CONG PHA TOAN 2CHUONG 1LUONG GIAC

Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Cơng Phá Tốn Tập 2” Q Thầy Cơ mua trọn File Word “Cơng Phá Tốn Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI: GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Giá trị lượng giác cung α Ð Ð Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM có sđ AM = α : Hình 1.1 Gọi M ( x; y ) với tung độ M y = OK , hoành độ x = OH ta có: sin α = OK cos α = OH sin α cos α tan α = ; ( cos α ≠ ) cot α = ; ( sin α ≠ ) cos α sin α Các giá trị sin α , cos α , tan α , cot α gọi giá trị lượng giác cung α Các hệ cần nắm vững Các giá trị sin α ; cos α xác định với α ∈ ¡ Và ta có: sin ( α + k 2π ) = sin α , ∀k ∈ ¢; cos ( α + k 2π ) = cos α , ∀k ∈ ¢ −1 ≤ sin α ≤ ; −1 ≤ cos α ≤ π + kπ , ( k ∈ ¢ ) cot α xác định với α ≠ kπ , ( k ∈ ¢ ) tan α xác định với α ≠ Ð Dấu giá trị lượng giác cung α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM = α đường tròn lượng giác (hình 1.2) Hình 1.2 Ta có bảng xác định dấu giá trị lượng giác sau Góc phần tư I II Giá trị lượng giác III IV cos α + sin α + + tan α + + cot α + + Ở hình 1.3 cách nhớ khác để xác định dấu giá trị lượng giác Công thức lượng giác Công thức sin x + cos x = 1 tan x + = cos x cot x + = sin x Công thức cộng sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y 2 + - Cung đối sin ( − x ) = − sin x cos ( − x ) = cos x tan ( − x ) = − tan x Cung bù sin x = sin ( π − x ) cos ( x ± y ) = cos x cos y msin x sin y cos x = − cos ( x − π ) tan x ± tan y mtan x tan y Công thức đặc biệt π π   sin x + cos x = sin  x + ÷ = cos  x − ÷ 4 4   tan x = tan ( x − π ) tan ( x ± y ) = π π   sin x − cos x = sin  x − ÷ = − cos  x + ÷ 4 4   Góc nhân đơi sin x = 2sin x cos x cos x = cos x − = − 2sin x = cos x − sin x Góc nhân ba sin x = 3sin x − 4sin x cos x = cos x − 3cos x Góc chia đơi sin x = ( − cos x ) cos x = ( + cos x ) Góc chia ba sin x = ( 3sin x − sin x ) cos3 x = ( 3cos x + cos x ) tan x = tan x − tan x − tan x STUDY TIP Ở từ cơng thức góc nhân đơi, góc nhân ba ta suy cơng thức góc chia đôi, chia ba mà không cần nhớ nhiều công thức Biến đổi tích thành tổng cos x cos y = cos ( x − y ) + cos ( x + y )  sin x sin y = cos ( x − y ) − cos ( x + y )  sin x cos y = sin ( x − y ) + sin ( x + y )  Biến đổi tổng thành tích x+ y x− y cos x + cos y = cos cos 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin sin 2 x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 x+ y x− y sin x − sin y = cos sin 2 Giá trị lượng giác cung đặc biệt α (độ) α (radian) 0 sin α cos α tan α 30o π 3 45o 60o 90o 180o π 2 2 2 0 −1 Không xác định π π π STUDY TIP Từ bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt bên ta thấy quy luật sau để độc giả nhớ giá trị lượng giác cung đặc biệt: α 30o 45o 60o 90o sin α Các giá trị tử số tăng dần từ đến 2 Ngược lại giá trị cos , tử số giảm dần từ BÀI: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Hàm số y = sinx hàm số y = cosx Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số sin , kí hiệu y = sinx Quy tắc đặt tương ứng số thực x với cosin ( cos) góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số cos, kí hiệu y = cosx Tập xác định hàm số y = sinx;y = cosx ¡ a) Hàm số y = sinx Nhận xét: Hàm số y = sinx hàm số lẻ hà số có tập xác định D = ¡ − sinx = sin( − x) đối xứng Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2π Sự biến thiên: Sự biến thiên hàm số y = sinx đoạn −  π ;π  biểu thị sơ đồ (hình 1.4) phía dưới: Bảng biến thiên: Từ ta có bảng biến thiên hàm số y = sinx đoạn −  π ;π  sau: STUTY TIP Khái