giải đề thi giải tích

Cập nhật 18/01/2015 2.6 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Giải tích Số tín chỉ: 02 Đề số Dành cho sinh viên: Ngoài khoa Toán Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (3đ): Tìm cực trị hàm số z  x  6xy  y3 Câu (4đ): Tính tích phân lớp sau: I  | xy | dxdydz V Trong V miền xác định x2 + y2 + z2  z  Câu (3đ): Tính tích phân đường loại hai: I   (e x siny  xy  y ) dx  (e x cosy  xy  x ) dy L Trong đó, L đường cong kín gồm cung y   x đoạn [–1, 1] Lời giải: Câu 1: Tìm cực trị hàm số hai biến 3 Hàm số: z  x  6xy  y Thuộc dạng tìm cực trị tự hàm số hai biến * Tìm điểm tới hạn (điểm dừng): ' ' '' '' Hàm số xác định R2 Đặt: p  f x ; q  f y ; r  f x2 ; S  f xy ; t  f y''2 Ta có: p  f x'  3x  6y q  f y'  3y2  6x r  f x''2  6x ; S  f xy''  6 ; t  f y''2  6y 2 p   3x  6y   x  2y     x  y2  2(x  y)  Cho:  q   3y  6x   y  2x  Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 25 Cập nhật 18/01/2015 x  y  (x  y).(x  y  2)    x  (y  2) + Thay x = y vào phương trình x2 – 2y = ta được:  y  x  y2  2y     y   x  + Thay x = – (y + 2) vào phương trình x2 – 2y = ta được: y2   (vô nghiệm thực)  Có điểm dừng: A(0, 0) B(2, 2) * Xét xem điểm dừng có phải cực trị hay không: + Xét điểm dừng A(0, 0) ta có: S2  rt  36  36xy  36  Do đó, A không cực trị + Xét điểm dừng B(2, 2) ta có: S2  rt  36  36xy  108  Kết hợp với r = 6x = 12 > Do đó, B điểm cực tiểu Kết luận: Hàm số z(x, y) đạt cực tiểu địa phương –8 điểm B(2, 2) Tham khảo hình ảnh từ đồ thị (kiểm tra lại kết tính toán): Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B(2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu z(B) = – HVT Cực tiểu Câu 2: Tính tích phân lớp I  | xy | dxdydz V miền xác định x2 + y2 + z2  z  V Miền lấy tích phân có dạng nửa khối cầu phía mặt phẳng xOy, tâm khối cầu O(0, 0, 0); bán kính R = Hàm lấy tích phân hàm chẵn x y, miền lấy tích phân đối xứng qua mặt phẳng xOz mặt phẳng yOz Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 26 Cập nhật 18/01/2015 z Miền V có dạng hình vẽ: Chia miền V thành miền ứng với góc phần tư mặt phẳng xOy Tích phân cần tìm là: V1 I  | xy | dxdydz y V  4 xy dxdydz x V1 Đổi biến sang hệ tọa độ cầu: x 'r x  rcos sinθ  ' Đặt: y  rsin sinθ Tính định thức Jacobi: J  y r z  rcosθ z 'r  x ' y' z' x θ' y θ'  r 2sinθ z θ' 0  r   Miền V1 xác định với 0  θ  π/2 0    π/2  Do đó: I  4 xy dxdydz  4 rcos sinθ rsin sinθ | r sinθ | drd dθ V1 V1 π/2 π/2 0  4 r sin cos sin θ drd dθ  4 r dr  sin cos d  sin 3θ dθ 4 V1 r sin 2 4 π/2 π/2 32 π/2   sin θ d (cosθ)   (cos2θ  1) d (cosθ) 0  /2  64  cos3θ    cos θ   0  64   128     1  5  15 Câu 3: Tính tích phân đường loại hai I   (e x siny  xy  y ) dx  (e x cosy  xy  x ) dy