de thi hsg mon toan lop 9 truong thcs nghia thang

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN Bài 1: (1,5đ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 4x – 2y = 10 3x – 4y = 12 b) x 2 – ( 2- 3 )x - 2 3 = 0 c) 4x 2 + 7x 2 – 2 = 0 Bài 2: (1đ) Rút gọn: a) 3 3 13 2 23 2575 + − − − − b) 521028521028 +−+++ Bài 3: (1,5đ) Trong mặt phăng tọa độ Oxy cho hàm số y= - 4 1 x 2 có đồ thị (P) và đường thẳng (D): y = - x a) Vẽ (P) và (D) b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) c) Viết phương trình đường thẳng (D 1 ) song song với (D) và cắt (P) tại điểm có hoành độ là -2 Bài 4: (1đ) Cho phương trình: x 2 – ( m + 3 )x + m + 2 = 0 a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm x 1, x 2 với mọi giá trị của m b) Tính A = x 2 1 + x 2 2 - 6x 1 x 2 theo m. Bài 5:(1đ) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10m. Người ta làm lối đi rộng 2m xung quanh vườn. Khi đó diện tích còn lại là 1.656m 2 . Tính chu vi khu vườn hình chữ nhật. Bài 6: ( 4đ) Cho đường tròn (O) và 1 điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là 2 tiếp điểm ) và cát tuyến AMN ( M nằm giữa A và N) với đường tròn. Gọi E là trung điểm của dây MN. I là giao điểm thứ 2 của đường thẳng CE với đường tròn. a) Chứng minh: 4 điểm A, O,E,C cùng thuộc 1 đường tròn. b) Chứng minh: AC 2 = AM.AN c) Chứng minh: BI// MN d) Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN Câu 1 : (1,5đ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau : a) 3x – 4y = 25 5x – 7y =43 b) 2 x + ( 7 - 1 )x - 7 = 0 c) 6 4 x - 2 x - 1 = 0 Câu 2 : ( 1,5đ ) Thu gọn các biểu thức sau : ( ) 2 5 2 3 5A = − + 2 a a b b a b B ab a b a b    + + = −  ÷ ÷  ÷ ÷ − +    với 0; 0;a b a b≥ ≥ ≠ Câu 3 : ( 1,5đ ) Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 80m . Nếu tăng chiều rộng lên 2 lần và giảm chiều dài 10 m thì diện tích tăng thêm 100 2 m . Tính kích thước ban đầu của miếng đất ? Câu 4 : ( 2 đ ) Cho phương trình : 2 x - 2( m – 1 ) x + 2 m - 3m - 4 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 x và 2 x b) Đặt A = 2 2 1 2 1 2 .x x x x+ − 1) Tìm m sao cho A = 20 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng . Câu 5 : ( 3,5đ ) Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O ; R ) có BC = 3R ; AD là đường cao và AM là đường kính của đường tròn ( O ) . a) Chứng minh : AB . AC = AD . AM . b) Tia AD cắt đường tròn ( O ) tại K . Chứng minh : Bốn điểm B , C , M , K là đỉnh của hình thang cân . c) Gọi H là điểm đối xứng của K qua BC . Tính độ dài AH theo R . d) Tia BH cắt cạnh AC tại E , tia CH cắt cạnh AB tại D . Tính độ dài DE theo R. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN Bi 1 (1.5đ) Thu gọn biểu thức sau : a) A = 5 5 5 5 1 1 5 1 5 1    − + + +  ÷ ÷  ÷ ÷ − +    b) B = ( ) 1 1 1: 1 : 2 1 x x x x −   + +   + + ( x ≥ 0 ) Bi 2 : (1.5đ) Giải cc phương trình v hệ phương trình : a) 3x 2 – 2x – 1 = 0 b) (x 2 – x) 2 + x(x – 1) = 6 c) 2 5 6 3 15 x y x y − =   − + =  Bi 3 : (2đ) Cho hm số y = ax 2 v cĩ đồ thị l ( P) qua M(2 ;1) a) Xc định a v vẽ (P) với a vừa tìm được b) Cho đường thẳng (D) : 4 m y x= + ( với m l tham số ) Tìm gi trị của m để (D) cắt ( P) tại 2 điểm phn biệt A, B sao cho x A 2 + x B 2 = 20 Bi 4: (1đ) Một ơ tơ đi từ A đến B cch nhau 60 km theo một vận tốc đ định . Biết rằng nếu ơ tơ tăng vận tốc thm 10km/h thì sẽ đến B sớm hơn dự định 18 pht . Tính vận tốc dự định của ơ tơ Bi 5 (4đ) Cho ∆ABC (AB <AC) cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp trong đường trịn (O;R) . Đường phn gic trong của gĩc BAC cắt BC tại D v cắt đường trịn (O) tại M . Từ D kẻ DE v DF lần lượt vuơng gĩc với AB v AC . a) Chứng minh tứ gic AEDF nội tiếp . Xc định tm K của đường trịn ny. b) PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP ĐỀ CHÍNH THỨC TRƯỜNG Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10/2016 MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA Mức độ Mạch Kiến thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Cấp độ thấp Cộng Cấp độ cao Biểu thức đại số 1.a 1.b,c 2.c 5,0 đ 1,0 Bất đẳng thức 2,0 2,0 2.b 2,0 Phương trình vô 3.a tỷ Chia hết nghiệm nguyên 3.b 2.a 6,0 đ 2,0 2,0 Chứng minh mối liên quan đại lượng hình học Tổng cộng 2,0 đ 2,0 4.a,b 3,0 4ý 4ý 3,0 1ý 6,0 4,0 7,0 đ 4ý 3,0 8,0 20,0đ Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG KÌ THI HỌC GIỎI LỚP CẤP ĐỀ SINH CHÍNH THỨC TRƯỜNG Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10/2016 Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức A = x2 − x 1 + ( + ) x3 + + x + − x + a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nhỏ A Bài 2: (6 điểm) a) Giải phương trình: x + 2015 x − 2014 = 2017 x − 2016 b) Chứng minh rằng: 1 + ≤ −2 biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = x.y > x y 1 c) Cho x, y, z thỏa mãn  + x  1  + ÷:  = y z   x + y + z ÷ ( )( )( ) 21 21 y11 + z11 z 2017 + x 2017 Tính giá trị biểu thức B = x + y Bài 3: (4 điểm) a) Với n chẵn (n ∈ N) chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1)M323 b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: ( y + 2) x 2017 − y − y − = Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Kéo dài AO cắt đường tròn K Gọi G trọng tâm D ABC a) Chứng minh SAHG = 2SAGO Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam b) Chứng minh HD HE HF + + =1 AD BE CF Bài 5:(3 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C D hai điểm nằm nửa đường tròn cho ∠CAB = 45o, ∠DAB = 30o AC cắt BD M Tính diện tích tam giác ABM theo R HẾT PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Đề thi học sinh giỏi lớp cấp trường Năm học: 2016 - 2017 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10/2016 Bài 1a (1đ) Nội dung x + ≥  x ≥ −2  a) Điều kiện x để biểu thức A có nghĩa:  x + ≠ ⇔   x ≠ −1  x + ≠  Điểm 1,0đ b) Rút gọn biểu thức A A= 1b (1đ) x2 − 2x 1 x( x − 2) + ( + )= + x +1 1+ x + 1− x + ( x + 1)( x − x + 1) − ( x + 2) x ( x − 2) x( x − 2) − ( x − x + 1) = − = ( x + 1)( x − x + 1) x + ( x + 1)( x − x + 1) −( x + 1) −1 = = 2 ( x + 1)( x − x + 1) x − x + 1,0đ c) Tìm giá trị nhỏ A −1 −1 = Ta có x − x + ( x − )2 + Ta có A nhỏ ( x − ) + đạt giá trị nhỏ −4 1 Vậy: Giá trị nhỏ A x − = ⇔ x = 2 A= 1c (1đ) Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam 1,0đ a) Giải phương trình: x + 2015 x − 2014 = 2017 x − 2016 2016 Điều kiện x ≥ 2017 ⇒ Phương trình cho tương đương với 1,0đ x − x + + 2017 x − 2016 − 2017 x − 2016 + = ⇔ ( x − 1) + 2a (2đ) ( ) 2017 x − 2016 − =  x − = ⇔  2017 x − 2016 − = x = ⇔ 2017 x − 2016 = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = nghiệm phương trình cho b) Chứng minh: 2b (2đ) 1,0đ 1 + ≤ −2 biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = x.y > x y Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = ⇔ (x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + = ⇔ ( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = ⇔ ( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = 2 ⇔ ( x + y + 2)( 2x – 2xy + 2y + 2x + 2y + 4) = 1,0đ ⇔ ( x + y + 2) ( x − y ) + ( x + 1) + ( y + 1) +  = ⇔ x+y+2=0 ⇔ x + y = -2 mà x.y > nên x< 0, y < ( − x ) + (− y ) −( x + y ) = = =1 2 −2 1 x + y −2 = ≤ -2 Mà M = + = Do xy ≤ suy ≤ hay xy xy x y xy xy 1 Vậy M = + ≤ −2 (đpcm) x y Áp dụng BĐT CauChy ta có ( − x)( − y) ≤ Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam 1,0đ 1 1  c) Cho x, y, z thỏa mãn  + + ÷:   ÷= x y z x + y + z     21 21 11 11 y +z z 2017 + x 2017 Tính giá trị biểu thức B = x + y ( 2c (2đ) )( )( ) 1 1   1 1 Ta có:  + + ÷:  ÷ = ⇔  + + ÷( x + y + z ) =  x y z  x+ y+z x y z ⇔ (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz ⇔ xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz ⇔ (xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = ⇔ x(yz + zx + y2+ yx)+ z(y2 + yz + xz + xy) = x = − y ⇔ (yz + zx + y2+ yx)( x+ z) = ⇔ ( x + y )( y + z )( x + z ) = ⇔  y = − z  z = − x 1,0đ 1,0đ Thay vào B tính B = a) Với n chẵn (n ∈ N) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – M323 Ta có: 323=17.19 • 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n) 20n – M19 3a 16n – 3nM19 (n chẵn) (2đ) Do 20n + 16n – 3n – M19 (1) n n n n n