niệm: Hàm số f ( x) xác định D gọi hàm tuần hoàn tồn số T ≠ cho với x   x − T ∈ D;x + T ∈ D thuộc D ta có    f(x + T ) = f ( x) Số dương T nhỏ (nếu có) thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm tuần hồn Đồ thị hàm số: Nhận xét: Do hàm số y = sinx hàm số lẻ ¡ tuần hồn với chu kì 2π nên vẽ đồ thị hàm số y = sinx ¡ ta cần vẽ đồ thị hàm số đoạn 0;π  , sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa O , ta đồ thị hàm số y = sinx đoạn −  π ;π  , cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái sang phải theo trục hồnh ta đoạn có độ dài 2π ;4π , STUDY TIP  π π Hàm số y = sinx đồng biến khoảng  − ; ÷ Do tính chất tuần hồn với chu kì 2π , hàm số  2  π π  y = sinx đồng biến khoảng  − + k2π ; + k2π ÷,k∈ Z   y = sinx Tương tự ta suy hàm số nghịch π 3π   + k2π ; + k2π ÷,k∈ Z   biến khoảng GHI NHỚ Hàm số y = sinx : - Có tập xác định ¡ - Có tập giá trị −  1;1 - Là hàm số lẻ - Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng - Có đồ thị đường hình sin - Tuần hồn với chu kì 2π  π π  - Đồng biến khoảng  − + k2π ; + k2π ÷,k∈ ¢   π 3π  - Nghịch biến khoảng  + k2π ; + k2 ữ,k  2 y = cosx b) Hàm số  π Ta thấy cosx = sin x + ÷ nên cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx sang trái đoạn có 2  độ dài π , ta đồ thị hàm số y = cosx Bảng biến thiên hàm số y = cosx −  π ;π  Đồ thị hàm số y = cosx : STUTY TIP Hàm số y = cosx đồng biến khoảng ( −π ;0) Do tính chất tuần hồn với chu kì 2π , hàm số y = cosx đồng biến khoảng ( −π + k2π ;k2π ) ,k∈ ¢ Tương tự ta suy hàm số y = cosx nghịch biến khoảng ( k2π ;π + k2π ) ,k∈ ¢ GHI NHỚ Hàm số y = cosx : - Có tập xác định ¡ - Là hàm số chẵn - Là đường hình sin - Đồng biến khoảng ( −π + k2π ;k2π ) ,k∈ ¢ - Nghịch biến khoảng ( k2π ;π + k2π ) ,k∈ ¢ Đọc thêm Hàm số y = a.sin( ω x + b) + c,( a,b,c,ω ∈ ¡ ,aω ≠ 0) hàm tuần hồn với chu kì sở vì: ( 2π ω ) a.sin ω ( x + T ) + b + c = a.sin ( ω x + b) + c,∀x ∈ ¡ ⇔ a.sin( ω x + b+ ωT ) = a.sin( ω x + b) ,∀x∈ ¡ 2π ,( k∈ ¢ ) ω Và đồ thị đường hình sin Tương tự hàm số y = a.cos( ω x + b) + c,( a,b,c,ω ∈ ¡ ,aω ≠ 0) hàm tuần hoàn với chu ⇔ ωT = k2π ,( k∈ ¢ ) ⇔ T = k kì sở 2π đồ thị đường hình sin ω Ứng dụng thực tiễn: Dao động điều hòa mơn Vật lý chương trình 12 Hàm số y = tan x hàm số y = cot x Hình 1.7 sin x π  Với D1 = ¡ \  + kπ k ∈ ¢  , quy tắc đặt tương ứng số x ∈ D1 với số thực tan x = cos x 2  gọi hàm số tang, kí hiệu y = tan x Hàm số y = tan x có tập xác định D1 Với D2 = ¡ \ { kπ k ∈ ¢} , quy tắc đặt tương ứng số x ∈ D2 với số thực cot x = cos x sin x gọi hàm số cơtang, kí hiệu y = cot x Hàm số y = cot x có tập xác định D2 Nhận xét: - Hai hàm số y = tan x hàm số y = cot x hai hàm số lẻ - Hai hàm số hai hàm số tuần hoàn với chu kì π a) Hàm số y = tan x Hình 1.8 π π đến điểm M chạy đường tròn 2 lượng giác theo chiều dương từ B′ đến B (không kể B′ B ) Khi điểm T thuộc trục tang cho AT = tan x chạy dọc theo At , nên tan x tăng từ −∞ đến +∞ (qua giá trị x = ) MH AT AT = = = AT Giải thích: tan x = AT tan x = OH OA π  π  Nhận xét: Hàm số y = tan x đồng biến khoảng  − + kπ ; + kπ ÷, k ∈ ¢ Đồ thị hàm   Sự biến thiên: Khi cho x = ( OA, OM ) tăng từ − số y = tan x nhận đường thẳng x = Đồ thị hàm số: π + kπ , ( k ∈ ¢ ) làm đường tiệm cận π  Nhận xét: Do hàm số y = tan x hàm số lẻ ¡ \  + kπ k ∈ ¢  tuần hồn với chu kì 2  π π nên vẽ đồ thị hàm số y = tan x ¡ \  + kπ k ∈ ¢  ta cần vẽ đồ thị hàm số 2   π  0; ÷ , sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O , ta đồ thị hàm số y = tan x  π  0; ÷ , cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái sang phải theo