Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 25 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
25
Dung lượng
1,73 MB
Nội dung
Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Cơng Phá Tốn Tập 2” Q Thầy Cơ mua trọn File Word “Cơng Phá Tốn Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM CHỦ ĐỀ 8: VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT r rr Cho véc tơ tùy ý a, b, c k , l �� Cộng véc tơ: uuu r r uuur r uuur r r Lấy điểm O tùy ý không gian, vẽ OA a, AB b, OB a b uuuu r uuuu r uuur Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M , N , K MN MK KN r r r r Trừ véc tơ: a b a (b) uuuu r uuur uuuur Quy tắc ba điểm: MN KN KM uuur uuu r uuur Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AC AB AD uuuu r uuu r uuur uuuu r B C D ta có AC � Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A���� AB AD AA� Tích véc tơ: r r Tích véc tơ a với số thực k véc tơ Kí hiệu k a r +) Cùng hướng với a k r +) Ngược hướng với a k r r +) k a k a uuu r uuu r uur Hệ quả: Nếu I trung điểm A, B, O tùy ý OA OB 2OI Tích vơ hướng hai véc tơ rr r r r r +) Định nghĩa: a.b a b cos a, b r r rr +) Hệ quả: a b � a.b r2 rr r2 +) a a.a a AB AC BC +) Với ba điểm A, B, C ta có AB AC r r ur r +) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ a, b Gọi a�là hình chiếu vng góc a đường r r r ur r thẳng chứa b thì: a.b a� b r rr Định nghĩa: Ba véc tơ a, b, c gọi đồng phẳng giá chúng song song nằm mặt phẳng Các định lý: r r r rr r r r a) Cho a, b không phương: a, b, c đồng phẳng � m, n ��: c ma nb ( với m, n xác định nhất) r rr r b) Nếu ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng véc tơ x biểu diễn dạng: r r r r x ma nb kc với m, n, k xác định B CÁC DẠNG TỐN VỀ VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN Ví dụ Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh AB G trộng tâm cảu tam giác BCD uuur r uuur r uuur ur ur r r uuuu r Đặt AB b, AC c, AD d Phân tích véc tơ MG theo d , b, c uuuu r 1r r ur 3 uuuu r r r ur 3 A MG b c d C MG b c d uuuu r 1r uuuu r r r ur 3 D MG b c d Lời giải Đáp án A r ur 3 B MG b c d uuuu r uuur uuuu r uuuu r 1 uuur uuur uuur uuur uuur MG MB MC MD AB MA AC MA AD 3 3 uuur uuur uuur uuur uuur � uuur � uuur uuur AB MA AC AD AB � AB � AC AD 3 �2 �3 uuur uuur uuur r r ur AB AC AD b c d 3 3 Ví dụ Cho tứ diện ABCD , M N theo thứ tự trung điểm cạnh AB CD Mệnh đề sau sai? uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur AD BC uuuu r uuuu r uuuu r r D MC MD 4MN uuur B MN A AC BD AD BC uuur uuur uuur uuur uuuur C AC BD AD BC 4 NM Lời giải: Đáp án D uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuur A.Đúng vì: AC BD AD DC BC CD AD BC uuuu r uuuu r uuur B Đúng vì: AC BD AM MN ND BM MN NC uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r 2MN AM BM ND NC 2MN uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuuur C.