b b4 b3 8 2a 16a2 a Ví dụ 1: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x m2 x có điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân A 0 1 B 2 1 C 2 1 D ; 2 Đáp án D LOVEBOOK.VN | 63 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing Cách 1: Lời giải thông thường TXĐ: D Cách 2: Áp dụng công thức Để điểm cực trị đồ thị hàm số ba đỉnh tam giác vuông cân Ta có: y x x m2 Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y có nghiệm phân biệt 8m2 b3 8 a 1 m m0 Lúc đó, ba điểm cực trị là: A m; 16 m4 , B 0; , C 2m; 16 m4 8 Nên BA BC Do đó, tam giác ABC cân B Khi đó, tam giác ABC vuông cân khi: BA.BC 4m2 256m8 m 64m m m Nhận xét: Rõ ràng việc nhớ công thức làm nhanh nhiều so với việc suy trường hợp Bài tập rèn luyện lại công thức: STUDY TIP Độc giả nên làm tập rèn luyện mà khơng nhìn lại cơng thức để ghi nhớ cơng thức lâu Cho hàm số y x4 2mx2 m2 Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị điểm cực trị đồ thị hàm số ba đỉnh tam giác vuông? A m B m 1 C m D m 2 Cho hàm số y f x x m x m 5m (Cm ) Giá trị m để đồ 2 thị hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân thuộc khoảng sau đây? 4 3 21 1 A ; B ; C 0; 2 10 2 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số D 1; A m 2017 B m 2014 C m 2016 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số D m 2015 y x m 2015 x 2017 có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân y x m 2016 x 2017m 2016 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m 2017 B m 2017 D m 2015 C m 2018 Tìm m để đồ thị hàm số f x x m 1 x m có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông A m B m 1 2 C m D m Đáp án 1.A 2.A 3.A 4.A 5.C Bài tốn 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax bx c , a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác LOVEBOOK.VN| 64 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Lời giải tổng quát STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số Với ab hàm số có ba điểm cực trị y ax4 bx2 c , Mặt khác ta có Do AB AC , nên ta cần tìm điều kiện để AB BC a có ba điểm cực trị AB AC tạo thành tam giác b3 24 a b4 b b ; BC 2a 16a 2a Do AB BC b b4 2b b3 24 2a 16 a a a Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y x mx m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác Ta có kết quả: A m B m C m D m 3 Đáp án D Lời giải Áp dụng cơng thức vừa chứng minh ta có STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số 2m 24 m 3 b3 24 a y ax4 bx2 c , a có ba điểm cực trị Bài tập rèn luyện lại công thức: Cho hàm số y x m x m 5m C m Với giá trị m tạo thành tam giác đồ thị C m có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại điểm cực b3 24 a tiểu lập thành tam giác đều? Mà tam giác vng A m 3 B m 3 C m 3 D m 3 Cho hàm số y x4 m 2017 x2 2016 có đồ thị (Cm ) Tìm tất giá trị m cho đồ thị (Cm ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều? b3 8 a “Vuông -8, -24” A m 2015 B m 2016 C m 2017 D m 2017 Cho hàm số y x 2mx Tìm tất giá trị m cho đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều? A m 3 B m 3 C m D m Cho hàm số y mx 2mx m Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác A m 3; m 3; m B m 3; m C m Đáp án 1A D m 2B 3A 4B Bài tốn 3: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y ax bx c , a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S y H C B Lời giải tổng quát Gọi H trung điểm BC lúc H nằm đường thẳng chứa đoạn thẳng BC (hình vẽ) A O x LOVEBOOK.VN | 65 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The best or nothing b Lúc H 0; AH 0; Diện tích tam giác ABC tính a 4a b b công thức: SABC AH.BC So 4a 2a S0 b 2b b S 16a a 32 a Ví dụ 3: Cho hàm số y x mx m m Với giá trị m đồ thị STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số y ax bx c , a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S0 