Dạy học bài tập toán chủ đề vectơ lớp 10 THPT theo phương pháp dạy học tích cực

Xuất phát từ sự say mê của bản thân, ham muốn học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu sâu hơn về hình học phẳng, với mong muốn có được kiến thức vững hơn về hình học phẳng để chuẩn bị cho việc giản

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN MINH NGÂN

DẠY HỌC BÀI TẬP TOÁN CHỦ ĐỀ “VECTƠ” LỚP 10 THPT THEO PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN VĂN HÀ

Các thầy cô trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, những người đã trực tiếp giảng dạy, truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm quý báu để tôi hoàn thành khoá học

Các thầy cô trong tổ Phương pháp dạy học, khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập và hoàn thành việc nghiên cứu của mình

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo – Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà – người đã trực tiếp dạy dỗ, hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian tôi thực hiện khoá luận này

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân, bạn bè

đã luôn giúp đỡ, động viên và khích lệ để tôi hoàn thành khoá luận này

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi trình bày trong khoá luận này

là kết quả nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy giáo – Nguyễn Văn Hà

Tôi xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của cá nhân mình trong khoá luận này

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Minh Ngân

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

PHẦN 2: NỘI DUNG 3

Chương 1: Cơ sở lí luận 3

1 Phương pháp dạy học tích cực đối với môn Toán 3

1.1 Phương pháp dạy học môn Toán 3

1.1.1 Khái niệm chung về phương pháp 3

1.1.2 Đặc điểm chung về phương pháp 3

1.1.3 Phương pháp dạy học 3

1.1.4 Đặc điểm chung của phương pháp dạy học 4

1.1.5 Hệ thống phân loại các phương pháp dạy học 4

1.2 Phương pháp dạy học tích cực môn Toán 5

1.2.1 Thế nào là tính tích cực học tập 5

1.2.2 Phương pháp dạy học tích cực 7

1.2.3 Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực 7

1.2.4 Một số phương pháp dạy học tích cực môn Toán ở THPT 10

1.2.5 Phương pháp dạy học tích cực với các tình huống điển hình môn Toán 11

2 Bài toán và bài tập toán học 13

2.1 Khái niệm về bài toán và bài tập toán học 13

2.2 Vai trò, ý nghĩa của bài tập toán học 13

2.2.1 Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh 13

2.2.2 Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh 13

2.2.3 Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh 14

2.2.4 Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh 14

2.3 Phân loại bài toán 15

2.4 Phương pháp giải một bài toán 15

Chương 2: Ứng dụng dạy học 18

I Kiến thức cơ bản 18

1 Vectơ 18

1.1 Các định nghĩa 18

1.1.1 Vectơ ? 18

1.1.2 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng 18

1.1.3 Độ dài của vectơ 19

1.1.4 Hai vectơ bằng nhau 19

1.1.5 Góc giữa hai vectơ 20

1.2 Bài tập 20

2 Các phép toán vectơ 24

2.1 Tổng của hai vectơ 24

2.1.1 Định nghĩa tổng của hai vectơ 24

2.1.2 Các tính chất tổng của hai vectơ 24

2.1.3 Các quy tắc cần nhớ 24

2.1.4 Bài tập 25

2.2 Hiệu của hai vectơ 28

2.2.1 Vectơ đối của một vectơ 28

2.2.2 Hiệu của hai vectơ 29

2.2.3 Bài tập 29

2.3 Tích của một vectơ với một số 33

2.3.1 Định nghĩa tích của một vectơ với một số 33

2.3.2 Tính chất tích của một vectơ với một số 34

2.3.3 Điều kiện để hai vectơ cùng phương 34

2.3.4 Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương 34

2.3.5 Bài tập 34

3 Trục tọa độ và hệ trục tọa độ 39

3.1 Các định nghĩa 39

3.1.1 Trục tọa độ 39

3.1.2 Hệ trục tọa độ 40

3.1.3 Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ 40

3.1.4 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ 41

3.1.5 Tọa độ điểm 41

3.1.6 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác 41

3.2 Bài tập 41

B Bài tập luyện tập 45

PHẦN 3: KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đất nước ta đang bước vào giai đoạn Công nghiệp hóa - Hiện đại hóa đất nước với mục tiêu 2020 Việt Nam sẽ từ một nước Nông nghiệp về cơ bản trở thành nước Công nghiệp, hội nhập với Cộng đồng quốc tế Việc đổi mới Giáo dục và Đào tạo theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh là một nhu cầu tất yếu của thời đại, đồng thời là yêu cầu cấp bách cho sự nghiệp phát triển kinh tế, xã hội của nước ta Chính vì vậy, ở các trường phổ thông hiện nay luôn đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học và tích cực sử dụng phương pháp mới trong dạy học nói chung và dạy Toán nói riêng Phương pháp dạy học mới lấy học sinh làm trung tâm, chuyển từ việc truyền đạt tri thức thụ động sang hướng dẫn người học tư duy trong quá trình tiếp cận tri thức, phát huy tối đa các hoạt động tư duy của học sinh, dạy cho người học phương pháp tự học, phát triển năng lực của mỗi cá nhân, tăng cường tính chủ động của học sinh trong quá trình tự học Phương pháp dạy học mới phù hợp với yêu cầu đặt ra đó chính là phương pháp dạy học tích cực

