de thi giai tich 2 lan 1 he sp 2006 2007

012345674 89 !"#$%& '()*+*,-./01/*234(56 7(8-+9:;<-+6/*.*=>6?@-+4(A-+6(* BCDE FGHGIJ KLMNOPQ R S T MO M U VO U WXY LMNOPZQL[N[P [ WXY MQOQ[\ ]^_IJKLMNOP`abcdWef`egdWh U iGjWklmnco]Hl p^mqWencG]riGjWk`s`tnHGIJgcdWk`u]KenctcvJL[N[Pl `^_wrexWGyQ zK zM L{PV zK zO L{Penc{L[N|P} BCD~mJ``egGIJ KLMNOPQM U VMOM U OVO U O OM} BCDfWkGtcpcXWMQNOQGwrexWGex`GGWi MO V cJcĂWÂQÊLMNOPÔh U ƠM U VO U Ư|ĐNMă[NOă[â} BCDê bIJcĂWGôWkGơYGnWkccGnWpưcđtWk`HWkOQMIMQO U }xGcYbIpcdW`u]JcĂW tWG GWkWk``GcĂYicJtqWkGq} ]^mxWGeg`ecXex`GGWtWkbHncG]c à ả O U MãofWk`s`pcvYcáWeG]Joạ`u]} p^mxWGex`GGW à ả O U MpWk`s`GofWktWGbxằgẳẳW} BCDẵằcắcGWkegWGM U O VMO OQM U ãpcXeO QMbIJeWkGcJ`u]GWkegWGeGYWWGeM U O VMO OQ [} 012345674 89 !"#$%& '()*+*,-./01/*234(56 7(8-+9:;<-+6/*.*=>6?@-+4(A-+6(* BCDEFGHGIJ KLMNOPQ R S T MO M U VO U WXYLMNOPZQL[N[P [ WXYMQOQ[\ ]^_IJKLMNOP`abcdWef`egdWh U iGjWklmnco]Hl p^mqWencG]riGjWk`s`tnHGIJgcdWk`u]KenctcvJL[N[Pl `^_wrexWGyQ zK zM L{PV zK zO L{Penc{L|N[P} BCD~mJ``egGIJ KLMNOPQM U MOM U OVO U O OVM} BCDfWkGtcpcXWMQNOQGwrexWGex`GGWi MO V cJcĂWÂQÊLMNOPÔh U ƠM U VO U Ư|ĐNMă[NOă[â} BCDê bIJcĂWGôWkGơYGnWkccGnWpưcđtWk`HWkOQMIOQM U }xGcYbIpcdW`u]JcĂW tWG GWkWk``GcĂYicJtqWkGq} ]^mxWGeg`ecXex`GGWtWkbHncG]c à ả O U MãofWk`s`pcvYcáWeG]Joạ`u]} p^mxWGex`GGW à ả O U MpWk`s`GofWktWGbxằgẳẳW} BCDẵằcắcGWkegWGMO O Q M U ãpcXeO ặ|bIJeWkGcJ`u]GWkegWGeGYWWGeMO O Q[} 012134567839 67 !"#"$% &'()*+, - . / (* ( 0 1* 0 234'()*+5,'6)6+ 6 234(,*,67 89:$%&'()*+;<=2>?@>A=2B 0 C'6)6+DEF<'6)6+"$%G"H2I;<=2>?@D J K9 L& L( '6)6+, L& L* '6)6+,6D J @9:MN>O2"P, L& L( '6)Q+1 L& L* '6)Q+,Q16,Q ER%@S@>AT"$%UV &'()*+,W( 0 1W(*X( 0 *1Y* 0 XY* Z X*X[(D \<]%^_2I;$@`@2I"<a%@b8"ac"de2I>AR2" f [(1W*XW(*,[ W(X( 0 1g*Xh* 0 ,Q i (,Q)*,6 "#j@ (,Q)*, W Y kJ EF<l m 'Q)6+"$%nF>@S@><]4o&'l m +,XWo^F2I>#$2c"de2Ip 0 &'l m +q`@nT2"^de2Io r [ 6 6 g s kJ EF<l 0 'Q) 0 Z +"$%G"H2InF>@S@>ATo^F2I>#$2c"de2Ip 0 &'l 0 +G"H2Iq`@nT2"^t4o r u Z 6 6 Xg s v EO2">O@"c"w2Gxcy, zz { p(p* W1| }~ } K<3> ,'()*+B 0 ( 0 1[* 0 Qg)(6)*6D \<K<32(,W)*, y, z p 0 z Wp W1| } , 0 z | p Q1W| , Qg Q1W| m Y < ;$%<2c"2I"4"F2I<<"F2K<ndĂ2I@#2I*,W(Â$[(,* 0 DÊO"<a4Ô;$K<=2@b8 %<2 nT2""d2I2IdƠ@@"<4G<%nƯ2I"ƯD 89EO2">AS@><3c>O@"c"w2ndĂ2Iy, Đ ă * 0 p(, z m [( 0 p(X z m [(p(,X W Y D K9âê^?2InT2";OAôô2 Đ ă * 0 p(, z m p( z 0 ơ ~ 0~ XW*p*,X W Y D J <ư<c"de2I>AR2"( 0 * đđ 1(* đ X*,Y( 