I. Kiến thức cơ bản
2.Các phép toán vectơ
2.1. Tổng của hai vectơ
2.1.1. Định nghĩa tổng của hai vectơ
Cho hai vectơ 𝑎 và 𝑏 . Lấy một điểm 𝐴 nào đó rồi xác định các điểm 𝐵
và 𝐶 sao cho 𝐴𝐵 = 𝑎 , 𝐵𝐶 = 𝑏 . Khi đó vectơ 𝐴𝐶 được gọi là tổng của hai vectơ 𝑎 và 𝑏 . Kí hiệu 𝐴𝐶 = 𝑎 + 𝑏.
Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
Chú ý:
Nếu 𝑎 + 𝑏 = 0 thì vectơ 𝑏 được gọi là vectơ đối của vectơ 𝑎 , và kí hiệu là −𝑎 .
Vectơ −𝑎 luôn ngược hướng với vectơ 𝑎 và −𝑎 = 𝑎 . Mỗi vectơ có một vectơ đối duy nhất.
2.1.2. Các tính chất tổng của hai vectơ
Với mọi vec tơ 𝑎 , 𝑏 và 𝑐 ta có:
Tính chất giao hoán: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 ;
Tính chất kết hợp: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 ) ;
Tính chất của vectơ – không: 𝑎 + 0 = 𝑎 .
2.1.3. Các quy tắc cần nhớ
Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta suy ra hai quy tắc sau đây:
Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì 𝑀, 𝑁, 𝑃, ta có: 𝑀𝑁 + 𝑁𝑃 = 𝑀𝑃 . 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑎 + 𝑏 M N P
Quy tắc hình bình hành: Nếu 𝑂𝐴𝐵𝐶 là hình bình hành thì ta có: 𝑂𝐴 + 𝑂𝐶 = 𝑂𝐵 . 2.1.4. Bài tập 2.1.4.1. Bài tập cơ bản
Bài 1 (Bài toán 1 – SGK – Tr.12):
Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, ta có:
𝐴𝐶
+ 𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 .
Hướng dẫn:
Áp dụng quy tắc ba điểm phân tích 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 + 𝐷𝐶 .
Ta có:
𝐴𝐶
+ 𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐷𝐶 + 𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐷 + 𝐷𝐶 (do tính chất giao hoán)
= 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 (quy tắc ba điểm đối với 𝐵, 𝐷, 𝐶).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 2 (Bài toán 2 – SGK – Tr.12):
Cho tam giác đều 𝐴𝐵𝐶 có cạnh bằng 𝑎. Tính độ dài của vectơ tổng
𝐴𝐵 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ 𝐴𝐶 .
Hướng dẫn:
Dựng điểm 𝐷 sao cho 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình bình hành.
Áp dụng quy tắc hình bình hành tìm vectơ tổng + 𝐴𝐶𝐴𝐵 , ta có: 𝐴𝐵
+ 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 = 𝐴𝐷. Tứ giác 𝐴𝐵𝐷𝐶 là hình gì ?
Dễ thấy độ dài 𝐴𝐷 bằng hai lần đường cao 𝐴𝐻 của tam giác 𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐷 = 2 ×𝑎 3 2 = 𝑎 3 O C B A A C B D H
Bài 3 (Bài toán 3 – SGK – Tr.13):
a) Gọi 𝑀 là trung điểm đoạn thẳng 𝐴𝐵. Chứng minh rằng 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 = 0 . b) Gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶. Chứng minh rằng 𝐺𝐴 + 𝐺𝐵 + 𝐺𝐶 = 0 .
Hướng dẫn:
a) Dễ thấy 𝑀𝐴 + 𝐴𝑀 = 0 , chứng minh 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 .
b) Xác định trọng tâm 𝐺 nằm trên trung tuyến 𝐶𝑀.
Dựng hình bình hành 𝐴𝐺𝐵𝐶′ (lấy điểm 𝐶′ sao cho 𝑀 là trung điểm 𝐺𝐶′). Áp dụng quy tắc hình bình hành để tính tổng 𝐺𝐴 + 𝐺𝐵 .
