I. Kiến thức cơ bản
3. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ
3.1.6. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm
giác.
Nếu 𝑃 là trung điểm của đoạn thẳng 𝑀𝑁 thì
𝑥𝑃 =𝑥𝑀 + 𝑥𝑁
2 ; 𝑦𝑃 =
𝑦𝑀 + 𝑦𝑁 2 .
Nếu 𝐺 là trọng tâm của tam giác 𝐴𝐵𝐶 thì
𝑥𝐺 =𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 3 ; 𝑦𝐺 = 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 3 . 3.2. Bài tập 3.2.1. Bài tập cơ bản Bài 1 (Bài 30 – SGK – Tr.31):
Tìm tọa độ của các vectơ sau trong mặt phẳng tọa độ
𝑎 = −𝑖 ; 𝑏 = 5𝑗 ; 𝑐 = 3𝑖 − 4𝑗 ; 𝑑 =1
Hướng dẫn:
Áp dụng định nghĩa tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ, ta có:
𝑎 = −1 ; 0 , 𝑏 = 0 ; 5 , 𝑐 = 3 ; −4 , 𝑑 = −1 2 ; 1 2 , 𝑒 = 0,15 ; 1,3 , 𝑓 = 𝜋 ; −𝑐𝑜𝑠24° . Bài 2 (Bài 31 – SGK – Tr.31): Cho 𝑎 = 2 ; 1 , 𝑏 = 3 ; 4 , 𝑐 = (7 ; 2). a) Tìm tọa độ của vectơ 𝑢 = 2𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 .
b) Tìm tọa độ của vectơ 𝑥 sao cho 𝑥 + 𝑎 = 𝑏 − 𝑐 . c) Tìm các số 𝑘, 𝑙 để 𝑐 = 𝑘𝑎 + 𝑙𝑏 .
Hướng dẫn:
Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, ta tính được: a) 𝑢 = 2 ; 8 .
b) Ta có 𝑥 + 𝑎 = 𝑏 − 𝑐 𝑥 = −𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑥 = −6 ; 1 .
c) Ta có 𝑘𝑎 + 𝑙𝑏 = 2𝑘 + 3𝑙 ; 𝑘 + 4𝑙
để 𝑐 = 𝑘𝑎 + 𝑙𝑏 thì 2𝑘 + 3𝑙 = 7𝑘 + 4𝑙 = 2 .
Giải hệ phương trình ta được 𝑘 = 4,4 ; 𝑙 = −0,6.
Bài 3 (Bài 32 – SGK – Tr.31):
Cho 𝑢 =
2 1
𝑖 − 5𝑗 , 𝑣 = 𝑘𝑖 − 4𝑗 . Tìm các giá trị của 𝑘 để hai vectơ
𝑢 , 𝑣 cùng phương.
Hướng dẫn:
Hai vectơ 𝑢 và 𝑣 cùng phương khi nào ?
Từ đó tìm các giá trị của 𝑘 để hai vectơ 𝑢 , 𝑣 cùng phương. Dễ thấy 𝑢 và 𝑣 cùng phương khi và chỉ khi
2𝑘 =4
5 𝑘 = 2 5 .
Bài 4 (Bài 43 – SBT – Tr.12):
Cho các điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 trên trục 𝑂𝑥:
a) Tìm tọa độ các điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶.
b) Tính , 𝐵𝐶𝐴𝐵 , 𝐶𝐴 , 𝐴𝐵 + 𝐶𝐵 , 𝐵𝐴 − 𝐵𝐶 , 𝐴𝐵 . 𝐵𝐴 .