Đúng vì: AC BD AD BC AN BN AN BN 2 NA NB 4 NM Vậy D sai uuu r uuur Ví dụ Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD đều, AD AC Giá tri cos AB, CD là: A B C Lời giải: Đáp án B D Gọi N trung điểm CD Tam giác BCD nên BN CD Tam giác ACD cân A nên AN CD ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD AB.CD AN NB CD AN CD NB.CD � cos AB, CD uuur uuur AB CD Ví dụ uuur uuur Cho tứ diện ABCD có AB CD a; BC AD b; CA BD c Giá trị cos BC , DA là: A a2 c2 b2 B b2 c a2 C c2 a2 b2 D a b2 c2 Lời giải Chọn A uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r BC.DA BC DC CA CB.CD CB.CA 1 CB2 CD BD CB CA2 AB 2 1 AB2 CD2 BD CA2 2a 2c a c 2 2 uuur uuur a c a c2 cos BC , DA u u u r u u u r Vậy b2 BC DA Ví dụ Trong mặt phẳng a cho tứ giác ABCD điểm S tùy ý Mệnh đề sau đúng? uuur uuur uuu r uuur A AC BD AB CD uur uuu r uur uuur B SA SC SB CD (Với S điểm tùy ý) uur uuu r uur uuu r C Nếu tồn điểm S mà SA SC SB SD ABCD hình bình hành uuu r uuu r uuur uuur r D OA OB OC OD O giao điểm AC BD Lời giải Đáp án C uuur uuur uuu r uuur A Sai AC BD � AB CD uuur uuur uuur uuur r AC AB DC DB B C (Vơ lí) B Sai vì: Gọi O O ' theo thứ tự trung điểm AC BD Ta có uu uu rr uuur uur uuu r uuu r uur uuu r uuur u u SA SC 2SO SB SD � SO ' SO SO ' O O ' điều không ABCD khơng phải hình bình hành C Đúng – Chứng minh tương tự ý B Ví dụ Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi M trung điểm AA ' , O tâm hình bình hành ABCD Cặp ba vecto sau đồng phẳng? uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuur uuuuur A MO, AB B ' C B MO, AB A ' D ' uuuu r uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuuu r C MO, DC ' B ' C D MO, A ' D B ' C ' Lời giải Đáp án A Cách 1: Ta có MO // CDA ' B ' ; AB / / A ' B ' � AB // CDA ' B ' , B ' C ' nằm mặt phẳng CDA ' B ' nên vecto CDA ' B ' uuuu r uuuu r uuu r uuur MO, AB, BC dồng phẳng có giá song song hay nằm mặt phẳng r uuuur uuuuu r uuuuu r uuu r uuuur 1 uuuuu A ' B ' B ' C A ' B ' B ' C ' AB B ' C A 'C 2 2 uuuu r uuu r uuur Vậy vecto MO, AB, BC đồng phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD M N theo thứ tự trung điểm AB CD Bộ ba vecto đâyuđồng phẳng? uur uuu r uuur uuur uuur uuuu r A BC , BD, AD B AC ; AD; MN uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur C BC ; AD; MN D AC ; DC ; MA Lời giải Cách 2: Ta có MO Đáp án C uuur uuuu r uuuu r uuur AD AM MN ND uuur uuuu r uuuu r uuur BC BM MN NC uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuur � AD BC 2MN � MN AD BC 2 uuur uuur uuuu r Vậy ba vecto BC ; AD; MN đồng phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD M điểm đoạn AB MB MA N điểm đường thẳng uuuu r uuur uuur uuur uuur CD mà CN kCD Nếu MN , AD, BC đồng phẳng giá trị k là: A k B k C k D k 3 Lời giải Đáp án A M vẽ mặt phẳng song song với AD Qua BC cắt AC P , BD Q CD N Ta có MP //PN //AD Các vecto MN , AD, BC có giá song song hay nằm mặt phẳng nên đồng phẳng uuuu r uuur uuur uuur uuur CD Vậy k 3 uuuu r uuur Ví dụ Cho hình hộp ABCD A1B1C1D1 M điểm cạnh AD cho AM AD N điểm đường thẳng BD1 P điểm đường thẳng CC1 cho M , N , P thẳng hàng uuuu r MN r Tính uuu NP có CN Ta A B C D Lời giải Đáp án B Đặt uuur r uuur r uuur r uuur uuuu r uuu r uuuu r r AB a, AD b, AA1 c BN xBD1 ; CP yCC1 yc STUDYTIP uuuu r uuur r r r Ta biểu thi hai vecto MN , NP theo vecto a, b, c uuuu r uuur Ba điểm M , N , P thẳng hàng nên MN NP 1 uuuu r uuur uuur uuur Ta có: MN MA AB BN uuuu r uuu r uuur uuur 1r r 1r r b a xBD1 