de thi hki mon toan lop 9 tinh khanh hoa 89991

y x o - 2 3 ĐỀ THI HỌC KỲ I MÔN : TOÁN 9 A/ TRẮC NGHIỆM : (4đ) 1. Khẳng định nào sau đây sai : A. 0,01 = 0001,0 B. 54 < 8 và 54 > 7 C. – 0,4 = – 16,0 D. (3 – 10 ).5x < 7 (3 – 10 ) ⇔ 5x < 7 2. Biểu thức 2 )1( x − bằng : A. 1 – x B. x – 1 C. – x − 2 D. 1 − x 3. Đường thẳng (d) trên hình vẽ là đồ thị của hàm số nào ? A. y = – 2 3 x – 2 B. y = 2 3 x – 2 C. y = 3 2 x – 2 D. y = 3 2 x + 2 (d) 4. Cho hàm số y = (m 2 – 1)x + 2. Hãy xác định m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x + m A. m = 2 B. m = – 2 C. m = ± 2 D. m ≠ ± 2 5. Kết quả nào sau đây sai : A. 0 0 60sin 30sin = tg30 0 B. 1 – sin 2 50 0 = cos 2 50 0 C. tg30 0 .cotg60 0 = 1 D. tg28 0 = cotg62 0 6. Cho đường tròn (O) có bán kính 5cm và một dây AB cách tâm O một khoảng 3cm . Độ dài của dây AB là : A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. Một đáp số khác. 7. Cho ∆ ABC vuông tại A có số đo góc B = 60 0 và BC = 30cm. Độ dài cạnh AC là : A. 15cm B. 15 2 cm C. 15 3 cm D. Một đáp số khác. 8. Cho đường tròn (O ; 4cm) . Điểm A cách O một khoảng 8cm. Kẻ các tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (O) . Số đo góc BAC bằng : A. 30 0 B. 45 0 C. 60 0 D. 90 0 B/ TỰ LUẬN : (6đ) Bài 1 . Tính (rút gọn) : (1đ) a/ 2 18 – 7 50 + 4 72 b/         − − − 71 77 5         − + + 5 21 714 Bài 2. Giải pt : 96 2 +− xx – 5 = 0 (1đ) Bài 3 . a/ Vẽ đồ thị (d) của hàm số y = – 2x + 1 (0,5đ) b/ Viết pt đường thẳng song song với đường thẳng (d) và đi qua điểm A (–2 ; 2) (0,5đ) Bài 4 . Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và dây cung BC = R. Gọi K là trung điểm của dây AC , qua A dựng tiếp tuyến Ax với (O) cắt tia OK tại M. a/ Chứng minh ∆ ABC vuông . Tính số đo góc CBA và độ dài cạnh AC theo R . (0,75đ) b/ Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) . (0,75đ) c/ Tia OM cắt đường tròn (O) tại E . Chứng minh tứ giác AECO là hình thoi. (0,75đ) d/ Vẽ CH ⊥ AB tại H và gọi I là trung điểm CH . Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt tia AI tại D. Chứng minh ba điểm M , C , D thẳng hàng. (0,75đ) HẾT Onthionline.net SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN TOÁN Thời gian làm : 90 phút (không kể giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,00 điểm) Thực phép tính (không dùng máy tính cầm tay) A = − 18 B= 10 − + −2 1− Bài (2,00 điểm)    x +1 x +2 − 1÷:  − ÷ với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ Cho biểu thức C =  x −1 ÷  x −   x −  Rút gọn biểu thức C Tìm giá trị x để C = − Bài (2,00 điểm) Cho hàm