Nguyên Hàm Và Tích Phân Cực Hay Của Đặng Việt Đông

Nguyên Hàm Và Tích Phân Cực Hay Của Đặng Việt Đông tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn...

Bài 1. Bài t p s d ng công th c nguyên hàm, tích phânậ ử ụ ứCH NG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂNƯƠBÀI 1. BÀI T P Ậ S D NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Ử Ụ ỨI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN B T Ấ Đ NHỊ1. Đ nh nghĩa:ị• Giả sử y = f(x) liên t c trên kho ng (ụ ả a, b), khi đó hàm s ố y = F(x) là m tộ nguyên hàm c a hàm s ủ ố y = f(x) khi và ch khi Fỉ ′ (x) = f(x), ∀x∈(a, b).• N u ế y = F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s ộ ủ ố y = f(x) thì t p h p t t c cácậ ợ ấ ả nguyên hàm c a hàm s ủ ố y = f(x) là t p h p I ậ ợ ={ }+ ∈F( x ) c c R và tập hợp này còn đ c kí hi u d i d u tích phân b t đ nh ượ ệ ướ ấ ấ ị= = +∫I f ( x )dx F( x ) c2. Vi phân:2.1 Giả sử y = f(x) xác đ nh trên kho ng (ị ả a, b) và có đ o hàmạ t i đi m ạ ể x∈(a,b). Cho x m t s gia ộ ố ∆x sao cho (x + ∆ x) ∈ (a,b), khi đó ta có:• Công thức vi phân theo s giaố : ( )( ) ( )′= ∆′= ∆dy y x xdf x f x x• Công th c bi n đ i vi phân: ứ ế ổCh n hàm s ọ ố y = x ⇒ dy = dx = x’.∆x = ∆x ⇒ dx = ∆x.V y ta có: ậ( )( ) ( )′= ∆′= ∆dy y x xdf x f x x ⇔ ( )( ) ( )′=′=dy y x dxdf x f x dx • N u hàm s ế ố f(x) có vi phân t i đi m ạ ể x thì ta nói f(x) kh vi t i đi m ả ạ ể x.Do ( ) ( )df x f x x′= ∆ nên f(x) kh vi t i đi m ả ạ ể x ⇔ f(x) có đ o hàm t i đi m ạ ạ ể x2.2. Tính chất: Gi s u và v là 2 hàm s cùng kh vi t i đi m ả ử ố ả ạ ể x. Khi đó: ( ) ( )()−± = ± = + =2udv vduud u v du dv ; d uv udv vdu ; dvv2.3 Vi phân của hàm hợpNếu ==y f ( u )u g( x ) và f, g kh vi thì ả( ) ( ) ( )′′= =dy f u du f u u x dx1 Ch ng II. Nguyên hàm và tích ươ phân − Tr n Ph ngầ ươ3. Quan h gi a đ o hàm ệ ữ ạ − nguyên hàm và vi phân:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′= + ⇔ = ⇔ =∫f x dx F x c F x f x dF x f x dx4. Các tính ch t c a nguyên hàm và tích phânấ ủ4.1. N u ế f(x) là hàm s có nguyên hàm thì ố( )( )( )′=∫f x dx f x ; ( )( )( )=∫d f x dx f x dx4.2. N u F(ế x) có đ o hàm thì: ạ ( )( )( )= +∫d F x F x c4.3. Phép cộng: N u ế f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:( ) ( ) ( ) ( ) + = + ∫ ∫ ∫f x g x dx f x dx g x dx4.4. Phép trừ: N u ế f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:( ) ( ) ( ) ( ) − = − ∫ ∫ ∫f x g x dx f x dx g x dx4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: ( ) ( )=∫ ∫kf x dx k f x dx, ∀k ≠ 04.6. Công thức đổi biến số: Cho y = f(u) và u = g(x). N u ế( ) ( )= +∫f x dx F x c thì ( )( )( ) ( ) ( )′= = +∫ ∫f g x g x dx f u du F u c5. Nh n xét:ậ N u ế( ) ( )= +∫f x dx F x c v i F(ớ x) là hàm s c p thì ta nói tíchơ ấ phân b t đ nh ấ ị( )∫f x dx bi u di n đ c d i d ng h u h n. Ta có nh n xét:ể ễ ượ ướ ạ ữ ạ ậ N u m t tích