n • 20 + 16 – – 1= (20 – ) + (16 –1) n 20 – 3n M17 16n –1n M17 ( n chẵn) Do 20n + 16n – 3n – M17 (2) Mà (17;19) = nên từ (1) (2) suy 20n + 16n – 3n – M323 1,0đ 1,0đ b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: ( y + 2) x 2017 − y − y − = Nếu y+2=0 ⇔ y = −2 lúc phương trình có dạng x 2017 − = (vô nghiệm) Nếu y ≠ −2 ta có x 2017 = 1,0đ y2 + y +1 = y+ y+2 y+2 3b (2đ) Vì x, y nguyên nên y + nguyên y + ∈ Ư(1) = { −1;1} Với y + = −1 ⇒ y = −3 ⇒ x 2017 = −4 (loại ) 1,0đ Với y + = ⇒ y = −1 ⇒ x 2017 = ⇔ x = Vậy số nguyên x,y thỏa mãn đề : x=0,y=-1 Thư viện đề thi thử lớn Việt Nam a) Chứng minh SAHG = 2SAGO • D ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK Nên KC ^ AC Mà BE ^ AC (gt) Suy KC // ... Sở Giáo dục đào tạo Kỳ thi HSG Thành phố lớp 9 Hà Nội Năm học 2008 2009 Môn : Toán Ngày thi : 27 3 2009 Thời gian làm bài : 150 phút. Câu I ( 4 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có ( a 3 + 5a) là số nguyên chia hết cho 6. 2) Cho A = 2 3 10 10 10 10 10 2730 927309 27309 . 27309+ + + + . Tìm số d trong phép chia A cho 7. Câu II ( 4 điểm) 1) Chứng minh 1 1 4 x y x y + + với x>0 và y>0. Xảy ra đẳng thức khi nào? 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P, biết 2 2 2 35 2P ab a b ab = + + + với a>0 , b>0 và a+b4. Câu III ( 4điểm) Cho phơng trình x + m -1 = m 3 2 1x ( với x là ẩn số). 1) Giải phơng trình khi m=3. 2) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1. Câu IV ( 4 điểm) Cho đờng tròn (O;3) và điểm A cố định ( A khác O). Chứng minh : 1) Nếu HK là đờng kính của đờng tròn (O;3) thì AH 3 hoặc AK 3. 2) Tồn tại hình thang cân MNPQ nội tiếp đờng tròn (O;3) thoả mãn đồng thời hai điều kiện MA + NA + PA + QA >12 và MN + NP +PQ +QM <12. Câu V ( 4 điểm) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R và C là điểm chính giữa của cung AB. Lấy điểm M tuỳ ý trên cung BC ( M khác B). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM; H, I lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng AO, AM ; K là giao điểm các đờng thẳng BM và HI. 1) Chứng minh các điểm A, H, K và N cùng nằm trên một đờng tròn. 2) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC ( M khác B) sao cho AK = 10 2 R . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KIÊN GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu Đáp án Câu 1a - Hàm số y = (m – 2m)x + m2 – nghịch biến (1,25đ) ⇔ m – 2m < ⇔ m(m – 2) < Điểm 0,25 ⎡ ⎧m > ⎢⎨ ⎢ ⎩m < ⇔ < m < (1) ⎢ ⎧m < ⎢⎨ (loai ) ⎢⎣⎩m > - Cắt trục tung : m2 – = ⇔ m = ±2 (2) Từ (1) (2) ⇒ m ∈ ∅ ⎡ ⎧m > ⎢⎨ ⎩m − < ⇔ ⇔⎢ ⎢ ⎧m < ⎢⎨ ⎢⎣⎩m − > 0,25 0,25 0,5 Câu 1b Tìm giá trị nhỏ : (1,5đ) M = 5x2 + y2 + z2 - z – 4x – 2xy – M = x2 - 2xy + y2 + 4x2 – 4x + + z2 - z + − 4 