b a x BA BC BB1 3 r r r r � 1� r r 1r r b a x a b c x a �x � b xc � 3� Ta lại có: uuur uuur uuur uuu r uuuu r r r r r r r r NP NB BC CP xBD1 b yc x b a c b yc uuur r r r � NP xa x b y x c 3 Thay (2), (3) vào (1) ta được: � x x � 3 � �x x Giải hệ ta , x , y � � �x y x uuuu r MN r Vậy uuu NP Ví dụ 10 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, CB, AD G uuuu r uuur trọng tâm tam giác BCD, góc vectơ MG NP Khi cos có giá trị là: A 2 B C Đáp án: C Lời giải: uuu r uuur uuur Đặt AB a; AC b; AD c; uuur r r r uuuu r uuur uuuu r r r r � AG (a b c ) � MG AG AM ( a 2b 2c ) uuur uuur uuu r r r r PN AN AP (a b c ) Khơng tính tổng qt, giả sử độ dài cạnh tứ diện r r r rr rr rr � a b c a.b b.c c.a 1.1.c os60 uuuu r uuur uuuu r uuur MG.PN � cos cos( MG, PN ) uuuu (*) r uuur MG PN uuuu r uuur r r r r r r Ta có: � MG.PN (a 2b 2c )(a b c ) 12 r rr rr uurr r rr rr rr r 2 1 (a ab ac 2ab 2b 2bc 2ac 2bc 2c ) 12 12 uuuu r r r r uuur r r r 2 MG ( a 2b 2c) ; PN (a b c) 2 D Thay vào (*) ta 1 � cos 12 (*) 2 C.Bài tập rèn luyện kỹ Câu 1: Cho ABCD A1 B1C1 D1 hình hộp, với K trung điểm CC Tìm khẳng định khẳng định sau: uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur A AK AB AD AA1 B AK AB BC AA1 uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur C AK AB AD AA1 D AK AB AD AA1 2 Hướng dẫn giải uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur Có AK AC CK ( AB AD ) AA1 AB AD AA1 2 B A C D A1 D1 K B1 C1 Chọn A Câu 2: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 với M CD1 �C1 D Khi đó: uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r uuu r uuur uuur AM AB AD AA1 AM AB AD AA1 2 2 A B uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r uuu r uuur uuur AM AB AD AA1 AM AB AD AA1 2 C D Hướng dẫn giải ( hính vẽ câu 1) uuuu r uuur uuuur uuur uuuur r uuur uuur uuuur uuur uuu Ta có: AM AD DM AD DC1 AD ( DC DD1 ) AD AB AA1 2 Chọn B Câu 3: uuuur uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuur Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Khi đó: tổng góc ( D1 A1 , C C1 ) (C1 B, DD1 ) ( DC1 , A1 B) là: A 1800 B 2900 C.3600 D 3150 Hướng dẫn giải B A C D A1 D1 Câu 4: K B1 C1 Ta có: uuuur uuuur ( D1 A1 , C C1 ) 900 uuuu r uuuur uuuu r uuuu r (C1 B, DD1 ) (C1 B, CC1 ) 1350 uuuur uuuur uuuur uuuu r ( DC1 , A1 B ) ( DC1 , D1C ) 900 uuuur uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuur � ( D1 A1 , C C1 ) (C1 B, DD1 ) ( DC1 , A1 B) 90 1350 90 3150 Chọn D uuur uuuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 , đặt ( AC , DC1 ); ( DA1 , BB1 ); ( AA1 , C1C ) Khi đó: : A 3600 B 3750 C 3150 D 2750 Hướng dẫn giải ( hình câu 3) uuur uuuur uuur uuuu r ( AC , DC1 ) ( AC , AB1 ) 600 uuuu r uuuu r uuuu r uuuur ( DA1 , BB1 ) ( DA1 , A1 A) 1350 uuur uuuu r uuur uuur ( AA1 , C1C ) ( AA1 , A1 A) 1800 � 600 1350 1800 3750 Chọn B Câu 5: uuur uuur Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB=6; AD=4; AB AD 12 Tính uuu r uur ( SC SA) A 76 B 28 C 52 D 40 Hướng dẫn giải S A B D 7.42 cm C uuu r uur uuur2 uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur ( SC SA) AC ( AB AD) AB AD AB AD 62 42 2(12) 28 Chọn B Câu 6: Chỉ mệnh đề mệnh đề sau: A Ba