Đề thi giải tích 1 – Hệ Cử nhân – Lần 1 – NH: 07 – 08

1 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN Độc lập - Tự do – Hạnh phúc NGÂN HÀNG ĐỀ THI Môn: GIẢI TÍCH 1 Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006 DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN THỜI GIAN : 120 phút MỖI ĐỀ 4 CÂU ( một câu loại 1, một câu loại 2, một câu loại 3 và một câu loại 4) A. CÂU HỎI LOẠI 1 ĐIỂM (V.I) 1. Tìm miền xác định và vẽ đồ thị hàm số ( ) 2xf xx  . 2. Tính đạo hàm của hàm số 3(sin )( ln )y x x x x  . 3. Tính đạo hàm của hàm số 3 2sin( )y x x . 4. Tính đạo hàm của hàm số 2ln2xyx    . 5. Tính đạo hàm của hàm số  sin ln(cos )y x. 6. Tính đạo hàm của hàm số  sinlnxy e x . 7. Tính đạo hàm của hàm số 2ln 1y x x   . 8. Tính đạo hàm của hàm số  2arctgxy x e . 9. Cho hàm số ( ) 2 1y f x x  , tính đạo hàm '(5)f. 10. Tính tích phân sau cotgsinxI dxx. 11. Tính tích phân sau 21 sin 2sinxI dxx . 2 12. Tính tích phân sau tgcosxI dxx. 13. Tính tích phân sau 30arctgI x xdx. 14. Tính tích phân sau 216xxeI dxe. 15. Tính tích phân sau ln 201xI e dx . 16. Tính tích phân sau 1ln1 lnexI dxx x. 17. Tính tích phân sau arctg211xeI dxx. 18. Tính tích phân sau 2xI xe dx . 19. Tính 21cos sintd x xdxdtx 20. Tính tích phân sau 2lneedxx x B. CÂU HỎI LOẠI 2 ĐIỂM (V.II) 1. Tìm giới hạn 2lim( 2)cotg3( 2)xL x x  . 2. Tìm giới hạn 21lnlim2xxLx x  . 3. Tìm giới hạn  tg0lim 1 cosxxL x . 4. Tìm giới hạn  120limxxxL x e . 5. Tìm giới hạn 401 1lim41xxLxe    . 3 6. Tìm giới hạn 30limsinxxLx x 7. Tìm giới hạn 01 1limsin 3 3xLx x     8. Tìm giới hạn sau 243 20211limxxxxx. 9. Tìm giới hạn sau 1sin 20lim( cos )xxx x. 10. Tìm giới hạn sau xxxx230sincoscoslim . 11. Cho hàm số ln( 1) ln(1 ) khi 1, 0( ) khi 0x xx xf xxa x    Tìm hằng số a để hàm số liên tục tại 0x . 12. Cho hàm số khi 0( ) khi 0ax bxe exf xxc x  Tìm hằng số c để hàm số liên tục tại x = 0 . 13. Cho hàm số 21sin khi 0( )0 khi 0x xf xxx. Hàm số có khả vi tại 0x  không? Nếu khả vi hãy tìm '(0)f. 14. Một tấm bìa hình vuông có chiều dài mỗi cạnh 12cm. Cắt bỏ bốn góc bốn hình vuông bằng nhau để dựng thành hình hộp như hình vẽ sau. Tình thể tích lớn nhất của hình hộp. 15. Cho hàm số 211xy , hãy tính (2004)(0)y . 16. Tính vi phân hàm số xxyln 17. Chứng minh 1xe x  , 0x 4 18. Chứng minh 212xxe x  , 0x 19. Tính vi phân hàm số 1ln2x aya x a 20. Tính ( )( )ny x, biết 2siny x C. CÂU HỎI LOẠI 3 ĐIỂM (V.III) 1. Cho hàm số 221xyx a. Tính dy tại x=1 b. Tìm cực trị của hàm số. 2. Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn  a,0 a. Chứng minh rằng 0( ) ( )a aof x dx f a x dx   b. Dùng kết quả trên, hãy tính 40ln(1 tg )x dx 3. Cho hàm số 1 cos khi 0( )ln( 1) khi 0x xf xx x x    a. Tìm '(0)f b. Chứng minh rằng không tồn tại "(0)f. 4. Cho hàm số xxy2ln a. Tính vi phân tại x = e với 1,0x . b.Tìm cực trị của hàm số. 5. Một quả cầu có bán kính 5 cm với sai số TRƯỜNG ðH SƯ PHẠM TP.HCM KHOA VẬT LÝ ðỀ THI HẾT HỌC PHẦN - HKI - NH: 2007 – 2008 Thời gian: 120 phút (SV không ñược sử dụng tài liệu) Môn: Giải tích – Hệ: Cử nhân – ðề số Bài 1: (1.5 ñ)  + 2i   − + i  2008 Cho số phức: z =   Tìm giá trị dạng ñại số z    2−i    Bài 2: (1.0 ñ)  x  x2 Tính giới hạn hàm số: lim   x → sin x   Bài 3: (1.0 ñ) Sử dụng công thức khai triển Taylor, tìm: khai triển hàm số y = arccos x ñến số hạng x3 x0 = 0.5 Bài 4: (2.5 ñ)  x = 2(1 − cos t ) Cho ñường cong (C) có phương trình:  , t ∈ [0;2π ]  y = 2(t − sin t ) a Khảo sát vẽ ñồ thị (C) b Tính ñộ dài ñường cong (C) Bài 5: (3.0 ñ) Tính tích phân sau: a ∫x dx + x2 + b ∫ 1+ dx x 12 x Bài 6: (1 ñ) Khảo sát hội tụ tích phân: π − cos x ∫0 xα dx , α số - HẾT - 1 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN Độc lập - Tự do – Hạnh phúc NGÂN HÀNG ĐỀ THI Môn: GIẢI TÍCH 1 Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006 DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN THỜI GIAN : 120 phút MỖI ĐỀ 4 CÂU ( một câu loại 1, một câu loại 2, một câu loại 3 và một câu loại 4) A. CÂU HỎI LOẠI 1 ĐIỂM (V.I) 1. Tìm miền xác định và vẽ đồ thị hàm số ( ) 2xf xx  . 2. Tính đạo hàm của hàm số 3(sin )( ln )y x x x x  . 3. Tính đạo hàm của hàm số 3 2sin( )y x x . 4. Tính đạo hàm của hàm số 2ln2xyx    . 5. Tính đạo hàm của hàm số  sin ln(cos )y x. 6. Tính đạo hàm của hàm số  sinlnxy e x . 7. Tính đạo hàm của hàm số 2ln 1y x x   . 8. Tính đạo hàm của hàm số  2arctgxy x e . 9. Cho hàm số ( ) 2 1y f x x  , tính đạo hàm '(5)f. 10. Tính tích phân sau cotgsinxI dxx. 11. Tính tích phân sau 21 sin 2sinxI dxx . 2 12. Tính tích phân sau tgcosxI dxx. 13. Tính tích phân sau 30arctgI x xdx. 14. Tính tích phân sau 216xxeI dxe. 15. Tính tích phân sau ln 201xI e dx . 16. Tính tích phân sau 1ln1 lnexI dxx x. 17. Tính tích phân sau arctg211xeI dxx. 18. Tính tích phân sau 2xI xe dx . 19. Tính 21cos sintd x xdxdtx 20. Tính tích phân sau 2lneedxx x B. CÂU HỎI LOẠI 2 ĐIỂM (V.II) 1. Tìm giới hạn 2lim( 2)cotg3( 2)xL x x  . 2. Tìm giới hạn 21lnlim2xxLx x  . 3. Tìm giới hạn  tg0lim 1 cosxxL x . 4. Tìm giới hạn  120limxxxL x e . 5. Tìm giới hạn 401 1lim41xxLxe    . 3 6. Tìm giới hạn 30limsinxxLx x 7. Tìm giới hạn 01 1limsin 3 3xLx x     8. Tìm giới hạn sau 243 20211limxxxxx. 9. Tìm giới hạn sau 1sin 20lim( cos )xxx x. 10. Tìm giới hạn sau xxxx230sincoscoslim . 11. Cho hàm số ln( 1) ln(1 ) khi 1, 0( ) khi 0x xx xf xxa x    Tìm hằng số a để hàm số liên tục tại 0x . 12. Cho hàm số khi 0( ) khi 0ax bxe exf xxc x  Tìm hằng số c để hàm số liên tục tại x = 0 . 