Ta thấy 𝐺𝐴 + 𝐺𝐵 = 𝐺𝐶′ = 𝐶𝐺 .
Từ đó suy ra 𝐺𝐴 + 𝐺𝐵 + 𝐺𝐶 = 𝐶𝐺 + 𝐺𝐶 = 𝐶𝐶 = 0
Bài 4 (Bài 8 – SBT – Tr.6):
Cho ∆𝐴𝐵𝐶. Gọi 𝐴′ là điểm đối xứng với 𝐵 qua 𝐴, 𝐵′ là điểm đói xứng với 𝐶 qua 𝐵, 𝐶′ là điểm đối xứng với 𝐴 qua 𝐶. Chứng minh rằng với một điểm
𝑂 bất kì, ta có: 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 = 𝑂𝐴′ + 𝑂𝐵′ + 𝑂𝐶′ .
Hướng dẫn: Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
𝑂𝐴
+ 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 = 𝑂𝐴′ + 𝐴′𝐴 + 𝑂𝐵′ + 𝐵′𝐵 + 𝑂𝐶′ + 𝐶′𝐶
= 𝑂𝐴′ + 𝑂𝐵′ + 𝑂𝐶′ + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴
= 𝑂𝐴′ + 𝑂𝐵′ + 𝑂𝐶′
Bài 5:
Cho sáu điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹. Chứng minh rằng: a) 𝐴𝐷 + 𝐵𝐸 + 𝐶𝐹 = 𝐴𝐸 + 𝐵𝐹 + 𝐶𝐷 b) 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 B C M G C’ A
Hướng dẫn: Áp dụng quy tắc ba điểm chứng minh VT = VP. a) Ta có: 𝐴𝐷 + 𝐵𝐸 + 𝐶𝐹 = 𝐴𝐸 + 𝐸𝐷 + 𝐵𝐹 + 𝐹𝐸 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐹 = 𝐴𝐸 + 𝐵𝐹 + 𝐶𝐷 + (𝐸𝐷 + 𝐷𝐹 + 𝐹𝐸) = 𝐴𝐸 + 𝐵𝐹 + 𝐶𝐷 (vì 𝐸𝐷 + 𝐷𝐹 + 𝐹𝐸 = 0 ). b) Ta có: 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐷𝐵 + 𝐶𝐵 + 𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐷𝐵 + 𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 (vì 𝐷𝐵 + 𝐵𝐷 = 0 ).
2.1.4.2. Bài tập nâng cao Bài 1:
Cho ∆𝐴𝐵𝐶, bên ngoài nó ta vẽ các hình bình hành 𝐴𝐵𝐼𝐽, 𝐵𝐶𝑃𝑄, 𝐶𝐴𝑅𝑆. Chứng minh rằng: 𝑅𝐽 + 𝐼𝑄 + 𝑃𝑆 = 0 . Hướng dẫn: Ta có: 𝑅𝐽 + 𝐽𝐼 + 𝐼𝑄 + 𝑄𝑃 + 𝑃𝑆 + 𝑆𝑅 = 0 𝑅𝐽 + 𝐴𝐵 + 𝐼𝑄 + 𝐵𝐶 + 𝑃𝑆 + 𝐶𝐴 = 0 𝑅𝐽 + 𝐼𝑄 + 𝑃𝑆 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 0 𝑅𝐽 + 𝐼𝑄 + 𝑃𝑆 = 0 . Bài 2:
Cho ∆𝐴𝐵𝐶. Vẽ các trung tuyến 𝐴𝑀, 𝐵𝑁, 𝐶𝑃. Chứng minh rằng:
𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 + 𝐶𝑃 = 0 . Hướng dẫn: A B C J R S P Q I A K P B N (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Dựng 𝑃𝐾 = 𝐵𝑁 , dễ thấy 𝐵𝑃𝐾𝑁 là hình bình hành. Hãy xét xem 𝑃𝐴𝐾𝑁 là hình gì ? Chứng minh 𝐴𝐾 = 𝑀𝐶 , nhận thấy 𝐴𝑀𝐶𝐾 là hình bình hành. Khi đó, dễ thấy 𝐾𝐶 = 𝐴𝑀 . Mà 𝐶𝑃 + 𝑃𝐾 + 𝐾𝐶 = 0 . Dễ dàng suy ra 𝐶𝑃 + 𝐵𝑁 + 𝐴𝑀 = 0 . Bài 3 (Bài 12 – SGK – Tr.14):
Cho tam giác đều 𝐴𝐵𝐶 nội tiếp đường tròn tâm 𝑂.