Hình học là một lĩnh vực khó của Toán học, nó có tính hệ thống, tính lôgic chặt chẽ và tính trừu tượng hóa cao độ, đặc biệt là hình học phẳng Vậy nên để giải được một bài toán hình học phẳng, học sinh phải có kiến thức thật vững chắc

Xuất phát từ sự say mê của bản thân, ham muốn học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu sâu hơn về hình học phẳng, với mong muốn có được kiến thức vững hơn về hình học phẳng để chuẩn bị cho việc giảng dạy sau khi ra trường, cùng với sự hướng dẫn, động viên, khích lệ của thầy giáo Nguyễn Văn Hà, tôi

đã chọn Dạy học bài tập Toán chủ đề “Vectơ” lớp 10 THPT theo phương

pháp dạy học tích cực làm đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc dạy học bài tập phần vectơ trong hình học phẳng của chương trình Toán lớp 10 phổ thông theo phương pháp dạy học tích cực nhằm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận chung: Phương pháp dạy học tích cực trong môn Toán

Tìm hiểu nội dung bài tập chương trình chương 1 của sách Hình học nâng cao lớp 10

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Bài tập phần vectơ trong hình học phẳng

Phạm vi nghiên cứu: Chương 1 sách Hình học nâng cao lớp 10

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận

Phương pháp điều tra quan sát

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Cấu trúc khóa luận

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung

Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Ứng dụng dạy học

PHẦN 2: NỘI DUNG

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1 PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC ĐỐI VỚI MÔN TOÁN

1.1 Phương pháp dạy học môn Toán

1.1.1 Khái niệm chung về phương pháp

Phương pháp được hiểu là con đường, cách thức thực hiện một nhiệm

vụ nào đó nhằm đạt được những mục đích nhất định đã đề ra

1.1.2 Đặc điểm chung của phương pháp

 Phương pháp có tính khái quát

Phương pháp là con đường, cách thức thực hiện một nhiệm vụ nào đó nhằm đạt được những mục đích nhất định đã đề ra Như vậy, con đường, cách thức ở đây được hiểu là một tập hợp các hoạt động, các thao tác cần thiết có tính chất chung nhất, khái quát nhất mà mọi người khác nhau cần phải hiểu và hoạt động như thế để đạt được mục đích đề ra

 Phương pháp có chức năng phương tiện tư tưởng

Phương pháp là con đường, là cách thức để đạt được những mục đích nhất định Đó chính là phương tiện tư tưởng để đạt tới mục đích đã định

1.1.3 Phương pháp dạy học (PPDH)

PPDH là những cách thức hoạt động và giao lưu của người giáo viên gây nên những hoạt động và giao lưu cần thiết của học sinh trong quá trình dạy học nhằm đạt được các mục đích dạy học

Theo quan điểm hoạt động thì PPDH bao gồm hai mặt hoạt động: hoạt động dạy học của giáo viên giữ vai trò chủ đạo, tổ chức và điểu khiển toàn bộ quá trình dạy học; hoạt động học tập của học sinh giữ vai trò chủ động, tích cực và sáng tạo

1.1.4 Đặc điểm chung của phương pháp dạy học

 PPDH có tính khoa học

Tính khoa học của PPDH chính là tính khoa học của các quy luật xã hội, chúng phát huy tác dụng thông qua các hoạt động hướng đích và tự giác của con người

 PPDH có tính nghệ thuật

Tính nghệ thuật của PPDH chính là sự ứng xử của người giáo viên bao gồm tư thế, tác phong, lời nói, cử chỉ, hành động và đặc biệt là sự xử lí các tình huống sư phạm như: đánh giá, nhận xét, bình luận của người giáo viên trước học sinh trong quá trình tổ chức dạy học Do vậy có thể cùng nội dung dạy học, cùng cách tổ chức dạy học giống nhau, cùng điều kiện như nhau nhưng hiệu quả của quá trình dạy học không giống nhau, hiệu quả đó còn phụ thuộc vào tài năng sư phạm của từng người giáo viên cụ thể

