bài tập toán cao cấp

Bài tập Toán cao cấp MA TRẬN Bài 1.1 Thực phép toán ma trận: 1) 7   4  −1       −2  8   5   4)   ( 3)  2    1 1  2)  0  2 3  5  11 5   0  −7 2  3  2   3) ( 2)    0    5  4  −1 1   5)   ( 2)  1    0  3    − 1  − 0 ; B =  ; C =   Tính (2A + 3B)C 6) A =  0   − 2 1   1 3   Bài 1.2 Cho ma trận A =  2  , B =  2 5    2    −1 −2   −1 2 , C =  2     2 1) Tính 5A -BC, (AB)C 2) Tính CTBTAT (ABC)T ĐỊNH THỨC Bài 2.1: Tính đònh thức sau: 1) −1 ; −2 2 2) ; 3) −5 −3 −1 3 4 −2 Baøi 2.2 Giải phương trình, bất phương trình sau: x x+1 x+ 2 x + −1 −2 > 1) x + x + x + =0 ; 2) x+ x+ x+ −3 x MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Trang Bài tập Toán cao cấp Bài 3.1 Tìm ma trận nghòch đảo:  −2 −1  −4   2  −1 −2       4) A= 1) A=  −3  2) A=  6 3) A=         −5 −1  −1 7    −2   −1 1   −1  0 3 −1 1  1 Bài 3.2 Tìm ma trận X trường hợp sau:  2    1  2  2 1)   X.  =  ; 2)  4 X  5  3  4    5  5  5      6 =3  2 ;      1  −2 1  2 0 1   ÷  ÷ A = , B = 3) 2XA + B = 2I3  ÷  −2 ÷  −1 ÷  ÷    1 −3  HAÏNG MA TRẬN Bài 4.1 Tìm hạng ma trận sau: −4 0 − 1 1    − − 4 2 − −  − −  2) 4 − 7 3)   4) 1)    5 −    2 − 1 2 − 10    1 7   2 − 1 − −  0 −  1 − − 0 2 1  5 Trang Baøi tập Toán cao cấp 1  5)  17  3 1 −1  1   −3 10  6)   −2 −7 22   −2 10   −1 −2  0 1  3 Bài 4.2 Biện luận theo m hạng ma trận sau: 1  1)  7  10 m 3  6 9  12 3  2)  m  1 1 4  3 10 1  17 3 Bài ÔN Cho ma traän:  −2  1 −1 0   −1 −2 −3    vaø B =  −1  A=  −1 −5  0 −1      −3 −3 0 0  1) Chứng minh A khả nghòch 2) Tìm ma trận X thỏa B.X = A 3) Tính AT.BT.X HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 5.1 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss x +2 y +3z = −1  1) x + y + z = x +4 y +9 z =   x1 2 x  3)   x1  x1 + 3x2 + 5x2 + 5x2 + 3x2 + x3 + x3 + x3 + x3 + x4 + x4 + x4 + 3x  x − y +2 z =  2) 2 x + y +2 z =  x −3y +4 z =  = = = = 1 3 x 2 x  4)  x 5 x + 2y + z − t + 3y + z + t + y + 3z − t + y + 2z = = = = 1 Bài 5.2 Giải hệ phương trình sau phương pháp Cramer − x +3y −3z = 11  1)  x −5y − z =  3x +2 y +3z = 15   x +2 y +3z = 14  2) 2 x +3y +4 z = 20 3x +4 y +4 z = 23  Trang Bài tập Toán cao cấp  x1  2x  3)   − x1  5x1 +2x −3x +x2 +x2 −x3 +7x +3x +2x = = −1 = = x1 x  4)  x1 x1 + x2 −2 x2 +7x2 −5x2 −2 x3 − x3 −8x3 +4 x3 +3x4 + x4 +11x4 −5x4 = = = = 1 1 