a) Hãy xác định các điểm 𝑀, 𝑁, 𝑃 sao cho
𝑂𝑀
= 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 ; 𝑂𝑁 = 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 ; 𝑂𝑃 = 𝑂𝐶 + 𝑂𝐴 .
b) Chứng minh rằng 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 = 0 .
Hướng dẫn:
a) Áp dụng quy tắc hình bình hành xác định vectơ 𝑂𝑀 = 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
Chứng minh 𝑂𝑀 nằm trên đường phân giác của góc 𝐴𝑂𝐵 và 𝑂𝑀 = 𝑂𝐴
Từ đó ta xác định được điểm 𝑀 thuộc đường tròn (𝑂) với 𝐶𝑀 là đường kính. Tương tự với các điểm 𝑁 và 𝑃.
b) Theo quy tắc hình bình hành, dễ thấy 𝑂𝑁 = 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶
Hãy so sánh 𝑂𝐴 và 𝑂𝑁 , từ đó chứng minh rằng 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 = 0 .
2.2. Hiệu của hai vectơ
2.2.1. Vectơ đối của một vectơ
Nếu tổng của hai vectơ 𝑎 và 𝑏 là vectơ – không, thì ta nói 𝑎 là vectơ đối của 𝑏 , hoặc 𝑏 là vectơ đối của 𝑎 .
P N M C B A O
Vectơ đối của vectơ 𝑎 được kí hiệu là −𝑎 .
Như vậy: 𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0 .
Nhận xét:
Vectơ đối của vectơ 𝑎 là vectơ ngược hướng với vectơ 𝑎 và có cùng độ dài với vectơ 𝑎 .
Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0 .
2.2.2. Hiệu của hai vectơ
Định nghĩa:
Hiệu của hai vectơ 𝑎 và 𝑏 , kí hiệu là 𝑎 − 𝑏 , là tổng của vectơ 𝑎 và vectơ đối của vectơ 𝑏 , tức là 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏 .
Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.
Quy tắc về hiệu vectơ:
Nếu 𝑀𝑁 là một vectơ đã cho thì với mỗi điểm 𝑂 bất kì, ta luôn có
𝑀𝑁
= 𝑂𝑁 − 𝑂𝑀 .
2.2.3. Bài tập (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.2.3.1. Bài tập cơ bản
Bài 1 (Bài 15 – SGK – Tr.17):
Chứng minh các mệnh đề sau đây: a) Nếu 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 thì 𝑎 = 𝑐 − 𝑏 , 𝑏 = 𝑐 − 𝑎 ;
b) 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 ;
c) 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 .
Hướng dẫn:
a) Cộng hai vế của đẳng thức 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 với vectơ đối của vectơ 𝑎 hoặc vectơ đối của vectơ 𝑏 .
𝑏 𝑏
𝑎
b) Chứng minh vectơ đối của 𝑎 + 𝑏 là −𝑎 − 𝑏 . c) Chứng minh vectơ đối của 𝑏 − 𝑐 là −𝑏 + 𝑐 .
Bài 2 (Bài 18 – SGK – Tr.17):
Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷. Chứng minh rằng 𝐷𝐴 − 𝐷𝐵 + 𝐷𝐶 = 0.
Hướng dẫn:
Áp dụng quy tắc về hiệu vectơ, ta thấy 𝐷𝐴 − 𝐷𝐵 = 𝐵𝐴
Ta có: 𝐷𝐴 − 𝐷𝐵 + 𝐷𝐶 = 𝐵𝐴 + 𝐷𝐶 = 𝐶𝐷 + 𝐷𝐶 = 0 .