Hướng dẫn:
Áp dụng định nghĩa và cách tính độ dài đại số của vectơ trên trục, ta dễ dàng tính được: a) 𝐴, 𝐵, 𝐶 có tọa độ lần lượt là 2 ; 4 ; −3. b) 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 = 4 − 2 = 2, 𝐵𝐶 = 𝑂𝐶 − 𝑂𝐵 = −7, 𝐶𝐴 = 𝑂𝐴 − 𝑂𝐶 = 5 ; 𝐴𝐵 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 − 𝐵𝐶 = 2 + 7 = 9 ; 𝐵𝐴 − 𝐵𝐶 = −𝐴𝐵 − 𝐵𝐶 = −2 + 7 = 5 (hoặc 𝐵𝐴 − 𝐵𝐶 = 𝐶𝐵 + 𝐵𝐴 = 𝐶𝐴 = 5) 𝐴𝐵 . 𝐵𝐴 = −𝐴𝐵 2 = −4. Bài 5 (Bài 44 – SBT – Tr.13):
Trên trục (𝑂 ; 𝑖 ) cho hai điểm 𝑀 và 𝑁 có tọa độ lần lượt là −5 và 3. Tìm tọa độ điểm 𝑃 trên trục sao cho
𝑃𝑀 𝑃𝑁 = − 1 2 Hướng dẫn:
Bằng cách phân tích 𝑃𝑀 và 𝑃𝑁 theo 𝑂𝑀 , 𝑂𝑁 , 𝑂𝑃 , ta tìm được tọa độ
của 𝑂𝑃 như sau: Ta có: 𝑃𝑀 𝑃𝑁 = − 1 2 2𝑃𝑀 = −𝑃𝑁 2 𝑂𝑀 − 𝑂𝑃 = −(𝑂𝑁 − 𝑂𝑃 ) 𝑂𝑃 =1 3 2𝑂𝑀 + 𝑂𝑁 = 1 3 2. −5 + 3 = −7 3
Vậy điểm 𝑃 có tọa độ là 7.
3 B A O x C
3.2.2. Bài tập nâng cao
Bài 1 (Bài 34 – SGK – Tr.31):
Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm 𝐴 −3 ; 4 , 𝐵 1 ; 1 , 𝐶(9 ; −5).
a) Chứng minh rằng ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 thẳng hàng.
b)Tìm tọa độ điểm 𝐷 sao cho 𝐴 là trung điểm của 𝐵𝐷.
c) Tìm tọa độ điểm 𝐸 trên trục 𝑂𝑥 sao cho 𝐴, 𝐵, 𝐸 thẳng hàng.
Hướng dẫn:
a) Xác định tọa độ 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶 ?
Ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 thẳng hàng khi nào?
b) Giả sử 𝐷 = (𝑥 ; 𝑦).
𝐴 là trung điểm của 𝐵𝐷 khi nào?
c) Xác định tọa độ của điểm 𝐸 và 𝐴𝐸 dưới dạng ẩn số. Điều kiện để ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐸 thẳng hàng?
Từ đó suy ra tọa độ điểm 𝐸 cần tìm.
Bài 2 (Bài 36 – SGK – Tr.31):
Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm 𝐴 −4 ; 1 , 𝐵 2 ; 4 , 𝐶 2 ; −2 .
a)Tìm tọa độ của trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶.
b)Tìm tọa độ điểm 𝐷 sao cho 𝐶 là trọng tâm của tam giác 𝐴𝐵𝐷. c)Tìm tọa độ điểm 𝐸 sao cho 𝐴𝐵𝐶𝐸 là hình bình hành.
Hướng dẫn:
a) Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác, dễ dàng xác định được
𝐺(0 ; 1).
b) Xác định tọa độ của 𝐷 dưới dạng ẩn, 𝐶 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐷 khi nào? Từ đó suy ra tọa độ điểm 𝐷 cần tìm.
c) Xác định tọa độ của 𝐸, 𝐶𝐸 dưới dạng ẩn, xác định tọa độ 𝐴𝐵 .
Bài 3 (Bài 49 – SBT – Tr.13):
Biết 𝑀 𝑥1 ; 𝑦1 , 𝑁 𝑥2 ; 𝑦2 , 𝑃(𝑥3 ; 𝑦3) là các trung điểm ba cạnh của một tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Hướng dẫn:
So sánh 𝑀𝐴 = 𝑁𝑃 ? Thay tọa độ các điểm vào đẳng thức ta thu được hệ
phương trình 𝑥𝐴− 𝑥𝑀 = 𝑥𝑃 − 𝑥𝑁
𝑦𝐴− 𝑦𝑀 = 𝑦𝑃 − 𝑦𝑁. Giải hệ phương trình ta xác định được
đỉnh 𝐴.
Tương tự với các điểm 𝑁, 𝑃 là trung điểm của hai cạnh còn lại.
Giải các hệ phương trình ta xác định được tọa độ các đỉnh của tam giác.
𝐴 = 𝑥1+ 𝑥3− 𝑥2 ; 𝑦1+ 𝑦3 − 𝑦2 𝐵 = 𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3 ; 𝑦1+ 𝑦2− 𝑦3 ; 𝐶 = 𝑥2+ 𝑥3− 𝑥1 ; 𝑦2+ 𝑦3− 𝑦1 .