trục hồnh Hình 1.9 STUDY TIP π Hàm số y = tan x nhận đường thẳng x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) làm đường tiệm cận GHI NHỚ Hàm số y = tan x : π  - Có tập xác định D1 = ¡ \  + kπ k ∈ ¢  - Là hàm số lẻ 2  - Là hàm số tuần hoàn với chu kì π - Có tập giá trị ¡ π  π  - Đồng biến khoảng  + k ; + k ữ, k    π - Đồ thị nhận đường thẳng x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) làm đường tiệm cận y = cot x b) Hàm số Hàm số y = cot x có tập xác định D2 = ¡ \ { kπ k ∈ ¢} hàm số tuần hồn với chu ki π Tương tự khảo sát hàm số y = tan x ta vẽ đồ thị hàm số y = cot x sau: Hình 1.10 GHI NHỚ Hàm số y = cot x : - Có tập xác định: D2 = ¡ \ { kπ k ∈ ¢} - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn với chu kì π - Có tập giá trị ¡ - Đồng biến khoảng ( kπ ; π + kπ ) , k ∈ ¢ - Đồ thị nhận đường thẳng x = kπ , ( k ∈ ¢ ) làm đường tiệm cận B Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác Dạng 1: Bài tốn tìm tập xác định hàm số lượng giác Cách Cách x x Tìm tập D để f ( x ) có nghĩa, tức Tìm tập E để f ( x ) khơng có nghĩa, tập xác định hàm số D = ¡ \ E tìm D = x ∈ ¡ f ( x ) ∈ ¡ { } CHÚ Ý A Với hàm số f ( x ) cho biểu thức đại số ta có: f ( x ) = f1 ( x ) , điều kiện: * f1 ( x ) có nghĩa f2 ( x ) f ( x ) = m f ( x ) = 2m * f ( x ) có nghĩa f ( x ) ≠ f1 ( x ) , ( m ∈ ¥ ) , điều kiện: f1 ( x ) có nghĩa f1 ( x ) ≥ f1 ( x ) f2 ( x ) , ( m ∈ ¥ ) , điều kiện: f1 ( x ) , f ( x ) có nghĩa f ( x ) > B Hàm số y = sin x; y = cos x xác định ¡ , y = sin u ( x )  ; y = cos u ( x )  xác định u ( x ) xác định π * y = tan u ( x )  có nghĩa u ( x ) xác định u ( x ) ≠ + kπ ; k ∈ ¢ * y = cot u ( x )  có nghĩa u ( x ) xác định u ( x ) ≠ + kπ ; k ∈ ¢ STUDY TIP Ở phần cần nhớ kĩ điều kiện xác định hàm số sau: Hàm số y = sin x y = cos x xác định ¡ π  Hàm số y = tan x xác định ¡ \  + kπ k ∈ ¢  2  Hàm số y = cot x xác định ¡ \ { kπ k ∈ ¢} Ví dụ Tập xác định hàm số y = là: cos x − −1 ≤ sin x;cos x ≤ 1, Ví dụ Tập xác định hàm số y = A D = ¡ \ { kπ | k ∈ ¢} − sin x B D = ¡ π  C D = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢  4  π  D D = ¡ \  + k 2π | k ∈ ¢  4  Lời giải Chọn B Ta có sin x < ⇔ − sin x > , ∀x ∈ ¡ Vậy hàm số cho xác đinh với x ∈ ¡ Một dạng khác tốn liên quan đến tìm tập xác định hàm lượng giác sau: Ví dụ Để tìm tập xác định hàm số y = tan x + cos x , học sinh giải theo bước sau: sin x ≠ Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa  cos x ≠ π   x ≠ + kπ ;( k ∈ ¢) Bước 2: ⇔   x ≠ kπ π  Bước 3: Vậy tập xác định hàm số cho D = ¡ \  + kπ ; kπ | k ∈ ¢  2  Bài giải bạn chưa? Nếu sai, sai bắt đầu bước nào? A Bài giải B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước Lời giải Chọn B Nhận thấy hàm số cho xác định tan x xác định (do cos x xác định với x ∈ ¡ ) Do hàm số xác định cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ , k ∈ ¢ xác định sin x +  π  A x ∈ ¡ \  − + k 2π | k ∈ ¢  B x ∈ ¡   Ví dụ 10 Hàm số y = C x = − π π + kπ , k ∈ ¢ D x = − + k 2π , k ∈ ¢ 2 Lời giải Chọn A Hàm số cho xác định ⇔ sin x + > ⇔ sin x > −1 ⇔ sin x ≠ −1 (do sin x ≥ −1, ∀x ∈ ¡ ) ⇔ x≠− π + k 2π , k ∈ ¢ Dạng chứa tham số toán liên quan đến tập xác định hàm sô lượng giác Với S ⊂ D f (là tập xác định hàm số f ( x ) ) ∗ f ( x ) ≤ m, ∀x ∈ S ⇔ max f ( x ) ≤ m ∗ f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ S ⇔ f ( x ) ≥ m S S ∗ ∃x0 ∈ S , f ( x0 ) ≤ m ⇔ f ( x ) ≤ m ∗ ∃x0 ∈ S , f ( x0 ) ≥ m ⇔ max f ( x ) ≥ m S S Ví dụ Cho hàm số h ( x ) = sin x + cos x − 2m sin x.cos x Tất giá trị tham số m để hàm số xác định với số thực x (trên toàn trục số) 4 A − 