số y = -2x + có đồ thị đường thẳng (d) Vẽ đường thẳng (d) mặt phẳng tọa độ Oxy Tìm giá trị m đề đường thẳng (d’) : y = (2 – m)x (với m ≠ ) cắt đường thẳng (d) điểm có hoành độ âm Bài (4,00 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính 6cm điểm A cho OA = 6cm Vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B tiếp điểm) Vẽ dây BC vuông góc với OA I Tính độ dài AB, BI Chứng minh AC tiếp tuyến (O) Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) M Qua M vẽ tiếp tuyến với (O), tiếp · tuyến cắt AB, AC D E Tính số đo DOE Lấy điểm K cố định nằm đường tròn (O) Tìm điểm N (O) cho tổng (NA + 2NK) đạt GTNN …………………….HẾT…………………… ĐỀ DỰ BỊ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẢNG A TỈNH KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2008-2009 Huỳnh Kim Linh Sưu tầm và giới thiệu —————— Bài 1.(4 điểm) Giải hệ phương trình :          x 3 + 3x + √ 3x + 1 − 5 = y y 3 + 3y + √ 3y + 1 − 5 = z z 3 + 3z + √ 3z + 1 − 5 = x Bài 2.(4 điểm) Cho hàm số f(x) = √ 1 + x 2 − x và ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca = 1. Tính P = f(a)f(b) + f(b)f(c) + f(c)f(a). Bài 3.(4 điểm) Tính giá trị lớn nhất của diện tích các ngũ giác lồi phẳng ABCDE biết rằng : AB + BC = a (a > 0, hằng số cho trước) và mỗi cạnh của ngũ giác song song với một đường chéo của nó. Bài 4.(4 điểm) Tìm số m nguyên dương sao cho : (m − 2) chia hết cho ba số nguyên dương phân biệt : x, y, z và thỏa mãn : x + y + z = m. Bài 5.(4 điểm) Tìm số mũ lớn nhất của 2 trong khai triển NEWTON của số  (1 + √ 3) 2008  , trong đó kí hiệu số [a] là phần nguyên của số a. ——— HẾT ——— ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN 2 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I – NĂM HỌC 2012-2013 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: ( 3.0 đ ) Thực hiện phép tính a) 50418372  b) 324)32( 2  c) 223 2 223 2    d) 32 1 25 1215     Bài 2: ( 1.5 đ ) Rút gọn a) A = 1 – x + 96 2  xx ( x ≥ 3 ) b) B =                       xx x x x 1 1 1 1 1 1 ( x > 0; x ≠ 1 ) Bài 3: ( 2.0 đ ) Cho hàm số y = 2x – 1 có đồ thị là ( d 1 ) và hàm số y = -x + 2 có đồ thị là ( d 2 ) a) Vẽ ( d 1 ) và ( d 2 ) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm A của ( d 1 ) và ( d 2 ) bằng phép tính. c) Tìm hệ số a, b của đường thẳng (d 3 ): y =ax + b ( a ≠ 0 ) biết ( d 3 ) song song với ( d 1 ) và ( d 3 ) cắt ( d 2 ) tại điểm B có hoành độ là – 2 Bài 4: ( 1.0 đ ) Cho tam giác ABC vuông tại A biết BC = 32cm và  C =37 0 . Tính số góc B, độ dài AB, AC ( độ dài cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất ) Bài 5: ( 2.5 đ ) Từ điểm A ở ngoài đường tròn ( O, R ). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến ( O) ( B, C là tiếp điểm ) a) Chứng minh OA vuông góc BC. b) Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ BC. Vẽ tiếp tuyến tại M của (O ) cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh 2    BOC EOF c) Kẻ đường kính BD của đường tròn ( O ) và vẽ CK vuông góc BD tại K. Chứng minh AC . CD = CK.OA HẾT ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN 2 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN 9 Bài 1: ( 3.0 đ ) Thực hiện phép tính a) 50418372  = 6 220292  0.25đ + 0.25đ = -5 2 0.25đ b) 324)32( 2  = 2 )13(32  0.25đ + 0.25đ = 2 - 133  = 1 0.25đ c) 223 2 223 2    = )223)(223( )223(2)223(2   0.25đ = 12 89 246246    ( 0.25đ + 0.25đ ) d) 32 1 25 1215     = )32)(32( 32 25 )25(3      0.25đ + 0.25đ = 2323  0.25đ Bài 2: ( 1.5 đ ) Rút gọn a) A = 1 – x + 96 2  xx ( x ≥ 3 ) A = 1 – x + 2 )3( x 0.25đ A = 1 – x + 3x 0.25đ A = 1 – x + x – 3 = -2 0.25đ b) B =                       xx x x x 1 1 1 1 1 1 ( x > 0; x ≠ 1 ) B = x x xx xx 1 . )1)(1( )1()1( 22    0.25đ + 0.25đ B = 1 41 . 1 4    xxx x 0.25đ Bài 3: ( 2.0 đ ) a) ( d 1 ) : y = 2x -1 đi qua (0,-1 ) và ( 1;1 ) vẽ đúng 0.25đ+0,25đ a) ( d 2 ) : y = - x +2 đi qua ( 0; 2) và ( 2; 0 ) vẽ đúng 0.25đ +0,25đ b) Phương trình hoành độ giao điểm 2x – 1 = - x + 2 0.25đ Giải đúng x = 1; y = 1 0.25đ c) ( d 3 ) : y =ax + b ( a ≠ 0) (d 3 ) song song (d 1 ) : a = 2 0.25đ Tìm đúng b = 8 0.25đ Bài 4: B Tính đúng 0 53  B 0.5đ Tính đúng AB ≈ 19,3cm 0.25đ Tính đúng AC ≈ 25,6 cm 0.25đ A C Bài 5: ( 2.5 đ ) B a) Chứng minh OA BC  (1.0 đ ) E Ta có: AB = AC ( t/c hai tiếp tuyến ) 0.25đ OB = OC = R 0.25đ OA là đường trung trực của BC 0.25đ A Suy ra OA BC  0.25đ M b) Ta có: 2    BCC EOF (1.0 đ ) C F D Ta có:   MOFEOMEOF 2    BOM EOM ; 2    MOC MOF (t/c hai tiếp tuyến ) 0.25đ .2 2     MOCBOM EOF 0.25đ 2    BCC EOF 0.25đ c) Chứng minh AC . CD = CK.OA ( 0.5đ ) Chứng minh đúng ∆ BCD nội tiếp đường tròn ( O ) Có cạnh BD là đường kính nên ∆ BCD vuông tại C. → DC //OA →   AOBCDK ( 2 góc đồng vị ) Nên sin CD CK CDK   O K sin AOB = OA AC OA AB  nên OA AC CD CK  Vậy CK.OA = AC.CD Học sinh làm đúng chính xác cho 0.5 điểm Lưuý : Học sinh có cách làm khác giáo viên vận dụng thang điểm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KIÊN GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu Đáp án Câu 1a - Hàm số y = (m – 2m)x + m2 – nghịch biến (1,25đ) ⇔ m – 2m < ⇔ m(m – 2) < Điểm 0,25 ⎡ ⎧m > ⎢⎨ ⎢ ⎩m < ⇔ < m < (1) ⎢ ⎧m < ⎢⎨ (loai ) ⎢⎣⎩m > - Cắt trục tung : m2 – = ⇔ m = ±2 (2) Từ (1) (2) ⇒ m ∈ ∅ ⎡ ⎧m > ⎢⎨ ⎩m − < ⇔ ⇔⎢ ⎢ ⎧m < ⎢⎨ ⎢⎣⎩m − > 0,25 0,25 0,5 Câu 1b Tìm giá trị nhỏ : (1,5đ) M = 5x2 + y2 + z2 - z – 4x – 2xy – M = x2 - 2xy + y2 + 4x2 – 4x + + z2 - z + − 4 0,25 9 = (x – y)2 + (2x – 1)2 + ⎛⎜ z − ⎞⎟ – ≥ 2⎠ ⎝ Giá trị nhỏ M = − ⎧ ⎪x − y = ⎪ ⇔ ⎨2 x − = ⇔ x = y = z = ⎪ ⎪z − = ⎩ Câu 1c Cho x + y = - x2 + y2 = 11. Tính x3 + y3 (1,25đ) Ta có : x3 + y3 = (x+y)(x2 + y2 – xy) = -5(11 – xy) (1) Mà x + y = -5 ⇒ x2 + y2 +2xy = 25 (2) ⇒ 11 + 2xy = 25 ⇒ xy = 3 Từ (1) (2) ⇒ x + y = -5(11- 7) = -20 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 Câu 2a (2,0đ) Rút gọn : A = x + 5x + + x − x 3x − x + (x + 2) − x : 2. + 2x 3− x 0,25 ĐK : -3 < x < (x + 3)(x + 2) + x + x . − x : − x + x 3− x 3− x x(3 − x ) + ( x + 2) + x . − x + x [( x + ) + x + x − x ] 3+ x = :2 3− x − x [x − x + ( x + ) + x .] A= 3+ x = = 3− x :2 3+ x 3− x 0,5 0,5 0,5 0,25 Câu 2b Cho a, b c thỏa mãn : + + = a b c a+b+c (2,0đ) Tính giá trị biểu thức Q = (a27 + b27)(b41 + c41)(c2013+ a2013) 1 1 1 1 − + + = ⇒ + = a b c a+b+c a b a+b+c c a+b − (a + b ) ⇒ = ab c(a + b + c ) ⇒ (a+b)c(a+b+c) = -ab(a+b) ⇒ (a+b)[c(a+b+c) +ab] = ⇒ (a+b)[c(a+c)+bc +ab] = ⇒ (a+b)[c(a+c) +b(a+c)] = ⇒ (a+b)(a+c)(b+c) = ⎡a + b = ⎡a = −b ⇒ ⎢⎢b + c = ⇒ ⎢⎢b = −c ⎢⎣c + a = ⎢⎣c = − a Ta có : - Thế vào tính Q = Câu 3a (2,0đ) Giải phương trình : ( x + 10 + 17 − x ) 0,25 0,25 0,5 0,25 0,75 x + 10 + 17 − x = = 33 x + 10 + 17 – x + 3. ( x + 10)(17 − x) .3 = 27 (x+10)(17 – x) = x = -10 , x = 17 Câu 3b ⎧ 2x − y+5 2,0đ Giải hệ phương trình : ⎪⎨ y + + x − = ⎪3 x + y = 19 ⎩ 0,5 0,5 0,5 0,5 (với x > , y > −5 ) 2x − =m>0 y+5 ⇒ m+ = ⇔ m − 2m + = ⇔ (m − 1) = ⇔ m = (nhận) m Đặt 2x − = ⇔ 2x − = y + ⇔ 2x − y = y+5 ⎧2 x − y = ⎧4 x − y = 16 ⎧x = Giải hệ ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩3x + y = 19 ⎩3x + y = 19 ⎩y = 0,5 0,5 0,5 ⇒ Câu (4,0đ) Câu a (1,0đ) 0,5 Hình 0,5đ a) Chứng minh : KD = CI EF//AB. – Cminh ABID, ABCK hình bình hành ⇒ DI = CK (cùng AB) ⇒ DI + IK = CK + IK ⇒ DK = CI 0,5 0,25 0,25 (1,25đ) - C/m : ΔAEB đồng dạng Δ KED (g.g) AE AB = EK KD 0,5 AF AB ⇒ = FC CI 0,25 ⇒ Δ AFB đồng dạng Δ CFI (g.g) Mà KD = CI (cmtrên) ⇒ AE AF = ⇒ EF / /KC (Đlí Talet đảo Δ AKC) EK FC 0,5 Câu b b) Chứng minh AB2 = CD. EF. (1,25đ) Ta có : Δ KED đồng dạng ΔAEB (cmtrên) ⇒ DK DE = AB EB DK + AB DE + EB = AB EB DK + KC DB = ⇒ AB EB ⇒ ⇒ DC DB (1) = AB EB Do EF//DI (theo CMT: EF//KC, I ∈ KC) 0,5 0,25 ⇒ DB DI DB AB = ⇒ = (2) EB EF EB EF Từ (1) (2) ⇒ (Vì DI = AB) DC AB = ⇒ AB = DC .EF AB