ON THI THPTQGCHU DE SO PHUC

Cao Minh Nh Cao Minh Nh õn õn Tiết 13 ôn luyện về số phức A. Mục tiêu - Học sinh nhớ lại đơc khái niệm số phức - Rèn kĩ năng tính toán ,kĩ năng biểu diễn số phức - Giáo dục t duy lô gic ,tính thực tiễn -Giáo dục thái độ tích cực đối với bộ môn B. chuẩn bị - Giáo viên : Giáo án và đồ dùng - Học sinh : Học bài ,làm bài tập c. Phơng pháp -thuyết trình , vấn đáp gợi mở - Hớng dẫn t duy thông qua các hoạt động D. Tiến trình - ổn định - Kiểm tra bài cũ : - Tiến trình Hoạt động 1 : nhắc lại các kiến thức đã học về số phức Hoạt động của Thầy Hoạt động của Trò *Nêu vấn đề : +định nghĩa số phức +Số phức bằng nhau +BD hình học +Môđun +Số phức liên hợp *Thu nhận thông tin ,suy nghĩ ,tìm P/A thắng *Trả lời câu hỏi? *Ghi nhớ Ví dụ : 1. Tìm các số thực x, y biết: x + 2y + (2x-y)i = 2x + y + (x + 2y)i 2. Cho 2 số phức x = a + bi và y = c +di .Tìm điều kiện của a, b c , d để các điểm biểu diễn x ; y trên mặt phẳng toạ độ : a) Đối xứng với nhau qua trục Ox b) Đối xứng với nhau qua trục Oy c) Đối xứng với nhau qua đờng phân giác góc phần t thứ nhất và thứ ba d) Đối xứng với nhau qua gốc toậ độ O 3. Tìm số phức z biết : a) 2z = và z là số thuần ảo b) 10z = và phần thực của z gấp 3 lần phần ảo của nó *Nêu ví dụ ,hớng dẫn cách giải 1. Hai số phức bằng nhau => ? (hệ?) 2. Cách BD số phức trên MP toạ độ 3. a) 2 2 2z a b= + = và a = 0 =>b =? b) 2 2 10z a b= + = và a = 3b =>a,b *Thu nhận thông tin,suy nghĩ ,tìm P/A thắng *Giải VD theoHD của GV x + 2y = 2x + y 2x y = x + 2y => x =? ; y =? * 3 .b) Tìm a, b bằng cách giải hệ { 2 2 100a b+ = và a =3b Tài liệu ôn tốt nghiệp 17 Cao Minh Nh Cao Minh Nh õn õn Hoạt động 2 Nêu quy tắc cộng và nhân số phức *Nêu câu hỏi ? hớng dẫn trả lời Quy tắc cộng trừ các số phức ? Quy tắc nhân các số phức ? *thu nhận thông tin ,suy nghĩ tìm P /A thắng + ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di a c b d i+ + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di ac bd ad bc i+ + = + + ví dụ : 1.Thực hiện các phép tính: a I = (5 + 3i )( 7 - 2i ) + 8( 4 +5i ) b) J = ( 1 - 5i ) 2 + ( 4 + 3i )( 8 i ) 2 Giải PT sau ( Trên tập số phức ) a) ( 5-7i ) + 3 x =( 2 - 5i )( 1 + 3i ) b) 5 - 2ĩ x = ( 3 + 4i )( 1 - 3i ) c) ( 5 - 2i )x = ( 3 + 4i )( 1 - 3i ) Nêu đề bài , hớng dẫn cách giải 1.b) ( 1 - 5i ) 2 = ( 1 - 5i )( 1 - 5i ) = - 24 - 10i 2. a) thực hiện phép nhân ( 2 - 5i )( 1 + 3i ) sau đó chuyển 5-7i Sang vế phải => x 2.c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 1 3 15 5 5 2 85 5 5 2 5 2 5 2 21 i i i i i i i i + + + = = + *Thu nhận thông tin , suy nghĩ tìm P/A thắng 1. Thực hiện phép nhân .cộng số phức b) (1-5i) 2 =-(24+10i) ( 4 + 3i )( 8 i ) =35+20i =>J=11+10i 2. a) ( ) ( ) ( ) 2 5 1 3 5 7 3 i i i x + + = 2.b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 1 3 5 10 5 5 10 2 2 2 i i i i i x i i + + = = = E. củng cố và hớng dẫn học bài 1. Khắc sâu kiến thức: Các khái niệm về số phức , phép cộng và phép nhân số phức 2. Hớng dẫn học bài và làm bài tập: Phơng pháp thực hiện các phép toán cộng và nhân 2 số phức với nhau, Phơng pháp thực hiện các phép toán cộng và nhân số thực