L Trong đó, L đường cong kín gồm cung y   x đoạn [–1, 1] Đường cong kín L xác định miền D  R2 có dạng nửa đường tròn tâm O, bán kính Sử dụng mối liên hệ tích phân đường loại hai với tích phân kép (công thức Green) để tìm tích phân  P(x, y) dx  Q(x, y) dy    P ' y L y y  1 x2   Qx' dxdy D Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 27 D 1 O x Cập nhật 18/01/2015 Do đó: I   (e x siny  xy  y ) dx  (e x cosy  xy  x ) dy L      ex cosy  x  2y  ex cosy  y  2x dxdy   x  y  dxdy D D Miền D có dạng nửa hình tròn, sử dụng phương pháp đổi biến hệ tọa độ cực: x  rcos y  rsin Đặt:  x 'r Tính định thức Jacobi: J  ' yr x' cos  rsin  r ' y sin rcos Tích phân trở thành: 0  r  I   x  y dxdy   (rcos  rsin ) | r| drd với D' xác định bởi:  0    π D D' π   r dr (cos  sin ) d   r dr. (cos  sin ) d D' 0 r3 π  sin  cos     1   30 3 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 28 Cập nhật 20/01/2015 2.7 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Giải tích Số tín chỉ: 03 Đề số Dành cho sinh viên: Khoa Vật lý, Hóa học, Môi trường, KT-TV-HDH Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Câu Cho hàm số  x  4y3  f(x, y)   2x  y2 0  (x, y)  (0,0) (x, y)  (0,0) a) Xét liên tục f(x,y) R2 ' b) Tính đạo hàm riêng f x' f y Câu Tìm cực trị hàm số f(x, y)  (x2  y2 )3  3x  3y2 Câu Tính tích phân kép I   (x  xy  x ) dxdy D Trong D hình phẳng giới hạn parabol y = x2 đường thẳng y = 2x + Câu Tính tích phân bội ba I   (xyz  x  y2 ) dxdydz V Trong V hình cầu x2 + y2 + z2  Câu Tính tích phân đường I   (xy  y2 ) ds L Trong L biên tam giác ABC với A(–1, 0); B(0, 1); C(1, 0) Câu Tính tích phân đường I   (x  x y) dx  (xy  y3 ) dy L Trong L đường tròn x2 + y2 = theo chiều dương Lời giải: Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 25 Cập nhật 20/01/2015 Câu 1: Xét liên tục hàm số tính đạo hàm riêng cấp  x  4y3  f(x, y)   2x  y2 0  (x, y)  (0,0) (x, y)  (0,0) a) Xét liên tục f(x,y) R2: Hàm số xác định (x,y)  R2 Hàm số liên tục R2\{0, 0} Xét tính liên tục hàm số điểm (0, 0) ta có: 0 0 x  4y3 x3 4y3   2x  y2 2x  y2 2x  y2 (theo tính chất |a + b|  |a| + |b|) x  4y3 x3 4y3 x     4y 2x  y2 2x y2 Khi (x, y)  (0, 0) x  4y  theo nguyên lý kẹp ta được: x  4y3  Suy ra: (x, y)(0,0) 2x  y lim x  4y3 0 (x, y) (0,0) 2x  y lim x  4y3  f(0,0)  Do hàm số f(x,y) liên tục điểm (0, 0)  (x, y)(0,0) 2x  y lim Vậy, hàm số f(x,y) liên tục R2 ' ' b) Tính đạo hàm riêng f x f y : f  ' x f  ' y 3x (2x  y2 )  4x(x  4y3 ) 2x  y2   12y2 (2x  y2 )  2y(x3  4y3 ) 2x  y2  6x  3x y2  4x  16xy  2x  y2   24x y2  12y4  2x y  8y4 2x  y2  2x  3x y2  16xy 2x   y2  4y4  24x y2  2x y 2x  y2  Câu 2: Tìm cực trị hàm số f(x, y)  (x2  y2 )3  3x  3y2 Dạng tìm cực trị tự hàm số hai biến * Tìm