Baøi 5.3 Giải hệ phương trình sau, rõ nghiệm tổng quát hệ nghiệm  x1 + 3x + x3 + x =  1)  x1 − x − x3 − x = 3x + x + x + x =  x − y + z =  2) 4 x + y − z = 5 x − y − z =  x1 − 3x2 + x3 − x4 =  2 x1 + x2 − x3 + x4 = 3)  3x1 − x2 + x3 + x4 = x1 + x2 − x3 + 3x4 =  x1  2x  4)   − x1  5x1 +2x −3x +x2 −x3 +7x +3x = = = +x +2x = Bài 5.4 Giải biện luận hệ phương trình sau theo m + y −3z = x  1) 2 x + y + mz =  x + my +3z =  + y + (1 − m)z = m +  x  +2 z = 2) (1 + m)x − y  2x − my +3z = m+  MÔ HÌNH KINH TẾ Bài 6.1 Hãy xác đònh giá trung bình lượng cân ngành? (Tính USD) 1) Nền kinh tế có ngành sản xuất Hàm cung hàm cầu ngành sản xuất xác đònh sau: Qs1 = −40 + p1 ; Qd = 80 − p1 + p2 + p3 Qs = −10 + p2 ; Qd = 150 + p1 − p2 + p3 Qs = −20 + p3 ; Qd = 250 + p1 + p2 − p3 2) Nền kinh tế có ngành sản xuất Hàm cung hàm cầu ngành sản xuất xác đònh sau: Qs1 = −120 + p1 − p2 + p3 + p4 ; Qd = 200 − p1 + p2 + p3 + p4 Qs = −300 + p1 − p3 + p4 ; Qd = 150 + p1 − 13 p2 + 10 p4 Trang Bài tập Toán cao cấp Qs = −420 + p1 − 10 p2 − 21 p3 + 13 p4 ; Qd = 280 − p1 − p2 − 35 p3 + 14 p4 Qs = −220 − p1 + 17 p2 − p3 + p4 ; Qd = 260 − p1 + 13 p2 − p3 + p4 Bài 6.2 Xét mô hình kinh tế vó mô trường hợp kinh tế đóng Cho biết đầu tư chi tiêu cho sản xuất chiếm 90 (triệu USD), chi tiêu phủ 140 (triệu USD), hàm tiêu dùng có hệ số tiêu dùng cận biên 0.7, mức tiêu dùng tối thiểu 60 (triệu USD) 1) Hãy xác đònh mức thu nhập quốc dân mức tiêu dùng cân nhà nước không thu thuế thu nhập ? 2) Tìm mức thu nhập quốc dân mức tiêu dùng cân nhà nước có thu thuế thu nhập với tỉ lệ thuế thu nhập 40%? Bài 6.3 Các thông tin sau kinh tế đóng Cho biết đầu tư chi tiêu cho sản xuất chiếm 98 (triệu USD), chi tiêu phủ 180 (triệu USD), hàm tiêu dùng có phương trình C=0.6Y + 34 (Y (triệu USD) thu nhập quốc dân) 1) Hãy xác đònh hệ số tiêu dùng cận biên mức tiêu dùng tối thiểu ? 2) Tìm mức thu nhập quốc dân mức tiêu dùng cân ? 3) Biết mức thu nhập trước thuế trung bình trường hợp nhà nước có thu thuế thu nhập với tỉ lệ t(%) 698 (triệu USD), xác đònh mức thuế mà nhà nước thu ? Từ suy mức thu nhập trung bình sau thuế ? Bài 6.4 Các thông tin sau kinh tế đóng Cho biết hàm tiêu dùng có phương trình C=0.8Yd + 15 (Yd (triệu USD) thu nhập sau thuế), hàm đầu tư có phương trình I = 65 – r (r(%) lãi suất ), chi tiêu phủ 198 (triệu USD), hàm cầu tiền tăng lần so với thu nhập trước thuế giảm 50 lần so với lãi suất, biết mức cung tiền cố đònh 1500 (triệu USD) tỉ lệ thuế 25% 1) Hãy xác đònh mức thu nhập cân lãi suất trung bình ? 