với số phức. H ớng dẫn bài tập :4.10 (trang 178- Sách BTGT 12- CT Chuẩn) Tính các luỹ thừa sau: c) I = [(4+5i) - (4+3i)] 2 HD (4+5i) - (4+3i) =2i =>[(4+5i) - (4+3i)] 2 =(2i) 2 =- 4 4.11 (trang 178- Sách BTGT 12- CT Chuẩn) Tính : a) ( 1 + i ) 2006 = ? b) ( 1 - i ) 2009 = ? HD a (1+i) 2 =1 +2i +i 2 =2i => ( 1 + i ) 2006 = ( 2i ) 1003 =2 1003 i 1003 = 2 1003 i b ( 1-i ) 2 = -2i =>( 1 - i ) 2009 = ( 1 - i ) 2008 (1-i) = (-2i) 1004 (1-i) =2(1-i) Bài tập về nhà : từ 4.10 đến 4.15 Sách BTGT Chuẩn Tiết 14 ôn luyện về số phức (tiếp) A . MụC TIÊU - Học sinh nhớ lại đơc các phép toán về số phức Trường THPT Hải Đề cương ơn thi THPT Quốc Gia năm 2017 An CHỦ ĐỀ 5: SỐ PHỨC I TỔNG HỢP LÝ THUYẾT Dạng tốn Tìm thuộc tính số phức thỏa mãn điều kiện K cho trước ¾¾ ® · · Phương pháp giải: Bước Gọi số phức cần tìm với z = x + yi x, y Ỵ ¡ Bước Biến đổi điều kiện K (thường liên quan đến mơđun, biểu thức có chứa ) để đưa phương trình hệ phương trình nhờ số phức z, z, z , nhau, suy x  Lưu ý Trong trường phức y · · · với x, ¡ i =- Hai số phức £, cho số phức z = x + y.i z = x + y.i z = x + y.i z1 = x1 + y1.i x phần ảo (căn thực bình cộng ảo uuuu r z = OM = x2 + y2 (ngược dấu ảo) z = x - y.i z2 = x2 + y2.i gọi (hai số phức thực · có phần thực Khi đó, ta cần nhớ: Mơnđun số phức bình) Số phức liên hợp y Þ z = = thực ảo = ìï x1 = x2 ïí ïïỵ y1 = y2 ảo) Trong toán tìm thuộc tính số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước, K z (tất z) toán giải phương trình bậc z (phép cộng – trừ – nhân – chia số phức) với ẩn loại trở lên ta sẽ gọi (z, z, z ) z (hoặc z = x + yi , (x; y Ỵ ¡ ) Þ z = x - yi Còn chứa hai z) Từ sử dụng các phép toán số phức để đưa hai số phức thực thực, ảo = ảo để giải hệ phương trình tìm = x, y Þ z Dạng tốn Biểu dieãn hình học soá phức toán liên quan Loại 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z = x + y.i thỏa mãn điều kiện K cho trước ? Trường THPT Hải Đề cương ơn thi THPT Quốc Gia năm 2017 An · · Bước Gọi M (x; y) điểm biểu diễn số phức: Bước Biến đổi điều kiện K z = x + yi , (x, y Ỵ ¡ ) để tìm mối liên hệ x, y kết ḷn Mối liên hệ x y Kết luận tập hợp điểm o Ax + By + C = Là đường thẳng é(x - a)2 + (y - b)2 = R2 ê êx2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0× ê ë Là đường tròn o M (x; y) d : Ax + By + C = (C) có tâm I (a; b) bán kính R = a2 + b2 - c o é(x - a)2 + (y - b)2 £ R2 ê êx2 + y2 - 2ax - 2by + c £ 0× ê ë Là hình tròn (C) có tâm kính I (a;b) bán R = a2 + b2 - c o R12 £ (x - a)2 + (y - b)2 £ R22 Là điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm bán kính I (a;b) R1 o y = ax2 + bx + c, (a¹ 0) Là R2 parabol có (P ) đỉnh ỉ b Dư ÷ Sç ;÷ ç ÷ ç ÷ è 2a 4à o x2 y2 + =1 a b với ìï MF1 + MF2 = 2a ïí × ïïỵ F1F2 = 2c < 2a Là elíp có trục lớn 2a, trục bé 2b tiêu cự 2c = a2 - b2 , (a> b> 0) o x2 y2 =1 a b với ìï MF - MF = 2a ï × í ïï F F = 2c > 2a ỵ Là hyperbol có trục thực trục ảo với o MA = MB a, b> 2b 2a, tiêu cự 2c = a2 + b2 Là đường trung trực đoạn thẳng AB Trường THPT Hải Đề cương ơn thi THPT Quốc Gia năm 2017 An Loại 2: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn thỏa mãn tính chất K cho trước ? · Bước Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z để mối liên hệ x y · Bước Dựa vào mối liên hệ x y ở bước 1, để tìm z , z max ?  