Bài 3 (Bài 19 – SGK – Tr.18):
Chứng minh rằng = 𝐶𝐷𝐴𝐵 khi chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng 𝐴𝐷 và 𝐵𝐶 trùng nhau.
Hướng dẫn:
Gọi 𝐼 là trung điểm của 𝐴𝐵. Ta cần chứng minh 𝐼 cũng là trung điểm của 𝐵𝐶.
Áp dụng quy tắc ba điểm chứng minh + 𝐼𝐶𝐼𝐵 = 0 .
Dễ thấy 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 𝐴𝐼 + 𝐼𝐵 = 𝐶𝐼 + 𝐼𝐷 𝐴𝐼 + 𝐼𝐵 − 𝐶𝐼 − 𝐼𝐷 = 0
𝐼𝐵 + 𝐼𝐶 = 0 ( do 𝐼 là trung điểm của 𝐴𝐷) Vậy ta có điều cần chứng minh.
Bài 4 (Bài 20 – SGK – Tr.18):
Cho sáu điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹. Chứng minh rằng:
𝐴𝐷
+ 𝐵𝐸 + 𝐶𝐹 = 𝐴𝐸 + 𝐵𝐹 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐹 + 𝐵𝐷 + 𝐶𝐸 .
Hướng dẫn: Với một điểm 𝑂 nào đó, ta phân tích mỗi vectơ thành hiệu hai vectơ có điểm đầu là 𝑂, ta có:
𝐴𝐷 + 𝐵𝐸 + 𝐶𝐹 = 𝑂𝐷 − 𝑂𝐴 + 𝑂𝐸 − 𝑂𝐵 + 𝑂𝐹 − 𝑂𝐶 ; 𝐴𝐸 + 𝐵𝐹 + 𝐶𝐷 = 𝑂𝐸 − 𝑂𝐴 + 𝑂𝐹 − 𝑂𝐵 + 𝑂𝐷 − 𝑂𝐶 ; 𝐴𝐹 + 𝐵𝐷 + 𝐶𝐸 = 𝑂𝐹 − 𝑂𝐴 + 𝑂𝐷 − 𝑂𝐵 + 𝑂𝐸 − 𝑂𝐶 ;
Bài 5 (Bài 17 – SGK – Tr.17):
Cho hai điểm 𝐴, 𝐵 phân biệt. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a) Tìm tập hợp các điểm 𝑂 sao cho 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 .
b) Tìm tập hợp các điểm 𝑂 sao cho 𝑂𝐴 = −𝑂𝐵 .
Hướng dẫn:
a) Với 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 hãy chứng minh 𝐵 ≡ 𝐴.
Ta nhận thấy không có điểm 𝑂 nào thoả mãn yêu cầu bài toán.
b) Tìm điểm 𝑂 sao cho 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 = 0 .
Dễ nhận thấy điểm 𝑂 là trung điểm của đoạn thẳng 𝐴𝐵.
2.2.3.2. Bài tập nâng cao Bài 1: Bài 1:
Cho hai hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 và 𝐴𝐵′𝐶′𝐷′ có chung đỉnh 𝐴. Chứng minh rằng:
a) 𝐵𝐵′ + 𝐶′𝐶 + 𝐷𝐷′ = 0 .
b) Hai tam giác ∆𝐵𝐶′𝐷 và ∆𝐵′𝐶𝐷′ có cùng trọng tâm.