phân b t đ nh bi u di n đ c d i d ng h u h n thì hàm sế ộ ấ ị ể ễ ượ ướ ạ ữ ạ ố d i d u tích phân là hàm s c p và đi u ng c l i không đúng, t c là cóướ ấ ơ ấ ề ượ ạ ứ nhi u hàm s d i d u tích phân là hàm s c p nh ng tích phân b t đ nhề ố ướ ấ ơ ấ ư ấ ị không bi u di n đ c d i d ng h u h n m c dù nó t n t i. Ch ng h nể ễ ượ ướ ạ ữ ạ ặ ồ ạ ẳ ạ các tích Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Tích Phân-Giải tích 12 Đây trích phần tài liệu gần 2000 trang Thầy Đặng Việt Đơng Q Thầy Cơ mua trọn File Word Tốn 12 Thầy Đặng Việt Đông giá 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 File Word liên hệ:0937351107- Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Phần Tích Phân-Giải tích 12 m File Word liên hệ:0937351107- Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Tích Phân-Giải tích 12 File Word liên hệ:0937351107- Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Tích Phân-Giải tích 12 MỤC LỤC ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT .5 B – BÀI TẬP C – ĐÁP ÁN 23 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN 24 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT .24 B – BÀI TẬP 24 C – ĐÁP ÁN 33 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 34 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT .34 B – BÀI TẬP 34 C – ĐÁP ÁN 36 TÍCH PHÂN 37 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT .37 PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM VÀ MTCT .38 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ MTCT 42 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN VÀ MTCT 46 C – ĐÁP ÁN 47 TÍCH PHÂN TỔNG HỢP HẠN CHẾ MTCT 48 File Word liên hệ:0937351107- Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Tích Phân-Giải tích 12 ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT Khái niệm ngun hàm • Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K nếu: F '(x) = f (x) , ∀x ∈ K • Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x) K là: ∫ f (x)dx = F(x) + C , C ∈ R • Mọi hàm số f(x) liên tục K có ngun hàm K Tính chất • ∫ f '(x)dx = f (x) + C ∫ [ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx • ∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx (k ≠ 0) • Nguyên hàm số hàm số thường gặp 1) ∫ k.dx = k.x + C 1 +C x x n +1 +C n +1 2) n ∫ x dx = 4) ∫ x dx = ln x + C 3) ∫x 5) ∫ (ax + b) 7) ∫ sin x.dx = − cos x + C 8) ∫ cos x.dx = sin x + C 9) ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C 10) ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C 11) ∫ cos 12) ∫ sin 15) ∫ e dx = e 16) ∫e dx = − n dx = − +C; a(n − 1)(ax + b) n −1 1 dx = ∫ (1 +tg x).dx = tgx + C x 1 dx = tg(ax + b) + C 13) ∫ cos (ax + b) a 17) 19) 21) 23) 25) 27) x x +C (ax + b) (ax + b) ∫ e dx = a e + C ax x a dx = +C ∫ ln a 1 x −1 ∫ x − dx = ln x + + C 1 x −a ∫ x − a dx = 2a ln x + a + C x ∫ a − x dx = arcsin a + C 2 ∫ x ± a dx = ln x + x ± a + C 6) 1 ∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C 1 dx = ∫ ( + cot g x ) dx = − cot gx + C x 1 dx = − cot g(ax + b) + C 14) ∫ sin (ax + b) a 18) 20) 22) 24) 26) 28) −x dx = −e − x + C (ax + b) n +1 n (ax + b) dx = + C (n ≠ 1) ∫ a n +1 ∫ x + dx = arctgx + C 1 x ∫ x + a dx = a arctg a + C ∫ − x dx = arcsin x + C ∫ x ± dx = ln x + x ± + C x a2 x 2 a − x dx = a − x + arcsin + C ∫ 2 a File Word liên hệ:0937351107- Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 29) ∫ x ± a dx = Phần Tích Phân-Giải tích 12 x a2 x ± a ± ln x + x ± a + C 2 B – BÀI TẬP Câu 1: Nguyên hàm 2x ( + 3x ) là: A x ( x + x ) + C 2 B x ( + 3x ) + C Câu 2: Nguyên hàm A − x4 + x2 + +C 3x 1 − x − là: x 3 x x B − + − + C x 6x  2 D x 1 + ÷+ C   C 2x ( x + x ) + C C −x + x2 + +C 3x D − x3 − +C x Câu 3: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x là: 33 x2 +C 3x x +C Câu 4: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = là: x x 2 +C +C A F ( x ) = B F ( x ) = − x x A F ( x ) = B F ( x ) = C F ( x ) = 4x +C 33 x C F ( x ) = x +C D F ( x ) = 4x 3 x2 D F ( x ) = − +C x +C 5  Câu 5: ∫  + x ÷dx bằng: x  5 5 x +C x + C C −5ln x − x + C D ln x + x +C A 5ln x − B −5ln x + 5 5 dx Câu 6: ∫ bằng: − 3x 1 +C +C 2 A B − C ln − 3x + C D − ln 3x − + C − 3x − 3x ( ) ( ) 3 Câu 7: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = A F ( x ) = C F ( x ) = ( x − 1) x x+ x là: x2 +C B F ( x ) = 2−3 x +C x D F ( x ) = x Câu 8: Tìm nguyên hàm: ∫( 53 x + ln x + C 33 x − ln x + C C B − D ∫ (x ( ) +C x +1 x 1+ x +C x x + )dx x A Câu 9: Tìm nguyên hàm: 2 + 33 x + ln x + C 33 x + ln x + C − x )dx x File Word liên hệ:0937351107- Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A x3 + 3ln x + x +C 3 x3 C − 3ln x − x +C 3 A + x )dx x2 5 5 x +C x +C A − + B − x x Câu 11: Tìm nguyên hàm: ∫ (x − + x )dx x x +C A x + ln x − 4 x +C C x + ln x + dx Câu 12: Tính ∫ , kết là: 1− x C A B −2 − x + C 1− x Phần Tích Phân-Giải tích 12 x3 + 3ln X − x 3 x3 D + 3ln x − x +C 3 B Câu 10: Tìm nguyên hàm: ∫ ( C − 5 + x +C x D 5 + x +C x x − ln x − x +C 4 x +C D x − ln x + B +C 1− x C D C − x  ...Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri Nguyªn Hµm vµ tÝch ph©n A. Vi ph©n I. Mét sè vÝ dô ®¸ng chó ý. 1. ( ) ( ) dxdxaxaxd = ′ +=+ 2. ( ) ( ) adxdxbaxbaxd = ′ +=+ , ( ) 0≠a . 3. ( ) ( ) ( ) dxbaxdxcbxaxcbxaxd += ′ ++=++ 2 22 ( ) xdxxd 2 2 =⇒ 4. ( ) ( ) dxxdxxxd .cossinsin = ′ = 5. ( ) ( ) ( ) dxx x dx dxxxd 2 2 tan1 cos tantan +== ′ = 6. ( ) ( ) x dx dxxxd 2 = ′ = 7. 2 . 11 x dx dx xx d −= ′       =       8. dx x dx x x x xd       −= ′       +=       + 2 1 1. 11 II. Mét sè tÝnh chÊt cña vi ph©n. 1. ( ) dvduvud ±=± 2. ( ) vduudvvud +=. ( ) vduvududv −=⇒ . ( ) kdukud =⇒ víi constk = 3. 2 v vduudv v u d − =       ⇒ 2 u kdu u k d −=       , víi constk = . 