điểm tới hạn (điểm dừng): ' ' '' '' Hàm số xác định R2 Đặt: p  f x ; q  f y ; r  f x2 ; S  f xy ; p  f x'  6x(x2  y2 )2  6x q  f y'  6y(x2  y2 )2  6y Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 26 t  f y''2 Ta có: Cập nhật 20/01/2015 r  f x''2  6(x  y2 )2  24x (x  y2 )  S  f xy''  24xy(x  y ) t  f y"2  6(x  y2 )2  24y2 (x  y2 )   x   x  6x(x  y2 )2  6x   p       x  y   x  1 Cho:   2 q   6y(x  y )  6y    y    y   Có điểm dừng: A(0, 0); B(1, 0) C(–1, 0) * Xét xem điểm dừng có phải cực trị hay không: + Xét điểm dừng A(0, 0) ta có: S2  rt  02  (6).6  36  Do đó, A không cực trị + Xét điểm dừng B(1, 0) ta có: S2  rt  02  24.12  288  Kết hợp với r = 24 > Do đó, B điểm cực tiểu + Xét điểm dừng C(–1, 0) ta có: S2  rt  02  24.12  288  Kết hợp với r = 24 > Do đó, C điểm cực tiểu Kết luận: Hàm số z(x, y) đạt cực tiểu địa phương –2 hai điểm B(1, 0) C(–1, 0) Tham khảo hình ảnh từ đồ thị (kiểm tra lại kết tính toán): Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B C thỏa mãn điểm cực tiểu Câu 3: Tính tích phân kép I   (x  xy  x ) dxdy D Trong D hình phẳng giới hạn parabol y = x2 đường thẳng y = 2x + Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 27 Cập nhật 20/01/2015 Miền D có dạng hình vẽ: y D B  y  2x  y  x2 A  O x Đối với dạng ta tìm khoảng biến thiên x y, sau sử dụng phương pháp lặp để giải Hoành độ giao điểm A B nghiệm hệ: y  x x  1  x  2x    (x  1)(x  3)     x  y  2x  Tích phân cần tìm là: 2x 3 2x 3  xy   I   dx  (x  x  xy) dy   dx  x y  xy  2   x2 1  x 3  x(2x  3) x5    dx  x (2x  3)  x(2x  3)   x  x   2  1 3    dx 4x  6x  4x  6x  4x  12x  9x  2x  2x  x 1  3 1  x 22 15    dx  x  2x  6x  22x  15x     x  x  x  x  1 2  1    729 486 243 594 135 22 15  416             2 6 2 Câu 4: Tính tích phân bội ba I   (xyz  x  y ) dxdydz V hình cầu x2 + y2 + z2  V Miền lấy tích phân khối cầu tâm O, bán kính Sử dụng phương pháp đổi biến hệ tọa độ cầu: Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 28 Cập nhật 20/01/2015 x 'r x  rcos sinθ  ' Đặt: y  rsin sinθ Tính định thức Jacobi: J  y r z  rcosθ z 'r  x ' y' z' x θ' y θ'  r 2sinθ z θ' 0  r   Miền V ' xác định với 0  θ  π 0    2π  Do đó: I   (rcos sinθ rsin sinθ.rcosθ  r 2cos2 sin θ  r 2sin 2 sin θ) | r 2sinθ | drd dθ V'   (r 3cos sin sin θ.cosθ  r sin θ) r 2sinθ drd dθ V'   (r 5cos sin sin θ.cosθ  r sin θ) drd dθ V'   (r 5cos sin sin3 θ.cosθ drd dθ   r sin3 θ drd dθ V' V' π 2π 2π π 0   r dr  cos sin d. sin θ.cosθ dθ   r dr  d. sin θ dθ r sin 2  2π π π sin 4θ r5 2π     sin 2θ d (cosθ) 0 π π  1  cos3θ  0.0  2π. (cos 2θ  1) d (cosθ)  2π   cos θ  5  0  2π  1  2π      1    3  Câu 5: Tính tích phân đường loại I   (xy  y2 ) ds với L biên tam giác ABC A(–1, 0); B(0, 1); C(1, 0) L Tích