Lưu ý : Thơng thường với loại này, người đề hay cho tập hợp biểu diễn số phức z đường thẳng đường tròn Khi đó, ta có hai hướng xử lý: sử dụng phương pháp hình học, hai sử dụng phương pháp đại số (bất đẳng thức) Dạng tốn Phương trình bậc hai bậc cao trường soá phức Phương trình bậc hai 2 Xét phương trình bậc hai az + bz + c = 0, (*) với a¹ có biệt số: D = b - 4ac Khi đó: · · b z1 = z2 =× ( * ) 2a Nếu D = phương trình có nghiệm kép: Nếu D ¹ gọi d bậc hai D phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là: z1 = - b+ d - b- d z2 = × 2a 2a  Lưu ý z1 + z2 =- · b c z1z2 = × a a Hệ thức Viét trường phức £ : · Căn bậc hai số phức z = x + yi số phức w tìm sau: + Bước Đặt w= z = x + yi = a+ bi với x, y, a, bỴ ¡ + ìï a2 - b2 = x w2 = x + yi = (a+ bi ) Û (a2 - b2 ) + 2abi = x + yi Û ïí Þ ïï 2ab= y ỵ Bước Biến đổi: + Bước Kết ḷn các bậc hai số phức ì × × ïíï x =× ïïỵ y =× ×× z w= z = a+ bi Ta làm tương tự trường hợp bậc ba, bậc bốn Ngồi cách tìm bậc hai số phức trên, ta tách ghép đưa số chính phương dựa vào đẳng thức Phương trình qui phương trình bậc hai Trong giải phương trình bậc cao, đề cho phương trình có nghiệm ảo, ta z = bi vào phương trình giải tìm bÞ z = bi Do có nghiệm z = bi nên chia Hoocner để đưa phương trình bậc thấp mà biết cách giải để tìm nghiệm lại Còn đề cho biết có nghiệm thực Khi cần đến khả nhẩm nghiệm phương trình bậc cao (nếu có i ta nhẩm nghiệm cho triệt tiêu i) Trường THPT Hải Đề cương ơn thi THPT Quốc Gia năm 2017 An II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Trong số sau số số ảo: −3 , Câu −3 B −3 C Số các số sau số thực? A Câu ( Câu ) ( + 2i − − 2i ) ( ) ( + 3i + − 3i ) ( B Phần ảo số phức z 644 644 A 25 B 27 −3 , ) ( ) ) ( ) biết −3 , − 3i z = − 3i + −3 , C ( C ( + 2i ) 1+ i ) −3 −3 ; −3 ; −3 D 2+i + 2−i + 3i + −3 A B Số các số sau số ảo? ( A Câu PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2 1+ i + i là: 644 C 29 644 D 31 B Số ảo C D Số z − z là: A Số thực B Số ảo − 2i Câu Mơđun C D 2i C D Câu Số z + z là: A Số thực Câu A B Câu Mơđun −2iz A −2 z B 2z C 2z D +i −i + 3i D − 3i D Cho số phức z thỏa điều kiện 2(z − 1) = z + (i − 1)(i + 2) (1) Mơđun z là: Câu A 26 26 B 10 (2 + i ) z + Câu 10 Cho số phức thỏa A B C 26 26 D 12 2(1 + 2i ) = + 8i 1+ i Mơđun số phức w = z + + i bằng: C D Trường THPT Hải Đề cương ơn thi THPT Quốc Gia năm 2017 An Câu 11 Phần ảo số phức z , biết z = ( + i) (1 − 2i) là: A − B D −2 C Câu 12 ...Số phức GV:Trần Xuân Trường Câu 1: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a) (4-i)+(2+3i)-(5+i); b) 2 2 (1 ) (1 )i i+ − − ; c) 3 3 (2 ) (3 )i i+ − − d) 3 2 1 i i i i − + − + ; e) 7 7 1 1 ( ) 2 i i i − f) 33 10 1 1 ( ) (1 ) (2 3 )(2 3 ) 1 i i i i i i + + − + + − + − g) 2 3 20 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )i i i i+ + + + + + + + + . Câu 2 Cho số phức z x iy= + , ( , )x y R∈ .Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức: a) 2 2 4z z i− + b) 1 z i iz + − . Câu 3: Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: a. 2 1 3 1 2 i i z i i + − + = − + b. 1 ((2 ) 3 )( ) 0 2 i z i iz i − + + + = . c. 2 2 4z z i+ = − d. 2 0z z+ = e. 2 0z z+ = f. 2 2 0z z+ = . Câu 4: a. Các điểm A,B,C và , , , , ,A B C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 1 i− , 2 3i+ , 3 i+ và 3i, 3 2i− , 3 2i+ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và , , , A B C có cùng trọng tâm. b. Biết các số phức 1 2 3 , ,z z z biểu diễn bởi ba đỉnh nào đó của một hình bình hànhtrong mặt phẳng phức, hãy tìm số biểu diễn bởi đỉnh còn lại. Câu 5: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) 3 4z z+ + = b) 1 2z z i− + − = . c) (2 )( )z i z− + là số thực tùy ý. d) (2 )( )z i z− + là số ảo tùy ý; e) 2 2z i z z i− = − + ; f) 2 2 ( ) 4z z− = . Câu 6: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: 1 1 z z i − = − và 3 1 z i z i − = + . Câu 7: Tìm số phức z thỏa mãn : 4 ( ) 1 z i z i + = − . Câu 8:Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: a) 1 4 3i− + ; b) 4 6 5i+ c) 1 2 6i− − . Câu 9: Hỏi khi số thực a thay đổi tùy ý thì các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các căn bậc hai của a+i vạch nên đường nào? Câu 10: Giải các phương trình sau trên C: a). (z-i)( 2 1z + )( 3 z i+ )=0. b). ( 2 2 2 ( ) 4( ) 12 0z z z z+ + + − = ) Câu 11: a). Tìm các số thực a,b để có phân tích : 3 2 2 2 9 14 5 (2 1)( )z z z z z az b− + − = − + + rồi giải phương trình sau trên C: 3 2 2 9 14 5 0;z z z− + − = b) Tìm các số thực a,b để có phân tích : 4 2 2 2 4 16 16 ( 2 4)( )z z z z z z az b− − − = − − + + rồi giải phương trình sau trên C: 4 2 4 16 16 0z z z− − − = . Câu 12: Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực p,q để phương trình : 4 2 0z pz q+ + = . a) Chỉ có nghiệm thực ; b) Không có nghiệm thực ; c) Có cả nghiệm thực và nghiệm không thực. Câu 13: Giải các phương trình sau trên C: a) 2 4 3 1 0 2 z z z z− + + + = . b) 2 2 2 2 ( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0z z z z z z+ + + + + − = . Câu 14: Giải hệ phương trình hai ẩn phức 1 2 ,z z sau: 1 2 2 2 1 2 4 5 2 z z i z z i + = +    + = −   . Câu 15: Giải hệ phương trình hai ẩn phức 1 2 ,z z sau: 1 2 2 2 1 2 5 5 5 2 z z i z z i = − −    + = − +   . Câu 16: Cho phương trình: 3 2 2(1 ) 3 1 0z i z iz i− + + + − = . a) Do đâu ta có thể nhận thấy nhanh chóng rằng z=1 là một nghiệm của phương trình đó? b) Tìm các số phức , α β để có phân tích : 3 2 2 2(1 ) 3 1 ( 1)( )z i z iz i z z z α β − + + + − = − + + . rồi giải phương trình đã cho. Câu 17: a) Chứng minh rằng nếu ba số phức 1 2 3 , ,z z z thỏa mãn : 1 2 3 1 2 3 1 1 z z z z z z  = = =   + + =   Thì một trong ba số đó phải bằng 1. b) Giải hệ phương trình ba ẩn phức 1 2 3 , ,z z z sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 z z z z z z z z z  = = =  + + =   =  Câu 18: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: a) 2 2 3i− + b) os isin 4 4 c π π − c) sin os 8 8 ic π π − − d) 1 sin osic ϕ ϕ − + ( 0 2 π ϕ < < ). e) 3 3 ( ) ( )a i a i+ + − (a là số thực cho trước); f) (1 3)z i− + biết một acgumen của z bằng 3 π . Câu 19: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a) 5 7 ( os i sin ) (1 3 ) 3 3 c i i π π − + b) 4 6 (1 ) ( 3 )i i− + c) 10 9 (1 ) ( 3 ) i i + + d) 2000 2000 1 z z + biết 1 1z z + = . Câu 20: MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -1- Naêm hoïc: 2009 – 2010 MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -2- A. SỐ PHỨC. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC. I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn 2 1 i = - . Kí hiệu z a bi = + · i: đơn vò ảo, · a: phần thực, · b: phần ảo. Chú ý: o z a 0i a = + = được gọi là số thực (a ) Ỵ Ì ¡ £ o z 0 bi bi = + = được gọi là số ảo o 0 0 0i = + vừa là số thực vừa là số ảo Biểu diễn hình học của số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức z Û z = a + bi 2. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức z a bi = + và z' a ' b'i = + với a,b,a ',b' Ỵ ¡ a a' z z' b b' = ì = Û í = ỵ 3. Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức z a bi = + và z' a ' b'i = + với a,b,a ',b' Ỵ ¡ ( ) ( ) z z' a a' b b' i + = + + + ( ) ( ) z z' a a' b b' i - = - + - o Số đối của z = a + bi là –z = – a – bi (a, b ) Ỵ ¡ 4. Nhân hai số phức. Cho hai số phức z a bi = + và z' a ' b'i = + với a,b,a ',b' Ỵ ¡ ( ) ( ) z.z' aa' bb' ab' a 'b i = - + + 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi = - o '.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+= o z là số thực zz =Û ; z là số ảo zz -=Û 6. Môđun của số phức z = a + bi o 2 2 z a b zz OM = + = = uuuur o 00,0 =Û=Ỵ"³ zzCzz o z.z' z z' , z z' z z' z,z' = + £ + " Ỵ £ 7. Chia hai số phức. o Số phức nghòch đảo của z (z )0 ¹ : z z z 2 1 1 = - x y a b O M MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -3- o Thương của z’ chia cho z (z 0) ¹ : zz zz z zz zz z z '' ' ' 2 1 === - o Với z .' ' ,0 wzzw z z =Û=¹ , z z z z z z z z ' ' , '' == ÷ ø ư ç è ỉ II. CÁC DẠNG TOÁN Bài toán 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: a. z i (2 4i)(3 2i) = + - + ; b. 3 3 z ( 1 i) (2i) = - + - ; c. ( ) 2 z 1 i 1 i = + + - Giải. a. z i (2 4i)(3 2i) i 14 8i 14 7i = + - + = + - = - Phần thực a = 14; Phần ảo b = 7 - ; môđun z 7 5 = b. 3 3 z ( 1 i) (2i) 2 2i ( 8i) 2 10i = - + - = + - - = + Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun z 2 26 = c. ( ) 2 z 1 i 1 i 1 i 2 1 i = + + = + + - = - Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun z 2 = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: a. (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b. (2 + i) 3 – (3 – i) 3 c. - 1 2 3i d. - 3 (2 3i) e. (1 + i) 2 – (1 – i) 2 f. ( ) ( ) + - - 2 2 3 i 3 i g. (2 + i) 3 – (3 – i) 3 h. + - - + - - 2 3 3 2 (1 2i) (1 i) (3 2i) (2 i) i. ( ) 2 4 5 3 2 2 - - + + i i i j. ( 1- 2 i ) + i i + + 2 1 k. - 3 2i i l. ( ) ( ) [ ] .)25(223 3 iii + m. - - - + 3 2 1 i i i i n. i i i i - - + - 2 1 3 o. + + + - - 3 2i 1 i 1 i 3 2i p. ( ) )32(41 43 ii i +- - 2. Tính a. i 2 1 3 + b. i i - + 1 1 c. mi m h. ai bia + i. (2 – i) 4 j. i 2 3 2 1 1 - n. (2 + 3i) 2 o. (2 – 3i) 3 p. i i + + 1 24 q. 2 i (1 i)(4 3i) 3 2i + + + - + MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -4- d. aia aia - + e. )1)(21( 3 ii i +- + f. 2i(3 + i)(2 + 4i) g. 