Cập nhật 18/01/2015 2.6 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Giải tích Số tín chỉ: 02 Đề số Dành cho sinh viên: Ngoài khoa Toán Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (3đ): Tìm cực trị hàm số z x 6xy y3 Câu (4đ): Tính tích phân lớp sau: I | xy | dxdydz V Trong V miền xác định x2 + y2 + z2 z Câu (3đ): Tính tích phân đường loại hai: I (e x siny xy y ) dx (e x cosy xy x ) dy L Trong đó, L đường cong kín gồm cung y x đoạn [–1, 1] Lời giải: Câu 1: Tìm cực trị hàm số hai biến 3 Hàm số: z x 6xy y Thuộc dạng tìm cực trị tự hàm số hai biến * Tìm điểm tới hạn (điểm dừng): ' ' '' '' Hàm số xác định R2 Đặt: p f x ; q f y ; r f x2 ; S f xy ; t f y''2 Ta có: p f x' 3x 6y q f y' 3y2 6x r f x''2 6x ; S f xy'' 6 ; t f y''2 6y 2 p 3x 6y x 2y x y2 2(x y) Cho: q 3y 6x y 2x Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 25 Cập nhật 18/01/2015 x y (x y).(x y 2) x (y 2) + Thay x = y vào phương trình x2 – 2y = ta được: y x y2 2y y x + Thay x = – (y + 2) vào phương trình x2 – 2y = ta được: y2 (vô nghiệm thực) Có điểm dừng: A(0, 0) B(2, 2) * Xét xem điểm dừng có phải cực trị hay không: + Xét điểm dừng A(0, 0) ta có: S2 rt 36 36xy 36 Do đó, A không cực trị + Xét điểm dừng B(2, 2) ta có: S2 rt 36 36xy 108 Kết hợp với r = 6x = 12 > Do đó, B điểm cực tiểu Kết luận: Hàm số z(x, y) đạt cực tiểu địa phương –8 điểm B(2, 2) Tham khảo hình ảnh từ đồ thị (kiểm tra lại kết tính toán): Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B(2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu z(B) = – HVT Cực tiểu Câu 2: Tính tích phân lớp I | xy | dxdydz V miền xác định x2 + y2 + z2 z V Miền lấy tích phân có dạng nửa khối cầu phía mặt phẳng xOy, tâm khối cầu O(0, 0, 0); bán kính R = Hàm lấy tích phân hàm chẵn x y, miền lấy tích phân đối xứng qua mặt phẳng xOz mặt phẳng yOz Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 26 Cập nhật 18/01/2015 z Miền V có dạng hình vẽ: Chia miền V thành miền ứng với góc phần tư mặt phẳng xOy Tích phân cần tìm là: V1 I | xy | dxdydz y V 4 xy dxdydz x V1 Đổi biến sang hệ tọa độ cầu: x 'r x rcos sinθ ' Đặt: y rsin sinθ Tính định thức Jacobi: J y r z rcosθ z 'r x ' y' z' x θ' y θ' r 2sinθ z θ' 0 r Miền V1 xác định với 0 θ π/2 0 π/2 Do đó: I 4 xy dxdydz 4 rcos sinθ rsin sinθ | r sinθ | drd dθ V1 V1 π/2 π/2 0 4 r sin cos sin θ drd dθ 4 r dr sin cos d sin 3θ dθ 4 V1 r sin 2 4 π/2 π/2 32 π/2 sin θ d (cosθ) (cos2θ 1) d (cosθ) 0 /2 64 cos3θ cos θ 0 64 128 1 5 15 Câu 3: Tính tích phân đường loại hai I (e x siny xy y ) dx (e x cosy xy x ) dy L Trong đó, L đường cong kín gồm cung y x đoạn [–1, 1] Đường cong kín L xác định miền D R2 có dạng nửa đường tròn tâm O, bán kính Sử dụng mối liên hệ tích phân đường loại hai với tích phân kép (công thức Green) để tìm tích phân P(x, y) dx Q(x, y) dy P ' y L y y 1 x2 Qx' dxdy D Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 27 D 1 O x Cập nhật 18/01/2015 Do đó: I (e x siny xy y ) dx (e x cosy xy x ) dy L ex cosy x 2y ex cosy y 2x dxdy x y dxdy D D Miền D có dạng nửa hình tròn, sử dụng phương pháp đổi biến hệ tọa độ cực: x rcos y rsin Đặt: x 'r Tính định thức Jacobi: J ' yr x' cos rsin r ' y sin rcos Tích phân trở thành: 0 r I x y dxdy (rcos rsin ) | r| drd với D' xác định bởi: 0 π D D' π r dr (cos sin ) d r dr. (cos sin ) d D' 0 r3 π sin cos 1 30 3 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 28 ... 18/01 /20 15 x y (x y).(x y 2) x (y 2) + Thay x = y vào phương trình x2 – 2y = ta được: y x y2 2y y x + Thay x = – (y + 2) vào phương trình x2 – 2y... sin cos d sin 3θ dθ 4 V1 r sin 2 4 π /2 π /2 32 π /2 sin θ d (cosθ) (cos2θ 1) d (cosθ) 0 /2 64 cos3θ cos θ 0 64 128 1 5 15 Câu 3: Tính... Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B (2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu z(B) = – HVT Cực tiểu Câu 2: Tính tích phân lớp I | xy | dxdydz V miền xác định x2 + y2 + z2 z V Miền lấy tích phân có dạng