phân đường loại không phụ thuộc vào chiều lấy tích phân Với L có dạng biên tam giác ta viết phương trình phụ thuộc y vào x cạnh tam giác sau lấy tích phân cạnh tam giác y Đường L có dạng hình vẽ: B 1 + Phương trình đường thẳng AB y=x+1 + Phương trình đường thẳng BC Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 29 A  -1 O C  x Cập nhật 20/01/2015 y = –x + + Phương trình đường thẳng CA y=0  Tích phân đường loại cần tìm là: I   (xy  y2 ) ds L   [x(x  1)  (x  1) ]  dx   [x(x  1)  (x  1)2 ]  (1)2 dx  2 1 0   (2x  3x  1) dx   (x  1) dx 1 0 2    2      x3  x  x     x  x      1     1 3  1  0 3     2 Câu 6: Tính tích phân đường loại hai I   (x  x y) dx  (xy  y3 ) dy L Trong L đường tròn x2 + y2 = theo chiều dương Sử dụng mối liên hệ tích phân kép với tích phân đường loại hai đường cong kín (công thức Green) để giải toán Theo công thức Green ta có:  P(x, y) dx  Q(x, y) dy    P ' y L   Qx' dxdy D (trong D miền phẳng tạo đường cong kín L) Do đó: I   (x  x y) dx  (xy  y3 ) dy   (x  y2 ) dxdy L với D miền: x2 + y2  D Miền D có dạng hình tròn tâm O(0,0); bán kính Đổi sang hệ tọa độ cực: x  rcos y  rsin Đặt:  Định thức Jacobi: J  x 'r y'r x' cos  rsin  r y' sin rcos Tích phân trở thành: Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 30  Cập nhật 20/01/2015  I   x  y2 dxdy   (r 2cos2  r 2sin 2 ) | r| drd   r 3drd D D' D' 0  r  0    2π với D' xác định bởi:  2π r4 π 2π  I   r dr  d    2π  40 0 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 31 Cập nhật 18/01/2015 2.6 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Giải tích Số tín chỉ: 02 Đề số Dành cho sinh viên: Ngoài khoa Toán Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (3đ): Tìm cực trị hàm số z  x  6xy  y3 Câu (4đ): Tính tích phân lớp sau: I  | xy | dxdydz V Trong V miền xác định x2 + y2 + z2  z  Câu (3đ): Tính tích phân đường loại hai: I   (e x siny  xy  y ) dx  (e x cosy  xy  x ) dy L Trong đó, L đường cong kín gồm cung y   x đoạn [–1, 1] Lời giải: Câu 1: Tìm cực trị hàm số hai biến 3 Hàm số: z  x  6xy  y Thuộc dạng tìm cực trị tự hàm số hai biến * Tìm điểm tới hạn (điểm dừng): ' ' '' '' Hàm số xác định R2 Đặt: p  f x ; q  f y ; r  f x2 ; S  f xy ; t  f y''2 Ta có: p  f x'  3x  6y q  f y'  3y2  6x r  f x''2  6x ; S  f xy''  6 ; t  f y''2  6y 2 p   3x  6y   x  2y     x  y2  2(x  y)  Cho:  q   3y  6x   y  2x  Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 25 Cập nhật 18/01/2015 x  y  (x  y).