13. Cho hàm số 21sin khi 0( )0 khi 0x xf xxx. Hàm số có khả vi tại 0x  không? Nếu khả vi hãy tìm '(0)f. 14. Một tấm bìa hình vuông có chiều dài mỗi cạnh 12cm. Cắt bỏ bốn góc bốn hình vuông bằng nhau để dựng thành hình hộp như hình vẽ sau. Tình thể tích lớn nhất của hình hộp. 15. Cho hàm số 211xy , hãy tính (2004)(0)y . 16. Tính vi phân hàm số xxyln 17. Chứng minh 1xe x  , 0x 4 18. Chứng minh 212xxe x  , 0x 19. Tính vi phân hàm số 1ln2x aya x a 20. Tính ( )( )ny x, biết 2siny x C. CÂU HỎI LOẠI 3 ĐIỂM (V.III) 1. Cho hàm số 221xyx a. Tính dy tại x=1 b. Tìm cực trị của hàm số. 2. Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn  a,0 a. Chứng minh rằng 0( ) ( )a aof x dx f a x dx   b. Dùng kết quả trên, hãy tính 40ln(1 tg )x dx 3. Cho hàm số 1 cos khi 0( )ln( 1) khi 0x xf xx x x    a. Tìm '(0)f b. Chứng minh rằng không tồn tại "(0)f. 4. Cho hàm số xxy2ln a. Tính vi phân tại x = e với 1,0x . Đáp án môn Giải Tích – TTK (TN050) Ngày thi 20/12/2007 Câu Chứng minh rằng: ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) = A ∪ B Giải Cách 1: Ta có x ∈ A ∩ B x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) ⇔  x ∈ A ∩ CB  x ∈ CA ∩ B  x ∈ A  x ∈ A   x ∈ A   x ∈ B x ∈ B x ∈ A       x ∈ A x ∈ A  x ∈ CA    ⇔  ⇔    x ∈ CB ⇔   x ∈ CA ⇔  ⇔ ⇔ x∈ A∪ B    x ∈ CB  x ∈ A x ∈ B     x ∈ CA  x ∈ B    x ∈ B x ∈ CA      x∈B      x ∈ B Vậy ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) = A ∪ B (đpcm) Cách Ta có, ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) = A ∩ ( B ∪ CB ) = A Do đó, ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) = A ∪ ( CA ∩ B ) = ( A ∪ CA ) ∩ ( A ∪ B ) = A∪ B Vậy ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) = A ∪ B (đpcm) Câu Chỉ điều kiện cần đủ để hàm số sau có đạo hàm x = x0 x ≥ x0 ax + b f ( x) =  x < x0 cx + d Giải Cách 1: a( x0 + ∆x ) + b − ( ax0 + b ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) a∆x Ta có, lim+ = lim+ = lim+ =a ∆x → ∆x → ∆x → ∆x ∆x ∆x ' Do đó, f + ( x0 ) = a Suy ra, điều kiện cần đủ để hàm số f ( x) có đạo hàm x = x0 là: Trang Đáp án môn Giải Tích – TTK (TN050) Ngày thi 20/12/2007 f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆x c ( x0 + ∆x ) + d − ( ax0 + b ) ⇔ a = lim− ∆x → ∆x c∆x + ( cx0 − ax0 + d − b ) ⇔ a = lim− ∆x → ∆x  ( c − a ) x0 + d − b  ⇔ a = lim− c −  ∆x → ∆x   f +' ( x0 ) = lim− ∆x → Nếu ( c − a ) x0 + d − b ≠ lim− ∆x → ( c − a ) x0 + d − b = ∞ ∆x (1) suy a vô hạn vô lý (2) Vậy ( c − a ) x0 + d − b = Khi đó, a = c Từ (2) ta có b = d ax + b x ≥ x0 a = c Vậy điều kiện cần đủ để f ( x) =  có đạo hàm x = x0  b = d cx + d x < x0 Cách 2: ♦ Điều kiện cần: f ( x) liên tục x = x0 Khi đó, lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f ( x0 ) x → x0 x → x0 ⇔ lim+ ( ax + b ) = lim− ( cx + d ) = ax0 + b x → x0 x → x0 ⇔ cx0 + d = ax0 + b (1) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = lim− ♦ Điều kiện đủ: lim+ ∆x → ∆x → ∆x ∆x Điều tương đương với điều kiện sau: a ( x0 + ∆x) + b − ( ax0 + b ) c ( x0 + ∆x ) + d − ( ax0 + b ) lim+ = lim− ∆x → ∆x →0 ∆x ∆x c ( x0 + ∆x ) + d − ( ax0 + b ) ⇔ a = lim− ∆x → ∆x  ( c − a ) x0 + d − b  ⇔ a = lim− c −  ∆x → ∆x   ⇔a=c (1) a = c Thay vào (1) ta b = d ax + b x ≥ x0 a = c Vậy điều kiện cần đủ để f ( x) =  có đạo hàm x = x0  b = d cx + d x < x0 Trang Đáp án môn Giải Tích – TTK (TN050) Ngày thi 20/12/2007 Câu Hai xe X , X Cùng xuất phát điểm G Chiếc xe X chạy hướng nam, xe X chạy theo hướng đông Khoảng cách hai xe tăng theo tốc độ thời điểm xe X cách điểm G khoảng 10km chạy với tốc độ 60km / h ; xe X cách G khoảng 5km chạy với tốc độ 25km / h Giải Gọi s1 (t ) , s2 (t ) khoảng cách xe X , X với G thời điểm t Do X chạy hướng nam, xe X chạy theo hướng đông nên tam giác GX X vuông G Suy ra, khoảng cách X , X t là: d (t ) = [ s1 (t )] + [ s2 (t )] 2 Tốc độ biến thiên khoảng cách X , X là: d '(t ) = s1, (t ) s1 (t ) + s2, (t ) s2 (t ) [ s1 (t )] + [ s2 (t )] 2  s1 (t0 ) = 10  s2 (t0 ) = Giả sử t0 thời điểm xét Ta có,  , , ,  s1 (t0 ) = 60  s2 (t0 ) = 25 s1, (t0 ) s1 (t0 ) + s2, (t0 ) s2 (t0 ) 60.10 + 25.5 d '( t ) = = = 29 Suy ra, 2 2 10 + [ s1 (t0 )] + [ s2 (t0 )] Vậy thời điểm t0 khoảng cách hai xe X , X tăng với tốc độ 29 5km / h Câu Một trạm bưu điện nhận gói hàng dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vuông, tổng chiều cao chu vi đáy không vượt 120cm Hãy cho biết gói hàng gởi với thể tích lớn bao nhiêu? Giải Gọi x , y độ dài cạnh đáy chiều cao gói hàng Theo đề ta có, x + y ≤ 120 ⇒ y ≤ 120 − x, < x < 30 Thể tích gói hàng V = x y ⇒ V ≤ x ( 120 − x ) Xét hàm số, f ( x) = x ( 120 − x ) , x ∈ ( 0;30 ) Ta có, f ( x) liên tục có đạo hàm ( 0;30 ) Và f '( x ) = x ( 120 − x ) − x = x ( 120 − x ) x = f '( x ) = ⇔  Ta loại giá trị x =  x = 20 f ( x) = lim− f ( x) = f (20) = 16000 > nên f ( x) đạt giá trị lớn Vì xlim →0+ x →30 ( 0;30 ) giá trị đạt điểm dừng x = 20 tức f max = f (20) = 16000 Vì V ≤ f ( x), x ∈ ( 0;30 ) nên V ≤ f (20) = 16000, x ∈ ( 0;30 ) dấu đạt x = 20 , y = 40 Vậy kích thước gói hàng 20cm , 20cm , 40cm thể tích lớn Trang Đáp án môn Giải Tích – TTK (TN050) Ngày thi 20/12/2007 Câu TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN HỌC ĐỀ THI HỌC KỲ III NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN GIẢI TÍCH – TTK (TN188) Thời gian làm 120 phút NỘI DUNG (Đề thi gồm 08 câu in 01 trang) Câu a) Khảo sát tính chất đơn ánh, toàn ánh song ánh ánh xạ f :  π [ 0,1] 0,  → x a −4sin x + 4sin x b) Cho hai tập hợp X, Y f : X → Y ánh xạ Gọi A B tập hợp Y Chứng −1 −1 −1 minh f ( A ∪ B ) = f ( A ) ∪ f ( B ) 2n sin n =0 n →∞ n + Câu Dùng