có điều kiện S b5 32a C có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị tạo thành tam giác có m diện tích A m 16 C m 16 B m 16 D m 16 Đáp án A Lời giải Áp dụng công thức ta có, hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32.a3S0 b5 32.13.42 2m m 16 Bài tập rèn luyện lại công thức: Cho hàm số y x4 2m2 x2 Với giá trị m đồ thị hàm số cho có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32 A m 2; m 2 B m 0; m C m 0; m 2 D m 2; m 2; m Cho hàm số y f(x) x 2(m 2)x m2 5m Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cho có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m B m 3 C m D m 2 Cho hàm số y 3x4 2mx2 2m m4 Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m B m 3 C m D m 4 Cho hàm số y x4 2mx2 m (1) , với m tham số thực Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có diện tích A m B m 2 C m D m 4 Đáp án 1A 2A 3A 4B Bài tốn 4: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax bx c , a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn Lời giải tổng qt Ở tốn ta có S0 b5 32 a b Do ta tìm Max 32 a LOVEBOOK.VN| 66 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài tốn 5: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx2 c , a có ba điểm cực trị A; B; C tạo thành tam giác ABC B; C Ox Lời giải tổng quát c c Tam giác ABC có hai điểm cực trị B; C Ox b 4ac 4a Bài tốn 6: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx2 c , a có ba điểm cực trị A; B; C tạo thành tam giác ABC BC kAB kAC; k Lời giải tổng quát b b Từ toán tổng quát ban đầu ta có A 0; c ; B ; ; C ; 2a 4a 2a 4a AB AC b4 b b ; BC 2a 2a 16a Ta có BC kAB b b4 b b3 k 8a k k 2a 2a 16a Bài tốn 7: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax bx c , a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc đỉnh cân STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số y ax4 bx2 c , a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc đỉnh có điều b 8a kiện cos b 8a Hoặc 8a b3 tan Lời giải tổng quát Cách 1: Ta có cos AB.AC AB AC AB.AC AB2 cos 8a b3 8a b3 cos cos b b4 b b4 cos 2a 16a 2a 16a b3 8a b3 8a Cách 2: Gọi H trung điểm BC, tam giác AHC vng H có: tan HC BC 0 BC 4.AH tan 8a b tan 2 AH AH Bài tốn 8: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx2 c , a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn STUDY TIP Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số y ax4 bx2 c , a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn b b3 8a Lời giải tổng quát Do tam giác ABC tam giác cân nên hai góc đáy Một tam giác khơng thể có hai góc tù, hai góc đáy tam giác ABC ln góc nhọn Vì để tam giác ABC tam giác có ba góc nhọn góc ̂ = 𝛼 góc nhọn đỉnh phải góc nhọn Tức tìm điều kiện để 𝐵𝐴𝐶 𝑏 + 8𝑎 ̂ = cos 𝛼 = Ở tốn ta vừa tìm cos 𝐵𝐴𝐶 𝑏 − 8𝑎 ̂ nhọn b 8a Để góc 𝐵𝐴𝐶 b3 8a Cách khác để rút gọn công thức: LOVEBOOK.VN | 67 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm Do cos AB.AC AB AC The best or nothing nên để góc nhọn AB AC AB AC Mà AB AC AB.AC b b4 0 2a 16a b. b3 8a Bài tốn 9: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx2 c , a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r Lời giải tổng quát Ta có S0 p.r (cơng thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp) r 2S0 AB AC BC b5 32a b b4 b 2 2 a 16a 2a r b2 b3 a 1 8a Bài tốn 10: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx2 c , a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R Lời giải tổng quát AB.BC.CA Trước tiên ta có cơng thức sau: SABC 4R Gọi H trung điểm BC, AH đường cao tam giác ABC, nên AB.BC.CA AH.BC 4.R2 AH AB4 4R b3 8a b b4 b4 R 4.R a b 16a2 2a 16a2 Bài toán 11: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx2 c , a có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có a Có độ dài BC m0 b Có AB AC n0 Lời giải tổng