(x  y  2)    x  (y  2) + Thay x = y vào phương trình x2 – 2y = ta được:  y  x  y2  2y     y   x  + Thay x = – (y + 2) vào phương trình x2 – 2y = ta được: y2   (vô nghiệm thực)  Có điểm dừng: A(0, 0) B(2, 2) * Xét xem điểm dừng có phải cực trị hay không: + Xét điểm dừng A(0, 0) ta có: S2  rt  36  36xy  36  Do đó, A không cực trị + Xét điểm dừng B(2, 2) ta có: S2  rt  36  36xy  108  Kết hợp với r = 6x = 12 > Do đó, B điểm cực tiểu Kết luận: Hàm số z(x, y) đạt cực tiểu địa phương –8 điểm B(2, 2) Tham khảo hình ảnh từ đồ thị (kiểm tra lại kết tính toán): Hình ảnh từ đồ thị cho thấy, điểm B(2, 2) thỏa mãn điểm cực tiểu z(B) = – HVT Cực tiểu Câu 2: Tính tích phân lớp I  | xy | dxdydz V miền xác định x2 + y2 + z2  z  V Miền lấy tích phân có dạng nửa khối cầu phía mặt phẳng xOy, tâm khối cầu O(0, 0, 0); bán kính R = Hàm lấy tích phân hàm chẵn x y, miền lấy tích phân đối xứng qua mặt phẳng xOz mặt phẳng yOz Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 26 Cập nhật 18/01/2015 z Miền V có dạng hình vẽ: Chia miền V thành miền ứng với góc phần tư mặt phẳng xOy Tích phân cần tìm là: V1 I  | xy | dxdydz y V  4 xy dxdydz x V1 Đổi biến sang hệ tọa độ cầu: x 'r x  rcos sinθ  ' Đặt: y  rsin sinθ Tính định thức Jacobi: J  y r z  rcosθ z 'r  x ' y' z' x θ' y θ'  r 2sinθ z θ' 0  r   Miền V1 xác định với 0  θ  π/2 0    π/2  Do đó: I  4 xy dxdydz  4 rcos sinθ rsin sinθ | r sinθ | drd dθ V1 V1 π/2 π/2 0  4 r sin cos sin θ drd dθ  4 r dr  sin cos d  sin 3θ dθ 4 V1 r sin 2 4 π/2 π/2 32 π/2   sin θ d (cosθ)   (cos2θ  1) d (cosθ) 0  /2  64  cos3θ    cos θ   0  64   128     1  5  15 Câu 3: Tính tích phân đường loại hai I   (e x siny  xy  y ) dx  (e x cosy  xy  x ) dy L Trong đó, L đường cong kín gồm cung y   x đoạn [–1, 1] Đường cong kín L xác định miền D  R2 có dạng nửa đường tròn tâm O, bán kính Sử dụng mối liên hệ tích phân đường loại hai với tích phân kép (công thức Green) để tìm tích phân  P(x, y) dx  Q(x, y) dy    P ' y L y y  1 x2   Qx' dxdy D Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 27 D 1 O x Cập nhật 18/01/2015 Do đó: I   (e x siny  xy  y ) dx  (e x cosy  xy  x ) dy L      ex cosy  x  2y  ex cosy  y  2x dxdy   x  y  dxdy D D Miền D có dạng nửa hình tròn, sử dụng phương pháp đổi biến hệ tọa độ cực: x  rcos y  rsin Đặt:  x 'r Tính định thức Jacobi: J  ' yr x' cos  rsin  r ' y sin rcos Tích phân trở thành: 0  r  I   x  y dxdy   (rcos  rsin ) | r| drd với D' xác định bởi:  0    π D D' π   r dr (cos  sin ) d   r dr. (cos  sin ) d D' 0 r3 π  sin  cos     1   30 3 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 28 ... 20/01/2015 2.7 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Giải tích Số tín chỉ: 03 Đề số Dành... 18/01/2015 2.6 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Giải tích Số tín chỉ: 02 Đề số Dành... Ngoài khoa Toán Dạng đề thi: Không sử dụng tài liệu Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (3đ): Tìm cực trị hàm số z  x  6xy  y3 Câu (4đ): Tính tích phân lớp sau: I 