vectơ đồng phẳng vec tơ nằm mặt phẳng r r r r r r B Ba vectơ a, b, c đồng phẳng có c ma n b, với m, n số ur r r r ur C Ba vectơ đồng phẳng có d ma n b pc với d vec tơ D Cả mệnh đề sai Hướng dẫn giải -Phương án A: sai vi cần giá chúng song song nằm mặt phẳng r r Phương án B: Sai a, b phải không phương Phương án C sai Vậy chọn D Chọn D Câu 7: Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G Mệnh đề sau sai? r uuur uuur r uuu r uuur r A uuur uuu B uuu OG (OA OB OC ) GA GB GC u u u r r uuur uuur uuu C D uuur uuur uuur uuur AG ( AB AC AD ) AG ( AB AC AD) Hướng dẫn giải A M G D B N C Gọi M, N trung điểm AB, CD uuuu r uuur r � G trung điểm MN � GM GN uuu r uuu r uuur r � GA GB GC � B uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur Ta có: OA OB OC OD OG GA OG GB OG GC OG GD uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur 4OG (GA GB GC GD ) 4OG � A Khi O trùng A D đáp án C Chọn C Câu 8: r r r r r r u r r r r r r Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng xét vectơ x 2a b; y 4a 2b; z 3a 2c Chọn mênh đề mệnh đề sau: u r s A.Hai vec tơ y, z phương r su B Hai vec tơ x, y phương r s C.Hai vec tơ x, z phương r u r s D.Hai vec tơ x, y, z đồng phẳng Hướng dẫn giải u r r r ur Ta thấy y 2 x nên x, y phương Chọn B Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 , Tìm giá uuu r uuuur uuuur uuuu r AB B1C1 DD1 k AC1 ) A.k=4 B k=1 C k=0 Hướng dẫn giải trị k thích D k=2 hợp để A1 D1 B1 C1 B A C D uuuur uuuur uuu r uuur uuuu r uuuu r AB Có u uu r B1C1 DD1 AB BC CC1 AC1 � k Chọn B uuuur uuur uuur uuuu r Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 Đặt AA1 a; AB b; AC c; BC1 d đẳng thức sau đẳng thức r r r ur r r r r ur A a b c d B a b c d r r ur r r r r C b c d D a b c Hướng dẫn giải C A B1 B B C1 A1 B1 r r u r uuu r uuur uuur uuu r uuur r Ta có: b c d AB AC BC CB BC Chọn C Câu 11: Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? A.Nếu giá bar vectơ r r cắt từngr đơi vectơ đồng phẳng B.Nếu ba vectơ a, b, c có vec tơ ba vectơ đồng phẳng r r r C.Nếu giá ba vectơ a, b, c song song với mật phẳng ba vec tơ đồng phẳng r r r D.Nếu ba vectơ a, b, c có vec tơ phương ba vectơ đồng phẳng Hướng dẫn giải Chọn A Câu 12: Cho ABCD A1B1C1D1 hình hộp, khẳng định sau khẳng định sai: uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r r A AC1 A1C AC B AC1 CA1 2CC1 uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuuu r C AC1 A1C AA1 D CA1 AC CC1 Hướng dẫn giải A D B C A1 D1 B1 C1 uuuu r uuuu r uuuur uuuu r uuuur uuuu r uuuu r uuuur AC1 A1C AA1 AC1 AA1 AC1 � A1C C1 A1 Ta có: Chọn C Câu 13: Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau: uuur uuur uuur uuur r A.Tứ giác ABCD hình bình hành AB BC CD DA uuur uuur B Tứ giác ABCD hình bình hành AB CD uur uuu r uur uuu r C Cho hình chóp S.ABCD, có SB SD SA SC tứ giác ABCD hình bình hành uuur uuur uuur D.Tứ giác ABCD hình bình hành AB AC AD Hướng dẫn giải Chọn C Câu 14: Cho hình hộp ABCD A' B 'C ' D ' Gọi I, K tâm hình bình hành ABB ' A' BCC ' B ' Khẳng định sau sai? A.