4. NÕu ( ) [ ] xufy = th× dxufdufdy xuu ′′ = ′ =  VÝ dô. Vd1. TÝnh vi ph©n cña c¸c hµm sè sau ( ) xy x x y xy tanln.3 1cos sin ln.2 12009sin.1 = + = += 1.6 cossin sin2cos .5 .4 sin ++= + + = = xxy xx xx y ey x ( ) 1 12 .9 2sin.8 1.7 2 12 − + = += += − x x y xy xy x VD2. TÝnh vi ph©n cña hµm sè x x y + − = 1 1 ln . B. Nguyªn hµm  Mét sè VÝ dô. Nguyªn hµm va TÝch ph©n toan hoc giai tich 12 1 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri 1. += Cxxdx 2 2 3. += Cxxdx sincos 5. Cxdxx += cossin 2. Cx x dx += 2 4. Cx x dx += tan cos 2 6. Cx x dx += ln I. Các tính chất của nguyên hàm 1. ( ) ( ) ( ) xfdxxf = 2. ( ) ( ) ( ) 0. = adxxfadxxaf 3. ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) = dxxgdxxfdxxgxf 4. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) += += CxuFdxxuxufCtFdttf Chú ý : Vì ( ) dudxxu = nên tính chất 4 có thể viết dới dạng ( ) ( ) ( ) ( ) +=+= CuFduufCtFdttf , với ( ) xuu = Ví dụ. Một số bài toán sử dụng định nghĩa nguyên hàm. VD1. Kiểm tra xem hàm ( ) xF có phải là một nguyên hàm của hàm ( ) xf không? a. ( ) ( ) [ ] xxF lnlnln = và ( ) ( ) xxx xf lnln.ln. 1 = b. ( ) ( ) [ ] xxF sinlnln = và ( ) ( ) x x xf sinln cot = Chú ý : ( ) xF không là một nguyên hàm ( ) xf vì ( ) 0sinln1sin xx ( ) [ ] xsinlnln không tồn tại, tức là ( ) xF không tồn tại. c. ( ) ( ) 2 1ln xxxF ++= và ( ) 2 1 1 x xf + = VD2. Chứng minh rằng ( ) xF là một nguyên hàm của ( ) xf trên R, với : a. ( ) ( ) 22 ln axxxF ++= và ( ) 22 1 ax xf + = b. ( ) ( ) <+ + = 11 11 2 1 2 1 2 xnếuxx xnếue xF x và ( ) < = 112 1 1 2 xnếux xnếuxe xf x VD4. Cho ( ) ( ) x edcxbxaxxF . 23 +++= và ( ) ( ) x exxxxf .5292 23 ++= Tìm dcba ,,, để ( ) xF là nguyên hàm của ( ) xf trên R. II. Bảng các nguyên hàm Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 2 of 59 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri Các ví dụ. Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm. VD1. Tính các họ nguyên hàm sau ( ) dxxxx dxxx dxxx + + + )13(.3 )1(1.2 )(.1 32 2 2 2 3 ( ) ( ) dxxx dxx dxmx + 6 2 8 12.6 1.5 sin.4 VD2. Tính xdx9cos.1 ( ) dxxx 20072 1.2 tính tích nguyên hàm bằng phơng pháp đổi biến số Nguyên hàm va Tích phân toan hoc giai tich 12 3 of 59 Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thờng gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp ( )( ) xuu = Cxdx += ( ) 1 1 1 + + = + C x dxx ( ) 0ln += xCx x dx Cedxe xx += ( ) 10 ln <+= aC a a dxa x x += Cxxdx sincos += Cxxdx cossin Cx x dx += tan cos 2 Cx x dx += cot sin 2 Cudu += ( ) 1 1 1 + + = + C u duu ( )( ) 0ln =+= xuuCu u du Cedue uu += ( ) 10 ln <+= aC a a dua u u += Cuudu sincos += Cuudu cossin Cu u du += tan cos 2 Cu u du += cot sin 2 Tran phuoc vinh giao vien toa truong thpt duc tri Ta phải tính tích phân bất định dạng : ( ) = dxxfI Có hai cách đổi biến số. Dạng 1. B1: Chọn hàm ( ) tu và đặt ( ) tux = . Tính ( ) dttudx = B2: Khi đó ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) dttgdttutufdxxfI = == B3: Tính tích phân bất định ( ) dttg B4: Thay lại biến cũ Chú ý : Một số dấu hiệu để chọn hàm ( ) tu Dấu hiệu Chương III TÍNH ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM Trong nhiều bài toán thực tế ta cần phải tính đạo hàm của hàm số y = f(x) khi biết giá trị của hàm này tại các mốc x i . Ta biết: y i = f(x i ) (3.1) Ta có thể dùng công thức nội suy Lagrange để tính đạo hàm: f’(x) ≈ L n ’(x) (3.2) với ước lượng sai số: () () () () () 1 ' 1! n nn fc d R xx dx n ω + ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎜⎟ + ⎝⎠ (3.3) Vì điểm c phụ thuộc x nên ước lượng (3.3) chỉ đánh giá được khi x là các mốc nội suy x = x i ; Thông thường người ta xét đa thức nội suy với mốc cách đều với h = x i+1 – x i . 1.1 Tính đạo hàm cấp 1 a) Đạo hàm tại các điểm biên Khi x là điểm biên x0 hoặc xn ta dùng công thức nội suy bậc nhất với hai mốc nội suy để tính gần đúng đạo hàm: y’(x 0 ) = (y 1 -y 0 )/h (3.4) y’(x n ) = (y n -y n-1 )/h Vì y n = y n-1 + y’(x n ) h + 0(h 2 ) nên sai số của ước lượng (3.4) là O(h 2 ). b) Đạo hàm tại các điểm trong Khi x = x i là các điểm trong (i = 1,2, ,n-1) ta dùng công thức nội suy bậc 2 có x i là điểm giữa () () 2 11 1 1 2 ii i tt y xy ty y −− − − ≈+Δ+ Δ (3.5) với x = x i-1 +h.t Đạo hàm (3.5) theo x ta được: () ''' 2 11 2. 1 1 2 tx i i t yx yt y y h −− − ⎛⎞ =≈Δ+ Δ ⎜⎟ ⎝⎠ thay x = x i hay t = 1 vào công thức trên ta được: () () '2 11 1 1 11 1 1 22 ii i i ii yx y y y y y hh −− − − ⎛⎞⎛ ⎞ ≈Δ + Δ =Δ + Δ −Δ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ () () ' 1 1 2 iii y xyy h − ≈Δ+Δ hay () ' 11 2 ii i yy yx h +− − ≈ (3.6) với ∀i = 1,2,…,n-1. Để tính ước lượng sai số ta có các công thức: () () 2 '''3 1 2 '''3 1 2 2 iii i iii i h y yhy yOh h y yhy yOh + − ⎧ =+ + + ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ =− + + ⎪ ⎩ Do vậy: () '2 11 2 ii i yy y Oh h +− − =+ hay công thức (3.6) có sai số là O(h 2 ). 1.2 Đạo hàm cấp 2. Để tính đạo hàm cấp 2 ta dùng công thức nội suy cấp 2 để tính y’’(x i ). Đạo hàm hai lần liên tiếp biểu thức (3.5) ta có: () () '' 2 11 1 22 11 2 iiiii yx y y y y hh −+ − ≈Δ = − + (3.7) ta có các công thức sau: () () 23 '''34 1 23 '''33 1 26 26 iii i i iii i i hh yyhy y yOh hh yyhy y yOh + − ⎧ =+ + + + ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ =− + − + ⎪ ⎩ từ đó ta có: () () '' 2 11 2 1 2 iiii y yy yOy h +− −+ =+ Vậy sai số có bậc O(h 2 ). Chú ý:  Chúng ta đã có công thức tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại các mốc nội suy. Để tính đạo hàm tại các điểm không là mốc ta lại áp dụng phương pháp nội suy Lagrange.  