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) k. i i i 6 3 45 34 + + +- l. ( ) ( ) i ii + - + 2 21 32 m. (3 – 2i)(2 – 3i) r. (3 4i)(1 2i) 4 3i 1 2i - + + - - s. 3 i i - + (5 – i) 2 t. 2 2i 1 2i 1 2i 2 2i + + + - - Bài toán 2. Tính 2012 (1 i) + Giải. 1006 2012 2 1006 1006 1006 1006 2 503 1006 503 1006 (1 i) (1 i) (2i) 2 .i 2 .(i ) 2 .( 1) 2 é ù + = + = = = = - = - ë û BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tính. a. 2 3 2009 1 i i i i + + + + + b. 100 (1 ) i- c. 2008 2008 (1 ) (1 ) + + - i i Bài toán 3. Tìm các số thực x và y biết 2x yi 3 2i x yi 2 4i + - + = - + + Giải. 2x 3 x 2 x 4 2x yi 3 2i x yi 2 4i (2x 3) (y 2)i (x 2) (4 y)i y 2 4 y y 1 - = + = ì ì + - + = - + Trường THPT Tân Quới www.VNMATH.com Chuyên đề SỐ PHỨC−ĐẠI SỐ TỔ HỢP I. SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT I. Dạng đại số ( vẫn còn nhớ ) II. Dạng lượng giác của số phức ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0) * 2 2 r a b= + là môđun của z. * ϕ là một acgumen của z thỏa cos sin a r b r ϕ ϕ  =     =   1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + , ( ) ' ' cos ' sin 'z r i ϕ ϕ = + thì: * ( ) ( ) . ' . ' cos ' sin 'z z r r i ϕ ϕ ϕ ϕ   = + + +   * ( ) ( ) cos ' sin ' ' ' z r i z r ϕ ϕ ϕ ϕ   = − + −   2. Công thức Moivre: *n N ∈ thì ( ) ( ) cos sin cos sin n n r i r n i n ϕ ϕ ϕ ϕ   + = +   3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Căn bậc hai của số phức ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + (r > 0) là cos sin 2 2 r i ϕ ϕ   +  ÷   và cos sin 2 2 r i ϕ ϕ   − +  ÷   B. BÀI TẬP 1. (ĐH_Khối A 2009) Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 +2z+10=0. Tính giá trị biểu thức 2 2 2 1 zzA += . ĐS: A=20 2. Cho z 1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình 2 2 4 11 0z z− + = . Tính giá trị của biểu thức ( ) 2 2 1 2 2 1 2 z z A z z + = + . ĐS: A=11/4 3. (CĐ_Khối A 2009) a. Số phức z thỏa mãn (1+i) 2 (2−i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z. b. Giải phương trình sau trên tập số phức: iz iz iz 2 734 −= − −− . ĐS: a. a=2, b=−3 b. z=1+2i, z=3+i 4. Tìm số phức z thoả mãn: 2 2z i− + = . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. ĐS: ( ) ( ) 2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i= − − + = + − − . 5. (ĐH_Khối B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn ( ) 102 =+− iz và 25. =zz . ĐS: z=3+4i hoặc z=5 6. Tìm số phức z thỏa mãn: ( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 z z i z i z i  − =  −   −  =  +  . HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1. ĐS: z=1+i. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 1 Trường THPT Tân Quới www.VNMATH.com 7. Giải phương trình: 4 1 z i z i +   =  ÷ −   . ĐS: z∈{0;1;−1} 8. Giải phương trình: 2 0z z+ = . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. ĐS: z∈{0;i;−i} 9. Giải phương trình: 2 0z z+ = . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. ĐS: z=0, z=−1, 1 3 2 2 z i= ± 10. Giải phương trình: 2 4 3 1 0 2 z z z z− + + + = . HD: Chia hai vế phương trình cho z 2 . ĐS: z=1±i, 1 1 2 2 z i= − ± . 