 PPDH có tính chất khái quát

PPDH thực chất là sự khái quát hóa các hình ảnh về cách thức hoạt động và giao lưu cần thiết của học trò trong quá trình dạy học

1.1.5 Hệ thống phân loại các phương pháp dạy học

PPDH có tính nhiều chiều, nên hiện nay việc hình thành một hệ thống phân loại các PPDH chưa hoàn chỉnh và chưa có sự thống nhất trên phạm vi quốc tế Về mặt logic, việc thống nhất các PPDH rất khó có thể đạt được bởi PPDH liên quan tới hoạt động của người giáo viên, mà hoạt động của người giáo viên mang tính nghệ thuật cao, mang đặc thù của cá nhân người giáo viên Tùy thuộc vào việc người ta có thể xem xét PPDH dưới những phương diện khác nhau, từ đó đưa ra các PPDH thành một tổng thể theo các phương diện khác nhau:

PPDH với các chức năng điều hành quá trình tổ chức dạy học:

- PPDH với việc gợi động cơ, tạo tiền đề xuất phát

- PPDH với truyền thụ ti thức mới: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định lí toán học, PPDH bài tập toán học

- PPDH với hoạt động củng cố: PPDH củng cố

- PPDH với hướng dẫn học ở nhà: PPDH hướng dẫn học ở nhà

PPDH truyền thống với cách truyền thông tin tới học sinh bằng hoạt động bên ngoài:

- PPDH thuyết trình

- PPDH giảng giải minh họa

- PPDH gợi mở - vấn đáp

- PPDH trực quan

PPDH với tình huống điển hình trong quá trình dạy học:

- Môn Toán: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH quy tắc và phương pháp toán học, PPDH bài tập toán học

- Môn Vật lí: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định luật vật lí, PPDH bài tập vật lí, PPDH thực hành thí nghiệm,

- Môn Văn: PPDH kể chuyện văn học, PPDH thơ ca, PPDH phân tích tác phẩm văn học,

PPDH với việc phát triển tư duy học sinh:

Tính tích cực học tập thực chất là tính tích cực nhận thức, bởi học tập là trường hợp riêng của nhận thức Tính tích cực nhận thức là trạng thái hoạt động nhận thức của học sinh đặc trưng ở khát vọng hiểu biết, có trí lực và có nghị lực cao trong quá trình chiếm lĩnh tri thức Tính tích cực nhận thức trong hoạt động học tập liên quan trước hết với động cơ học tập Động cơ đúng tạo ra hứng thú Hứng thú là tiền đề của tự giác Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lí tạo nên tính tích cực Tính tích cực sản sinh ra tư duy độc lập Suy nghĩ độc lập là mầm mống của sáng tạo Ngược lại, phong cách học tập tích cực, độc lập, sáng tạo sẽ phát triển tính tự giác, hứng thú, nuôi dưỡng động cơ học tập

Tính tích cực trong học tập biểu hiện quan trọng ở hoạt động trí tuệ, thường được biểu hiện ở học sinh là chủ thể của quá trình nhận thức như: Học sinh hăng hái trả lới các câu hỏi của giáo viên, bổ sung các câu trả lời của bạn, thích được phát biểu ý kiến của mình về các vấn đề được nêu ra; thường nêu thắc mắc hay đề nghị giáo viên giải thích cặn kẽ những vấn đề chưa đủ rõ; chủ động vận dụng linh hoạt các kiến thức, kĩ năng đã học để nhận thức các vấn đề mới; mong muốn đóng góp với thầy cô và bạn bè các thông tin mới lấy từ các nguồn khác nhau; tập trung chú ý vào các vấn đề đang học, kiên trì thực hiện các bài tập, không chán nản trước những khó khăn

Tính tích cực của học sinh thể hiện ở các mức độ:

- Sao chép - bắt chước: Học sinh chăm chú quan sát, kiên trì làm theo các động tác của giáo viên Học sinh tích cực luyện tập dưới sự hướng dẫn của giáo viên hoặc bạn bè

- Tìm tòi - độc lập: Học sinh không muốn làm theo cách giải quyết vấn

đề của giáo viên hoặc của bạn mà thích tự tìm tòi cách giải quyết khác hợp lý hơn, ngắn gọn hơn các vấn đề đặt ra mà không cần có sự hướng dẫn của giáo viên

- Sáng tạo: Học sinh tự mình đề xuất ý tưởng mới, tìm ra cách giải quyết vấn đề một cách mới mẻ, độc đáo, hữu hiệu khác với cách giải quyết các vấn