0 oK<3>* m ,(;$%>2I"<a%@b8c"de2I>AR2">"422"t> ( 0 * đđ 1(* đ X*,6D <3>* m ,(;$%>2I"<a%@b8c"de2I>AR2">"422"t>oU4NA8* 0 , Q ( *, m (1 0 Q ( 2Ic"de2Ic"`cà8IA82IôoU4NA82I"<a%>2Iả4`>*, m (1 0 m ~ 1( 0 D 012134567839 67 ã"dnUVáạG]@ưn`cUV9D ER%@S@>AT"$%UV &'()*+,W( 0 XW(*X( 0 *1Y* 0 XY* Z X*1[(D \<]%^_2I f W*1W(*X[(,[ g*Xh* 0 XW(X( 0 ,Q i (,XQ)*,6 "#j@ (,XQ)*, 0 Z J EF<l m 'XQ)6+"$%nF>@S@><]4o&'l m +,XWo J EF<l 0 'XQ) 0 Z +"$%G"H2InF>@S@>ATD v EO2">O@"c"w2Gxcy, zz { p(p* Y1| }~ } , W[ Q1Y| m [ < ;$%<2c"2I"4"F2I<<"F2K<ndĂ2I@#2I*,W(Â$*,W( 0 DÊO"<a4Ô;$K<=2@b8 %<2 nT2""d2I2IdƠ@@"<4G<%nƯ2I"ƯD 89EAS@><3c Đ ă * 0 p(, z m [( p(X z m [( 0 p(,X Qằ Â$ K9E"ô#nT2";OAôô2y,X Qằ D J ẳ"de2I>AR2"(* đđ XW* đ , [ ( 0 o@ẵ2I"<a% *, m 1 0 ( Z 1 m ~ 012345674 89 !"#$% &'()*)+,-./0.)123'45 6'7,*89:;,*5.)-)&l ðỀ THI: GIẢI TÍCH (ðỀ 1) LỚP LÝ I – Hệ Chính quy (2006 – 2007) Thời gian: 120’ Trường ðại học Sư Phạm TpHCM KHOA VẬT LÝ Câu 1(2.5 ñ) a Cho hàm z = xy Chứng minh: d z ( x; y ) = x− y x− y b Tìm cực trị hàm số: z = 1 1 + với ñiều kiện + = x y x y Câu 2:(2.0 ñ) Giải phương trình vi phân sau:      2y  y x 2y + cos y dy = a  x ln y − + sin x dx +  +  x  b y'+ 2x − y x  =0 Câu 3: (2.0 ñ): Cho phương trình: y’’ – 2y’ + 5y = x + (1) a Tìm nghiệm tổng quát phương trình tuyến tính liên kết với phương trình (1) b Tìm nghiệm tổng quát phương trình (1) Câu (1.5 ñ): Xét chất hội tụ chuỗi số sau: +∞ a ∑n n =1  n + 2n −   b ∑  n =1  2n − n +  +∞ n2 + n + 3n3 + n Câu (2.0 ñ): Cho hàm f(x)= x2 – x ; ∀x ∈ [0, 2] +∞ Biểu diễn f(x) dạng chuỗi hàm: f ( x) = ∑ cn sin n =1 HẾT - Ghi chú: - Sinh viên không ñược sử dụng tài liệu nπ x với cn hệ số thực Trường ðại học Sư Phạm TpHCM ðỀ THI: GIẢI TÍCH 2 (LẦN 1) KHOA VẬT LÝ LỚP: LÝ 1 CQNS – NH: 2007 – 2008 THỜI GIAN: 120’ Bài 1: (1.5 ñiểm) 1. Xét bản chất của chuỗi số 1 1 n n α ∞ = ∑ v ớ i α là s ố th ự c d ươ ng. 2. Khi cho t ổ ng c ủ a chu ỗ i s ố 3 1 1 n n ∞ = ∑ b ằ ng t ổ ng c ủ a 100 s ố h ạ ng ñầ u tiên thì sai s ố l ớ n nh ấ t cùa phép tính là bao nhiêu? Bài 2 (2.0 ñiểm) 1. Khai tri ể n ( ) (1 ) f x x α = + thành chu ỗ i l ũ y th ừ a. Cho bi ế t ñ i ề u ki ệ n c ủ a s ố th ự c α và mi ề n h ộ i t ụ c ủ a chu ỗ i l ũ y th ừ a ñ ó. 2. Hãy nêu cách tính g ầ n ñ úng giá tr ị c ủ a 3 28 . Bài 3 (1.5 ñiểm): Cho hàm s ố : ln( ) z x x r r = + − , trong ñ ó 2 2 2 r x y = + . Ch ứ ng minh r ằ ng: 2 2 2 2 1 z z x y