Sai số khi tính đạo hàm ngoài sai số của công thức còn phải tính đến sai số làm tròn, và các bước nội suy h phải đủ nhỏ. Ví dụ: Hàm y = f(x) được cho tại các mốc sẽ có đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại các mốc này được tính và cho trong bảng sau: i x i y i y’ i y i ’’ 0 1 2 3 4 5 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,4 1,266 1,326 1,393 1,469 1,553 1,647 0,6 0,635 0,715 0,8 0,89 0,94 0,7 0,9 0,8 1,0 II.TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1 Công thức hình thang Giả sử chúng ta biết giá trị của hàm y = f(x) tại các mốc cách đều x i trên đoạn [a,b]. Hãy lập công thức tính tích phân hàm f(x) trên [a,b] qua các giá trị tại mốc. Chia [a,b] thành n phần bằng nhau. Khí đó ta có: h= (b-a)/n; x 0 =a; x n =b; x i = a+i.h; y i = f(x i ); (3.9) Công thức hình thang dựa trên ý tưởng sau.Trên mỗi Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 1 CỔNG LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM TÍCH PHÂN Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 2 I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức = = = ( ) ' '( ) dy df x y dx f x dx Ví d ụ :  d(x 2 – 2x + 2) = (x 2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx  d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx    Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau  ( ) ( ) 1 2 2 2 2 d x dx dx d x = ⇒ =  ( ) ( ) 1 3 3 3 3 d x dx dx d x = ⇒ =  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 x xdx d d x d x a d a x   = = = ± = − −        ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 1 1 1 3 3 3 3 x x dx d d x d x a d a x   = = = ± = − −        ( ) ( ) ( ) ax 1 1 ln ax ln ax d b dx dx d b d x ax b a b a x + = = + → = + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2 2 b dx b d b d b xdx d c x a a + = + + = − + → = −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos cos sin cos2 sin2 2 ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x a a + = + + = + → =  ( ) ( ) ( ) ax 2 2 1 1 1 ax 2 b ax b ax b x x e dx e d b d e e dx d e a a + + + = + = → =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 tan tan2 2 cos cos cos 2 d b dx dx d ax b d x a a ax b ax b x + = =  +  → =   + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 cot cot2 2 sin sin sin 2 d b dx dx d ax b d x a a ax b ax b x + = = −  +  → = −   + + II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm s ố f(x) liên t ụ c trên m ộ t kho ả ng (a; b). Hàm F(x) đượ c g ọ i là nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x) n ế u F’(x) = f(x) và đượ c vi ế t là ( ) f x dx ∫ . T ừ đ ó ta có : ( ) ( ) f x dx F x = ∫ Nh ậ n xét: V ớ i C là m ộ t h ằ ng s ố nào đ ó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên t ổ ng quát hóa ta vi ế t ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ , khi đ ó F(x) + C đượ c g ọ i là m ộ t h ọ nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x). V ớ i m ộ t giá tr ị c ụ th ể c ủ a C thì ta đượ c m ộ t nguyên hàm c ủ a hàm s ố đ ã cho. Ví d ụ :  Hàm s ố f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x 2 + C, vì (x 2 + C)’ = 2x  Hàm s ố f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho các hàm s ố f(x) và g(x) liên t ụ c và t ồ n t ạ i các nguyên hàm t ươ ng ứ ng F(x) và G(x), khi đ ó ta có các tính ch ấ t sau: a) Tính ch ấ t 1: ( ) ( ) ( ) f x dx f x ′ = ∫ Chứng minh: 01. ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia Trang 3 Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx F x f x ′ ′ = = ⇒ ∫ đpcm. b) Tính chất 2: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ Ch ứ ng minh: Theo tính ch ấ t 1 ta có, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x ′ ′ ′ + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ Theo đị nh ngh ĩ a nguyên hàm thì v ế ph ả i chính là nguyên hàm c ủ a f(x) + g(x). T ừ đ ó ta có [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ c) Tính chất 3: ( ) . ( ) ( ) , 0 k f x dx k f x dx k = ∀ ≠ ∫ ∫ Ch ứ ng minh: T ươ ng t ự nh ư tính ch ấ t 2, ta xét ( ) ( ) . ( ) . ( ) ( ) k f x dx k f x k f x dx k f x dx ′ = → = ⇒ ∫ ∫ ∫ đ pcm. d) Tính chất 4: ( ) ( ) ( ) f x dx f t dt f u du = = ∫ ∫ ∫ Tính ch ấ t trên đượ c g ọ i là tính bất biến c ủ a nguyên hàm, t ứ c là nguyên hàm c ủ a m ộ t hàm s ố ch ỉ ph ụ thu ộ c vào hàm, mà không ph ụ thu ộ c vào bi ế n. IV. CÁC Phần A NGUYÊN HÀM Bài Nguyên hàm a ∫ (2x − 3) dx e ∫ (2x − 1) dx b ∫ (4 − 3x) f ∫ − 2x dx dx c ∫ g ∫ (3x − 4) 5x − 17dx 12 dx d ∫ 10 − 7xdx − 6x h ∫ e dx + 3e3x −2 )dx j ∫ cos(5x − 8)dx k ∫ sin (3x − 1)dx ℓ ∫ ( + ∫ e2x −3 dx sin 3x cos 2x Bài Nguyên hàm hàm hữu tỉ có mẫu đa thức bậc bậc hai x −3 2x − dx d ∫ dx dx a ∫ b ∫ c ∫ dx (x − 1)(x + 1) (2x − 3)(4 − x) x+2 x−2 −4 2x + x −5 dx dx dx dx e ∫ f ∫ g ∫ h ∫ 2 25 − 4x 4x − 5x + x +x−2 x + 2x + 4x − 4x − 4x 8x dx dx i ∫ j ∫ k ∫ dx dx ℓ ∫ 2x − 3x + x − 4x + x − 2x − 4x − 4x + 2x + x + 6x + x3 dx n ∫ m ∫ p ∫ dx dx x − 6x + 12 x + 2x + x + x +1 Bài Nguyên hàm hàm hữu tỉ với đa thức bậc cao dx 2x 2x dx dx a ∫ b ∫ c d ∫ x + 2x + ∫ x − 4x + dx x +8 x − 5x + 16 2xdx x2 + dx dx e ∫ f g h ∫ x(1 − x ) ∫ x4 + ∫ (x + 1)3 − dx x(x + 1) Bài Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến 3 x2 +2 a ∫ 9x (x − 6) dx b ∫ x 3 16 − x dx c ∫ xdx d ∫ (log x) dx x ln x dx e ∫ sin( )dx f ∫ g ∫ sin 2x cos 2xdx h ∫ sin 2x cos xdx x x x(ln x + 1) (cos x − sin x)dx 2e 2x ex − e− x i ∫ j ∫ sin 2x cos x − 3dx k ∫ ℓ dx ∫ ex + e− x dx (sin x + cos x) + ex dx m ∫ tan 2xdx n ∫ (1 + tan x)dx p ∫ q ∫ tan xdx cos x dx dx ln(2x + 4x + 1) sin xdx dx r ∫ s t u ∫ ∫ x ln x ∫ + 2x 4x + Bài Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến sin 2x x5 1+ x3 dx a ∫ x − 2xdx b ∫ c ∫ d dx ∫ x dx x − x3 − x dx (2sin x − 3) cos x dx e ∫ x (1 − x) dx f ∫ g ∫ sin x tan xdx h ∫ 1+ x + sin x sin 2xdx