I. Kiến thức cơ bản
3.1.6.Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm
3. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ
3.1.6.Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm
giác.
Nếu 𝑃 là trung điểm của đoạn thẳng 𝑀𝑁 thì
𝑥𝑃 =𝑥𝑀 + 𝑥𝑁
2 ; 𝑦𝑃 =
𝑦𝑀 + 𝑦𝑁 2 .
Nếu 𝐺 là trọng tâm của tam giác 𝐴𝐵𝐶 thì
𝑥𝐺 =𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 3 ; 𝑦𝐺 = 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 3 . 3.2. Bài tập 3.2.1. Bài tập cơ bản Bài 1 (Bài 30 – SGK – Tr.31):
Tìm tọa độ của các vectơ sau trong mặt phẳng tọa độ
𝑎 = −𝑖 ; 𝑏 = 5𝑗 ; 𝑐 = 3𝑖 − 4𝑗 ; 𝑑 =1
Hướng dẫn:
Áp dụng định nghĩa tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ, ta có:
𝑎 = −1 ; 0 , 𝑏 = 0 ; 5 , 𝑐 = 3 ; −4 , 𝑑 = −1 2 ; 1 2 , 𝑒 = 0,15 ; 1,3 , 𝑓 = 𝜋 ; −𝑐𝑜𝑠24° . Bài 2 (Bài 31 – SGK – Tr.31): Cho 𝑎 = 2 ; 1 , 𝑏 = 3 ; 4 , 𝑐 = (7 ; 2). a) Tìm tọa độ của vectơ 𝑢 = 2𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 .
b) Tìm tọa độ của vectơ 𝑥 sao cho 𝑥 + 𝑎 = 𝑏 − 𝑐 . c) Tìm các số 𝑘, 𝑙 để 𝑐 = 𝑘𝑎 + 𝑙𝑏 .
Hướng dẫn:
Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, ta tính được: a) 𝑢 = 2 ; 8 .
b) Ta có 𝑥 + 𝑎 = 𝑏 − 𝑐 𝑥 = −𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑥 = −6 ; 1 .
c) Ta có 𝑘𝑎 + 𝑙𝑏 = 2𝑘 + 3𝑙 ; 𝑘 + 4𝑙
để 𝑐 = 𝑘𝑎 + 𝑙𝑏 thì 2𝑘 + 3𝑙 = 7𝑘 + 4𝑙 = 2 .
Giải hệ phương trình ta được 𝑘 = 4,4 ; 𝑙 = −0,6.
Bài 3 (Bài 32 – SGK – Tr.31):
Cho 𝑢 =
2 1
𝑖 − 5𝑗 , 𝑣 = 𝑘𝑖 − 4𝑗 . Tìm các giá trị của 𝑘 để hai vectơ
𝑢 , 𝑣 cùng phương.
Hướng dẫn:
Hai vectơ 𝑢 và 𝑣 cùng phương khi nào ?
Từ đó tìm các giá trị của 𝑘 để hai vectơ 𝑢 , 𝑣 cùng phương. Dễ thấy 𝑢 và 𝑣 cùng phương khi và chỉ khi
2𝑘 =4
5 𝑘 = 2 5 .
Bài 4 (Bài 43 – SBT – Tr.12):
Cho các điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 trên trục 𝑂𝑥: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a) Tìm tọa độ các điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶.
b) Tính , 𝐵𝐶𝐴𝐵 , 𝐶𝐴 , 𝐴𝐵 + 𝐶𝐵 , 𝐵𝐴 − 𝐵𝐶 , 𝐴𝐵 . 𝐵𝐴 .