định nghĩa giới hạn dãy số, chứng minh đẳng thức lim x ≤ −1  cx − d ,  −1 < x < liên tục ( −∞, +∞ ) Câu Tìm số thực c d cho hàm số f ( x) =  3x, dx − c, x≥2  Câu Một câu lạc thu phí thành viên 200$ năm Tuy nhiên, số thành viên câu lạc vượt 60 thành viên tăng thêm phí giảm 2$ Số thành viên câu lạc nên để số tiền thu lớn nhất? Câu Nhúng viên sắt hình cầu vào dung dịch axit để làm thí nghiệm Giả sử trình viên sắt tan dung dịch giữ dạng hình cầu Tính tốc độ biến thiên bán kính viên sắt thời điểm ( ) ( ) 2 diện tích mặt 64π cm giảm với tốc độ cm / phút b b  b 2 Câu Ta có bất đẳng thức Schwarz tích phân,  ∫ f ( x ) g ( x ) dx ÷ ≤ ∫ { f ( x ) } dx.∫ { g ( x ) } dx a a  a f ( x ) g ( x ) hai hàm số liên tục đoạn [ a, b ] Áp dụng bất đẳng thức để ước lượng chặn cho tích phân π ∫ x.sin xdx Từ suy π > 96 ( ) Câu Tính độ dài cung phẳng cho phương trình y = ln − x từ x = − 1 đến x = 2 Câu Hàm số f ( x ) xác định [ 0, +∞ ) gọi hàm mật độ biến ngẫu nhiên X ≥ f ( x ) ≥ +∞ ∫ f ( x ) dx = Hãy tìm giá trị C để hàm số f ( x ) = Cxe biến ngẫu nhiên X ≥ - - - - - - - - - - - - - - HẾT - - - - - - - - - - - - - - − x2 hàm mật độ ĐÁP ÁN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bộ môn Toán Môn thi: GIẢI TÍCH - TTK Mã số môn học: TN155 Học kỳ I - Năm học: 2014 – 2015 Thời gian làm bài: 90 phút NỘI DUNG (Đề thi gồm 08 câu in 02 trang) Câu (2,00 điểm) a Tính giới hạn L1 = lim x→0 ln cos x x2 2x b Viết khai triển Maclaurin hàm số f ( x ) = ( x + 1) e − − 3x Từ đó, tính giới hạn L2 = lim x →0 ( x + 1) e2 x − − 3x x2 Câu (2,00 điểm) Chứng minh định lý Cauchy phát biểu sau “Giả sử f ( x) g ( x) liên tục đoạn [a, b] , khả vi khoảng ( a, b ) g ′( x) ≠ ( a, b ) Khi đó, tồn số c ∈ ( a, b ) thỏa mãn đẳng thức Câu (1,00 điểm) Tính giới hạn L3 = lim n →∞ f (b) − f (a ) f ′(c ) = ” g (b) − g (a ) g ′(c) n i −1 ∑ n i =1 n Câu (1,00 điểm) Miền phẳng (D) (Xem Hình 1) nằm bên đường cong y = ln x phía x2 trục hoành, x ≥ Dùng tích phân suy rộng tính diện tích miền (D) Hình Câu (1,00 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn Parabol x = y = x −1 1 y − đường thẳng Câu (1,00 điểm) Vật thể (S) (Xem Hình 2) có đáy hình tròn đơn vị x + y ≤ Tất mặt phẳng vuông góc với trục Oy với −1 ≤ y ≤ cắt (S) theo thiết diện tam giác vuông cân với cạnh góc vuông tựa mặt đáy (S) Hãy tính thể tích (S) Hình Câu (1,00 điểm) Cho miền phẳng (D) (Xem Hình 3) giới hạn đường cong y= π sin x.cos x đường thẳng y = với ≤ x ≤ Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo x thành quay miền (D) quanh trục tung Hình Câu (1,00 điểm) a Chứng minh −1 ≤ 2x ≤ 1 + x2 b Cho F ( x ) = ln ( + x ) Chứng minh với số thực a , b ( a ≠ b ) ta có F (b) − F (a ) ≤ b − a Cần Thơ, ngày 11 tháng năm 2015 Cán giảng dạy LÊ HOÀI NHÂN