2) Minh họa điểm cân bằng hình vẽ ? Bài 6.5 Giả sử kinh tế có ngành Quan hệ sản phẩm ngành cầu cuối ngành sau: Ngành sử Ngành cung cấp sản phẩm Cầu Trang Bài tập Toán cao cấp dụng sản cuoái 80 200 220 60 160 20 50 110 140 140 110 90 30 40 230 120 40 240 400 phaåm 1) Tìm tổng cầu ngành ? 2) Xác đònh ma trận hệ số kỹ thuật ma trận Leontief ? 3) Xác đònh tỉ phần chi phí sản phẩm hàng hóa ngành ngành khác (kể ngành 2)? 4) Hãy xác đònh tổng hệ số giá trò hàng hóa ngành bán cho ngành khác để làm hàng hóa trung gian (kể ngành 4)? Bài 6.6 Mỗi ngành kinh tế xác đònh tổng sản phẩm vào mức tổng cầu Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A ma trận cầu cuối B sau: 0, 05 0, 25 0,34  A =  0,33 0,10 0,12   0,19 0,38  1800  B =  200   900  1) Giải thích ý nghóa kinh tế phần tử phần tử 0,25 ma trận A phần tử 900 ma trận B ? 2) Tính tổng phần tử cột thứ hai ma trận A giải thích ý nghóa kinh tế ? 3) Tính tổng phần tử dòng thứ ma trận A giải thích ý nghóa kinh tế ? 4) Hãy xác đònh tổng cầu sản phẩm ngành ? Bài 6.7 Cho kinh tế có ngành Quan hệ sản phẩm ngành có ma trận hệ số kỹ thuật ma trận cầu cuối sau: 0, 0,3 0, 0,1  0, 0,1 0,3 0,1   A=  0,3 0,1 0, 0,3     0,1 0, 0,1 0,  150   200   B=  210     220  1) Cho biết ý nghóa kinh tế số 210 ma trận B ? 2) Tìm tổng cầu ngành ? Trang Bài tập Toán cao cấp 3) Xác đònh chi phí đầu vào ngành ? 4) Xác đònh tỉ phần chi phí sản phẩm hành hóa trung gian ngành ? Bài 6.8 Hãy xác đònh tổng cầu sản phẩm tổng chi phí mua sản phẩm đầu vào ngành (xem tổng sản phẩm ngành tổng cầu) biết ma trận hệ số kỹ thuật ma trận cầu cuối sau: 1) 0, 0,3 0,  150    A = 0, 0,1 0,3  B =  200   0,3 0,5 0,   210  2) 0, 0,3 0,1  140    A = 0, 0, 0,3  B =  220  0, 0, 0,  180  Baøi 6.9 Gọi Y mức thu nhập, I mức đầu tư, C mức tiêu dùng, G0 mức chi tiêu cố định, r lãi suất, L lượng cầu tiền, M lượng cung tiền cố định Cho biết G0 = 400 ; M = 2000 ; I = 40 − 25r C = 100 + 0,5Y ; L = 32Y − 250r 1) Hãy lập phương trình cân thu nhập tiêu dùng (IS) 2) Lập phương trình cân tiền tệ (LM) 3) Tìm mức thu nhập lãi suất