x5 dx dx dx i ∫ j k ∫ ℓ ∫ ∫ (1 + x ) cos x sin x cos x + 3cos x 1 dx dx dx m ∫ n ∫ o ∫ + cos x + cos 2x − sin 2x Bài Tìm nguyên hàm phương pháp phần x −1 a ∫ (2x + 3)e dx b ∫ (x + 1) cos xdx c ∫ x ln xdx d ∫ x ln(x + 2)dx i e ∫ xe −x dx 2 f ∫ (3x + 1) ln(x + 1)dx g ∫ 2x sin xdx h xdx x ∫ cos i ∫ ln(x + x + 4)dx x m ∫ sin 2xe dx j 1+ x ∫ x ln − x dx n ∫ sin(ln x)dx k ∫ x sin 2xdx ℓ o ∫ ln xdx p ∫x e x2 ∫ dx x ln(x + + x ) 1+ x2 dx + 2x cos x ln x x ( − )e dx r s dx ∫ + x dx ∫ sin x sin x ∫ x2 Bài Tìm hàm số f(x) biết f′(x) = 2sin x – 3cos x f(π/2) = Bài Tìm hàm số f(x) biết f′(x) = x + 1/x² f(–1) = 1/2 Bài Tìm hàm số f(x) thỏa mãn f″(x) = 12x² + 6x – 4; f(0) = 4; f(1) = Bài 10 Tìm nguyên hàm F(x) f(x) = x sin x biết F(0) = Bài 11 Tìm nguyên hàm F(x) f(x) = x x + biết F(0) = Bài 12 Tìm nguyên hàm F(x) f(x) = – 2/x + m/x² biết F(x) đạt cực trị x = F(2) = Phần B TÍCH PHÂN Bài Tích phân 1 1 x dx (3x + 2x)dx ( + e )dx [ − x + 1]dx a ∫ b ∫ c ∫ d ∫ x + x + (x + 4) 0 0 q π/2 ∫ (2sin e π/2 x − sin 2x)dx π/4 ∫ sin 2x cos xdx f g i ∫ ( x − + 2x)dx 1 j ∫ x(2x − 1) dx π/12 ∫ sin 2x sin 2 2 k ∫ x (3 − ) dx x 4−x dx x ∫ e π/2 ∫ i π/3 dx + sin x f 2 dx g j ∫x p − 2xdx k ∫x ∫ (1 − tan e x − 1dx π/2 d ∫ sin x cos xdx h ∫ sin x cos π/4 4x + 5dx ℓ −1 ∫ π/6 x )dx 2 e3 π/2 π/3 2x 2xdx 2x −1 − e − x )dx ℓ ∫ (e 2 ∫e ∫ cos h ln ∫ cos x xdx (2e + 1) (3 − 2x ) dx dx dx n ∫ o ∫ x −1 cos 3x e x3 0 Bài Tính tích phân phương pháp đổi biến x x − x dx x(2x − 1) dx dx a ∫ b ∫ c ∫ x2 +1 0 ∫ m x π/4 14x π/2 7x + dx x dx 64 1 + ln x ln x dx dx n ∫ (cos x − cos x)dx o ∫ + cos xdx p ∫ ∫1 x + 23 x x 0 Bài Tính tích phân phương pháp đặt hàm lượng giác 1 dx 2 16 − x dx dx a ∫ b ∫ c ∫ d ∫ x 2x − x dx 2 + x 4−x 0 0 m e ∫x ∫x − x dx f 1+ x2 dx dx g 2−x dx 2+x ∫ 1 b ∫ x ln(x + 1)dx e ∫x ln(x + 1)dx f ∫e π ℓ cos xdx g ∫x (16 + x )3 x sin x ∫ + cos x d ln x dx x2 ∫ e2 sin 2xdx h ∫( dx dx e x sin 2xdx π/2 2x 0 π/2 ∫ ∫ π/2 c h dx dx i ∫ j ∫ k ∫ 2 x − 2x + −5 + 6x − x x − 4x + Bài Tính tích phân phương pháp phần x a ∫ (x + 1)e dx x ln x)dx i ∫ ln(2x + 1)dx π/3 x −1 dx j ∫ x ln x +1 + x ln x x e dx k ∫ x ln(sin x) dx cos x π/6 ∫ ℓ xe x x +1/ x dx n ∫ (1 + x − ).e ∫0 (x + 1)2 dx x 1/2 Bài Tính tích phân m a ∫ (2 + x )e dx x 1 π/4 b ∫ ln (x + 1)dx ∫ x tan c x 2 f ∫ 3x ln(4 + 2x + x )dx ∫0 ex dx −2 Bài Tính tích phân ... THPT Nho Quan A Phần Tích Phân- Giải tích 12 ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K nếu: F '(x) =... https://www.facebook.com/dongpay Trang Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Tích Phân- Giải tích 12 MỤC LỤC ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ... chất: Có hàm số nguyên hàm hàm số lại? A sin 2x cos x B tan x C e x e − x D sin x sin x cos x 2 Câu 82: Gọi F1(x) nguyên hàm hàm số f1 (x) = sin x thỏa mãn F1(0) =0 F2(x) nguyên hàm hàm số f