1 ≤m≤ 2 B ≤ m ≤ C − ≤ m ≤ D m ≤ Lời giải Chọn A ( ) + ( cos x ) − m sin x = ( sin x + cos x ) − 2sin x cos Xét hàm số g ( x ) = sin x 2 2 2 2 x − m sin x = − sin 2 x − m sin x Đặt t = sin x ⇒ t ∈ [ −1;1] Hàm số h ( x ) xác định với x ∈ ¡ ⇔ g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ − t − mt + ≥ 0, ∀t ∈ [ −1;1] ⇔ t + 2mt − ≤ 0, ∀t ∈ [ −1;1] Đặt f ( t ) = t + 2mt − [ −1;1] Đồ thị hàm số ba đồ thị Ta thấy max f ( t ) = f ( 1) max f ( t ) = f ( −1) [ −1;1] [ −1;1]  f ( 1) ≤ f ( t) ≤ ⇔  Ycbt f ( t ) = t + 2mt − ≤ 0, ∀t ∈ [ −1;1] ⇔ max [ −1;1]  f ( −1) ≤  −1 + 2m ≤ 1 ⇔ ⇔− ≤m≤ 2  −1 − 2m ≤ Ví dụ Tìm m để hàm số y = 3x 2sin x − m sin x + A m ∈  −2 2; 2  C m ∈ −∞; −2 ∪ 2; +∞ ( ) ( ) xác định ¡ ( D m ∈ { −2 ) 2} B m ∈ −2 2; 2 2; Lời giải Chọn B Hàm số xác định ¡ 2sin x − m sin x + > 0, ∀x ∈ ¡ Đặt t = sin x ⇒ t ∈ [ −1;1] Lúc ta tìm điều kiện m để f ( t ) = 2t − mt + > 0, ∀t ∈ [ −1;1] Ta có ∆ t = m2 − TH 1: ∆ t < ⇔ m − < ⇔ −2 < m < 2 Khi f ( t ) > 0, ∀t (thỏa mãn)  m = −2 TH 2: ∆ t = ⇔ m − = ⇔  (thử lại hai trường hợp không thỏa mãn)  m = 2  m < −2 2 TH 3: ∆ t > ⇔ m − > ⇔  tam thức f ( t ) = 2t − mt + có hai nghiệm  m > 2 phân biệt t1 ; t2 ( t1 < t2 )  m − m2 − ≥ ⇔ m2 − ≥ m − ( VN ) t1 ≥ ⇔ Để f ( t ) > 0, ∀t ∈ [ −1;1]   m + m − t2 ≤ −1 ⇔ ≤ −1 ⇔ m − ≤ − m − ( VN )  ( ) Vậy m ∈ −2 2; 2 thỏa mãn yêu cầu toán Chú ý: Với toán dạng ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ giá trị m Ở toán TH3 áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái cùng” Tức khoảng hai nghiệm dấu với hệ số a , khoảng hai nghiệm trái dấu với hệ số a Dạng 2: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác Định Nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D a, Hàm số y = f ( x ) gọi hàm số chẵn với x thuộc D , ta có − x ∈ D f ( −x) = f ( x) b, Hàm số y = f ( x ) gọi hàm số lẻ với x thuộc D , ta có − x ∈ D f ( −x) = − f ( x) STUDY TIP: Để kết luận hàm số y = f ( x ) khơng chẵn khơng lẻ ta cần điểm x0 ∈ D cho  f ( − x0 ) ≠ f ( x0 ) tập xác định f ( x ) tập đối xứng   f ( − x0 ) ≠ − f ( x0 ) Phương pháp chung: Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số, ∗ Nếu D tập đối xứng (tức ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D ), ta thực tiếp bước ∗ Nếu D tập đối xứng(tức ∃x ∈ D mà − x ∉ D ) ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ Bước 2: Xác định f ( − x ) : ∗ Nếu f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D kết luận hàm số hàm số chẵn ∗ Nếu f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ D kết luận hàm số hàm số lẻ ∗ Nếu không thỏa mãn hai điều kiện kết luận hàm số không chẵn không lẻ Các kiến thức học hàm lượng giác bản: 1, Hàm số y = sin x hàm số lẻ D = ¡ 2, Hàm số y = cos x hàm số chẵn D = ¡ π  3, Hàm số y = tan x hàm số lẻ D = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢  2  4, Hàm số y = cot x hàm số lẻ D = ¡ \ { kπ | k ∈ ¢} Ví dụ Hàm số sau hàm số chẵn? A y = −2 cos x B y = −2sin x C y = 2sin ( − x ) D y = sin x − cos x Lời giải Chọn A Cách 1: Với kiến thức tính chẵn lẻ hsố lượng giác ta chọn ln A Xét A: Do tập xác định D = ¡ nên ∀x ∈ ¡ ⇒ − x ∈ ¡ Ta có f ( − x ) = −2 cos ( − x ) = −2 cos x = f ( x ) Vậy hàm số y = −2 cos x hàm số chẵn Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Ta thử phương án máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp x −x Với A: Nhập vào hình hàm số sử dụng CALC với trường hợp x = (hình bên trái) trường hợp x = −1 (hình bên phải) đưa kết giống Vì f ( x ) = − f ( x ) ⇒ ta chọn A STUDY TIP: Khi sử dụng máy tính cầm tay ta nên ý tập xác định hàm số xem có