0,25 9 = (x – y)2 + (2x – 1)2 + ⎛⎜ z − ⎞⎟ – ≥ 2⎠ ⎝ Giá trị nhỏ M = − ⎧ ⎪x − y = ⎪ ⇔ ⎨2 x − = ⇔ x = y = z = ⎪ ⎪z − = ⎩ Câu 1c Cho x + y = - x2 + y2 = 11. Tính x3 + y3 (1,25đ) Ta có : x3 + y3 = (x+y)(x2 + y2 – xy) = -5(11 – xy) (1) Mà x + y = -5 ⇒ x2 + y2 +2xy = 25 (2) ⇒ 11 + 2xy = 25 ⇒ xy = 3 Từ (1) (2) ⇒ x + y = -5(11- 7) = -20 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 Câu 2a (2,0đ) Rút gọn : A = x + 5x + + x − x 3x − x + (x + 2) − x : 2. + 2x 3− x 0,25 ĐK : -3 < x < (x + 3)(x + 2) + x + x . − x : − x + x 3− x 3− x x(3 − x ) + ( x + 2) + x . − x + x [( x + ) + x + x − x ] 3+ x = :2 3− x − x [x − x + ( x + ) + x .] A= 3+ x = = 3− x :2 3+ x 3− x 0,5 0,5 0,5 0,25 Câu 2b Cho a, b c thỏa mãn : + + = a b c a+b+c (2,0đ) Tính giá trị biểu thức Q = (a27 + b27)(b41 + c41)(c2013+ a2013) 1 1 1 1 − + + = ⇒ + = a b c a+b+c a b a+b+c c a+b − (a + b ) ⇒ = ab c(a + b + c ) ⇒ (a+b)c(a+b+c) = -ab(a+b) ⇒ (a+b)[c(a+b+c) +ab] = ⇒ (a+b)[c(a+c)+bc +ab] = ⇒ (a+b)[c(a+c) +b(a+c)] = ⇒ (a+b)(a+c)(b+c) = ⎡a + b = ⎡a = −b ⇒ ⎢⎢b + c = ⇒ ⎢⎢b = −c ⎢⎣c + a = ⎢⎣c = − a Ta có : - Thế vào tính Q = Câu 3a (2,0đ) Giải phương trình : ( x + 10 + 17 − x ) 0,25 0,25 0,5 0,25 0,75 x + 10 + 17 − x = = 33 x + 10 + 17 – x + 3. ( x + 10)(17 − x) .3 = 27 (x+10)(17 – x) = x = -10 , x = 17 Câu 3b ⎧ 2x − y+5 2,0đ Giải hệ phương trình : ⎪⎨ y + + x − = ⎪3 x + y = 19 ⎩ 0,5 0,5 0,5 0,5 (với x > , y > −5 ) 2x − =m>0 y+5 ⇒ m+ = ⇔ m − 2m + = ⇔ (m − 1) = ⇔ m = (nhận) m Đặt 2x − = ⇔ 2x − = y + ⇔ 2x − y = y+5 ⎧2 x − y = ⎧4 x − y = 16 ⎧x = Giải hệ ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩3x + y = 19 ⎩3x + y = 19 ⎩y = 0,5 0,5 0,5 ⇒ Câu (4,0đ) Câu a (1,0đ) 0,5 Hình 0,5đ a) Chứng minh : KD = CI EF//AB. – Cminh ABID, ABCK hình bình hành ⇒ DI = CK (cùng AB) ⇒ DI + IK = CK + IK ⇒ DK = CI 0,5 0,25 0,25 (1,25đ) - C/m : ΔAEB đồng dạng Δ KED (g.g) AE AB = EK KD 0,5 AF AB ⇒ = FC CI 0,25 ⇒ Δ AFB đồng dạng Δ CFI (g.g) Mà KD = CI (cmtrên) ⇒ AE AF = ⇒ EF / /KC (Đlí Talet đảo Δ AKC) EK FC 0,5 Câu b b) Chứng minh AB2 = CD. EF. (1,25đ) Ta có : Δ KED đồng dạng ΔAEB (cmtrên) ⇒ DK DE = AB EB DK + AB DE + EB = AB EB DK + KC DB = ⇒ AB EB ⇒ ⇒ DC DB (1) = AB EB Do EF//DI (theo CMT: EF//KC, I ∈ KC) 0,5 0,25 ⇒ DB DI DB AB = ⇒ = (2) EB EF EB EF Từ (1) (2) ⇒ (Vì DI = AB) DC AB = ⇒ AB = DC .EF AB EF Câu 4,0đ Hình 0,5đ A B H K xO D 0,5 Q C M Câu a (1,75đ) Câu b (075đ) Câu c (1,0đ) a) Chứng minh MC + MB = MA ? - Trên MA lấy D cho MD = MB ⇒ ΔMBD cân M góc BMD = góc BCA = 600 (cùng chắn cung AB) ⇒ ΔMBD - Xét ΔMBC ΔDBA Ta có : MB = BD (vì ΔMBD đều) BC = AB (vì ΔABC đều) Góc MBC = góc DBA (cùng cộng góc DBC 600) ⇒ ΔMBC = ΔDBA (c-g-c) ⇒ MC = DA Mà MB = MD (gt) ⇒ MC + MB = MA b) Xác định vị trí điểm M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. Ta có : MA dây cung (O;R) ⇒ MA ≤ 2R ⇒ MA + MB + MC ≤ 4R (không đổi) Dấu “ = “ xảy ⇔ MA đường kính ⇔ M điểm cung BC c) CMR : MH + MK + MQ = Ta có 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 ( S + 2S ') 3R MH . AB MK .BC MQ. AC + + = S MAB + S MBC + S MAC 2 ⇒ AB.