x r ∂ ∂ + = ∂ ∂ + Bài 4 (1 ñiểm) Cho hàm s ố 2 2 1 ( ) exp 4 2 x u t t µ λ λ π   − = −     , v ớ i exp( ) x x e = (λ , µ h ằ ng s ố ). Ch ứ ng minh r ằ ng: u(x;t) th ỏ a mãn ph ươ ng trình truy ề n nhi ệ t: 2 2 2 u u t x λ ∂ ∂ = ∂ ∂ Bài 5 (1 ñiểm): Tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố : 1 1 z x y = + , n ế u 2 2 2 1 1 1 x y a + = ( a là h ằ ng s ố ) Bài 6 (1.5 ñiểm): B ằ ng cách ñặ t 2 y z x = + , hãy tìm 1 nghi ệ m riêng c ủ a ph ươ ng trình vi phân: 2 2 ' ( ) 2 x y xy + = th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n y(1) = 1 Bài 7 (1.5 ñiểm) Cho ph ươ ng trình: 1 '' ' y y x x − = (1) a. Gi ả i ph ươ ng trình thu ầ n nh ấ t liên k ế t v ớ i ph ươ ng trình (1) bi ế t ph ươ ng trình thu ầ n nh ấ t có 1 nghi ệ m riêng d ạ ng ñ a th ứ c b ậ c hai. b. Tìm nghi ệ m t ổ ng quát c ủ a ph ươ ng trình (1). HẾT Ghi chú: - Sinh viên không ñược sử dụng tài liệu - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM KHOA VẬT LÝ ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN NGÀNH VẬT LÝ HỌC (K37) HỌC KỲ: II – NH: 2011 – 2012 Học phần thi: Giải tích 2 Thời gian làm bài: 90 phút – không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 đ): a. Tìm vi phân của ( ) ( ) 2222 ln44 =++++++ zxyxyxxy tại ( ) 0;1 M với 0,01 ∆=∆= xy b. Tìm cực trị của hàm 332 81 22 33 =+−−++ zxyxyyxy Câu 2 (2,0 đ): Tính tích phân đường: ()() =++++− L Ixyxydxxyxydy ∮ L là đường tròn: 22 2 += xyay ( 0 > a ) Câu 3 (2,0 đ) Tính tích phân: 22 =+ ∫∫∫ V Izxydxdydz V là miền giới hạn bởi các mặt: 22 =+ zxy ; 0 = x ; 0 = y ; 1 = z Câu 4 (2,0 đ): Giải phương trình vi phân: ( ) ( ) 22 1241arctan+−=+ xdyxydxyxxdx với ( ) 10 = y Câu 5 (2,0 đ): Giải phương trình vi phân 25cos ′′′ ++= yyyxx Hết - Sinh viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên Sinh viên:………………………………………… Số báo danh:…………………. Cập nhật 18/01/2015 2.6 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Giải tích Số tín chỉ: 02 Đề số Dành cho sinh viên: Ngoài khoa Toán Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (3đ): Tìm cực trị hàm số z  x  6xy  y3 Câu (4đ): Tính tích phân lớp sau: I  | xy | dxdydz V Trong V miền xác định x2 + y2 + z2  z  Câu (3đ): Tính tích phân đường loại hai: I   (e x siny  xy  y ) dx  (e x cosy  xy  x ) dy L Trong đó, L đường cong kín gồm cung y   x đoạn [–1, 1] Lời giải: Câu 1: Tìm cực trị hàm số hai biến 3 