đề đã có

1.2.3 Đặc trưng của PPDH tích cực

 Dạy học phải kích thích nhu cầu và hứng thú học tập của học sinh

PPDH tích cực chú trọng đến sự quan tâm và hứng thú học tập của học sinh nhằm phát huy cao độ tính tích cực, tự lực, rèn luyện cho học sinh cách làm việc độc lập, phát triển tư duy sáng tạo Dưới sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh được chủ động lựa chọn vấn đề mà mình quan tâm, ham thích, tự tìm tòi cách giải quyết vấn đề và trình bày kết quả

Để kích thích nhu cầu và hứng thú học tập của học sinh, giáo viên cần thiết kế các tình huống học tập sao cho kích thích, lôi cuốn được sự tham gia tích cực, chủ động của người học và đảm bảo nguyên tắc phân hóa trong dạy học Trong tổ chức hoạt động, giáo viên khó có thể làm cho tất cả học sinh đều hứng thú với nội dung của bài học Như vậy, giáo viên cần phải có sự linh hoạt và nghệ thuật sư phạm Cần khuyến khích, động viên và hỗ trợ kịp thời

để đảm bảo cho tất cả học sinh đều chủ động tham gia một cách tích cực

Vì vậy, việc làm cần thiết và đầu tiên của người giáo viên trong dạy học theo phương pháp tích cực là phải làm cho học sinh có nhu cầu học tập và bị cuốn hút vào nhiệm vụ học tập

 Dạy học thông qua các hoạt động học tập của học sinh

Một trong những yêu cầu của PPDH tích cực chính là khuyến khích người học tự lực khám phá những điều chưa biết trên cơ sở những điều đã biết Trong PPDH tích cực, người học - đối tượng của hoạt động "dạy", đồng

thời là chủ thể của hoạt động "học" - được cuốn hút vào các hoạt động học tập

do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình chưa rõ chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã được giáo viên sắp đặt.Tham gia vào các hoạt động học tập, người học được đặt vào các tình huống của thực tế, người học được trực tiếp quan sát, thảo luận, trao đổi, làm thí nghiệm, được khuyến khích đưa ra các giải pháp giải quyết vấn đề đặt

ra theo cách suy nghĩ của mình, được động viên trình bày quan điểm riêng của

cá nhân Qua đó, người học vừa chiếm lĩnh được kiến thức và kĩ năng mới, vừa làm chủ được cách thức xây dựng kiến thức Từ đó người học được bộc

lộ, rèn luyện và phát huy tối đa tính tự chủ và sáng tạo của mình

 Dạy và học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học

PPDH tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho học sinh là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học đồng thời là một mục tiêu dạy học Trong dạy học, cần rèn cho học sinh phương pháp tự học, rèn luyện cho học sinh có được phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự chiếm lĩnh tri thức: biết

tự lực phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong thực tiễn, biết linh hoạt vận dụng những điều đã học vào những tình huống mới, từ đó tạo cho học sinh lòng say mê học tập, ham hiểu biết, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi học sinh và kết quả học tập sẽ tăng lên

PPDH tích cực tập trung trọng tâm vào hoạt động học, tạo ra sự chuyển biến tự việc học tập thụ động sang tự học tập chủ động, rèn luyện phương pháp tự học, tự nghiên cứu, phát triển năng lực học tập cho học sinh

 Tăng cường hoạt động học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác

Trong một lớp học, trình độ kiến thức, tư duy của học sinh không thể đồng đều tuyệt đối Vậy nên trong dạy và học tích cực, giáo viên cần quan tâm đến sự phân hóa về trình độ nhận thức, cường độ, tiến độ hoàn thành các nhiệm vụ học tập của mỗi học sinh Tùy theo năng lực và nhu cầu của từng học sinh mà giáo viên đưa ra các nhiệm vụ phù hợp với khả năng của mỗi cá nhân nhằm phát huy khả năng tối đa của người học

Trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều được hình thành hoàn toàn bằng con đường độc lập cá nhân Để người học có điều kiện bộc lộ, phát triển khả năng của mình, cần đặt họ vào môi trường học tập hợp tác trong các mối quan hệ thầy – trò, trò – trò Trong mối quan hệ tương tác

đó, thông qua việc thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến của mỗi cá nhân được bộc lộ, qua đó người học nâng mình lên một trình độ mới

Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức là hoạt động hợp tác trong nhóm nhỏ Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập, nhất

là phải giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc thực sự xuất hiện nhu cầu phối hợp giữa các cá nhân để hoàn thiện nhiệm vụ chung Tuy nhiên, để học tập hợp tác có hiệu quả, giáo viên cần hình thành cho người học thói quen học tập

tự giác, tôn trọng, giúp đỡ lẫn nhau Nhiệm vụ được giao phải rõ ràng, cụ thể, mỗi thành viên trong nhóm đều được phân công, xác định rõ nhiệm vụ, trách nhiệm của mình, qua đó tính cách của mỗi thành viên được bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý thức tổ chức, tinh thần tương trợ, tránh tình trạng dựa dẫm, ỷ lại, phá rối gây mất thời gian, hoạt động hợp tác kém hiệu quả

 Kết hợp sự đánh giá của giáo viên với sự đánh giá của học sinh

Trong dạy học, việc đánh giá học sinh không chỉ nhằm mục đích nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động học của trò mà còn tạo điều kiện nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động dạy của giáo viên

Trong PPDH tích cực, giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh phát triển

kĩ năng tự đánh giá kiến thức của mình để tự điều chỉnh cách học tập, giáo viên cũng phải tạo điều kiện để các em học sinh tham gia vào việc đánh giá lẫn nhau Từ đó giúp học sinh biết tự đánh giá đúng và điều chỉnh kịp thời các hoạt động học tập của mình Đó chính là năng lực rất cần thiết cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà trường cần trang bị cho các em học sinh Kiểm tra – đánh giá giúp giáo viên thu được thông tin phản hồi để kịp thời điều chỉnh hoạt động dạy, chỉ đạo hoạt động học

1.2.4 Một số phương pháp dạy học tích cực môn Toán ở THPT

 Phương pháp gợi mở, vấn đáp

Giáo viên đưa ra một hệ thống câu hỏi mang tính chất gợi mở và yêu cầu học sinh trả lời lần lượt từng câu hỏi một, dần dần từng bước dẫn tới kiến thức toán học cần thiết cho học sinh

Hệ thống câu hỏi gợi mở mà giáo viên đưa ra trong tổ chức dạy học cần đảm bảo yêu cầu:

- Các câu hỏi đưa ra phải phù hợp với các loại đối tượng học sinh trong lớp học: giỏi, khá, trung bình, yếu

- Mỗi câu hỏi phải có nội dung chính xác, gọn gàng, rõ ràng và không gây ra sự nhập nhằng khó hiểu cho học sinh

- Giáo viên có thể đặt nhiều câu hỏi khác nhau cho cùng một nội dung dạy học, giúp cho học sinh thấy được tính chất đa dạng, phong phú của kiến thức

- Các câu hỏi phải gợi ra nhiều vấn đề để học sinh phải suy nghĩ, hạn chế sử dụng các câu hỏi mà câu trả lời chỉ là có hoặc không, trong trường hợp bắt buộc sử dụng phải kèm theo yêu cầu tại sao có, tại sao không hoặc đúng tại sao, sai tại sao

- Đối với một số các câu hỏi khó giáo viên nên dự kiến câu trả lời và chuẩn bị câu hỏi phụ để có thể nhanh chóng trợ giúp học sinh khi cần thiết

- Sử dụng các câu hỏi gợi mở trong dạy học toán: giáo viên nêu ra câu hỏi cho cả lớp suy nghĩ, sau đó gọi học sinh trả lời, rồi gọi học sinh khác nhận xét về câu trả lời đó

- Trong tổ chức dạy học trên lớp giáo viên có thể khuyến khích học sinh tự đặt câu hỏi để các học sinh khác trả lời

 Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

Giáo viên tạo ra các tình huống gợi vấn đề và đặt học sinh vào trong các tình huống đó, để học sinh trực tiếp tham gia vào việc phát hiện vấn đề và tìm cách giải quyết vấn đề đó một cách chủ động, tự giác, tích cực và sáng tạo,

thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục tiêu học tập khác

Tình huống gợi vấn đề mà giáo viên tạo ra phải đảm bảo được ba yêu cầu sau đây:

- Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa yêu cầu thực tiễn với trình độ nhận thức của học sinh Từ đó học sinh phải nhận thức được một khó khăn nhất định trong tư duy hoặc trong hành động mà vốn hiểu biết sẵn có của bản thân mình chưa đủ vượt qua Nói cách khác, học sinh chưa

đủ để vượt qua, học sinh chưa giải đáp được và cũng chưa có quy tắc nào có tính chất thuật toán để giải đáp câu hỏi nảy sinh trong tình huống đó

- Gợi nhu cầu nhận thức: Tình huống phải làm bộc lộ sự khiếm khuyết

về kiến thức và kĩ năng của học sinh để học sinh tự cảm thấy cần thiết phải bổ sung, điều chỉnh, hoàn thiện tri thức và kĩ năng bằng cách tham gia giải quyết vấn đề đó