(MH + MK + MQ ) = (S + 2S’) Tính nói AB cạnh tam giác nội tiếp (O;R) 0,25 0,25 ⇒ AB = R 0,25 ⇒ MH + MK + MQ = 0,25 (S + S ' ) 3R Lưu ý : Học sinh giải cách khác cho trọn số điểm [...]... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KIÊN GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 Câu Đáp án 2 Câu 1a - Hàm số y = (m – 2m)x + m2 – 1 nghịch biến 2 (1,25đ) ⇔ m – 2m < 0 ⇔ m(m – 2) < 0 Điểm 0,25 ⎡ ⎧m > 0 ⎢⎨ ⎢ ⎩m < SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27/03/2013 ( Đề thi gồm có 01 trang ) Câu 1 (2,0 điểm): a) Rút gọn biểu thức: ( ) 2 A = x 50 x + 50 x + x 50− − − với x 50≥ b) Cho x + 3 = 2 . Tính giá trị của biểu thức: B = x 5 – 3x 4 – 3x 3 + 6x 2 – 20x + 2018 Câu 2 (2,0 điểm): a) Giải phương trình 2 2 4x 3x + = 6 x 5x + 6 x 7x + 6− − b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: x + y + 4 xy = 16 x + y = 10      Câu 3 (2,0 điểm): a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 2 2 4a + 3ab 11b− chia hết cho 5 thì − 4 4 a b chia hết cho 5. b) Cho phương trình 2 ax +bx+1 0 = với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết 5 3 x = 5+ 3 − là nghiệm của phương trình. Câu 4 (3,0 điểm): Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME. Câu 5 (1,0 điểm): Cho n 1 A = (2n +1) 2n 1 − với n * ∈¥ . Chứng minh rằng: 1 2 3 n A + A + A + + A <1 . HẾT Họ và tên thí sinh: ……………………………… … Số báo danh ……………. Chữ kí giám thị 1 ………………… Chữ kí giám thị 2 ………………… ĐỀ THI CHÍNH THỨC SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 2,0 điểm a) 1,0 điểm Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A = x - 50 - x + 50 x + x -50 A = x - 50 + x + 50 - 2 x -50 x + x -50 A = 2x -2 x -50 x + x -50 A = 2 x - x +50 A =100 Nhưng do theo giả thiết ta thấy ( ) 2 A = x - 50 - x + 50 x + x -50 <0 A= -10⇒ 0,25 0,25 0,25 0,25đ b) 1,0 điểm x + 3 = 2 => 2 2 3 ( 2) 3− = − ⇒ − =x x 2 4 1 0x x⇒ − + = B = x 5 – 3x 4 – 3x 3 + 6x 2 – 20x + 2018 B = (x 5 – 4x 4 + x 3 ) + ( x 4 – 4x 3 + x 2 ) + 5( x 2 – 4x + 1) + 2013 B = x 3 ( x 2 – 4x + 1) +x 2 ( x 2 – 4x + 1) +5(x 2 – 4x + 1) + 2013 B = 2013 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2 2,0 điểm a) 1.0 điểm Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình Với x 0≠ , phương trình đã cho tương đương với: 4 3 + = 6 6 6 x 5 + x 7 + x x − − Đặt 6 t = x 7 + x − phương trình trở thành ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 + =6 1 t 0;t 2 t+2 t 1 4t 3t 6 6t 12t 6t 5t 6 0 ≠ ≠ − ⇔ + + = + ⇔ + − = Giải phương trình ta được 1 2 3 2 t ;t 2 3 − = = ( thỏa mãn ) Với 1 3 t 2 − = ta có 2 6 3 7 2 11 12 0 2 x x x x − − + = ⇔ − + = Giải phương trình ta được 1 2 3 x ;x 4 2 = = ( thỏa mãn ) Với 2 2 t 3 = ta có 2 6 2 7 3 23 18 0 3 x x x x − + = ⇔ − + = 0,25 0,25 0,25 Giải phương trình ta PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TRƯỜNG Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10/2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA Mức độ Mạch Kiến thức Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Cấp độ thấp Cấp độ cao Cộng Biểu thức đại số 1.a 1.b,c 2.c 5,0 đ 1,0 Bất đẳng thức 2,0 2,0 2.b 2,0 Phương trình vô 3.a tỷ Chia hết nghiệm nguyên 3.b 2.a 6,0 đ 2,0 2,0 Chứng minh mối liên quan đại lượng hình học Tổng cộng 2,0 đ 2,0 4.a,b 3,0 4ý 4ý 3,0 1ý 6,0 4,0 7,0 đ S GD&T QUNG BèNH CHNH THC H v tờn: S BO DANH: K THI CHN HSG TNH NM HC 2015-2016 Khúa ngy 23 thỏng nm 2016 Mụn thi: TON LP Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) gm cú 01 trang Cõu (2.0 im) Cho biờu thc: P = x2 x x + x 2( x 1) + vi < x x + x +1 x x a Rỳt gon biờu thc P b Tim x biờu thc P at gia tri nho nhõt Cõu (3.0 im) a Cho phng trinh: x + 2mx + m = (tham sụ m) Tim m phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 thoa man | x1 x2 + x1 + x2 |= b Giai hờ phng trinh: { x3 x y + x = y xy + y x + x = y x + 11 Cõu (2.5 im) Cho tam giac ABC ni tip ng trũn (O) v ngoai tip ng trũn (I), AI ct (O) tai M (khac A), J l iờm ụi xng vi I qua M Goi N l iờm chớnh gia ca cung ẳ ABM , NI v NJ ln lt ct (O) tai E v F a Chng minh MI = MB T o suy BIJ v CIJ l cac tam giac vuụng b Chng minh I , J , E, F cựng nm trờn mt ng trũn Cõu (1.5 im) Cho a, b > thoa man a + b Tim gia tri ln nhõt ca biờu thc sau: M= 1 + a + b2 b + a2 Cõu (1.0 im) Tim tõt ca cac sụ nguyờn dng m v n thoa man iu kiờn: n2 + n + 1= ( m2 + m 3) ( m2 m+ 5) -hết - S GD&T QUNG BèNH HNG DN CHM K THI CHN HSG TNH NM HC 2015-2016 Khúa ngy 23 thỏng nm 2016 Mụn thi: TON LP ap an gm cú 04 trang YấU CU CHUNG * ap an ch trinh by mt li giai cho mi bi Trong bi lm ca hoc sinh yờu cu phai lp lun lụgic cht ch, y , chi tit v rừ rng * Trong mi bi, nu hoc sinh giai sai bc giai trc thi cho iờm ụi vi nhng bc giai sau co liờn quan cõu nu hoc sinh khụng v hinh hoc v hinh sai thi cho iờm * iờm thnh phn ca mi bi noi chung phõn chia n 0,25 iờm ụi vi iờm thnh phn l 0,5 iờm thi tu t giam khao thụng nhõt chit thnh tng 0,25 iờm * Hoc sinh co li giai khac ap an (nu ỳng) cho iờm tụi a tu theo mc iờm ca tng bi * iờm ca ton bi l tng (khụng lm trũn sụ) ca iờm tõt ca cac bi Cõu Nụi dung iờm x x x + x 