Giải đề thi Giai tich 2

Cập nhật 18/01/2015 2.6 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Giải tích Số tín chỉ: 02 Đề số Dành cho sinh viên: Ngoài khoa Toán Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (3đ): Tìm cực trị hàm số z  x  6xy  y3 Câu (4đ): Tính tích phân lớp sau: I  | xy | dxdydz V Trong V miền xác định x2 + y2 + z2  z  Câu (3đ): Tính tích phân đường loại hai: I   (e x siny  xy  y ) dx  (e x cosy  xy  x ) dy L Trong đó, L đường cong kín gồm cung y   x đoạn [–1, 1] Lời giải: Câu 1: Tìm cực trị hàm số hai biến 3 Hàm số: z  x  6xy  y Thuộc dạng tìm cực trị tự hàm số hai biến * Tìm điểm tới hạn (điểm dừng): ' ' '' '' Hàm số xác định R2 Đặt: p  f x ; q  f y ; r  f x2 ; S  f xy ; t  f y''2 Ta có: p  f x'  3x  6y q  f y'  3y2  6x r  f x''2  6x ; S  f xy''  6 ; t  f y''2  6y 2 p   3x  6y   x  2y     x  y2  2(x  y)  Cho:  q   3y  6x   y  2x  Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 25 Cập nhật 18/01/2015 x  y  (x  y).(x  y  2)    x  (y  2) + Thay x = y vào phương trình x2 – 2y = ta được:  y  x  y2  2y     y   x  + Thay x = – (y + 2) vào phương trình x2 – 2y = ta được: y2   (vô nghiệm thực)  Có điểm dừng: A(0, 0) B(2, 2) * Xét xem điểm dừng có phải cực trị hay không: + Xét điểm dừng A(0, 0) ta có: S2  rt  36  36xy  36  Do đó, A không cực trị + Xét điểm dừng B(2, 2) ta có: S2  rt  36  36xy  108  Kết hợp với r = 6x = 12 > Do đó, B điểm cực tiểu Kết luận: Hàm số z(x, y) đạt cực tiểu địa phương –8 điểm B(2, 2) Tham khảo hình ảnh từ đồ thị (kiểm tra lại kết tính toán): Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B(2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu z(B) = – HVT Cực tiểu Câu 2: Tính tích phân lớp I  | xy | dxdydz V miền xác định x2 + y2 + z2  z  V Miền lấy tích phân có dạng nửa khối cầu phía mặt phẳng xOy, tâm khối cầu O(0, 0, 0); bán kính R = Hàm lấy tích phân hàm chẵn x y, miền lấy tích phân đối xứng qua mặt phẳng xOz mặt phẳng yOz Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 26 Cập nhật 18/01/2015 z Miền V có dạng hình vẽ: Chia miền V thành miền ứng với góc phần tư mặt phẳng xOy Tích phân cần tìm là: V1 I  | xy | dxdydz y V  4 xy dxdydz x V1 Đổi biến sang hệ tọa độ cầu: x 'r x  rcos sinθ  ' Đặt: y  rsin sinθ Tính định thức Jacobi: J  y r z  rcosθ z 'r  x ' y' z' x θ' y θ'  r 2sinθ z θ' 0  r   Miền V1 xác định với 0  θ  π/2 0    π/2  Do đó: I  4 xy dxdydz  4 rcos sinθ rsin sinθ | r sinθ | drd dθ V1 V1 π/2 π/2 0  4 r sin cos sin θ drd dθ  4 r dr  sin cos d  sin 3θ dθ 4 V1 r sin 2 4 π/2 π/2 32 π/2   sin θ d (cosθ)   (cos2θ  1) d (cosθ) 0  /2  64  cos3θ    cos θ   0  64   128     1  5  15 Câu 3: Tính tích phân đường loại hai I   (e x siny  xy  y ) dx  (e x cosy  xy  x ) dy L Trong đó, L đường cong kín gồm cung y   x đoạn [–1, 1] Đường cong kín L xác định miền D  R2 có dạng nửa đường tròn tâm O, bán kính Sử dụng mối liên hệ tích phân đường loại hai với tích phân kép (công thức Green) để tìm tích phân  P(x, y) dx  Q(x, y) dy    P ' y L y y  1 x2   Qx' dxdy D Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 27 D 1 O x Cập nhật 18/01/2015 Do đó: I   (e x siny  xy  y ) dx  (e x cosy  xy  x ) dy L      ex cosy  x  2y  ex cosy  y  2x dxdy   x  y  dxdy D D Miền D có dạng nửa hình tròn, sử dụng phương pháp đổi biến hệ tọa độ cực: x  rcos y  rsin Đặt:  x 'r Tính định thức Jacobi: J  ' yr x' cos  rsin  r ' y sin rcos Tích phân trở thành: 0  r  I   x  y dxdy   (rcos  rsin ) | r| drd với D' xác định bởi:  0    π D D' π   r dr (cos  sin ) d   r dr. (cos  sin ) d D' 0 r3 π  sin  cos     1   30 3 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 28 ... 18/01 /20 15 x  y  (x  y).(x  y  2)    x  (y  2) + Thay x = y vào phương trình x2 – 2y = ta được:  y  x  y2  2y     y   x  + Thay x = – (y + 2) vào phương trình x2 – 2y... sin cos d  sin 3θ dθ 4 V1 r sin 2 4 π /2 π /2 32 π /2   sin θ d (cosθ)   (cos2θ  1) d (cosθ) 0  /2  64  cos3θ    cos θ   0  64   128     1  5  15 Câu 3: Tính... Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B (2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu z(B) = – HVT Cực tiểu Câu 2: Tính tích phân lớp I  | xy | dxdydz V miền xác định x2 + y2 + z2  z  V Miền lấy tích phân có dạng