bài tập ôn luyện thi đại học

Bài tập ôn tập lần 1(thời gian tuần,5 bài/ngày) 1)Cho tứ giác ABCD có AD=CD · · BEC = DAC · DAB = ·ABC < 900 Đường thẳng nối D trung điểm BC cắt AB E Chứng minh 2)Cho tam giác ABC R điểm tùy ý cạnh AB.Gọi P giao điểm cuả đường thẳng BC đường thẳng qua A song song CR.Giả sử Q giao điểm AC vs đường thẳng qua B song song CR.Chứng minh 1 + = AP BQ CR 3)Gọi M,N trung điểm cạnh BC CD tứ giác lồi ABCD.Chứng minh S ABCD < ( AM + AN ) 2 4)Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH,trung tuyến BM,phân giác CD đồng quy O.Chứng BC BH = AC CH minh : BH=AC 5)Cho hình bình hành ABCD(AD 600 điểm C điểm lại cho 21)Cho đa giác lồi 16 cạnh.Tại đỉnh đa giác,viết số tự nhiên nhỏ 100.Chứng minh tồn hai đường chéo đa giác cho hiệu hai số viết hai đầu đường chéo 22)Bên đường tròn có bán kính 6,cho năm điểm.Chứng minh năm điểm tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ a3 23)Cho a,b,c số thực dương.Chứng minh : ( b + 3c ) 24)Cho a,b,c số thực dương có tích 1.Chứng minh 25)Cho x,y,z số thực dương ta có x+ 26)Cho x số thực cho x + b3 ( c + 3a ) + c3 ( a + 3b ) ≥ 64 1 + + ≥ +1 a +1 b +1 c +1 a + b + c +1 1 xy + yz + xz + + ≤ x + y + z y + z + x 2z + x + y xyz xn + số nguyên.Chứng minh xn số nguyên với số nguyên dương n 27)Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 28)Cho x,y số nguyên dương thỏa mãn x + y + z = xyz nguyên z cho ( x + y + 1) ( 2014 x + y + x + x ) = 105 x3 + x xy − số nguyên dương.Chứng minh tồn số 29)Cho a,b,c,x,y số thực dương.Chứng minh rằng: a b c + + ≥ bx + cy cx + ay ax + by x + y 30) Cho a,b số tự nhiên lớn p số tự nhiên thỏa mãn minh p hợp số 1 = + p a b2 Chứng Bài tập tự giải: 1) Cho tam giác ABC có BC cạnh dài nhất.Trên BC lấy hai điểm D E cho BD=BA,CE=CA.Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC M.Đường thẳng qua E song song với AC cắt AB N.Chứng minh AM=AN 2)Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn 1 + = x y z P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức x+ z z+y + 2x − z y − z 3)Cho n số nguyên dương.Chứng minh ( ) 12013 + 2013 + + n 2013 M( n ( n + 1) ) 4)Xét 20 số nguyên dương đầu tiền 1,2,…,20.Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ có tính chất:Với cách lấy k phần tử phân biệt từ 20 số trên,đều tồn hai số phân biệt a,b cho a+b số nguyên tố 5)Tìm nghiệm nguyên phương trình x + y = 17 + xy Hướng dẫn vắn tắtcó thể có lỗi,cần đọc kĩ 1)Gọi M trung điểm BC.CE cắt AN P.Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác DMN với cát tuyến PCE ABE ta chứng minh CP tia phân giác góc DCN 2)Áp dụng định lí Talet 3)Ta có S ABCD = S ABC + S ACD = S AMC + S ANC = ( S AMC + S ANC ) = S AMCN = S AMN + SCMN Gọi I giao điểm AM BD.kẻ NH đường cao tam giác AMN.ta có MN đường trung bình nên SCMN = S IMN < S AMN ⇒ S ABCD < 4S AMN ⇒ S ABCD < ( AM + AN ) ( dpcm ) ( AM + AN ) = AM NH ≤ AM AN ≤ 2 4)ÁP dụng định lí Ce-Va cho tam giác ABC với đường AH,BM,CD đồng quy ta có BH CM AD BH BD BC CH AC =1⇒ = = CH BC = AC ⇒ = ⇒ AC = BH CH AM BD CH AD AC AC BC Mà ta có 5)Cách 1:Áp dụng đinh lí Menelaus cho tam giác ADM với cát tuyến NOB ta có DN AB MO AB MO AB IM =1⇒ =1⇒ = ⇒ IM = AN ⇒ BI = AD = BC AN BM DO AN DO AN CD · · · · ⇒ BIC = BCI = DKC = DCK ⇒ DK = DC Cách 2:Gọi E giao điểm đường thẳng BN CD Ta có BM//DE nên Ta có DN//BC nên BM BO = ED OE mà BM=DN nên DN BC BO BC = ⇒ = ED CE OE CE BO DN = OE ED nên CO tia phân giác góc BCD Sau chứng minh tương tự cách 6)Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CM BM P Q AQ / / BC ⇒ Ta có PQ / / BC ⇒ Mà AF AQ AE AP AF AE AQ + AP PQ = ; AP / / BC ⇒ = ⇒ + = = FB BC EC BC FB EC BC BC PQ PM AM AF AE MA = = ⇒ + = BC MB MD FB EC MD 7)Gọi O giao điểm MN AC a)Ta có MN//RP nên OQ MO ON = = ⇒ CP = CR QC CP CR mà NC ⊥ RP ⇒VRNP cân b)Chứng minh MN,NS tia phân giác phân giác tam giác RNP nên ta có MQ QN QS MQ QS = = ⇒ = ( dpcm ) MP PN SP MP SP S ABC = 8)Áp dụng công thức · AB AC sin BAC Theo tính chất tia phân giác ta có AN AB AN AB AN c bc = ⇒ = ⇒ = ⇒ AN = NC BC NC + AN BC + AC b c+a c+a Tương tự ta có Tương tự ta có bc AP = a+b S ANP S ABC Mặt khác ta có · AN NP.sin NAP AN NP bc = = = AB AC ( a + b ) ( a + c ) · AB AC sin BAC S BMP ac S ab = ; CMN = S ABC ( a + b ) ( b + c ) S ABC ( c + a ) ( c + b ) Khi ta có: S MNP S S S bc ac ab 2abc = − ANP − BMP − CMN = − − − = S ABC S ABC S ABC S ABC ( a + b) ( a + c) ( a + b) ( b + c) ( c + a ) ( c + b) ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) (Nhớ cách tính này,ứng dụng nhiều) 9) 1 1 27 + + ≥ 33 ≥3 ≥ b ( a + b) c ( b + c) a ( c + a ) abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ( a + b + c) ( 2( a + b + c) ) 2( a + b + c) 27 27 10) ta có x1 x x x x x + + + n = + + + + + n + − n − x1 − x2 − xn − x1 − x2 − xn 2 ( + + + 1) 2 2n n + + + −n≥ −n = −n = − x1 − x2 − xn 2n − ( x1 + x2 + + xn ) 2n − 2n − 11) ≥ a b c d a3 b3 c3 d3 + + + = + + + b + c + d + a + a 2b + a b c + b c d + c d a + d (a a +b b +c c +d d ) a 2b + b c + c d + d a + a + b + c + d (a ≥ a +b b +c c +d d ) ( ≥ a a +b b +c c +d d  a2 + b2 + c2 + d  1+  ÷   12) ta có bổ đề a b3 c ( a + b + c ) + + ≥ x y z 3( x + y + z ) với a,b,c,x,y,z số thực dương Áp dụng bổ đề ta có 3 ( a + b + c) ( a + b + c) ( a + b + c) a3 b3 c3 1 + + ≥ ≥ ≥ 18 + 9b ac + 9c 2ba + 9a 