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng uur uuur uu'uur' B IK AC A C uuur2 uur uuuuu r C.Bà vec tơ BD, IK , B ' C ' không đồng phẳng uuur uur uuur D BD IK BC Hướng dẫn giải Chọn C Câu 15: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AC, BD lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC Gọi P,Q trung điểm AD, BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuur uuur uuuu r A.Các vec tơ BD, AC , MN không đồng phẳng uuuu r uuur uuur B Các vec tơ MN , DC , PQ đồng phẳng uuu r uuur uuur C Các vec tơ AB, DC , PQ đồng phẳng uuur uuur uuuu r D Các vec tơ AC , DC , MN đồng phẳng Hướng dẫn giải A P M E B F Q N D C Lấy điểm E cạnh AC cho AE=3EC, lấy F BD cho BF=3FD � NE / / AB, NE AB � � � NE / / MF , NE / / MF � �MF / / AB, MF AB � uuu r uuur uuuu r � NEMF hình bình hành vec tơ BA, DC , MN có giá song song nằm mặt uuu r uuur uuuu r phẳng (MFNE) � BA, DC , MN đồng phẳng uuur uuur uuuu r � BD, AC , MN không đồng phẳng Chon A Câu 16 Cho tứ diện ABCD có cạnh đầu A Hãy mệnh đề mệnh đề sau: uuu r uuur a uuur uuur uuur uuur r A AD CD BC DA B AB AC uuur uuur uuur uuur uuur uuur C AC AD AC.CD D AD.CD Hướng dẫn giải ( sử dụng hình câu 7) Phương án A: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r AD CD BC DA ( AD DA) ( BC CD ) BD �0 � A sai uuu r uuur a Phương án B: AB.AC a.a.c os600 = � B sai uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Phương án B AC AD AC.CD � AC ( AD DC ) � AC � C sai Chọn D Câu 17: Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 Gọi M trung điểm AD.Chọn khẳng định đúng: uuuur uuuu r uuuuur uuuur uuuur uuur uuuuu r uuuur A B1 M B1 B B1 A B1C1 B C1 M C1C C1 D C1 B1 uuuur uuuu r uuuuur uuuur uuur uuuur uuuuu r uuuu r C C1 M C1C C1 D C1 B1 D BB1 B1 A1 B1C B1 D 2 Hướng dẫn giải A a B a M D C A1 C1 D1 Ta có B1 uuuur uuuuu r uuuur uuuur uuuuu r uuuu r uuuur C1 M C1 D1 D1 D DM C1 D1 C1C C1 B1 Chọn B uuu r uuu r uuur r Câu 18: Cho tứ diện ABCD điểm G thỏa GA GB GC ( G trọng tâm tứ diện) Gọi O giao điểm GA mặt phẳng (BCD) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuur uuur uuu r uuur A GA 2OG B GA 4OG uuur uuur uuur uuur C GA 3OG D GA 2OG A N G B M O H D C Hướng dẫn giải Gọi M, N trung điểm BC, AD � G trung điểm MN Gọi H hình chiếu N lên MD � NH đường trung bình AOD OG đường trung bình MNH 1 1 � OG NH AO � OG NH AO 2 2 uuu r uuur hay GA 3OG Chọn C Câu 19: Cho tứ diện ABCD Gọi M, Nlaafn lượt trung điểm AD, BC Trong ccs khẳng định sau, khẳng định uuu rsai? uuur uuuu r A.Các vec tơ AB, DC , MN đồng phẳng uuuu r uuu r uuur B Các vec tơ MN , AB, AC không đồng phẳng uuur uuuu r uuuu r C Các vec tơ AN , CM , MN đồng phẳng uuur uuur uuuu r D Các vec tơ AC , BD, MN đồng phẳng Hướng dẫn giải A M P B D Q N C Gọi P, Q trung điểm AC, BD uuu r uuur uuuu r � Ba vec tơ u AB uu r, DC , MN có giá song song nằm mặt phẳng (MNPQ) nên véc tơ đồng phẳng � A uuu r uuur uuuu r Ba vec tơ u AB uu r, AC , MN không đồng phẳng � B uuur uuuu r uuuu r Ba vec tơ u AN uur , CM , MN có giá khơng thể song song với mặt phẳng � C sai Chọn C Câu 20: Cho hình lập phương ABCD A' B 'C ' D ' , có cạnh A.Hãy tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: uuuur uuuu r uuuur uuuu r A AD '.CC ' a B AD ' AB ' a uuur uuuur uuuur C AB '.CD ' D AC a Hướng dẫn giải A a B a D C