2( x 1) + vi < x x + x +1 x x a Rut gon biờu thc P Vi < x ta co: x2 x x ( x 1)( x + x + 1) = = x ( x 1) = x x x + x +1 x + x +1 2x + x x (2 x + 1) = = x +1 x x Cho biờu thc: P = 2( x 1) 2( x 1)( x + 1) = = 2( x + 1) x x P = ( x x ) (2 x + 1) + 2( x + 1) = x Kờt luõn: P = x x + 1, < x 0,25 0,25 0,25 x +1 b Tim x biờu thc P at gia tri nho nhõt Vi < x ta co: 3 P = x x + = ( x )2 + 4 1 Dõu = xay v ch x = x = 1,0 Kờt luõn: P at gia tri nho nhõt v ch x = 2 a Cho phng trinh: x + 2mx + m = (tham sụ m) Tim m phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 thoa man | x1 x2 + x1 + x2 |= Ta co: = m 2(m 2) = m Phng trinh co hai nghiờm x1 , x2 m m 0,25 1,0 0,50 0,50 1,50 0,25 0,25 Theo inh ly Viet ta co: x1 + x2 = m; x1.x2 = m2 2 Theo bi ra: m m4 =6 2 | m m |= m2 m = m m = c m= (loại) m2 m 12 = m= (loại) hoặ m= hoặ c m= m m= | x1 x2 + x1 + x2 |= m= hoặ c m= Kờt luõn: m = ; m = b Giai hờ phng trinh: { { x3 x y + x = y xy + y x + x = y x + 11 x20 KX: x x x3 x y + x = y xy + y (1) x + x = y x + 11 (2) T (1) ta co: x3 x y + x = y xy + y x3 x y + x y + xy y = ( x3 y ) xy ( x y ) + ( x y ) = ( x y )[( x + xy + y ) xy + 1] = ( x y )( x xy + y + 1) = x y = (do x xy + y + > x, y Ă ) x= y { Thay x = y vo (2) ta co: x + x = x x + 11 (3) VP = x x + 11 = ( x 3) + 2, x [2; 4] Dõu = xay x = VT = x + x = ( x 2).1 + (4 x).1 ( x 2) + (4 x) + + = 2, x [2; 4] 2 Dõu = xay x = { x2+ x = x =3 x x + 11 = Do x = nờn y = Kờt luõn: ( x; y ) = (3; 3) Cho tam giac ABC ni tip ng trũn (O) v ngoai tip ng trũn (3) (I), AI ct (O) tai M (khac A), J l iờm ụi xng vi I qua M Goi N l iờm chớnh gia ca cung ẳ ABM , NI v NJ ln lt ct (O) tai E v F a Chng minh MI = MB T o suy BIJ v CIJ l cac tam giac 0,25 0,25 0,50 1,50 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 1,50 vuụng 0,25 àA ã ã ã Ta co: MBC (AM l phõn giac goc BAC ) = MAC = àA àB ã ã ã (1) MBI = MBC + CBI = + 2 à ã ã + IBA ã = A+ B (2) (tớnh chõt goc ngoi tam giac) MIB = IAB 2 T (1) v (2) suy tam giac MBI cõn tai M, o MI = MB Tng t ta co: MI = MC Xet tam giac BIJ ta co: MB = MI = IJ tam giac BIJ vuụng tai B Tng t: tam giac CIJ vuụng tai C Vy BIJ ... GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG KÌ THI HỌC GIỎI LỚP CẤP ĐỀ SINH CHÍNH THỨC TRƯỜNG Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10/2016 Bài... rằng: 20n + 16n – 3n – M323 Ta có: 323=17. 19 • 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n) 20n – M 19 3a 16n – 3nM 19 (n chẵn) (2đ) Do 20n + 16n – 3n – M 19 (1) n n n n n n • 20 + 16 – – 1= (20 – )... NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Đề thi học sinh giỏi lớp cấp trường Năm học: 2016 - 2017 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10/2016