2cb 3 + 9abc ( a + b + c ) 3 + ( ab + bc + ac ) 13) Ta chứng minh a3 2a − b ≥ ⇔ ( a + b) ( a − b) ≥ 2 a + ab + b b3 2b − c c3 2c − a ≥ ; ≥ 2 2 3 b + bc + c c + ca + a tương tự ta có Khi ta có a3 b3 c3 2a − b 2b − c 2c − a a + b + c + + ≥ + + = 2 2 2 3 3 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 14)Xét 2004 số có dạng 6;66;666;….;666…6.Theo định lí Dirichlet tồn số có số dư chia A = 666 66; B = 666 ( k < n ) cho 2003.Giả sử số là: n k A − B = 666 6.10k Khi ta có n− k chia hết cho 2003.Mà ta có 15)Ta thấy p=2 khơng thỏa mãn tốn.Xét p>2.khi p lẻ.Vì p = a + 2b2 ⇒ ( p − a ) ( p + a ) = 2b M2003 ( 2003;10k ) = ⇒ 666 n−k p2 ∈ A nên tồn a,b cho ) Gọi d = ( p − a; p + a ) ⇒ d / p ⇒ d ∈ { 1; 2; p; p} d Mp ⇒ a Mp ⇒ a > p ⇒ a > p = a + 2b Giả sử (vơ lí).Mà { pp −+ aa == 22xy ( x; y ) = ⇒ ( p + a ) ( p − a ) = 4xy = 2b n 2 ⇒ p = n + 2m ⇒ p = m +  ÷ ( p − a ) ( p + a ) M2 ⇒ d = ta có 2 ⇒ xy = b2 ⇒  x = m ⇒  p + a = n   2 2 y = n  p − a = 2m 2 Do n chẵn nên tồn số (m;n/2) thỏa mãn nên 16) Ta có p∈ A  x p ≡ x [ p]  x p y ≡ xy [ p ] ⇒ p ⇒ xy p − xy p Mp  p y ≡ y p xy ≡ xy p [ ] [ ]   17)a) Gọi O giao điểm AC BD.Khi ta có OA + OB > AB ⇒ OA + OB + OC + OD > AB + CD ⇒ AC + BD > AB + CD ⇒ 14 > AB + CD OC + OD > CD { Khi tồn hai cạnh AB,CD có độ dài nhỏ 7(dpcm) ·AOB ≥ 900 b)Ta giả sử kẻ BK vng góc với AC ta có AB = KA2 + BK ≥ OA2 + OB Tương tự ta có KA ≥ OA Ta có CD ≥ OC + OD ⇒ AB + CD ≥ OA2 + OC + OB + OD 2 AC + BD ≥ ( OA + OC ) + ( OB + OD ) ≥ = 50 2 Khi ta giả sử AB ≥ 25 ⇒ ΑΒ ≥ (Thử tự dự đoán dấu xảy nhé!!!!) 18)Gọi tam giác ABC F,D,E trung điểm BC,AB,AC.Khi tam giác ABC chia làm tam giác có cạnh 1.Theo định lí Dirichlet ta có tồn điểm thuộc tam giác Giả sử điểm M,N nằm tam giác BDF M,N không trùng với đỉnh B,D,F.Ta chứng · · BGH + BHG = 1200 minh MN HB ≥ HG ≥ MN ⇒ > MN 60.giả sử 19)Xét đoạn thẳng,ta tơ đỏ cạnh nhỏ tam giác,tơ màu xanh khơng cạnh nhỏ tam giác nào.Như tam giác phải có cạnh màu đỏ.Khi ta cần chứng minh tồn tam giác mà ba cạnh tơ màu đỏ.Khi cạnh lớn tam giác cạnh nhỏ tam giác khác(vì tơ màu đỏ) 20)Giả sử tồn 50 điểm thỏa mãn tốn Vì số điểm hữu hạn nên tồn điểm A,B cho AB đoạn thẳng có độ dài bé ·ACB > 60 Chọn điểm A,B.Khi tồn điểm C cho Vì AB cạnh nhỏ nên có µA > 60; B µ > 60 ⇒ µA + B µ +C µ > 1800 góc nhỏ ta có (vô lý) ·ACB Vậy không tồn 50 điểm thỏa mãn toán ( n − 3) n 21)Ta chứng minh tứ giác có n cạnh có đường chéo.Khi ta có 16.13 = 104 đường chéo Hiệu hai số hai đầu đường chéo có giá trị nhỏ 0(khi hai số đầu nhau) hiệu lớn 99(vì 99-0).Có 100 hiệu mà có 104 đường chéo.Khi tồn hai đường chéo có hiệu 22)Chia đường tròn làm phần tồn điểm thuộc chung