Chương III. §3. Cấp số cộng

Dãy số đã cho gọi là một cấp số cộng... Phát biểu định nghĩa cấp số cộng?. Phát biểu định nghĩa cấp số cộng?. C ẤP SỐ CỘNG Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn ,

KIỂM TRA BÀI

CŨ

Viế t số hạng đầ u củ a dã

(u

y

Giải :

Năm số hạng đầu củ a dãy số trên là: -1, 2, 5, 8, 11.

Hã y chỉ ra mộ t từ nă m số hạng

-1, 2, 5, 8, 11

đầ u : củ a dã y số (u )

quy

đa õ

lu ä

cho?

Viết tiếp năm số hạng củ a dãy số theo quy lua

Trả lời:

* Quy luật : kể từ số hạng thứ hai,

mỗi số hạng đều bằng số hạng

đứng ngay trước nó cộng với 3.

* Năm số hạng tiếp theo của dãy

là: 14, 17, 20, 23, 26.

Dãy số đã cho gọi là một cấp

số cộng.

Dãy số :2, -3, -8, -13 có phải là một cấp số

cộng không?

Dãy số :2, -3, -8, -13 là một cấp số cộng.

Phát biểu định nghĩa cấp

số cộng? Phát biểu định nghĩa cấp số cộng?

Tiết

41

§ 3 C ẤP SỐ CỘNG

Định nghĩa:

Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai

của cấp số cộng.

I Định

nghĩa

Khi d = 0 thì cấp số cộng là một

dãy số không đổi

*

1

( ) un là cấp số cộng ⇔ ∀ ∈ n ¥ , un+ = + un d , d là hằng số

n 1

Cho là một cấp số cộng co ùnăm số hạng với

Viết dạng khai tri

1 (u )

ển

u ,d 4

của

3

nó

= − =

HĐ 1

Giải

Ta có:

4 ; 4

4 ; 4 3

Vậy dạng khai triển của dãy

số đã cho là

1 11 23 35 47 , , , ,

−

1

tần

g

2 tần g

3 tần g

HĐ2 Mai và Hùng chơi trò xếp các que

diêm thành hình tháp trên mặt sân Cách xếp như hình dưới

Hỏi: Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?

1

taàn

g

2 taàn g

3 taàn g

4 taàn g

3

15

11 7

?

100 taàng

II.Số hạng

tổng quát.

( )

u = u + n 1 d vớ − i n 2 (2) ≥

* Định lí

1

I Định nghĩa:

SGK/93

§ 3 C ẤP SỐ CỘNG

Nếu cấp số cộng (u n )có số hạng đầu

là u 1 và công sai d thì số hạng tổng

quát u n được xác định bởi công thức:

* Chứng minh:

Sgk/94

*

1

( ) un là cấp số cộng ⇔ ∀ ∈ n ¥ , un+ = + un d , d là hằng số

= −

11

2 3

1 2 3 4 5

4

Cho cấp số cộng ,biết

a) Tìm

b) Số là số hạng thư ù bao nhiêu?

c) Biểu diễn các số hạng u ,u ,u ,u ,u trên trục số Nhận xét vị trí của mỗi đ

u 4, d = 3.

iểm

u

86

u ,

)

u

u

,u

(

so với hai điểm liền kề.

* Ví dụ 1:

n 1

(u ) có

Cấ p số cộ ng u = − 4, d = 3.

Giả i:

a) u u 10d 4 10.3 26

c) Năm số hạng đầu của cấp số cộng

là -4, -1, 2, 5, 8 được biểu diễn trên trục

số như hình vẽ sau: u1 u2 u3 u4 u5

1 3

2

3 4

Điểm u là của đoạn ,hay

Tương tự đố

u +

i

u

với u

2

và u

=

b) u 4 ).3 mà u 86

nên 4 3(n 1) 86 3(n -1) = 90 n -1= 30 n = 31

III.Tính chất các số hạng của cấp số cộng

* Định lí 2 Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là

trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

k

2

Chứng minh: Giả sử (un) là cấp số cộng

với công sai d

k 1

k 1

k 1 k 1

k 1 k

k

Vớ i k 2 ta có u u d; u u d

2

ha

−

+

=

−

=

đ

* Ví dụ 2: Trong các dãy số sau,

dãy số nào là cấp số cộng? Tính

số hạng đầu và công sai của nó.

n

n n

a) u 5 2n

b) u 3

= −

=

Gia ûi:

n 1 n 1

n

a) Với n 1, xét hiệu u u 5 2(n 1) (5 2n)

5 2n 2 5 2n 2, suy ra Vậy (u ) là cấp số cộng c

ó và công sai

2

+

+

=

n

b)Với n 1, xét hiệu u u 3 3 3.3 3 2.3 Vậy (u ) không phải là cấp số cộng

+ +

Dãy số này gọi là một cấp số nhân

* Bài tập 1 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau, biết:

Gia ûi:

3 10

4 9

+ = −



 − =



+ = − + + + = −

⇔

 − =  + − + =





1 1

2u 11d 31

u 2d 7

+ = −



⇔  − =



1

u 1

=



⇔  = −



Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u 1 = 1 và công sai d = -3

CỦNG CỐ

* Số hạng tổng

quát:

* Định nghĩa cấp số cộng.

( )

n 1

u u n 1 d với n 2 (2)

* Tính chất các số hạng của cấp số cộng

k

u u

u ,k 2 (3)

2

− + +

*

1 ( )u n là cấp số cộng ⇔ ∀ ∈ n ¥ , un+ = +u n d, d là hằng số

* Phương pháp chứng minh dãy số (un)

là cấp số cộng:Xét hiệu H = un+1 - un Nếu H không

đổi thì (un) là cấp số cộng Nếu H phụ thuộc n thì (un) không là cấp số cộng

Em chọn phương án nào?

Khi kí hợp đồng dài hạn với các kỹ sư được tuyển dụng, công ty liên doanh A đề xuất

hai phương án trả lương như sau:

Phương án 1: Người lao động sẽ nhận 36

triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên, và kể từ năm làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng một năm

Phương án 2: Người lao động sẽ được nhận

7 triệu đồng cho qúy làm việc đầu tiên,

và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 500.000 đ mỗi qúy