Hướng dẫn:
Áp dụng định nghĩa và cách tính độ dài đại số của vectơ trên trục, ta dễ dàng tính được: a) 𝐴, 𝐵, 𝐶 có tọa độ lần lượt là 2 ; 4 ; −3. b) 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 = 4 − 2 = 2, 𝐵𝐶 = 𝑂𝐶 − 𝑂𝐵 = −7, 𝐶𝐴 = 𝑂𝐴 − 𝑂𝐶 = 5 ; 𝐴𝐵 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 − 𝐵𝐶 = 2 + 7 = 9 ; 𝐵𝐴 − 𝐵𝐶 = −𝐴𝐵 − 𝐵𝐶 = −2 + 7 = 5 (hoặc 𝐵𝐴 − 𝐵𝐶 = 𝐶𝐵 + 𝐵𝐴 = 𝐶𝐴 = 5) 𝐴𝐵 . 𝐵𝐴 = −𝐴𝐵 2 = −4. Bài 5 (Bài 44 – SBT – Tr.13):
Trên trục (𝑂 ; 𝑖 ) cho hai điểm 𝑀 và 𝑁 có tọa độ lần lượt là −5 và 3. Tìm tọa độ điểm 𝑃 trên trục sao cho
𝑃𝑀 𝑃𝑁 = − 1 2 Hướng dẫn:
Bằng cách phân tích 𝑃𝑀 và 𝑃𝑁 theo 𝑂𝑀 , 𝑂𝑁 , 𝑂𝑃 , ta tìm được tọa độ
của 𝑂𝑃 như sau: Ta có: 𝑃𝑀 𝑃𝑁 = − 1 2 2𝑃𝑀 = −𝑃𝑁 2 𝑂𝑀 − 𝑂𝑃 = −(𝑂𝑁 − 𝑂𝑃 ) 𝑂𝑃 =1 3 2𝑂𝑀 + 𝑂𝑁 = 1 3 2. −5 + 3 = −7 3
Vậy điểm 𝑃 có tọa độ là 7.
3 B A O x C
3.2.2. Bài tập nâng cao
Bài 1 (Bài 34 – SGK – Tr.31):
Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm 𝐴 −3 ; 4 , 𝐵 1 ; 1 , 𝐶(9 ; −5).
a) Chứng minh rằng ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 thẳng hàng.
b)Tìm tọa độ điểm 𝐷 sao cho 𝐴 là trung điểm của 𝐵𝐷.
c) Tìm tọa độ điểm 𝐸 trên trục 𝑂𝑥 sao cho 𝐴, 𝐵, 𝐸 thẳng hàng.
Hướng dẫn:
a) Xác định tọa độ 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶 ?
Ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 thẳng hàng khi nào?
b) Giả sử 𝐷 = (𝑥 ; 𝑦).
𝐴 là trung điểm của 𝐵𝐷 khi nào?
c) Xác định tọa độ của điểm 𝐸 và 𝐴𝐸 dưới dạng ẩn số. Điều kiện để ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐸 thẳng hàng?
Từ đó suy ra tọa độ điểm 𝐸 cần tìm.
Bài 2 (Bài 36 – SGK – Tr.31):
Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm 𝐴 −4 ; 1 , 𝐵 2 ; 4 , 𝐶 2 ; −2 .
a)Tìm tọa độ của trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶.
b)Tìm tọa độ điểm 𝐷 sao cho 𝐶 là trọng tâm của tam giác 𝐴𝐵𝐷. c)Tìm tọa độ điểm 𝐸 sao cho 𝐴𝐵𝐶𝐸 là hình bình hành.
Hướng dẫn:
a) Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác, dễ dàng xác định được
𝐺(0 ; 1). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) Xác định tọa độ của 𝐷 dưới dạng ẩn, 𝐶 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐷 khi nào? Từ đó suy ra tọa độ điểm 𝐷 cần tìm.
c) Xác định tọa độ của 𝐸, 𝐶𝐸 dưới dạng ẩn, xác định tọa độ 𝐴𝐵 .
Bài 3 (Bài 49 – SBT – Tr.13):
Biết 𝑀 𝑥1 ; 𝑦1 , 𝑁 𝑥2 ; 𝑦2 , 𝑃(𝑥3 ; 𝑦3) là các trung điểm ba cạnh của một tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Hướng dẫn:
So sánh 𝑀𝐴 = 𝑁𝑃 ? Thay tọa độ các điểm vào đẳng thức ta thu được hệ
phương trình 𝑥𝐴− 𝑥𝑀 = 𝑥𝑃 − 𝑥𝑁
𝑦𝐴− 𝑦𝑀 = 𝑦𝑃 − 𝑦𝑁. Giải hệ phương trình ta xác định được
đỉnh 𝐴.
Tương tự với các điểm 𝑁, 𝑃 là trung điểm của hai cạnh còn lại.
Giải các hệ phương trình ta xác định được tọa độ các đỉnh của tam giác.
𝐴 = 𝑥1+ 𝑥3− 𝑥2 ; 𝑦1+ 𝑦3 − 𝑦2 𝐵 = 𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3 ; 𝑦1+ 𝑦2− 𝑦3 ; 𝐶 = 𝑥2+ 𝑥3− 𝑥1 ; 𝑦2+ 𝑦3− 𝑦1 .