phần.Chứng minh khoảng cách điểm nhỏ ( x + y + z) x3 + y + z ≥ 23)Ta có bổ đề:Cho x,y,z số thực dương ta có: a3 Áp dụng bổ đề ta có Ta chứng minh + b3 + c3 ( b + 3c ) ( c + 3a ) ( a + 3b ) 3 1 a b c  ≥  + + ÷  b + 3c c + 3a a + 3b  a b c + + ≥ b + 3c c + 3a a + 3b 24) ab + bc + ac + ( a + b + c ) + 1 2 + + ≥ +1 ⇔ ≥ +1 a +1 b +1 c +1 a + b + c +1 a + b + c +1 ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ab + bc + ac + ( a + b + c ) + a + b + c +1 ⇔ −1 ≥ ⇔ ≥ a + b + c +1 + ab + bc + ac + a + b + c a + b + c + ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ⇔ ( a + b + c + 1) ≥ ( + ab + bc + ac + a + b + c ) ⇔ a + b + c ≥ 25)ta có 1 1 1  1 1  1 1  + + ≤  + + + ÷+  ÷+  ÷ 2x + y + z y + z + x 2z + x + y  x + y x + z   x + y y + z   z + x z + y  1 1    1   1   1    1  xy + yz + xz ≤  + + ÷ ≤   + ÷+  + ÷+  + ÷÷ ≤  + + ÷ =  x + y y + z z + x    x y   y z   z x   x y z  xyz Sn = x n + 26)Đặt xn Ta có Sn +1 + Sn −1 = x n +1 + x n −1 + Từ S0 = 1, S1 27)Vì Vì x n +1 + x n −1    =  x + ÷ x n + ÷ = S1.S n x  xn   số nguyên,bằng quy nạp ta chứng minh ( x + y + 1) ( 2014 x + y + x + x ) = 105 2014 x + y + x + x lẻ mà y chẳn Nhưng có trường hợp 2014 x = Sn số nguyên với n nguyên dương 105 lẻ nên ta có 2x+5y+1 lẻ nên ta có y chẳn x + x = x ( x + 1) chẵn nên ta có 2014 x lẻ lẻ nên x=0.Thay x=0 vào ta có y = ( y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ y + y − 104 = ⇔  y = −26 ⇒ y =  28)Theo giả thiết ta có ( x3 + x ) M( xy − 1) ⇒ x ( x2 + 1) M( xy − 1) ⇒ ( x + 1) M( xy − 1) ⇒ ( x2 + + xy − 1) M( xy − 1) ⇒ x ( x + y ) M( xy − 1) ⇒ ( x + y ) M( xy − 1) Khi tồn z∈Z+ cho x + y = z ( xy − 1) ⇒ x + y + z = xyz 29) Ta có ( a + b + c) a b c a2 b2 c2 + + = + + ≥ bx + cy cx + ay ax + by abx + acy bcx + aby acx + bcy ( x + y ) ( ab + bc + ac ) ( ab + bc + ac ) ≥ = ( x + y ) ( ab + bc + ac ) x + y ( 30) Ta có Trong 1 = + ⇒ a 2b = p a + b 2 p a b ( x; y ) = ) Gọi ( d = ( a, b ) ⇒ a = dx, b = dy ) ( ) d x y = p x + y ⇒ p x + y Mx ⇒ py Mx ⇒ p Mx Khi ta có ... by x + y 30) Cho a,b số tự nhiên lớn p số tự nhiên thỏa mãn minh p hợp số 1 = + p a b2 Chứng Bài tập tự giải: 1) Cho tam giác ABC có BC cạnh dài nhất.Trên BC lấy hai điểm D E cho BD=BA,CE=CA.Đường... nhau.Chứng minh tồn đoạn thẳng nối điểm vừa cạnh nhỏ tam giác,vừa cạnh lớn tam giác 20)Tồn hay không 50 điểm cho với hai điểm A,B 50 điểm tồn ·ACB > 600 điểm C điểm lại cho 21)Cho đa giác lồi 16... b + bc + c c + ca + a 14)Chứng minh tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số chia hết cho 2003 15)Gọi A tập tất số nguyên dương biểu diễn dạng nguyên b khác 0.Chứng minh ( ví dụ: 22 = 22 + 2.32 ⇒ 22 ∈