A' D' B' C' uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuu r uuuur Xết phương án A có: AD '.CC ' AD '.AA ' AD ' AA ' cos45 a Chọn A Câu 21: Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo cho AB vng góc với hai tia Các điểm M, N thay đổi Ax, By cho độ dài đoạn MN giá trị c khơng đổi (c �AB) Gọi góc Ax, By Giá trị lơn AM, BN c AB c AB A B 2(1 cos ) 2(1 cos ) C c AB 2(1 cos ) D c AB 2(1 cos ) Hướng dẫn giải x M A B N uuuu r2 uuur uuu r uuur Ta có: c MN MN ( MA AB BN ) �AB AM BN (1 cos ) AM BN c AB 2(1 cos ) c AB Vậy biểu thức AM.BN đạt giá trị lớn 2(1 cos ) Chọn A uuuu r uuur AM AB BN AM BN AM AB BN AM BN c os Góc hai đường thẳng Hai đường thẳng vng góc Định nghĩa: Góc hai đường thẳng cắt a b góc nhỏ bốn góc mà a b cắt tạo nên Góc hai đường thẳng cắt a b khơng gian góc hai đường thẳng a�và b�cùng qua điểm song song (hoặc trùng) với a b Chú ý: góc hai đường thẳng ln góc nhọn ( vuông ) Phương pháp Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin tỉ số lượng giác r r Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hướng: u v hai vecto phương ( vecto pháp tuyến ) hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng xác định công thức rr u.v r r cos cos u , v r r u.v B C D Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , BC , Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD A���� C �� D Xác định góc hai đường thẳng MN AP A 450 Đáp án A B 300 C 600 D 900 Lời giải Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh a � , AP AC, � AP Ta tính góc � MN //AC nên: MN PAC Vì A�� D P vng D�nên �a � a A� P A�� D D� P2 a2 � � �2 � AA� P vuông A�nên �a � 3a AP A� A A� P a � �2 � � � � 2 a2 a 2 � � CC P vuông C nên CP CC � C � P a Ta có AC đường chéo hình vng ABCD nên AC a Áp dụng định lý cosin tam giác ACP ta có: � CP AC AP AC AP.cos CAP � � cos CAP � 45� 90� � cos CAP � 45�hay MN; � AP 45� AC ; AP CAP Nên � Chọn A uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r MN AP r uuu r * Phương pháp 2: Ta có MN AP MN AP cos MN , AP � cos MN , AP uuuu MN AP uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuuur uuuu r A�� D D� P Ta có: MN AP MB BN AA� uuur uuur uuur uuuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuur uuur uuuu r MB AA� MB A�� D MB.D� P BN AA� BN A�� D BN D� P a a a 3a a 1 2 uuuu r uuu r a 3a 2a MN AP 2 2 3a uuuu r uuu r � � MN , AP 450 Thay 1 , vào ta được: cos MN , AP 2a Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a Gọi M , N trung điểm BC , AD Biết MN a Tính góc AB CD A 450 B 300 C 600 Đáp án C Lời giải Gọi I trung điểm AC Ta có IM IN a Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có: � cos MIN IM IN MN a a 3a � 1200 � MIN 2.IM IN 2.a.a Vì IM / / AB, IN / / CD � � AB, CD � IM , IN 1800 1200 60 D 900 B C có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A , Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABCA��� AB a , AC a hình chiếu vng góc đỉnh A�trên mặt phẳng ABC trung C điểm cạnh BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA� , B�� Lời giải Chọn D Phương pháp 1: C Gọi H trung điểm BC , góc AA�và B�� �� AA� , B�� C BB , BC / / BB�và B�� C / / BC nên góc � Ta có AA� Ta tính góc � B� BH ABC vng