11. Giải phương trình: z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 =0. HD: Đặt thừa số chung ĐS: 1 3 1 3 1, , 2 2 2 2 z z i z i= − = ± = − ± . 12. Cho phương trình: (z + i)(z 2 −2mz+m 2 −2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. 13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận α làm nghiệm biết: a. α = 2−5i b. α = −2−i 3 c. α = 3 - 2i 14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z 3 −iz 2 −2iz−2 = 0. b. z 3 +(i−3)z 2 +(4−4i)z−7+4i = 0. 15. (ĐH_Khối D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện ( ) 243 =−− iz . ĐS: (x−3) 2 +(y+4) 2 =4 16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 2z i z z i− = − + . ĐS: 2 4 x y = . 17. Trong các số phức thỏa mãn 3 2 3 2 z i− + = . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. HD: *Gọi z=x+yi. 3 2 3 2 z i− + = ⇒ … ⇒ ( ) ( ) 2 2 9 2 3 4 x y− + + = . * Vẽ hình ⇒|z| min ⇒z. ĐS: 26 3 13 78 9 13 13 26 z i − − = + . 18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: a. ( ) 10 9 (1 i) 3 i + + . b. ( ) 7 5 cos sin 1 3 3 3 i i i π π   − +  ÷   . HD: Sử dụng công thức Moivre. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 2 Trường THPT Tân Quới www.VNMATH.com ĐS: a. Phần thực 1 16 − , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128. 19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i) 2 +(1+i) 3 + … + (1+i) 20 . HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực −2 10 , phần ảo: 2 10 +1. II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. LÝ THUYẾT 1. Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2). … .3.2.1, n≥0. 2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: ( ) ! ! kn n A k n − = , n≥k>0. 3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: ( ) !! ! TITU ANDREESCU DORIN ANDRICA Người dịch LÊ L Ễ (CĐSP NINH THUẬN) BÀI TẬP SỐ PHỨC (98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI) Bài tập số phức Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 2 LỜI GIỚI THIỆU Như tên sách, ‘’Complex Numbers from A to Z’’, nội dung nguyên bản phủ hầu khắp các vấn đề liên quan số phức: từ xây dựng trường số phức, số phức dạng lượng giác, đến hình học phức Người dịch chỉ chọn lọc một số vấn đề lý thuyết, bài tập cơ bản, nâng cao của số phức để giới thiệu bằng tiếng Việt, ngõ hầu phục vụ đối tượng bạn đọc là học sinh trung học phổ thông, sinh viên, người không chuyên làm toán với số phức. Trong khả năng có thể, người dịch cố gắng dùng những thuật ngữ phổ biến nhất hiện nay. Tuy nhiên không thể không dùng những thuật ngữ nếu thiếu nó thì khó lòng diễn đạt các vấn đề về số phức. Mọi việc dù muốn hay không, cũng có thể gây ra thiếu, sót (hạn chế sai, lầm). Mong các em học sinh, sinh viên và quý vị nói cười thoải mái. Người dịch. Bài tập số phức Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 3 Mục lục 1 Mục lục 3 1. Dạng đại số của số phức 5 1.1 Định nghĩa số phức 5 1.2 Tính chất phép cộng 5 1.3 Tính chất phép nhân 5 1.4 Dạng đại số của số phức 6 1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i 8 1.6 Số phức liên hợp 8 1.7 Môđun của số phức 10 1.8 Giải phương trình bậc hai 14 1.9 Bài tập 17 1.10 