phải tập đối xứng khơng sin x Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số y = y = f ( x ) 2cos x − A Hàm số chẵn B Hàm số lẻ C Không chẵn không lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ Lời giải Chọn B Cách 1: Tập xác định D = ¡ Ta có ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D sin ( −2 x ) − sin x f ( −x) = = = − f ( x ) Vậy hàm số cho hàm số lẻ cos ( − x ) − cos x − Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Ta thử phương án máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp x −x Với A: Nhập biểu thức hàm số vào hình sử dụng CALC với trường hợp x = (hình bên trái) trường hợp x = −1 (hình bên phải), ta thấy f ( 1) = − f ( −1) ⇒ hàm số cho hàm số lẻ STUDY TIP: Trong toán này, tập xác định D = ¡ cos x − < 0, ∀x ∈ ¡ π π   Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số y = f ( x ) = cos  x + ÷+ sin  x − ÷, ta y = f ( x ) là: 4 4   A Hàm số chẵn B Hàm số lẻ C Không chẵn không lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ Lời giải Chọn D Cách 1: π π 1   ( cos x − sin x ) + ( sin x − cos x ) = Ta có y = cos  x + ÷+ sin  x − ÷ = 4 4 2   Ta có tập xác định D = ¡ Hàm số y = vừa thỏa mãn tính chất hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất hàm số lẻ, nên hàm số vừa chẵn vừa lẻ Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Tương tự tốn ta nhập hàm số sử dụng CALC để thử thấy hai trường hợp kết Mà y = vừa hàm số chẵn, vừa hàm số lẻ vừa hàm nên ta chọn D STUDY TIP: Hàm số y = vừa hàm số chẵn, vừa hàm số lẻ vừa hàm + 3sin x g ( x ) = sin − x Kết luận sau tính x−3 chẵn lẻ hai hàm số này? A Hai hàm số f ( x ) ; g ( x ) hai hàm số lẻ Ví dụ Cho hai hàm số f ( x ) = B Hàm số f ( x ) hàm số chẵn; hàm số f ( x ) hàm số lẻ C Hàm số f ( x ) hàm số lẻ; hàm số g ( x ) hàm số không chẵn không lẻ D Cả hai hàm số f ( x ) ; g ( x ) hàm số không chẵn không lẻ Lời giải Chọn D + 3sin x có tập xác định D = ¡ \ { 3} x−3 Ta có x = −3 ∈ D − x = ∉ D nên D khơng có tính đối xứng Do ta có kết luận hàm a, Xét hàm số f ( x ) = số f ( x ) không chẵn không lẻ b, Xét hàm số g ( x ) = sin − x có tập xác định D2 = [ 1; +∞ ) Dễ thấy D2 tập đối xứng nên ta kết luận hàm số g ( x ) không chẵn không lẻ Vậy chọn D STUDY TIP: Khi xét tính chẵn lẻ hàm số ta cần ý xét tập xác định để giải toán cách xác 2007 x + cos nx , với n ∈ ¢ Hàm số y = f ( x ) là: Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số f ( x ) = sin A Hàm số chẵn B Hàm số lẻ C Không chẵn không lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ Lời giải Chọn C Hàm số có tập xác định D = ¡ 2007 Ta có f ( − x ) = sin ( − x ) + cos ( −nx ) = − sin 2007 x + cos nx ≠ ± f ( x ) Vậy hàm số cho không chẵn khơng lẻ sin 2004 n x + 2004 Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = , với n ∈ ¢ Xét biểu thức sau: cos x 1, Hàm số cho xác định D = ¡ 2, Đồ thị hàm số cho có trục đối xứng 3, Hàm số cho hàm số chẵn 4, Đồ thị hàm số cho có tâm đối xứng 5, Hàm số cho hàm số lẻ 6, Hàm số cho hàm số không chẵn không lẻ Số phát biểu sáu phát biểu A B C D Lời giải Chọn B π + k π, k ∈ ¢ Vậy phát biểu sai Ở ta cần ý : phát biểu 2; 3; 4; 5; để xác định tính sai ta cần xét tính chẵn lẻ hàm số cho π  Ta có tập xác định hàm số D = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢  tập đối xứng 2  Hàm số xác định cos x ≠ ⇔ x ≠ sin 2004 n ( − x ) + 2004 sin 2004 n x + 2004 = = f ( x) cos ( − x ) cos x Vậy hàm số cho hàm số chẵn Suy đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy Vậy có phát biểu phát biểu Từ ta chọn B STUDY TIP Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua tâm O Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = x sin x Phát biểu sau hàm số cho? f ( −x) = A Hàm số cho có tập xác định D = ¡ \ { 0} B Đồ thị hàm số cho có tâm đối xứng C Đồ thị hàm số cho có trục xứng D Hàm số có tập giá trị  −1;1 Lời giải Chọn B Hàm số cho xác định tập D = ¡ nên ta loại A Tiếp theo để xét tính đối xứng đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ hàm số cho f ( − x ) = − x sin ( − x ) = − x sin x = − f ( x ) Vậy đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O Vậy ta chọn đáp án B STUDY TIP Với toán ta nên xét B C trước thay xét A, B, C, D Ví dụ Xác định tất giá trị tham số m để hàm số y = f ( x ) = 3m sin4x + cos 2x hàm chẵn A m> B m< −1 C m= D m= Lời giải Chọn C Cách 1: TXĐ: D = ¡ Suy ∀x∈ D ⇒ − x∈ D Ta có f ( − x ) = 3m sin4( − x ) + cos ( − x ) = −3m sin4x + cos x Để hàm số cho hàm chẵn f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D ⇔ −3m sin4x + cos x = 3m sin4x + cos x, ∀x ∈ D ⇔ 4m sin x = 0, ∀x ∈ D ⇔ m = Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Với tốn ta sử dụng máy tính cầm tay để thử giá trị Với A C, ta thử trường hợp để loại hai đáp án lại, tương tự với B D Ở ta sử dụng CALC để thử giá trị x − x Ví dụ: Nhập vào hình bên = Ấn CALC để gán giá trị cho m Ta thử với m= ấn Chọn x bất kì, sau làm lại lần gán x cho − x ban đầu so sánh (ở ta thử với x = −5) Ta thấy f ( − x) = f ( x) Vậy C Ta chọn C loại phương án lại DẠNG Xét tính đơn điệu hàm số lượng giác Phương pháp chung: Ở phần lý thuyết, với hàm số lượng giác bản, ta biết rằng: Hàm số y = sin x :  π  π * Đồng biến khoảng  − + k2π; + k2 ữ,k  + k2 ữ,k  * Nghch bin khoảng  + k2π; 2  Hàm số y = cosx : * Đồng biến khoảng ( −π + k2π; k2π ) ,k ∈¢ * Nghịch biến khoảng ( k2π; π + k2π ) ,k ∈ ¢  π  π Hàm số y = tan x đồng biến khong + k; + k ữ,k    Hàm số y = cot x nghịch biến khoảng ( kπ; π + kπ ) ,k ∈ ¢ Với hàm số lượng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu ta sử dụng định nghĩa Ví dụ Xét hàm số y = sin x đoạn  −π;0  Khẳng định sau đúng?   π  π A Hàm số đồng biến khoảng  −π;− ÷  − ;0 ÷ 2     π B Hàm số cho đồng biến khoảng  −π;− ÷; nghịch biến khoảng 2   π   − ;0 ÷     π  π C Hàm số cho nghịch biến khoảng  −π;− ÷; đồng biến khoảng  − ;0 ÷ 2      π  π D Hàm số nghịch biến khoảng  −π;− ÷  − ;0 ÷ 2    Lời giải Chọn A Cách 1: Từ lý thuyết hàm số lượng giác ta có hàm số y = sin x nghịch biến   π  π khoảng  −π;− ÷và đồng biến khoảng  − ;0 ÷ 2    Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay   π  π Do đề bài, phương án A, B, C, D xuất hai khoảng  −π;− ÷và  − ;0 ÷ nên 2    ta dùng máy tính cầm tay chức MODE 7: TABLE để giải toán Ấn π Máy f ( X ) = ta nhập sinX START? Nhập −π; END? Nhập STEP? Nhập 10  π Lúc từ bảng giá trị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến khoảng  −π;− ÷và đồng 2   π  biến khoảng  − ;0 ÷   Ví dụ Xét hàm số y = cos x đoạn  −π; π  Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −π; ) ( 0; π ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −π; ) nghịch biến khoảng ( 0; π ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −π; ) đồng biến khoảng ( 0; π ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −π; ) ( 0; π ) Lời giải Chọn B Theo lý thuyết ta có hàm số y = cosx đồng biến khoảng ( −π + k2π; k2π ) ,k ∈ ¢ ( k2π;π + k2π) ,k∈ ¢ Từ ta có với k = hàm số y = cosx đồng biến khoảng ( −π; ) nghịch biến khoảng ( 0; π ) Tiếp theo ta đến với hàm số y = tannx;( n∈ ¢ ) , Ta có ví dụ nghịch biến khoảng Ví dụ Xét biến thiên hàm số y = tan x chu kì tuần hồn Trong kết luận sau, kết luận đúng?  