Hàm số: z  x  6xy  y Thuộc dạng tìm cực trị tự hàm số hai biến * Tìm điểm tới hạn (điểm dừng): ' ' '' '' Hàm số xác định R2 Đặt: p  f x ; q  f y ; r  f x2 ; S  f xy ; t  f y''2 Ta có: p  f x'  3x  6y q  f y'  3y2  6x r  f x''2  6x ; S  f xy''  6 ; t  f y''2  6y 2 p   3x  6y   x  2y     x  y2  2(x  y)  Cho:  q   3y  6x   y  2x  Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 25 Cập nhật 18/01/2015 x  y  (x  y).(x  y  2)    x  (y  2) + Thay x = y vào phương trình x2 – 2y = ta được:  y  x  y2  2y     y   x  + Thay x = – (y + 2) vào phương trình x2 – 2y = ta được: y2   (vô nghiệm thực)  Có điểm dừng: A(0, 0) B(2, 2) * Xét xem điểm dừng có phải cực trị hay không: + Xét điểm dừng A(0, 0) ta có: S2  rt  36  36xy  36  Do đó, A không cực trị + Xét điểm dừng B(2, 2) ta có: S2  rt  36  36xy  108  Kết hợp với r = 6x = 12 > Do đó, B điểm cực tiểu Kết luận: Hàm số z(x, y) đạt cực tiểu địa phương –8 điểm B(2, 2) Tham khảo hình ảnh từ đồ thị (kiểm tra lại kết tính toán): Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B(2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu z(B) = – HVT Cực tiểu Câu 2: Tính tích phân lớp I  | xy | dxdydz V miền xác định x2 + y2 + z2  z  V Miền lấy tích phân có dạng nửa khối cầu phía mặt phẳng xOy, tâm khối cầu O(0, 0, 0); bán kính R = Hàm lấy tích phân hàm chẵn x y, miền lấy tích phân đối xứng qua mặt phẳng xOz mặt phẳng yOz Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 26 Cập nhật 18/01/2015 z Miền V có dạng hình vẽ: Chia miền V thành miền ứng với góc phần tư mặt phẳng xOy Tích phân cần tìm là: V1 I  | xy | dxdydz y V  4 xy dxdydz x V1 Đổi biến sang hệ tọa độ cầu: x 'r x  rcos sinθ  ' Đặt: y  rsin sinθ Tính định thức Jacobi: J  y r z  rcosθ z 'r  x ' y' z' x θ' y θ'  r 2sinθ z θ' 0  r   Miền V1 xác định với 0  θ  π/2 0    π/2  Do đó: I  4 xy dxdydz  4 rcos sinθ rsin sinθ | r sinθ | drd dθ V1 V1 π/2 π/2 0  4 r sin cos sin θ drd dθ  4 r dr  sin cos d  sin 3θ dθ 4 V1 r sin 2 4 π/2 π/2 32 π/2   sin θ d (cosθ)   (cos2θ  1) d (cosθ) 0  /2  64  cos3θ    cos θ   0  64   128     1  5  15 Câu 3: Tính tích phân đường loại hai I   (e x siny  xy  y ) dx  (e x cosy  xy  x ) dy L Trong đó, L đường cong kín gồm cung y   x đoạn [–1, 1] Đường cong kín L xác định miền D  R2 có dạng nửa đường tròn tâm O, bán kính Sử dụng mối liên hệ tích phân đường loại hai với tích phân kép (công thức