Chương IV SỐ PHỨC I KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT Kiến thức Theo yêu cầu chuẩn kiến thức mơn Tốn lớp 12 THPT hành, học sinh cần hiểu, nhớ khái niệm kết Các khái niệm: Định nghĩa số i (đơn vị ảo) Định nghĩa số phức Phần thực, phần ảo số phức Số ảo (còn gọi số ảo) Hai số phức Kí hiệu : tập hợp số phức Quan hệ tập số thực tập số phức : Biểu diễn hình học số phức Khái niệm mô đun số phức Cách cộng, trừ, nhân, chia hai số phức Cách tính bậc hai (phức) số thực Cách giải tìm nghiệm phức phương trình bậc hai với hệ số thực Cách tìm nghiệm phức phương trình trùng phương với hệ số thực Các kết quả: Tính i Cách xác định phần thực, phần ảo số phức Cách xác định điểm biểu diễn số phức Công thức xác định số phức liên hợp, mô đun số phức Công thức z.z z Cơng thức tính bậc hai số phức Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực ax bx c Kỹ Theo yêu cầu Chuẩn kỹ mơn Tốn lớp 12 THPT hành, học sinh cần luyện tập để thành thục kỹ đây: Có khả vận dụng khái niệm nêu mục tình cụ thể Biết xác định phần thực, phần ảo số phức Biết biểu diễn hình học số phức Biết tìm mơ đun, số liên hợp số phức cho Biết thực phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức Biết tính bậc hai (phức) số thực cho http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Biết tìm nghiệm phức phương trình bậc hai, phương trình trùng phuowngvowis hệ số thực Một số ví dụ Ví dụ (Câu 29 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Cho số phức z 2i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực 3 , phần ảo 2i B Phần thực 3 , phần ảo 2 C Phần thực , phần ảo 2i D Phần thực , phần ảo Hướng dẫn giải: Học sinh cần nắm khái niệm số phức liên hợp khái niệm phần thực, phần ảo số phức Ngoài ra, em cần tránh sai lầm kh quan niệm phần ảo số phức toàn phần lại số phức sau bỏ phần thực (quan niệm em chọn C đáp án đúng) Cách giải: Vì z 2i nên z 2i Số phức có phần thực 3, phần ảo Đáp án D Chỉ cần hiểu khái niệm số phức liên hợp, phần thực, phần ảo số phức, học sinh dễ dàng chọn đáp án câu trắc nghiệm Ví dụ (Câu 30 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Cho hai số phức z1 i , z2 3i Tính mơ đun số phức z1 z2 A z1 z2 13 B z1 z2 C z1 z2 D z1 z2 Hướng dẫn giải: Để trả lời câu hỏi này, học sinh cần biết cách tính tổng hai số phức biết cách tính mơ đun số phức Cách giải: Áp dụng định nghĩa tổng hai số phức mơ đun số phức, ta có: z1 z2 1 1 3 i 2i z1 z2 32 2 13 Đáp án A Ví dụ (Câu 31 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Cho số phức z thỏa mãn 1 i z i Hỏi điểm biểu diễn z điểm điểm sau ? A Điểm M 1;2 C Điểm P 1; 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word B Điểm N 1;2 D Điểm Q 1; 2 Hướng dẫn giải:Vì phép tốn cộng, trừ, nhân, chia tập số phức có tất tính chất phép toán tập số thực, ddoscos thể tính z từ điều kiện cho cách chia hai vế phương trình cho hệ số ẩn z Điểm biểu diễn z điểm có hoành độ, tung độ theo thứ tự phần thực, phần ảo z 3i Thực 1 i phép chia số phức, ta có z 2i Điểm biểu diễn z điểm Q 1; 2 Chọn đáp án D Cách giải: Chia hai vế phương trình 1 i z i cho i ta z Ví dụ (Câu 33 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình z4 z2 12 Tính tổng T z1 z2 z3 z4 A T C T B T D T Hướng dẫn giải: Câu hỏi kiểm tra kỹ tìm nghiệm phương trình trùng phương vơi hệ số thực Cách giải: Đặt z2 t , phương trình cho trở thành t t 12 Phương trình có hai nghiệm (thực) trái dấu t , t 3 , ứng với z2 z2 3 Nghiệm phương trình cho bậc hai 3 Do phương trình cho có bốn nghiệm z1,2 2 , z3,4 i Từ đó, z1,2 , z3,4 Do T Chọn đáp án C Ví dụ (Câu 34 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Cho số phức z thỏa mãn z Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w 4i z i đường tròn Tính bán kính r đường tròn A r B r C r 20 D r 22 Hướng dẫn giải: Đây câu hỏi trắc nghiệm hay Học sinh thường bị phương hướng không để ý r cần tìm bán kính đường tròn Đọc kĩ đề ta thấy liệu sau: (1): Tập hợp điểm biểu diễn số phức w 4i z i (*) với z (**) đường tròn (2): r bán kính đường tròn Các liệu nói số phức w , ta cần tìm mối liên hệ hồnh độ tung độ điểm M biểu diễn số phức w http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cách giải 1: Kí hiệu M x; y điểm biểu diễn số phức w , tức w x yi Do (*) viết lại thành x yi 4i z i 4i z x y 1 i z z x y 1 i 4i x y 1 i 3 4i 3x y 1 y 1 x i 4i 4i 25 25 x y 1 y 1 x Sử dụng (**), ta 16 (***) 25 25 2 Sau vài biến đổi đơn giản ta có (***) x y 1 202 *** Đây phương trình đường tròn tâm I 0;1 bán kính r 20 , đường tròn tập hợp điểm M x, y biểu diễn