EF Câu 4,0đ Hình 0,5đ A B H K xO D 0,5 Q C M Câu a (1,75đ) Câu b (075đ) Câu c (1,0đ) a) Chứng minh MC + MB = MA ? - Trên MA lấy D cho MD = MB ⇒ ΔMBD cân M góc BMD = góc BCA = 600 (cùng chắn cung AB) ⇒ ΔMBD - Xét ΔMBC ΔDBA Ta có : MB = BD (vì ΔMBD đều) BC = AB (vì ΔABC đều) Góc MBC = góc DBA (cùng cộng góc DBC 600) ⇒ ΔMBC = ΔDBA (c-g-c) ⇒ MC = DA Mà MB = MD (gt) ⇒ MC + MB = MA b) Xác định vị trí điểm M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. Ta có : MA dây cung (O;R) ⇒ MA ≤ 2R ⇒ MA + MB + MC ≤ 4R (không đổi) Dấu “ = “ xảy ⇔ MA đường kính ⇔ M điểm cung BC c) CMR : MH + MK + MQ = Ta có 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 ( S + 2S ') 3R MH . AB MK .BC MQ. AC + + = S MAB + S MBC + S MAC 2 ⇒ AB.(MH + MK + MQ ) = (S + 2S’) Tính nói AB cạnh tam giác nội tiếp (O;R) 0,25 0,25 ⇒ AB = R 0,25 ⇒ MH + MK + MQ = 0,25 (S + S ' ) 3R Lưu ý : Học sinh giải cách khác cho trọn số điểm [...]... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KIÊN GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 Câu Đáp án 2 Câu 1a - Hàm số y = (m – 2m)x + m2 – 1 nghịch biến 2 (1,25đ) ⇔ m – 2m < 0 ⇔ m(m – 2) < 0 Điểm 0,25 ⎡ ⎧m > 0 ⎢⎨ ⎢ ⎩m < S GD&T QUNG BèNH CHNH THC H v tờn: S BO DANH: K THI CHN HSG TNH NM HC 2015-2016 Khúa ngy 23 thỏng nm 2016 Mụn thi: TON LP Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) gm cú 01 trang Cõu (2.0 im) Cho biờu thc: P = x2 x x + x 2( x 1) + vi < x x + x +1 x x a Rỳt gon biờu thc P b Tim x biờu thc P at gia tri nho nhõt Cõu (3.0 im) a Cho phng trinh: x + 2mx + m = (tham sụ m) Tim m phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 thoa man | x1 x2 + x1 + x2 |= b Giai hờ phng trinh: { x3 x y + x = y xy + y x + x = y x + 11 Cõu (2.5 im) Cho tam giac ABC ni tip ng trũn (O) v ngoai tip ng trũn (I), AI ct (O) tai M (khac A), J l iờm ụi xng vi I qua M Goi N l iờm chớnh gia ca cung ẳ ABM , NI v NJ ln lt ct (O) tai E v F a Chng minh MI = MB T o suy BIJ v CIJ l cac tam giac vuụng b Chng minh I , J , E, F cựng nm trờn mt ng trũn Cõu (1.5 im) Cho a, b > thoa man a + b Tim gia tri ln nhõt ca biờu thc sau: M= 1 + a + b2 b + a2 Cõu (1.0 im) Tim tõt ca cac sụ nguyờn dng m v n thoa man iu kiờn: n2 + n + 1= ( m2 + m 3) ( m2 m+ 5) -hết - S GD&T QUNG BèNH HNG DN CHM K THI CHN HSG TNH NM HC 2015-2016 Khúa ngy 23 thỏng nm 2016 Mụn thi: TON LP ap an gm cú 04 trang YấU CU CHUNG * ap an ch trinh by mt li giai cho mi bi Trong bi lm ca hoc sinh yờu cu phai lp lun lụgic cht ch, y , chi tit v rừ rng * Trong mi bi, nu hoc sinh giai sai bc giai trc thi cho iờm