- Gây dậy niềm tin ở khả năng bản thân: Tình huống cần phải khơi dậy cho học sinh thấy rõ được rằng tuy họ chưa có ngay lời giải nhưng đã có một

số kiến thức, kỹ năng liên quan gần gũi đến vấn đề đặt ra và nếu tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết được vấn đề đó

1.2.5 Phương pháp dạy học tích cực với các tình huống điển hình môn toán

Trong chương trình môn toán, ở những thời điểm khác nhau, có những tình huống được lặp đi, lặp lại nhiều lần, điển hình nhất là các tình huống như sau: dạy học khái niệm toán học, dạy học định lí toán học, dạy học giải bài tập toán học

 Dạy học khái niệm

- PPDH thụ động ( PPDH ít tích cực):

+ Công bố định nghĩa khái niệm toán học

+ Hoạt động luyện tập củng cố khái niệm toán học

- PPDH tích cực:

+ Phân tích tìm các dấu hiệu đặc trưng của khái niệm toán học

+ Hình thành định nghĩa khái niệm toán học

+ Nêu định nghĩa khái niệm toán học

+ Hoạt động luyện tập củng cố

 Dạy học định lí toán học

- PPDH thụ động (PPDH ít tích cực):

+ Nêu nội dung định lí toán học

+ Hoạt động chứng minh định lí toán học

+ Hoạt động luyện tập, củng cố định lí

- PPDH tích cực:

+ Gợi động cơ học tập định lí

+ Dự đoán hoặc suy diễn dẫn tới định lí Phát biểu định lí

+ Phân tích tìm đường lối chứng minh định lí toán học Chứng minh

+ Tóm tắt nội dung bài toán

+ Hoạt động chứng minh toán học

- PPDH tích cực:

+ Tìm hiểu nội dung đề bài

+ Phân tích tìm đường lối chứng minh toán học

+ Hoạt động chứng minh toán học

+ Kiểm tra, nghiên cứu sâu và khai thác bài toán

 Kết luận:

Đối với môn Toán, do đặc thù của môn học, tôi nhận thấy rằng tư tưởng cốt lõi và trọng tâm nhất của việc dạy học toán theo phương pháp tích cực chính là tổ chức cho học sinh chủ động xây dựng định nghĩa khái niệm toán học, chủ động tìm đường lối chứng minh toán học

2 BÀI TOÁN VÀ BÀI TẬP TOÁN HỌC

2.1 Khái niệm về bài toán và bài tập toán học

Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách

có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích xác định, nhiều khi trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay

Bài tập toán học là bài toán trong đó có những yêu cầu đặt ra cho người học nhằm đạt được mục đích dạy học nào đó

2.2 Vai trò, ý nghĩa của bài tập toán học

2.2.1 Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

Trong thực tế, một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học và các kết luận toán học Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ kiện của bài toán, huy động tất cả các kiến thức đã cho trong đề toán

và các kiến thức đã biết khác có liên quan đến bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới nữa Cuối cùng, chúng ta đi đến được lời giải của bài toán

Như vậy, khi giải một bài toán, không chỉ các kiến thức đã có trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng được củng

cố qua lại nhiều hơn

2.2.2 Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

Đặc điểm nổi bật của môn Toán là một môn khoa học suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề Do vậy nên lời giải của bài toán là một hệ thống

hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rất rõ ràng

Vì vậy, việc giải một bài toán sẽ trực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận hợp lôgic: suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn

Chúng ta biết rằng sẽ không có một phương pháp chung nào để giải được mọi bài toán Mỗi bài toán có một hình, một vẻ khác nhau, muốn tìm được lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, kiểm tra kết quả, biết cách liên hệ với các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp khái quát hóa

Như vậy, qua việc giải bài toán, năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện và phát triển

2.2.3 Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ

bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, nghĩa là giải quyết được các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó

Trong việc giảng dạy toán thì bài toán lại tham gia vào trong mọi tình huống của quá trình dạy học môn Toán

Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức gây tình huống để dẫn dắt học sinh đi đến định nghĩa khái niệm Bài toán được

sử dụng đã nêu ra làm các ví dụ và phản ví dụ minh họa cho khái niệm Bài toán được sử dụng để luyện tập, củng cố và vận dụng khái niệm

Trong giảng dạy định lí toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lí, đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một chương nào đó của môn học

Trong luyện tập toán học: Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập toán học Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau nhằm mục đích giúp học sinh củng cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào đó

2.2.4 Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh

Một đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động đều có mục đích rất rõ ràng Khi giảng một bài toán ta luôn có định hướng mục đích rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con người