A nên ta có: BC AB AC a 3a 2a AH BC a � A� H AA� AH 4a a a B C nên A�� Vì AH A��� B H vuông A� B� H A� H A�� B a 3a 2a B� B BH B� H 4a a 4a Chọn A B� B.BH 2.2a.a �� cos B BH Phương pháp 2: Ta có uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AH HA�.BC AA��� B C AH BC HA� BC AH BC uuur uuuur cos cos AA� ; B�� C uuur uuuur 2a.2a 4a 4a AA� B�� C r uuur uuur uuu r uuu 1 AB AC AC AB AC AB 3a a 2 2 4a 4a 4a Ví dụ Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Gọi M trung điểm CD Tính cosin góc AC BM 3 A B C D 2 Hướng dẫn giải Chọn B �; BM Ta tính góc AC ; BM MN Cách Gọi N trung điểm AD ta có: MN //AC � � � Ta có: BM BN a (trung tuyến tam giác đều) BMN AC a MN 2 Áp dụng định lý cosin cho BMN , ta được: 2 � BM MN BN MN cos BMN BM MN BM Vậy cos � AC; BM uuur uuuu r uuu r uuur uuuu r AC CM CB AC.BM uuur uuuu r r Cách cos cos AC , BM uuur uuuu a AC BM a a2 a2 a uuur uuuu r uuur uuu r 0 a2 a cos120 a a cos120 AC.CM AC.CB 24 2 a a a a 2 2 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa Nếu đường thẳng a P góc đường thẳng a P 900 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với P góc đường thẳng a P góc a hình chiếu a�của a P a a' P Phương pháp tính Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA ABCD SA a Gọi góc SC SAB , góc AC SBC Giá trị tan sin bằng? A 1 B 19 C Hướng dẫn giải Chọn C 21 D 20 Để xác định góc SC SAB ta xác định hình chiếu SC lên mặt phẳng SAB Ta �BC AB có: S hình chiếu S SAB , B hình chiếu C SAB � �BC SA �SC Vậy SB hình chiếu SC SAB � SC , SAB B BC a � SBC vuông B � tan tan BSC 2 SB SA AB Kẻ AH SB H mà BC SAB nên AH BC � AH SBC � HC hình chiếu vng góc AC SBC � AC , SBC � ACH SAB vuông nên 1 a � AH 2 AH AS AB AH 21 ACH vuông H � sin sin � ACH AC Vậy tan sin 21 Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD , đáy có cạnh a có tâm O Gọi M , N trung điểm SA , BC Biết góc MN ABCD 60� Tính góc MN SAO A arcsin C arcsin 5 B arcsin D arcsin Lời giải Chọn A Gọi P trung điểm AO � MP đường trung bình SAO � MP / / SO � 60� � MP ABCD � Góc MN ABCD góc MNP Áp dụng định lý cosin cho PNC ta có: a �3 a � NP CN CP 2CN CP.cos 45� � a � a �4 � 2 2 2 a 9a 2a 11a 3a 5a + 8 Trong tam giác vng MNP ta có : PN 15 15 MN a PM NP.tan 60� a � SO MP a cos 60� Gọi H trung điểm CO � NH / / BD � NH AC � Mà NH SO � NH SAC � MN , SAC NMH 5a a Ta có : HN OB , MN (tính trên) NH NMH Vậy MHN ta có : sin � Nên gọi góc MN SAO thì: MN � � sin � � � hay arcsin � 2� 5 � Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Công Phá Tốn Tập 2” Q Thầy Cơ mua trọn File Word “Cơng Phá Tốn Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM ... giác BCD uuur r uuur r uuur ur ur r r uuuu r Đặt AB b, AC c, AD d Phân tích véc tơ MG theo d , b, c uuuu r 1r r ur 3 uuuu r r r ur 3 A MG b c d C MG b c d uuuu r 1r... 3 �2 �3 uuur uuur uuur r r ur AB AC AD b c d 3 3 Ví dụ Cho tứ diện ABCD , M N theo thứ tự trung điểm cạnh AB CD Mệnh đề sau sai? uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur AD... Sai AC BD � AB CD uuur uuur uuur uuur r AC AB DC DB B C (Vơ lí) B Sai vì: Gọi O O ' theo thứ tự trung điểm AC BD Ta có uu uu rr uuur uur uuu r uuu r uur uuu r uuur u u SA SC 2SO