ụi vi nhng bc giai sau co liờn quan cõu nu hoc sinh khụng v hinh hoc v hinh sai thi cho iờm * iờm thnh phn ca mi bi noi chung phõn chia n 0,25 iờm ụi vi iờm thnh phn l 0,5 iờm thi tu t giam khao thụng nhõt chit thnh tng 0,25 iờm * Hoc sinh co li giai khac ap an (nu ỳng) cho iờm tụi a tu theo mc iờm ca tng bi * iờm ca ton bi l tng (khụng lm trũn sụ) ca iờm tõt ca cac bi Cõu Nụi dung iờm x x x + x 2( x 1) + vi < x x + x +1 x x a Rut gon biờu thc P Vi < x ta co: x2 x x ( x 1)( x + x + 1) = = x ( x 1) = x x x + x +1 x + x +1 2x + x x (2 x + 1) = = x +1 x x Cho biờu thc: P = 2( x 1) 2( x 1)( x + 1) = = 2( x + 1) x x P = ( x x ) (2 x + 1) + 2( x + 1) = x Kờt luõn: P = x x + 1, < x 0,25 0,25 0,25 x +1 b Tim x biờu thc P at gia tri nho nhõt Vi < x ta co: 3 P = x x + = ( x )2 + 4 1 Dõu = xay v ch x = x = 1,0 Kờt luõn: P at gia tri nho nhõt v ch x = 2 a Cho phng trinh: x + 2mx + m = (tham sụ m) Tim m phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 thoa man | x1 x2 + x1 + x2 |= Ta co: = m 2(m 2) = m Phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 m m 0,25 1,0 0,50 0,50 1,50 0,25 0,25 Theo inh ly Viet ta co: x1 + x2 = m; x1.x2 = m2 2 Theo bi ra: m m4 =6 2 | m m |= m2 m = m m = c m= (loại) m2 m 12 = m= (loại) hoặ m= hoặ c m= m m= | x1 x2 + x1 + x2 |= m= hoặ c m= Kờt luõn: m = ; m = b Giai hờ phng trinh: { { x3 x y + x = y xy + y x + x = y x + 11 x20 KX: x x x3 x y + x = y xy + y (1) x + x = y x + 11 (2) T (1) ta co: x3 x y + x = y xy + y x3 x y + x y + xy y = ( x3 y ) xy ( x y ) + ( x y ) = ( x y )[( x + xy + y ) xy + 1] = ( x y )( x xy + y + 1) = x y = (do x xy + y + > x, y Ă ) x= y { Thay x = y vo (2) ta co: x + x = x x + 11 (3) VP = x x + 11 = ( x 3) + 2, x [2; 4] Dõu = xay x = VT = x + x = ( x 2).1 + (4 x).1 ( x 2) + (4 x) + + = 2, x [2; 4] 2 Dõu = xay x = { x2+ x = x =3 x x + 11 = Do x = nờn y = Kờt luõn: ( x; y ) = (3; 3) Cho tam giac ABC ni tip ng trũn (O) v ngoai tip ng trũn (3) (I), AI ct (O) tai M (khac A), J l iờm ụi xng vi I qua M Goi N l iờm chớnh gia ca cung ẳ ABM , NI v NJ ln lt ct (O) tai E v F a Chng minh MI = MB T o suy BIJ v CIJ l cac tam giac 0,25 0,25 0,50 1,50 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 1,50 vuụng 0,25 àA ã ã ã Ta co: MBC (AM l phõn giac goc BAC ) = MAC = àA àB ã ã ã (1) MBI = MBC + CBI = + 2 à ã ã + IBA ã = A+ B (2) (tớnh chõt goc ngoi tam giac) MIB = IAB 2 T (1) v (2) suy tam giac MBI cõn tai M, o MI = MB Tng t ta co: MI = MC Xet tam giac BIJ ta co: MB = MI = IJ tam giac BIJ vuụng tai B Tng t: tam giac CIJ vuụng tai C Vy BIJ