Hướng dẫn:
a) Phân tích mỗi vectơ thành hiệu hai vectơ có điểm đầu là 𝐴. Sau đó biến đổi đẳng thức bằng cách nhóm các vectơ là cạnh của một hình bình hành. Ta có: 𝐵𝐵 + 𝐶′ + 𝐷𝐷′𝐶 = 𝐴𝐵′ − 𝐴𝐵′ + 𝐴𝐶 − 𝐴𝐶′ + 𝐴𝐷 − 𝐴𝐷′
= 𝐴𝐵′ + 𝐴𝐷′ − 𝐴𝐶′ − 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐴𝐶
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta thấy 𝐴𝐵′ + 𝐴𝐷′ = 𝐴𝐶′ 𝐴𝐵
+ 𝐴𝐷 = 𝐴𝐶
Vậy ta chứng minh được 𝐵𝐵′ + 𝐶′𝐶 + 𝐷𝐷′ = 0 . B C A D C’ B’ D’
b) Giả sử 𝐺 là trọng tâm ∆𝐵𝐶′𝐷,khi đó + 𝐺𝐶𝐺𝐵 + 𝐺𝐷′ = 0 .
Ta cần chứng minh 𝐺 cũng là trọng tâm của ∆𝐵′𝐶𝐷′ bằng cách chứng minh
𝐺𝐵
+ 𝐺𝐶′ + 𝐺𝐷 = 𝐺𝐵′ + 𝐺𝐶 + 𝐺𝐷′ = 0 .
Áp dụng quy tắc ba điểm và kết quả của a), dễ dàng chứng minh được:
𝐺𝐵 + 𝐺𝐶′ + 𝐺𝐷 = 𝐺𝐵 + 𝐵′ + 𝐺𝐶′𝐵 + 𝐶𝐶 + 𝐺𝐷′ + 𝐷′ ′𝐷 = 𝐺𝐵′ + 𝐺𝐶 + 𝐺𝐷′ + 𝐵 + 𝐶𝐶′𝐵 + 𝐷′ ′𝐷 = 𝐺𝐵′ + 𝐺𝐶 + 𝐺𝐷′ − 𝐵𝐵 + 𝐶′ + 𝐷𝐷′𝐶 ′ = 𝐺𝐵′ + 𝐺𝐶 + 𝐺𝐷′ − 0 = 𝐺𝐵′ + 𝐺𝐶 + 𝐺𝐷′ = 0 . 𝐺 là trọng tâm của ∆𝐵′𝐶𝐷′ Bài 2 (Bài 10 – SBT – Tr.6):
Cho 𝑛 điểm trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛. Bạn Bình kí hiệu chúng là 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛. Chứng minh rằng:
𝐴1𝐵1
+ 𝐴 + ⋯ + 𝐴2𝐵2 = 0 .𝑛𝐵𝑛
Hướng dẫn:
Lấy một điểm 𝑂 nào đó, phân tích mỗi vectơ thành hiệu hai vectơ có điểm đầu là 𝑂, ta có:
𝐴1𝐵1
+ 𝐴 + ⋯ + 𝐴2𝐵2 = 𝑂𝐵𝑛𝐵𝑛 − 𝑂𝐴1 + 𝑂𝐵1 − 𝑂𝐴2 + ⋯ + 𝑂𝐵2 − 𝑂𝐴𝑛 𝑛 = 𝑂𝐵 + 𝑂𝐵1 + ⋯ + 𝑂𝐵2 − 𝑂𝐴𝑛 + 𝑂𝐴1 + ⋯ + 𝑂𝐴2 .𝑛 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cần chứng minh 𝑂𝐵 + 𝑂𝐵1 + ⋯ + 𝑂𝐵2 = 𝑂𝐴𝑛 + 𝑂𝐴1 + ⋯ + 𝑂𝐴2 .𝑛
Ta nhận thấy, 𝑛 điểm 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛 cũng là 𝑛 điểm 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 nhưng được kí hiệu một cách khác, nên:
𝑂𝐵1
+ 𝑂𝐵 + ⋯ + 𝑂𝐵2 = 𝑂𝐴𝑛 + 𝑂𝐴1 + ⋯ + 𝑂𝐴2 .𝑛
Vậy 𝐴 + 𝐴1𝐵1 + ⋯ + 𝐴2𝐵2 = 0 .𝑛𝐵𝑛
Bài 3:
Cho tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 và một điểm 𝑀. Chứng minh rằng các điểm đối xứng của điểm 𝑀 đối với trung điểm các cạnh của tứ giác là đỉnh của hình bình hành.