Để giải một bài toán nhất là đối với các bài toán khó, ta phải vượt qua rất nhiều khó khăn, cần phải kiên trì nhẫn nại và nhiều khi ta phải có quyết tâm rất lớn mới có thể giải được bài toán đó Như vậy, ta nhận thấy rằng hoạt

động giải bài toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người

2.3 Phân loại bài toán

 Phân loại theo hình thức bài toán

- Bài toán chứng minh: là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một cách rõ ràng trong đề bài của bài toán

- Bài toán tìm tòi: là bài toán mà trong đó kết luận của nó chưa thể hiện

rõ trong đề bài của bài toán

 Phân loại theo phương pháp giải toán

- Bài toán có angôrit giải: là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một angôrit nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó

- Bài toán không có angôrit giải: là bài toán mà phương pháp giải của

nó không theo một angôrit nào đó hoặc không mang tính chất angôrit nào đó

 Phân loại theo nội dung bài toán

- Bài toán số học

- Bài toán đại số

- Bài toán hình học

 Phân loại theo ý nghĩa giải toán

- Bài toán củng cố kỹ năng: là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học hoặc một vài kiến thức hay kỹ năng nào đó

- Bài toán phát triển tư duy: là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng như kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

2.4 Phương pháp giải một bài toán

Phương pháp tìm lời giải của bài toán: dựa theo 4 bước của G.POLYA

- Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi, biến thiên của bài toán?

- Xác định ẩn và giá trị hằng của bài toán

- Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái cần tìm hay không?

2.4.2 Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Chúng ta có thể tiến hành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:

- Phương pháp đi xuôi:

Xuất phát từ những điều đã cho (giả thiết của bài toán) bằng suy luận hợp lôgic, từng bước ta rút ra kết luận hợp lôgic cho đến khi tìm được kết luận

trùng với kết luận của bài toán (tìm được cái cần tìm)

- Phương pháp đi ngược:

Xuất phát từ kết luận của bài toán và bằng suy luận của hợp lôgic, từng bước đi ngược lên để tìm ra các tiền đề lôgic của chúng, cho đến khi tìm được

những tiền đề lôgic trùng với giả thiết thì dừng

2.4.3 Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh

đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán

2.4.4 Bước 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán

Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm được của bài toán, khuyến khích học sinh tìm các cách giải khác nếu có của bài toán, nghiên cứu các bài toán có lien quan với bài toán đã cho: bài toán ngược, bài toán khái quát hóa, bài toán tương tự

Ví dụ: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:

Tính các tổng sau:

𝑆1= 11.2+

12.3+ ⋯ +

1𝑛(𝑛 + 1)

𝑆2 = 1 + 1 + ⋯ + 1

Ta nhận thấy rằng hai tổng trên là hai dạng tương tự nhau: tổng của n phân số có tử số đều là 1, mẫu là tích của hai và ba số liên tiếp

Vậy nên, phương pháp chung để tính hai tổng 𝑆1 và 𝑆2 là tương tự nhau: phân tích mỗi số hạng của hai tổng thành hiệu của hai phân số sao cho

từ số hạng thứ hai trở đi thì phân số bị trừ của phân số này sẽ là phân số trừ của số hạng liền trước đó

1

𝑛−

1

𝑛 + 1Cộng theo vế của các đẳng thức trên, ta được:

𝑆1= 1 − 1

𝑛 + 1Vận dụng cách tìm tổng 𝑆1 ở trên ta tính tổng 𝑆2 như sau:

12.3 ;

12.3.4=

12

12.3−

13.4 ;

13.4.5 =

12

13.4−

14.5 ; …

 1

𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) =

12

1𝑛(𝑛 + 1)−

1(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) Cộng theo vế của các đẳng thức trên, ta được:

𝑆2 =12

11.2−

1(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) Tương tự, hãy tính tổng sau:

𝑃 = 11.3+

13.5+ ⋯ +

199.101

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như: 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 , … được gọi

là vectơ- không

1.1.2 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Hai vectơ và 𝐶𝐷𝐴𝐵 được gọi là cùng phương nếu chúng lần lượt nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

𝐴𝐵

// 𝐶𝐷 ⇔ 𝐴𝐵 // 𝐶𝐷 hoặc 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 thẳng hàng

Hai vectơ cùng phương 𝐴𝐵 và 𝐶𝐷 được gọi là cùng hướng, nếu chiều

từ 𝐴 đến 𝐵 trùng với chiều từ 𝐶 đến 𝐷 Kí hiệu là 𝐴𝐵 ↑↑ 𝐶𝐷

Hai vectơ cùng phương 𝐴𝐵 và 𝐶𝐷 được gọi là ngược hướng, nếu chiều

từ 𝐴 đến 𝐵 ngược với chiều từ 𝐶 đến 𝐷 Kí hiệu là 𝐴𝐵 ↑↓ 𝐶𝐷

𝐴𝐵

↑↓ 𝐶𝐷 ⇔ 𝐴𝐵 // 𝐶𝐷 và hai tia 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 ngược hướng