quát Ở đầu Dạng ta có cơng thức b b A 0; c ; B ; ; C ; với b2 4ac 2a 4a 2a 4a AB AC b4 16a b b ; BC 2a 2a Do với ý a, b ta cần sử dụng hai công thức Đây hai công thức quan trọng, việc nhớ công thức để áp dụng điều cần thiết! LOVEBOOK.VN| 68 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đọc thêm: Các toán số phức vận dụng cao Bài tốn tìm số phức liên quan đến mơđun Tìm số phức z có mơđun lớn (hoặc nhỏ nhất) thỏa mãn điều kiện cho trước A MỘT SỐ KIẾN THỨC ÁP DỤNG Bất đẳng thức: Bunyakovsky Định lý dấu tam thức bậc hai Sự đồng biến nghịch biến hàm số, bảng biến thiên 4.Giao điểm đường thẳng đường thẳng, đường thẳng đường tròn Tính chất hàm số lượng giác * Một số cơng thức tính nhanh số phức vận dụng vào tốn tìm max số phức 2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 z.z z ; az1 bz2 az1 bz2 z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; z z z2 z1 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 Cho z1 z2 z3 k Ta có z1 z2 z2 z3 z2 z3 z3 z1 z3 z1 z1 z2 9k k2 k max z Cho số phức z thỏa mãn z k z k 4 k min z Cho z a Khi z a2 1 a 10 Cho số phức z thỏa mãn z z0 R Lúc tập hợp điểm diễn số phức z đường tròn có tâm điểm I điểm biểu diễn số phức z0 max z z0 R Lúc z z0 R 11 Cho số phức z thỏa mãn z1 z z2 r Khi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P z z3 LOVEBOOK.VN| 332 max P min P z2 r z3 z1 z1 z r z3 z1 z1 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài tốn 3: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Giả sử H trung điểm cạnh AB hai mặt phẳng SHC , SHD vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp hình chóp có ba mặt bên S tam giác vng Lời giải B C H D A Hình 5.10 Vì SHC SHD vng góc với đáy ABCD nên SH đường cao hình chóp Hai tam giác SAD SBC vng A B (theo định lí ba đường vng góc) Tam giác SCD có SC SD (vì HC HD ) nên khơng thể vng C D Nếu SCD vng S SC CD a Nhưng SBC vuông B nên SC BC a Từ SCD khơng phải tam giác vuông Từ giả thiết suy SAB phải tam giác vng Do SA SB (vì HA HB) nên SAB vuông S , suy ra: SH a AB 2 1 a a3 Vậy VS ABCD SABCD SH a2 3 ̂ 90 , ACB ̂ Mặt phẳng Bài toán 4: Cho khối chóp S ABC có BC 2a, BAC SAB vng góc với mặt phẳng ABC , tam giác SAB cân S tam giác SBC vng Tính thể tích hình chóp S ABC Lời giải Tam giác ABC có AB 2a sin , AC 2a cos nên SABC a sin 2 Vì SAB ABC SA SB nên SH ABC với H trung điểm cạnh AB S Tam giác SBC vuông đỉnh nào? Nếu SBC vuông B CB BA (theo định lí ba đường vng góc) điều vơ lí ABC vng A Tương tự SBC ̂ 90 (vơ lí) Từ tam giác SBC vng S C vng C HCB A Gọi K trung điểm cạnh BC H K B Hình 5.11 1 SK BC a, HK // AC HK AC a cos 2 SH2 SK2 HK2 a2 sin2 SH a sin 1 Từ VS ABC SABC SH a2 sin 2.a.sin 3 VS ABC a3 sin 2 sin Bài tốn (đọc thêm): Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang ABCD ( AB // CD ) Tính thể tích hình chóp trường hợp sau đây: Biết AB AD BC a, CD 2a SA SB SC SD b Biết AB AD BC a, CD 2a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc (Hình 5.12) Lời giải Gọi A hình chiếu A CD; H trung điểm DC Dễ thấy DA a tam giác ADH tam giác LOVEBOOK.VN| 356 Chủ đề 5: Khối đa diện thể tích ̂ Ta có: cos A'DA The best or nothing DA DA ̂ 60 nên A'DA S Từ suy tam giác HAD, HBC , HAB tam giác đều; nên H cách bốn đỉnh A, B, C , D Vì SA SB SC SD nên chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng ABCD nằm đường trung trực đoạn thẳng DA, AB, BC CD Vậy SH đường cao hình chóp S.ABCD Ta có: SH SD DH b2 a A’ D H C VSABCD B A 1 a2 Lúc VS ABCD SH.SABCD b2 a 3.SADH b a 3 (Do diện tích hình thang tổng diện tích tam giác nhau) Hình 5.12 a b2 a2 Lời giải Hạ SH ABCD ; H thuộc mặt phẳng ABCD S Gọi M , N , P , Q hình chiếu H AB, BC , CD DA Từ điều ̂ = SNH ̂ = SPH ̂ = SMH ̂ kiện cho ta có SQH HP HN HM HQ r P D Q C N M Hình 5.13 PM 3a Vậy SH tan H A Ta có: r B 3a a 3a2 3a3 tan Từ ý ta suy VS ABCD tan 4 16 Một số ghi nhớ để xác định đường cao khối đa diện TRƯỜNG HỢP 1: Xác định mặt phẳng P1 qua đỉnh S vng góc với P P mặt phẳng chứa đáy Gọi giao tuyến P P1 H hình chiếu vng góc điểm S lên Khi SH đường cao khối đa diện (Ví dụ tốn phía trên) TRƯỜNG HỢP 2: Xác định hai mặt phẳng P1 , P2 qua đỉnh S khối đa diện vng góc với mặt phẳng đáy P Gọi giao tuyến P P2 chứa đường cao khối đa diện LOVEBOOK.VN | 357 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Thể tích khối chóp cụt S Bài tốn tổng qt 1: Tính thể tích khối chóp cụt có đáy đa giác có diện tích B đáy đa giác ' có diện tích B’ Tính thể tích hình chóp cụt này, biết chiều cao hình chóp cụt h (hình 5.7) Lời giải Kí hiệu H hình chóp có đáy đa giác , H hình chóp có đáy đa giác ' Nếu h1 h2 chiều cao hình chóp H H ta có: h1 Hình 5.14 h2 STUDY TIP Thể tích khối chóp cụt có đáy đáy B B , chiều cao h tích B B h1 h h1 h2 h1 h B B B h h1 B B Ta có V H V H2 V H1 h V B B BB h B B B B h2 B h B B 1 B B B B B ' h Bh1 h 3 B B B B B B BB h Thể tích tứ diện Bài tập tổng quát 2: Cho khối tứ diện ABCD có AB CD a, AC BD b , AD BC c Tính thể tích tứ diện ABCD Lời giải Dựng tứ diện D.A’B’C’ cho A, B, C trung điểm B’C’, C’A’, A’ A’B’ Khi tứ diện D.A’B’C’ có cạnh DA’, DB’, DC’ đơi vng góc C 1 Nhận xét VABCD VD A ' B ' C ' DA '.DB '.DC ' 24 B Tam giác DA’C’ vuông D có DB trung tuyến DB D AC AC 2b DA '2 DC '2 4b2 B’ A Hình 5.15 C’ 2 DA ' DB ' 4a Tương tự ta có 2 DB ' DC ' 4c DA '2 a2 b2 c DB '2 c a2 b2 2 2 DC ' c b a VABCD a a b2 c 24 b2 c c c a2 b2 a2 b2 c c b2 a2 b2 a2 Bài tập tổng qt 3: (Thể tích khối tứ diện vng) Cho khối tứ diện S ABC có SA a ; SB b ; SC c SA; SB ; SC đơi vng góc với Tích thể tích tứ diện S.ABC Lời giải LOVEBOOK.VN| 360 Cơng Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Từ suy mặt bên hình lăng trụ hình tam giác hình thang Gọi B1 , B2 , B0 diện tích hai đáy diện tích thiết diện trung bình khối lăng trụ H, h khoảng cách hai mặt phẳng đáy thể tích H V B1 B2 4B0 h (hình 5.16) Một số phương pháp gián tiếp xác định thể tích khối đa diện Một số kết quan trọng: Tỉ số thể tích hình chóp tam giác Cho khối chóp S ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm V SA SB SC A , B , C khác S Khi S ABC VS ABC SA SB SC Lưu ý Tỉ số thể tích áp dụng cho hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác ,… không áp dụng công thức Cho hai khối đa diện H H tích tương ứng V1 ; V2 , lúc biết V1 k V2 a V1 ka V2 Nếu chia khối đa diện H thành khối đa diện H ; H ; ; H n V V1 V2 Vn Với V thể tích khối đa diện H, Vi thể tích khối đa diện H i , i 1, n Phương pháp tọa độ hóa Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABC với tam giác ABC vuông cân B, AC 2a, SA ABC SA a Giả sử I điểm thuộc cạnh SB cho SI SB Thể tích khối tứ diện SAIC a3 a3 2a3 A B C 3 S D a3 Đáp án A Lời giải Tam giác ABC vng cân B có AC 2a AB BC a I a3 VS ABC SABC SA 3 C A Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có B VS AIC VSABC SA SI SC a3 VSAIC SA SB SC Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AB 2a; BC a; SA SB SC SD a Giả sử E điểm thuộc cạnh SC cho SE EC , F điểm thuộc cạnh SD cho SF A 2a3 B 5a 3 36 FD Thể tích khối đa diện SABEF C 2a3 27 Đáp án B Lời giải LOVEBOOK.VN| 362 D 5a 3 12 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bổ sung số vấn đề mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình đa diện Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện H gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện H hình đa diện H gọi hình đa diện nội tiếp mặt cầu a Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy đa giác nội tiếp đường tròn Từ ta có Hệ Mọi hình tứ diện có mặt cầu ngoại tiếp Mọi hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp Các phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài tốn: Xác định tâm I bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A1 A2 An Lời giải Phương pháp 1 Xác định tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1 A2 An STUDY TIP Khi hình chóp hình chóp đều, hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy thay mặt phẳng trung trực đường trung trực Khi dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên, nên chọn cạnh bên hình chóp đồng phẳng với Dựng trục trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1 A2 An ( đường thẳng qua tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng đáy) Vẽ mặt phẳng trung trực P cạnh bên hình chóp Giao mặt phẳng trung trực P đường thẳng tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A1 A2 An Phương pháp Xác định tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1 A2 An Dựng trục trục Víđường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1 A2 An Vẽ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác mặt bên cho đồng phẳng Lấy giao hai đường thẳng ta tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp Phương pháp Chứng minh đỉnh hình chóp nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh lại góc vng Khi trung điểm đoạn thẳng nối hai đỉnh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, đoạn thẳng nối hai đỉnh đường kính mặt cầu Phương pháp Tìm điểm đặc biệt cách đỉnh hình chóp Phương pháp LOVEBOOK.VN| 390 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing Ta tạo lăng trụ quen thuộc để dễ dàng việc xác định tâm hay tính tốn yếu tố mặt cầu ngoại tiếp đa diện Bằng việc mở rộng khối đa diện cho, thay xác định tâm bán kính khối đa diện cách trực tiếp, ta xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện quen thuộc b Một số toán bật Bài toán 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác có cạnh đáy a chiều cao h S Lời giải tổng quát Gọi S.ABC hình chóp tam giác đều, có chiều cao SH h ; cạnh đáy a Trong mặt phẳng SAH kẻ đường trung trực cạnh SA, gọi I giao D điểm đường trung trực cạnh SA SH Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC I A B Ta có tam giác ABC tam giác nên H trọng tâm tam giác ABC a a AH 3 H Tam giác SAH vuông H SA SH AH h2 C a2 Tam giác SDI tam giác SHA hai tam giác đồng dạng nên a2 SA h2 2 SI SD 3h a SA SI SA SH SH 2SH 2.h 6h Đến ta có kết luận: bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác SA có cạnh đáy a chiều cao h R 3h a 6h Bài tốn 2: Tính bán kính hình chóp tứ giác có độ dài cạnh đáy a chiều cao h Lời giải tổng quát Tương tự toán ta có bán kính hình chóp tứ giác có độ dài cạnh đáy a chiều cao h R 2h2 a2 4h Tổng quát: Cơng thức đọc thêm: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C n giác có cạnh đáy a chiều cao h R 180 a2 n 180 8h.sin n 4h sin M Bài toán 3: Xác định tâm bán kính tứ diện SABC có SA a , SB b , O A S SC c ba cạnh SA, SB, SC đôi vuông góc Lời giải tổng quát H B Cách 1: Gọi H trung điểm AB Dễ thấy H tâm đường tròn ngoại tiếp SAB Mặt phẳng trung trực SC cắt trục đường tròn SAB O LOVEBOOK.VN | 391 Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing 1 Thể tích khối chóp V a2 h 2h2 2R h 3 Đến ta có hai cách Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức STUDY TIP Hình chóp tứ giác tích lớn nội tiếp mặt cầu bán kính R cố định hình chóp tứ giác có cạnh a cao h V 4R , chiều 4R thể tích 64R 81 h h 2R h h h 64 R3 Ta có V R h 2 2 81 Dấu xảy h 4R 2R h h 4R Cách 2: Xét hàm Khi a Xét hàm số f h h2 2R h 0; 2R 4R Ta có f h R.2h 3h2 Rh 2h2 h Kết tương tự 3 3 Đến ta rút Study Tip để ghi nhớ c Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng với đáy đa giác nội tiếp đường tròn Hệ Hình hộp H có mặt cầu ngoại tiếp H hình hộp chữ nhật Tâm O mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật giao điểm đường chéo, độ dài đường chéo