Hướng dẫn:
Giả sử 𝑁, 𝑃, 𝑄, 𝑅 là các điểm đối xứng của điểm 𝑀 đối với trung điểm
các cạnh 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐴. Ta cần chứng minh 𝑁𝑅𝑄𝑃 là hình bình hành.
Ta chứng minh 𝑁𝑅 − 𝑃𝑄 = 0 hay 𝑁𝑅 = 𝑃𝑄 .
Theo định nghĩa hiệu của hai vectơ, ta có:
𝑁𝑅 = 𝑀𝑅 − 𝑀𝑁 ; 𝑃𝑄 = 𝑀𝑄 − 𝑀𝑃 Và 𝑁𝑅 − 𝑃𝑄 = 𝑀𝑅 − 𝑀𝑁 − 𝑀𝑄 − 𝑀𝑃 Theo quy tắc hình bình hành ta có: 𝑀𝑁 = 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 𝑀𝑃 = 𝑀𝐵 + 𝑀𝐶 𝑀𝑄 = 𝑀𝐶 + 𝑀𝐷 𝑀𝑅 = 𝑀𝐷 + 𝑀𝐴 (1) Sử dụng các đẳng thức (1), ta dễ dàng chứng minh được 𝑁𝑅 = 𝑃𝑄 .
2.3. Tích của một véc tơ với một số
2.3.1. Định nghĩa tích của một véc tơ với một số
Định nghĩa:
Tích của vectơ 𝑎 với số thực 𝑘 là một vectơ, kí hiệu là 𝑘𝑎 , được xác định như sau:
1) Nếu 𝑘 ≥ 0 thì vectơ 𝑘𝑎 cùng hướng với vectơ 𝑎 ; Nếu 𝑘 < 0 thì vectơ 𝑘𝑎 ngược hướng với vectơ 𝑎 ; 2) Độ dài vectơ 𝑘𝑎 bằng 𝑘 . 𝑎 .
Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số (hoặc phép nhân số với vectơ).
Q A N C D R P B M
Nhận xét:
Từ định nghĩa ta thấy ngay 1𝑎 = 𝑎 , −1 𝑎 là vectơ đối của 𝑎 , tức là
−1 𝑎 = −𝑎 .
2.3.2. Tính chất tích của một véc tơ với một số
Với hai vectơ bất kì 𝑎 , 𝑏 và mọi số thực 𝑘, 𝑙, ta có: (1) 𝑘 𝑙𝑎 = 𝑘𝑙 𝑎 ;
(2) 𝑘 + 𝑙 𝑎 = 𝑘𝑎 + 𝑙𝑎 ;
(3) 𝑘 𝑎 + 𝑏 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 ;
(4) 𝑘𝑎 = 0 khi và chỉ khi 𝑘 = 0 hoặc 𝑎 = 0 .
2.3.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phƣơng
Vectơ 𝑏 cùng phương với vectơ 𝑎 (𝑎 ≠ 0 ) khi và chỉ khi có số 𝑘 sao cho 𝑏 = 𝑘𝑎 . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt 𝐴, 𝐵, 𝐶 thẳng hàng là có số 𝑘 sao cho 𝐴𝐵 = 𝑘𝐴𝐶 .
2.3.4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phƣơng
Cho hai vectơ không cùng phương 𝑎 và 𝑏 . Khi đó mọi vectơ 𝑥 đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai vectơ 𝑎 và 𝑏 , nghĩa là có duy nhất cặp số 𝑚 và 𝑛 sao cho 𝑥 = 𝑚𝑎 + 𝑛𝑏 .
2.3.5. Bài tập
2.3.5.1. Bài tập cơ bản
Bài 1 (Bài 23 – SGK – Tr.24):
Gọi 𝑀 và 𝑁 lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng 𝐴𝐵 và 𝐶𝐷. Chứng minh rằng: 2𝑀𝑁 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 .