cân hai thị trường hàng hố tiền tệ GIỚI HẠN Bài 7.1 Tính giới hạn sau: lim x®2 lim x®0 9x - - x +2- 1+ sin x - 1- sin x x sin7x x®0 tg3x lim lim x®4 lim x®0 1+ 2x - x- 1- cosx x2 1- cos2 x x®0 x sin2x lim Bài 7.2 Dùng VCB tương đương tính giới hạn sau: Trang Bài tập Toán cao cấp ln( 1+ 2x sin x) x®0 tg2x lim lim x®0 ( 1- ex ) ( 1- cosx) lim x®0 x3 + sin4 x x®0 lim 5x - 4x x®0 x2 + x lim lim 1+ 3x4 1+ x - sin ( ex- - 1) ln x ( x®0 ) ln 1+ x3 + 2x2 - 3x lim 1+ x ln ( cosx) ln( 1+ x2) x®1 ex - cosx lim x®0 x2 1- 2x 2sin x3 - arctg(- x) + x2 Bài 7.3 Tính giụựi haùn daùng 1Ơ x+1 ổ 2x + 3ử ữ lim ỗ ữ ỗ ữ xđ+Ơ ỗ ữ ố2x + 1ø 3x+4 ỉ x + 2ư ÷ lim ỗ ỗ ữ xđ+Ơ ốx - 3ứ sin x ổ ửsin x limỗ 1+ tgx ữ ữ ỗ ÷ x®0 è1+ sin x ø lim( cosx) sin x ữ ửx- sin x limổ ỗ ỗ ữ xđ0 ố x ứ ổ ỗ1- ữ ữ exLnỗ ữ ỗ ỗ ố x2 ữ ứ ổ limỗ ữ 1+ x ữ ỗ ữ xđƠ ỗ ữ ố xe ứ x2 xđ0 ( ) lim é x2 1+ ln 1- xsinx ù ê ú û x®0 ë lim é sin x2 1- 2x2 ù ê ú û x®0 ë Bài 7.4 Tính giới hạn quy tắc L’hopital ex - e- x - 2x lim x®0 x - sin x lim ( e +e lim x®0 limln x ln x - x - x - 2) cot gx ỉ 1ư - 2÷ ÷ xđ0 ốx sin x x ứ limỗ ỗ ln( cos2x) x®0 sin x ( x®1 ỉ1 x®0 èx limỗ ỗ - e x Baứi 7.5 Tớnh caực giụựi haùn daùng 00 vaứ Ơ x2 ) ữ ÷ 1ø e2x - 1 limx limtgx xđ0 xđ0 lim x x xđ+Ơ sin x limx x®0 ( ) lim cot gx x®0 ổ1 ỗ ỗex lnỗ ỗ ỗ ỗ ố limx ln x ÷ ÷ ÷ 1÷ ÷ ÷ ÷ ø x®0 Trang Bài tập Toán cao cấp Bài 7.6 Tính giới hạn sau 70 ( 3x + 2) ( 2x - 3) lim ( 2x + 1) 30 100 xđƠ tgx - x lim x®0 x - Sinx sin xsin2x sin2011x x®0 x2011 xarctg2x x®2 1+ 3x - 1- 2x x + x2 sin2 3x ln2 ( 1- 2x) + 21x - 1- 4x - ổx ữ limỗ ữ ỗ ữ ỗ xđ0 ốx + 1ứ ữ ) lim sin x + cosx lim x ổ x + 1ử ữ lim ỗ ữ ỗ ữ ỗ xđ+Ơ ốx - 1ứ ữ ( xđ0 lim x®0 lim x®0 lim sin x 7x+4 ổ x + 2ử ữ 10 limỗ ữ ỗ ữ xđƠ ỗ ữ ốx - 5ứ LIEN TUẽC – ĐẠO HÀM – VI PHÂN Bài 8.1 Xét tính liên tục hàm số sau ln x + f (x) = ln x - ìï 2x + - ïï 2 f (x) = ïí ïï x - ïïỵ x + ìï sin x ïï x ¹ f (x) = í x ïï x = ïïỵ ìï ïï x sin x ¹ x f (x) = í ïï x = ïïỵ x > x £ Bài 8.2 Xác đònh a, b để hàm số liên tục R ìï x2 - ïï f (x) = í 2ln x ïï ùùợ a x x = ìï x - ï ïï ax2 - ïỵ ï f (x) = í x £ x > ìï ln x ïï x ¹ f (x) = í x - ïï a x = ïỵ ìï x sin x2 + arcsin4 x + ax3 ïï f (x) = ùớ x2tgx ùù ùùợ 2a x x = Trang Bài tập Toán cao cấp ìï ïï - 2sin x x £ ïï ïï f (x) = í a sin x + b ïï ïï ïï cosx x ³ ïỵ - p p p