π  π π A Hàm số cho đồng biến khoảng  0; ÷  ; ÷  4 4 2  π π π B Hàm số cho đồng biến khoảng  0; ÷và nghịch biến khoảng  ; ÷  4 4 2  π C Hàm số cho đồng biến khoảng  0; ÷  2  π π π D Hàm số cho nghịch biến khoảng  0; ÷và đồng biến khoảng  ; ÷  4 4 2 Lời giải Chọn A π  π Tập xác định hàm số cho D = ¡ \  + k |k ∈ ¢  4  Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì π , dựa vào phương án A; B; C; D ta xét  π  π tính đơn điệu hàm số  0; ÷\     4 Dựa theo kết khảo sát biến thiên hàm số y = tan x phần lý thuyết ta suy  π π π với hàm số y = tan x đồng biến khoảng  0; ÷  ; ÷  4 4 2 STUDY TIP  π π Ở ta khơng chọn C hàm số khơng liên tục  0; ÷, hàm số bị gián đoạn x =  2 π (tức hàm số khơng xác định x = ) Ví dụ Xét biến thiên hàm số y = − sin x chu kì tuần hồn Trong kết luận sau, kết luận sai?  π  A Hàm số cho nghịch biến khoảng  − ;0 ÷    π B Hàm số cho nghịch biến khoảng  0; ÷  2 π  C Hàm số cho đồng biến khoảng  ; π ÷ 2   π 3π  D Hàm số cho nghịch biến khoảng  ; ÷ 2  Lời giải Chọn D Hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ 2π kết hợp với phương án đề ta xét  π 3π  biến thiên hàm số  − ;   2 Ta có hàm số y = sin x :  π π * Đồng biến khoảng  − ; ÷  2  π 3π  * Nghịch biến khoảng  ; ÷ 2  Từ suy hàm số y = − sin x :  π π * Nghịch biến khoảng  − ; ÷  2  π 3π  * Đồng biến khoảng  ; ÷ Từ ta chọn D 2  Dưới đồ thị hàm số y = − sin x hàm số y = sin x ¡ Ví dụ Xét biến thiên hàm số y = sin x − cos x Trong kết luận sau, kết luận đúng?  π 3π  A Hàm số cho đồng biến khoảng  − ; ÷  4   3π 7π  B Hàm số cho đồng biến khoảng  ; ÷  4  C Hàm số cho có tập giá trị  −1; 1  π 7π  D Hàm số cho ln nghịch biến khoảng  − ; ÷  4  Lời giải Chọn B Cách 1: π  Ta có y = sin x − cos x = sin  x − ÷ 4  Từ ta loại đáp án C, tập giá trị hàm số  − ;  Hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ 2π ta xét biến thiên hàm số đoạn  π 7π  − ;    Ta có:  π 3π  * Hàm số đồng biến khoảng  − ; ÷  4   3π 7π  * Hàm số nghịch biến khoảng  ; ÷ Từ ta chọn A  4  Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Tương tự ví dụ 1, ta sử dụng máy tính cầm tay chức MODE 7: TABLE để giải toán Ấn Máy f ( X ) = ta nhập sinX − cosX Chọn STAR; TEND; STEP phù hợp ta có kết hình dưới: π 3π ≈ −0,785 đến ≈ 2,3561 4  π 3π  giá trị hàm số tăng dần, tức hàm số đồng biến khoảng  − ; ÷  4  Từ bảng giá trị hàm số f ( x) ta thấy x chạy từ − 3π 7π ≈ 5,49778 giá trị hàm số giảm dần, tức Phân tích thêm: Khi x chạy từ đến 4  3π 7π  hàm số nghịch biến khoảng  ; ÷  4  STUDY TIP π 3π π 7π Ta ý có − + π = , − + 2π = nên ta suy STEP phù hợp Trong 4 4 π gán STEP = Ví dụ Chọn câu đúng? A Hàm số y = tan x luôn tăng B Hàm số y = tan x luôn tăng khoảng xác định C Hàm số y = tan x tăng khoảng ( π + k2π; 2π + k2π ) ,k ∈ ¢ D Hàm số y = tan x tăng khoảng ( k2π; π + k2π ) , k∈ ¢ Lời giải Chọn B Với A ta thấy hàm số y = tan x không xác định điểm x∈ ¡ nên tồn điểm làm cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số tăng Với B ta thấy B hàm số đồng biến y = tan x khoảng Từ loại C D  π  π  − + kπ; + kπ ÷,k ∈ ¢   Ví dụ Xét hai mệnh đề sau:  3π  ÷ : Hàm số y = s inx giảm  2  3π  (II) ∀ x ∈  π; ÷ : Hàm số y = giảm cos x  2 (I) ∀ x ∈  π; Mệnh đề hai mệnh đề là: A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả sai Lời giải D Cả Chọn B Cách 1:   Như toán xét xem hàm số tăng hay giảm Ta lấy x1 < x ∈  π; Lúc ta có f ( x ) − f ( x1 ) = 1 s inx1 − s inx − s inx s inx ` s inx1 sinx 3π  ÷  3π  ÷ sinx1 > sinx ⇒ sinx1 − sinx >  s inx1 − s inx > ⇒ f ( x1 ) < f ( x ) Vậy y = > sinx1 > sinx ⇒ hàm tăng s inx s inx1 s inx   Ta thấy x1 < x ∈  π; Tương tự ta có y = hàm giảm Vậy I sai, II cos x Cách 2: Sử dụng lệnh TABLE để xét xem hàm số tăng hay giảm máy tính Với hàm ta nhập MODE 7: TABLE ( ) s inx MODE Nhập hàm f ( x ) hình bên: n n ∇ START? π ; END? Của hàm số y = SI N ALPHA ) ) = 3π π STEP? 10 hình bên Ta thấy giá trị hàm số tăng dần x chạy từ π đến s inx 3π  3π  Nên ta kết luận  π ; ÷ hàm số y = tăng  s inx  Tương tự với II kết luận Ví dụ Khẳng định sau ?  