Hướng dẫn:
Sử dụng điều kiện 𝑀 và 𝑁 lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
𝐴𝐵 và 𝐶𝐷, hãy phân tích 2𝑀𝑁 theo 𝑀𝐶 và 𝑀𝐷 . Ta thấy: 2𝑀𝑁 = 𝑀𝐶 + 𝑀𝐷
Sử dụng quy tắc ba điểm, ta dễ dàng chứng minh 2𝑀𝑁 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐷 .
Thật vậy: 2𝑀𝑁 = 𝑀𝐶 + 𝑀𝐷 = 𝑀𝐴 + 𝐴𝐶 + 𝑀𝐵 + 𝐵𝐷 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐷
(𝑀 là trung điểm của 𝐴𝐵 nên 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 = 0 ) Tương tự, hãy chứng minh 2𝑀𝑁 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 .
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Bài 2 (Bài 13 – SBT – Tr.7):
Cho ba vectơ 𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 , 𝑂𝐶 , có độ dài bằng nhau và 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 = 0 . Tính các góc 𝐴𝑂𝐵 , 𝐵𝑂𝐶 , 𝐶𝑂𝐴.
Hướng dẫn:
Hãy xác định vị trí của điểm 𝑂 biết ba vectơ 𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 , 𝑂𝐶 , có độ dài bằng nhau?
Hãy xác định vị trí của điểm 𝑂 biết 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 = 0 ?
Khi đó ∆𝐴𝐵𝐶 là tam giác gì? Từ đó hãy xác định các góc 𝐴𝑂𝐵 , 𝐵𝑂𝐶 , 𝐶𝑂𝐴. Ta thấy ∆𝐴𝐵𝐶 đều, vậy các góc 𝐴𝑂𝐵 , 𝐵𝑂𝐶 , 𝐶𝑂𝐴 đều bằng 120°.
Bài 3 (Bài 16 – SBT – Tr.8):
Điểm 𝑀 gọi là chia đoạn thẳng 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝑘 ≠ 1 nên 𝑀𝐴 = 𝑘𝑀𝐵 .
a) Xét vị trí của điểm 𝑀 đối với hai điểm 𝐴, 𝐵 trong các trường hợp:
𝑘 ≥ 0 ; 0 < 𝑘 < 1 ; 𝑘 > 1 ; 𝑘 = −1.
b) Nếu 𝑀 chia đoạn thẳng 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝑘 (𝑘 ≠ 1 và 𝑘 ≠ 0) thì 𝑀 chia đoạn thẳng 𝐵𝐴 theo tỉ số nào?
c) Nếu 𝑀 chia đoạn thẳng 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝑘 (𝑘 ≠ 1 và 𝑘 ≠ 0) thì 𝐴 chia đoạn thẳng 𝑀𝐵 theo tỉ số nào? 𝐵 chia đoạn thẳng 𝑀𝐴 theo tỉ số nào?
d) Chứng minh rằng: Nếu điểm 𝑀 chia đoạn thẳng 𝐴𝐵 theo tỉ số 𝑘 ≠ 1 thì với điểm 𝑂 bất kì, ta luôn có
𝑂𝑀
= 𝑂𝐴 − 𝑘𝑂𝐵 1 − 𝑘 .
Hướng dẫn: c) Từ 𝑀𝐴 = 𝑘𝑀𝐵 , phân tích 𝑀𝐵 = 𝑀𝐴 + 𝐴𝐵 𝐴𝑀 = 𝑥𝐴𝐵 𝑀𝐴 = 𝐵𝐴 − 𝐵𝑀 𝐵𝑀 = 𝑥𝐵𝐴 tỉ số 𝑥 cần tìm. d) Từ 𝑀𝐴 = 𝑘𝑀𝐵 , phân tích 𝑀𝐴 = 𝑂𝐴 − 𝑂𝑀 𝑀𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝑀 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Biểu diễn 𝑂𝑀 theo 𝑂𝐴 và 𝑂𝐵 , suy ra tỉ số cần tìm.
Bài 4 (Bài 24 – SGK – Tr.24):
Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 và điểm 𝐺. Chứng minh rằng