Chú ý:

+ Vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ

+ Hai vectơ cùng hướng với một vectơ khác vectơ – không thì hai vectơ đó cùng hướng với nhau

+ Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi đã có hai vectơ đó cùng phương

1.1.3 Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ 𝐴𝐵 chính là độ dài đoạn thẳng 𝐴𝐵 Kí hiệu là 𝐴𝐵 Như vậy 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐴𝐵

Theo đó, độ dài của vectơ – không bằng 0

1.1.4 Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ 𝐴𝐵 và 𝐶𝐷 được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng phương, cùng hướng và cùng độ dài Kí hiệu 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷

Chú ý:

+ Quan hệ bằng nhau giữa hai vectơ là một quan hệ tương đương trên tập các vectơ Tập các vectơ bằng nhau tạo thành một lớp tương đương và được kí hiệu bằng một chữ cái thường và có mũi tên trên đầu như: 𝑎 , 𝑏 , 𝑥 , 𝑦 , …

+ Mọi vectơ – không đều bằng nhau và kí hiệu là 0

+ Nếu cho vectơ 𝑎 và điểm 𝑂 thì có một điểm 𝐴 duy nhất sao cho 𝑂𝐴

1.1.5 Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ 𝑎 , 𝑏 đều khác 0 Tự một điểm 𝑂 nào đó, ta vẽ các vectơ 𝑂𝐴

= 𝑎 , 𝑂𝐵 = 𝑏 Khi đó số đo của góc 𝐴𝑂𝐵 được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ 𝑎 và 𝑏 Kí hiệu (𝑎 , 𝑏 )

Quy ước: nếu ít nhất một trong hai vectơ 𝑎 và 𝑏 là vectơ – không thì ta

có thể xem 𝑎 , 𝑏 có giá trị tùy ý trong đoạn 0°; 180°

Xét xem vectơ nào cùng phương với mọi vectơ ?

Dễ thấy, vectơ – không cùng phương với mọi vectơ

Hướng dẫn:

Xét xem 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶 có cùng phương không?

Hãy xét vị trí của ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶

Dễ thấy, nếu điểm 𝐴 nằm trong đoạn 𝐵𝐶 thì 𝐴𝐵 ↑↑ 𝐴𝐶

Nếu điểm 𝐴 nằm ngoài đoạn 𝐵𝐶 thì 𝐴𝐵 ↑↓ 𝐴𝐶

Bài 3 (Bài 3 – SBT – Tr.5):

Cho ba vectơ 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 cùng phương Chứng tỏ rằng có ít nhất hai vectơ trong chúng có cùng hướng

Hướng dẫn: Hãy xét các trường hợp có thể xảy ra:

+ Nếu có ít nhất một vectơ trong chúng là vectơ – không

Do vectơ – không cùng phương với mọi vectơ nên ta dễ thấy hai cặp vectơ cùng phương

+ Nếu cả ba vectơ trên đều khác vectơ – không, ta có:

Nếu 𝑎 ngược hướng với 𝑏 và 𝑎 ngược hướng với 𝑐 thì hai vectơ 𝑏 và 𝑐 cùng hướng với nhau

Vậy ta có điều cần chứng minh

Bài 4:

Cho ∆𝐴𝐵𝐶, vẽ các trung tuyến 𝐶𝑀 và 𝐵𝑁 cắt nhau tại 𝐺, nối 𝑀𝑁 Gọi

𝐸, 𝐹 lần lượt là trung điểm của 𝐺𝐵, 𝐺𝐶

a) Vectơ 𝐸𝐹 cùng phương với các vectơ nào?

b) Vectơ 𝐸𝐹 cùng hướng với vectơ nào?

b) Hãy xét xem vectơ 𝐸𝐹 có cùng hướng với vectơ 𝑀𝑁 và 𝐵𝐶 hay không ?

Hướng dẫn:

Chứng minh 𝑀𝑁//𝐴𝐵 và 𝐸𝐹//𝐴𝐵 ? Dễ thấy 𝑀𝑁//𝐸𝐹

Hãy xét xem 𝑀𝑁 và 𝐵𝐴 có cùng hướng hay không ?

𝐸𝐹

và 𝐵𝐴 có cùng hướng hay không ?

Từ đó đưa ra kết luận hai vectơ 𝑀𝑁 và 𝐸𝐹 có cùng hướng hay không ?

F

A

E

C B