đường kính mặt cầu Khi a b2 c 2 R Bài tốn 6: Trong số hình hộp nội tiếp hình cầu bán kính R cho trước, hình hộp có tổng kích thước lớn Lời giải Ta có hình hộp nội tiếp mặt cầu bán kính R nên hình hộp chữ nhật kích thước a , b , c liên hệ với bán kính mặt cầu công thức a2 b2 c2 4R2 Tổng kích thước hình hộp a b c Mặt khác, ta có a b c a b c 12R a b c 8R 2 2 a b c 2R Dấu xảy a b c hình lập phương có cạnh 2R Khi hình hộp cần tìm 2R LOVEBOOK.VN | 393 Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ không gian The best or nothing PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chủ đề VII I Hệ tọa độ không gian Vấn đề cần nắm: Hệ trục tọa độ không gian I Lí thuyết hệ tọa độ khơng gian II Phương trình mặt phẳng III Phương trình đường thẳng IV Các dạng tốn mặt cầu Trong khơng gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vng góc với đơi Gọi i , j , k vectơ đơn vị trục x’Ox, y’Oy, z’Oz Định nghĩa Hệ gồm ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz đôi vng góc gọi hệ trục tọa độ Đề (Descartes) vng góc Oxyz khơng gian (hình 7.1) Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng Oxy , Oyz , Ozx đơi vng góc với gọi mặt phẳng tọa độ z Không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz 2 Nhận xét: i j k i j j.k k.i Tọa độ vectơ y O Trong không gian Oxyz với vectơ đơn vị i , j , k trục Ox, Oy, Oz, cho vectơ u Khi tồn ba số thực x , y , z cho u x.i y j z.k x Bộ ba số thực x , y , z thỏa mãn hệ thức gọi tọa độ vectơ u đối Hình 7.1 với hệ trục Oxyz Kí hiệu u x; y; z u x; y; z , x hoành độ, y tung độ, z cao độ vectơ u Tính chất Cho vectơ u u1 ; u2 ; u3 , v v1 ; v2 ; v3 Khi a u v u1 v1 , u2 v2 , u3 v3 b u v u1 v1 ; u2 v2 ; u3 v3 c k.u ku1 ; ku ; ku3 với số thực k d u.v u1v1 u2 v2 u3 v3 e u u12 u22 u32 z f Hai vectơ u; v; v có phương vng góc với u1v1 u2 v2 u3 v3 M g Hai vectơ u, v phương với có số thực k cho u kv O y Tọa độ điểm Nếu x , y , z tọa độ vectơ OM ta nói x , y , z tọa độ điểm M với hệ tọa độ Oxyz (hình 7.2) x Hình 7.2 Kí hiệu M x; y; z hay M x; y; z LOVEBOOK.VN | 429 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Trong x hồnh độ, y tung độ, z cao độ điểm M Liên hệ tọa độ vectơ tọa độ hai điểm đầu mút Trong không gian Oxyz cho hai điểm M x1 ; y1 ; z1 N x2 ; y2 ; z2 tọa độ vectơ MN độ dài là: MN x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 x MN x1 y2 y1 z2 z1 2 2 Tích có hướng hai vectơ Định nghĩa Tích có hướng hai vectơ u v , kí hiệu u, v vectơ xác định i có phương vng góc với u v , ii Bộ ba u, v, ba vectơ thuận (đọc thêm SGK khơng giải thích vấn đề này) iii u v sin , góc hai vectơ u v Định lý Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u u1 ; u2 ; u3 v v1 ; v2 ; v3 Khi u u , v v u3 u3 ; v3 v3 u1 u1 ; v1 v1 u2 v2 u2 v3 u3 v2 ; u3 v1 u1 v3 ; u1 v2 u2 v1 Một vài mẹo để tính nhanh tích có hướng hai vectơ Cách 1: Viết hai tọa độ hai vectơ song song sau nhớ nhanh sau: Ví dụ hai vectơ u u1 ; u2 ; u3 v v1 ; v2 ; v3 ta viết tọa độ hai vectơ song STUDY TIP song ghép định thức theo chiều tam giác mũi tên từ sang phải trái STUDY TIPS Cách nhớ mẹo để độc giả dùng không nhớ công thức Đến ta tìm cơng thức tính tích có hướng u , v u v u v ; u v u v ; u v u v 3 1 2 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Tơi xin nhắc lại cách tính tích có hướng máy tính fx – 570 VN Plus mà giới thiệu “Bộ đề tinh túy mơn tốn” sau: Vào MODE 8:VECTƠ ( để chuyển máy tính sang chế độ tính tốn với vectơ Khi máy góc trái chọn 1: VctA để nhập tọa độ vectơ thứ nhất, máy VctA(m), ta chọn 1:3 để nhập tọa độ vectơ có hồnh độ, tung độ, cao độ Tiếp theo, máy bên, ta nhập tọa độ vectơ thứ vào Sau nhập tọa độ vectơ thứ nhất, ấn AC để xóa hình Tiếp tục thực nhập vectơ thứ hai bước trên, nhiên bước 2, ta không chọn 1: VctA có tọa độ, nên ta chọn 2: VctB tiếp