π π   A y = tan x đồng biến  − ;  2 π 2   B y = tanx hàm số chẵn D = R \  + kπ | k ∈ Z  C y = tanx có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ  π π  2 D y = tanx nghịch biến  − ; ÷ Lời giải Chọn B  π    Ta đồ thị hình vẽ Ta thấy hàm số y = tanx nghịch biến  − ;0 ÷ đồng   π 2 biến  0; ÷ Nên ta loại A D Với B ta có f ( − x ) = tan ( − x ) = tan x = f ( x ) ⇒ hàm số y = tan x hàm số chẵn Với C ta thấy đồ thị hàm số cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ ta chọn B STUDY TIP Ta suy diễn đồ thị hàm hàm số y = f ( x ) từ đồ thị hàm số y = f ( x ) từ suy khoảng đơn điệu hàm số y = f ( x ) - Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía trục Ox - Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f ( x ) phía trục Ox qua Ox - Hợp hai phần ta đồ thị hàm số y = f ( x ) STUDY TIP Với toán ta khơng suy diễn đồ thị mà làm theo hướng tư sau: - Với A: y = tan x không xác định x = ± π nên đồng biến  π π  − ;  - Từ B suy C;D sai DẠNG Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số lượng giác *Các kiến thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm số y = f ( x ) xác định miền D ⊂ R f ( x ) ≤ M, ∀x ∈ D Số thực M gọi giá trị lớn hàm số y = f ( x ) D ∃x ∈ D, f x = M ( 0)  f ( x ) > m, ∀x ∈ D Số thực N gọi giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) D ∃x ∈ D, f x = m ( 0)  Một số kiến thức ta sử dụng tốn này: Tính bị chặn hàm số lượng giác Điều kiện có nghiệm phương trình bậc sin Bảng biến thiên hàm số lượng giác Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay cos 10π ) + 2016 2017 B y = −1; maxy = 4033 D y = −1; max y = 4022 Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = 2017 cos(8 x + A y = 1; maxy = 4033 C y = 1; maxy = 4022 Phân tích Ta có bước để giải tốn sau: Bước 1: Chỉ f ( x ) ≤ M, ∀ x ∈ D x ∈ D cho f ( x ) = M f ( x) = M Kết luận : max D Bước : Chỉ Tương tự với tìm giá trị nhỏ hàm số Lời giải Chọn B Cách 1: Hàm số xác định R 10π  ÷ ≤ 1, ∀ R 2017  10π   ⇔ −2017 ≤ 2017 cos  8x + ÷ + 2016 ≤ 4033, ∀ ∈ R 2017     Ta có − ≤ cos  8x + 10π   ⇔ −1 ≤ 2017 cos  8x + ÷ + 2016 ≤ 4033, ∀ ∈ R 2017   10π  10π    Ta có y = −1 cos  8x + ÷ = −1 ; y = 4033 cos  8x + ÷= 2017  2017    Vậy y = −1; maxy = 4033 Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay Trong bốn phương án có hai giá trị max 4022; 4033 Chỉ có hai giá trị 1;-1 Lúc ta sử dụng chức SHIFT CALC để thử giá trị:   Ví dụ ta nhập vào hình 2017 cos  8x + 10π  ÷ + 2016 = 4033 ta thấy phương trình có 2017  nghiệm   Tương tự nhập 2017 cos  8x + 10π  ÷ + 2016 = −1 ta thấy phương trình có nghiệm 2017  Từ ta chọn B STUDY TIP Trong toán ta chọn thử hai giá trị 4033 giá trị lớn − giá trị nhỏ nên ta thử trước Nếu phương trình khơng có nghiệm trường hợp lại Đây trích phần tài liệu gần 1000 trang “Công Phá Tốn Tập 2” Q Thầy Cơ mua trọn File Word “Cơng Phá Tốn Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 ĐH Sư Phạm TPHCM ... 7: TABLE ( ) s inx MODE Nhập hàm f ( x ) hình bên: n n ∇ START? π ; END? Của hàm số y = SI N ALPHA ) ) = 3π π STEP? 10 hình bên Ta thấy giá trị hàm số tăng dần x chạy từ π đến s inx 3π  3π