Đáp số và hướng dẫn 22 2. Biểu diễn hình học của số phức 24 2.1 Biểu diễn hình học của số phức 24 2.2 Biểu diễn hình học của Môđun 25 2.3 Biểu diễn hình học các phép toán 25 2.4 Bài tập 28 2.5 Đáp số và hướng dẫn 29 3. Dạng lượng giác của số phức 29 3.1 Tọa độ cực của số phức 29 3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức 31 3.2 Các phép toán trên dạng lượng giác số phức 36 3.4 Biểu diễn hình học của tích hai số phức 38 3.5 Bài tập 39 3.6 Đáp số và hướng dẫn 42 4. Căn bậc n của đơn vị 43 4.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức 43 4.2 Căn bậc n của đơn vị 45 4.3 Phương trình nhị thức 49 4.4 Bài tập 50 4.5 Đáp số và hướng dẫn 51 1 Có thể click chuột lên tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng Bài tập số phức Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 4 Bài tập số phức Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 5 1. Dạng đại số của số phức 1.1 Định nghĩa số phức Xét 2 {( , )| , }R R x y RR xy . Hai phần tử 11 ( ,)x y và 22 ( ,)x y bằng nhau ⇔ 12 12 xx yy . ∀ 1 1 2 2 , ),((,)xyyx ∈ ℝ 2 : Tổng 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , )z x y x x yz y x y ∈ ℝ 2 . Tích 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( , ).( , ) ( , ).z x y x y x yz xy yyxx ∈ ℝ 2 . Phép toán tìm tổng hai số phức gọi là phép cộng. Phép toán tìm tích hai số phức gọi là phép nhân. Ví dụ 1 . a) 12 ( 5,6), (1, 2)z z 12 ( 5,6) (1, 2) ( 4,4)z z . 12 ( 5,6)(1, 2) ( 5 12,10 6) (7,16)z z . b) 12 1 1 1 ( ,1), ( , ) 2 3 2 zz 12 1 1 1 5 3 ( ,1 ) ( , ) 2 3 2 6 2 z z 12 1 1 1 1 1 7 ( , ) ( , ) 6 2 4 3 3 12 z z Định nghĩa. Tập ℝ 2 , cùng với phép cộng và nhân ở trên gọi là tập số phức ℂ . Phần tử (x,y) ∈ℂ gọi là một số phức. 1.2 Tính chất phép cộng (1) Giao hoán: 1 2 2 1 1 2 ,,z z z z z Cz . (2) Kết hợp: 121 2 3 3 1 2 3 () ,(,),z z zz z z zz z C . (3) Tồn tại phần tử không: 0 (0,0) , 0 0 ,C z z z z C . (4) Mọi số có số đối: , : ( ) ( ) 0z C z C z z z z . Số 1 2 1 2 ()z z z z : hiệu của hai số 12 ,z z . Phép toán tìm hiệu hai số gọi là phép trừ, 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , )z x y x x yz y x y ∈ ℂ. 1.3 Tính chất phép nhân (1) Giao hoán: 1 2 2 1 1 2 , ,zz z z Cz z . Bài tập số phức Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 6 (2) Kết hợp: 121 2 3 3 1 2 3 ( . ). . .() ,,,z z z z z Cz z z z . (3) Tồn tại phần tử đơn vị: 1 (0,1) , .1 1. ,C z z z z C . (4) Mọi số khác 0 có số nghịch đảo: * 1 1 1 , : . . 1z C z C z z z z . Giả sử * ( , )z x y C , để tìm 1 ( ', ... (nếu có i ta nhẩm nghiệm cho triệt tiêu i) Trường THPT Hải Đề cương ơn thi THPT Quốc Gia năm 2017 An II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Trong số sau số số ảo: −3 , Câu −3 B −3 C Số các số sau số thực? A Câu... y = −3 y =3 Trong mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn A Đường thẳng y = C Đường thẳng y+x=3 Câu ) x=2 z +1− i ≤ B Đường thẳng x = -3 D Hình tròn tâm I(-1;1), R = Trong mặt phẳng... I(-8;-9), R = Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z − i = z − z + 2i đường thẳng có phương trình: Trường THPT Hải Đề cương ơn thi THPT Quốc Gia năm