tục thực gán tọa độ vectơ thứ hai Tiếp tục ấn AC để xóa hình LOVEBOOK.VN| 430 Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ không gian The best or nothing Ấn SHIFT máy bên, chọn để VctA, ấn nút nhân tiếp tục lần chọn để Vct B Máy bên Ấn = để nhận kết Tính chất u, v u v u, v v, u u v , u, v , ; u , v u , v u , ku , v u; kv k u, v , k Hệ A’ B’ Diện tích hình bình hành ABCD S AB , AD SABD AB, AD 2 C’ D’ A Ba vectơ u; v đồng phẳng u, v (tích hỗn tạp) B Nếu ABCD.A’B’C’D’ hình hộp tích V V AB, AD AA VABDA D C 1 AB, AD AA 6 Từ hệ trên, ta tính nhanh thể tích, diện tích mà khơng cần tìm Hình 7.3 độ dài II Phương trình mặt phẳng Vectơ pháp tuyến mặt phẳng Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng P giá n A vng góc với mặt phẳng P (hình 7.4) Chú ý Nếu n vectơ pháp tuyến mặt phẳng P k.n k vectơ Hình 7.4 pháp tuyến mặt phẳng P Cho mặt phẳng P qua điểm M0 x0 ; y0 ; z0 có vectơ pháp tuyến n a , b , c Khi phương trình mặt phẳng P có dạng P : a x x b y y c z z 0 Định nghĩa Phương trình có dạng Ax By Cz D 0, A, B, C khơng đồng thời 0, gọi phương trình tổng quát mặt phẳng Nhận xét i Nếu mặt phẳng P có phương trình tổng qt Ax By Cz D có vectơ pháp tuyến n A; B; C ii Phương trình mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 nhận vectơ n A; B; C khác làm vectơ pháp tuyến có dạng A x x0 B y y0 C z z0 LOVEBOOK.VN | 431 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đến ta có tốn tổng qt: Mặt phẳng P (hình 7.5) qua ba điểm M a; 0; , N 0; b;0 , P 0;0; c có z c phương trình P : x y z 1 a b c O b x a y Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng P1 ; P2 có phương Hình 7.5 trình P1 : a1x b1y c1z d1 0, P2 : a2 x b2 y c2 z d2 0, với bi ci i 1; Khi a ; b ; c k a2 ; b2 ; c2 1 d1 kd2 d1 kd2 P // P n kn2 a ; b ; c k a2 ; b2 ; c2 1 d1 kd2 d1 kd2 kn2 P P n P cắt P n kn a ; b ; c k a ; b ; c P P a a b b c c 1 z 2 2 1 2 2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng M Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : ax by cz d , với a2 b2 c2 điểm M x0 ; y0 ; z0 Khi khoảng cách từ M đến mặt phẳng P độ dài đoạn MH, với MH đoạn thẳng vng góc với P H H (hình 7.6) O y Độ dài MH tính cơng thức: d M; P MH ax0 by0 cz0 d a b2 c x Hình 7.6 Hệ Với P : ax by cz d P : ax by cz d ' a2 b2 c 0; d d hai mặt phẳng song song khoảng cách P P tính d d công thức: d P ; P a2 b2 c Góc hai mặt phẳng ̂ (𝑄))là góc hai đường Góc hai mặt phẳng P Q , kí hiệu ((𝑃), thẳng a b mà a P b Q π ̂ (𝑄)) ≤ Từ suy ≤ ((𝑃), Từ ta có cos P ; Q cos n P , nQ LOVEBOOK.VN| 434 n p nQ n P nQ Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB phương trình 1 ; - Từ điều kiện khoảng cách ta phương trình - Giải hệ phương trình ta a; b; c; d Dạng 12: Cho mặt phẳng tiếp xúc với mặt - Vtpt : n IA cầu S I ; R điểm A III Phương trình đường thẳng Hai dạng biểu diễn phương trình đường thẳng khơng gian Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có vectơ phương u a; b; c (do u nên a2 b2 c2 ), phương trình tham số đường thẳng có dạng x x0 at y y0 bt với t tham số z z ct Khi abc , khử t từ hệ ta được: x x0 y y0 z z0 a b c Phương trình gọi phương trình tắc đường thẳng Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho đường thẳng qua M1 có vectơ phương Hình 7.7 u1 đường thẳng qua điểm M có vectơ phương u2 1 ba vectơ u1 ; u2 ; M1 M đôi phương, tức u , u u , M M (hình 7.7) 2 1 2 1 // u1 // u2 không phương với M M , tức Hình 7.8 u , u (hình 7.8) u1 , M1 M cắt u1 không phương với u , đồng thời ba vectơ u1 , u2 M M đồng phẳng, tức Hình 7.9 u , u (hình 7.9) u1 , u2 M1 M2 chéo ba vectơ u1 , u2 M M không đồng phẳng, tức u1 , u2 M1M2 (hình 7.10) Ta xét tính tương đối hai đường thẳng dựa hệ phương Hình 7.10 LOVEBOOK.VN| 436 x ta x ta 1 trình hai ẩn sau: y0 ta2 y0 ta2 I z0 ta3 z0 ta3 Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ không gian The best or nothing IV Mặt cầu Phương trình mặt cầu Định lý Trong không gian Oxyz, mặt cầu S tâm I a; b; c bán kính R có phương trình x a y b z c 2 1 R2 Phương trình có dạng phương trình 1 gọi phương trình tắc mặt cầu tâm I, bán kính R Nhận xét: Khi biến đổi phương trình 1 ta được: x y z 2ax 2by 2cz a b c R Nếu đặt a2 b2 c2 R2 d phương trình trở thành x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 2 Với điều kiện a2 b2 c2 d phương trình gọi phương trình tổng quát mặt cầu có tâm I a; b; c bán kính R a b2 c d Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S I ; R mặt phẳng P Đặt d d I ; P Khi ta có trường hợp: STUDY TIP Phương trình mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S tâm I a; b; c bán kính R điểm M x ; y ; z có 0 phương trình x a x a y b y b z c z c R b Trường hợp 2: d R S P M , M hình chiếu I lên mặt phẳng P Trường hợp ta nói mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S M Lúc P gọi tiếp diện mặt cầu S , M gọi tiếp điểm P S Tóm lại: Cho hai mặt cầu S I ; R ; S I ; R * I I R R S ; S * I I R R S ; S * I I R R S ; S tiếp xúc * I I R R S ; S tiếp xúc * R R I I R R S ; S cắt theo đường tròn Đọc thêm: Với trường hợp 2: Ta dễ thấy với N , ta có N P IM.IN R 0 a Trường hợp 1: d R S P 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 Từ ta thu kết sau Cho mặt cầu S : x a y b z c R2 điểm M x0 ; y0 ; z0 S Khi 2 tiếp diện S M có phương trình: x a x a y0 b y b z0 c z c R Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu x y z điểm M 2; 2;1 LOVEBOOK.VN | 469 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Lời giải Áp dụng công thức ta mặt phẳng P có phương trình 2x y z c Trường hợp 3: d R S P C , C đường tròn có tâm H hình chiếu I P , có bán kính r R2 d Các dạng toán thường gặp liên quan đến mặt cầu Dạng I: Viết phương trình mặt cầu cho trước tâm I a, b, c a Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P : Ax By Cz D mặt cầu có bán kính R A.a B.b C.c D A2 B2 C b Mặt cầu cắt mặt phẳng P : Ax By Cz D theo đường tròn có bán kính r cho trước bán kính mặt cầu xác định bởi: R r d I ; P c Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng d : x xo y yo z zo A B C bán kính mặt cầu xác định công thức: R u , MI d M ud điểm đường thẳng d (công thức phần khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương trình đường thẳng) d Mặt cầu cắt đường thẳng d theo dây cung có độ dài l cho trước 2 l bán kính mặt cầu tính cơng thức: R2 d I , d 2 Dạng II: Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước thỏa mãn điều kiện phần I Cách làm: Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số, tham số hóa tọa độ điểm I theo ẩn, sử dụng kiện đề tìm I, từ quay dạng I, tìm R Dạng III: Viết phương trình mặt cầu P : Ax By Cz D điểm M cho trước tiếp xúc với mặt phẳng Cách 1: Ở phần Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng (trường hợp 2) ta có tốn ngược toán Với mặt cầu S : x a y b z c R2 tiếp xúc với mặt phẳng P 2 M x0 ; y0 ; z0 có phương trình P : x a x a y0 b y b z0 c z c R2 LOVEBOOK.VN| 470 ... cần sử dụng hai công thức Đây hai công thức quan trọng, việc nhớ công thức để áp dụng điều cần thi t! LOVEBOOK.VN| 68 Cơng Phá Tốn – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài tốn 12: Tìm tất giá trị thực tham số... tốn ta có S0 b5 32 a b Do ta tìm Max 32 a LOVEBOOK.VN| 66 Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài toán 5: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx2 c ,... phía bên phải trục tung LOVEBOOK.VN | 193 Cơng Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB IV Ứng dụng hàm số mũ, hàm số logarit thực tế Gửi lãi suất a Dạng toán gửi lãi suất ngân hàng Dạng 1: Gửi vào ngân
Ngày đăng: 25/02/2018, 16:58
Xem thêm: Công phá toán lớp 12 luyện thi đh