Green) để tìm tích phân  P(x, y) dx  Q(x, y) dy    P ' y L y y  1 x2   Qx' dxdy D Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 27 D 1 O x Cập nhật 18/01/2015 Do đó: I   (e x siny  xy  y ) dx  (e x cosy  xy  x ) dy L      ex cosy  x  2y  ex cosy  y  2x dxdy   x  y  dxdy D D Miền D có dạng nửa hình tròn, sử dụng phương pháp đổi biến hệ tọa độ cực: x  rcos y  rsin Đặt:  x 'r Tính định thức Jacobi: J  ' yr x' cos  rsin  r ' y sin rcos Tích phân trở thành: 0  r  I   x  y dxdy   (rcos  rsin ) | r| drd với D' xác định bởi:  0    π D D' π   r dr (cos  sin ) d   r dr. (cos  sin ) d D' 0 r3 π  sin  cos     1   30 3 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 28 Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI : GIẢI TÍCH NGÀY THI : 15/06/2013 THỜI GIAN : 90 phút CA (Không sử dụng tài liệu)   f yy   f xy  M(0,1) Câu 1: Cho hàm f ( x, y )  y ln(2 y  e x ) Tính A  f x  f y , B  f xx   3n   Câu 2:Khảo sát hội tụ chuỗi số   n  n 1  3n    Câu 3: Tính tổng chuỗi số  n 1 ( 1)n 1.3.5 (2n  1) 7n n ! Câu 4:Tính tích phân  | x  y | dxdy với D nửa hình tròn x  y  2, y  n 1 D Câu 5:Tính diện tích phần mặt paraboloid z   x  y giới hạn mặt phẳng z  0, y  3x, x  y với x, y dương Câu 6:Tính tích phân I   xdydz  yzdzdx  ( z  x )dxdy với S phía hình nón cụt S z  x  y ,1  z  2 Câu 7: Tính tích phân I   z dydz  xdzdx  ydxdy với C giao tuyến mặt C z  x  y , z  x lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương 2 CN Bộ môn duyệt Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Bộ môn Toán Ứng Dụng ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI : GIẢI TÍCH NGÀY THI : 15/06/2013 THỜI GIAN : 90 phút CA (Không sử dụng tài liệu) Câu 1: Tìm đạo hàm theo hướng vector u  1, 2, 2  điểm M  1,0,1  x  z2  f  x, y, z   arctan  2  x y  Câu 2: Tính tích phân I   x  y  dxdy , D hình tròn tâm O  0,0  , bán kính R  D Câu 3: Tính tích phân J   xdx  x ydy , C biên miền phẳng giới hạn C đường y  ln x, y  0, x  e, lấy theo chiều kim đồng hồ Câu 4: Tính tích phân K   xzdydz  x zdzdx  ydxdy , S phần mặt cầu S x  y  z  z bị chắn mặt phẳng z  3, z  , lấy phía nhìn từ phía dương trục Oz 2 n 1  n2  n   Câu 5: Khảo sát hội tụ chuỗi số:   1 n   n 1  n 3   n  2n  1! n Câu 6: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa: S  x     x  2 n n! n 1  1 n Câu 7: Tính tổng chuỗi số: S    1 1   n  n 1 n 1  n CN Bộ môn duyệt