số phức w Vậy C đáp án Cách giải 2: Ta biết đường tròn có tâm biểu diễn số phức w0 , bán kính r tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn w w0 r nên ta xét w i 4i z Đặt z a bi (a, b số thực) w i 4i a bi 3a 4b 4a 3b i , w i 3a 4b 4a 3b 25 a2 b2 25.16 5.4 Vậy r 20 2 2 II MỘT SỐ CÂU HỎI LUYỆN TẬP Tìm khẳng định sai khẳng định sau đây: A Số phức z 3i có phần thực 5, phần ảo 3 B Só phức z 2i số ảo C Điểm M 1;2 điểm biểu diễn số phức z 1 2i D Số khơng phải số phức Tìm tất cặp số thực x; y thỏa mãn điều kiện x 1 3y i i A 1; 1 B 3; 1 C 3;1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word D 2; 1 Tìm tất cặp số thực x; y thỏa mãn điều kiện x 3x 5y y 1 i x y y i 5 A 2;1 , 2; 4 5 B 2; 1 , 2; ; 3; 1 4 5 C 2; 1 , 3; 3; 1 4 D Kí hiệu A tập số thực, 2; 1 , 2; 5 5 ; 3; 1 , 3; 4 4 tập số phức Tìm khẳng định sai ? B z z , z C z 7i số thực D z 5i khơng phải số phức Kí hiệu M điểm biểu diễn số phức z , ' điểm biểu diễn số phức z Khăng định đúng? A M, M ' đối xứng qua trục tung B M, M ' đối xứng qua trục hoành C M, M ' đối xứng qua đường thẳng y x D M, M ' đối xứng qua đường thẳng y x Tìm khẳng định sai ? A Với số phức z , z số thực B Với số phức z , z số phức C Với số phức z , z số thực dương D Với số phức z , z số thực không âm Khẳng định khẳng định sau sai ? A Số phức z 2 có phần thực 2 B Số phức z i có phần thực , phần ảo i C Tập số phức chứa tập số thực D Số phức z 3 4i có mơ đun http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Tìm khẳng định sai ? A Tập hợp điểm biểu diễn số phức có mơ đun đường tròn đơn vị ( đường tròn có bán kính 1, tâm gốc tọa độ) B Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z phần mặt phẳng phía (kể biên) đường tròn đơn vị C Tập hợp điểm biểu diễn số phức có phần thực đường thẳng song song với trục hoành D Tập hợp điểm biểu diễn số phức có phần thực phần ảo thuộc khoảng 1;1 miền hình vng Khẳng định sai ? A z , z z số thực B z , số thực z C z , z z số ảo D z , z.z số thực không âm 10 Khẳng định sai ? A 3i i 2i B 4i 1 6i 1i C 3i 5i 23 14i D 3i i 3i i 11 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z có điểm biểu diễn nằm trục tung A Trục tung B, Trục hoành C Đường phân giác góc phần tư (I) góc phần tư (III) D Đường phân giác góc phần tư (I), (III) đường phân giác góc phần tư (II), (IV) 12 Tính 12 3i i 3i A 31 12 i C 51 12 i http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word B 51 12 i D 51 12 i 13 Tính mơ đun số phức z 1 i 2i cos i sin A 51 B D C 61 14 Có số phức z thỏa mãn điều kiện z.z z , z ? A B C 15 Tính phần thực số phức z thỏa mãn điều kiện z A B D i 1 3i C D 16 Tính 3i 5i 4i A 2 5 3 i B 2 5 3 i C 12 5 3 i D 5 3 i 17 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy điểm M điểm biểu diễn số phức z i 1 i gọi góc tạo chiều dương trục hồnh với véc tơ OM Tính sin 2 A 0,8 B 0,6 C 0,8 D 0,6 18 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z i 2 A Đường thẳng x 3y C Đường thẳng y x B Đường thẳng x y 1 2 D Đường thẳng x y 2 19 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z i 1 i A Đường thẳng x y B Đường tròn x 1 y C Đường tròn đơn vị x y D Đường thẳng y 2 20 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z i 4i 3z A Đường thẳng y C Đường thẳng 3x y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word D Đường thẳng 3x y B Đường thẳng x 21 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : số phức w z 1 i i số ảo A Đường tròn x y B Đường thẳng y x C Đường thẳng y x D Đường parabol 2x y 22 Tìm giá trị lớn z biết z thỏa mãn điều kiện A B 23 Tím số phức z thỏa mãn điều kiện A z 3i B z C z z iz 2 3i z 1 2i D zi 0 1i C z 21 2i D z i 24 Có số phức z thỏa mãn điều kiện z2 3z 2.z.z ? A B 25 Gọi M điểm biểu diễn số phức w 1 i z 2i i 3z C D z z 1 , z số phức thỏa mãn z2 Gọi N điểm mặt phẳng cho Ox, ON 2 , ddos Ox, OM góc lượng giác tạo tành quay tia Ox tới vị trí tia OM Điểm N nằm góc phần tư ? A Góc phần tư (I) B Góc phần tư (II) C Góc phần tư (III) D Góc phần tư (IV) 26 Trong khẳng định sau đây, khẳng định ? A Căn bậc hai 2 i B Căn bậc hai 3 i C Căn bậc hai 0i D Căn bậc hai 1 i 27 Tính tổng mơ đun nghiệm phức phương trình x x 16 A 2 B C 4 D 28 Tính tổng nghịch đảo nghiệm phức phương trình x x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A C B 2 i D 2 29 Trong khẳng định sau , phương trình xét tập số phức Hãy tìm khẳng định sai A Phương trình x x vơ nghiệm B Phương trình x có hai nghiệm phân biệt C Phương trình x 2 có hai nghiệm i D Phương trình x x có nghiệm 30 Cho Phương trình bậc hai với hệ số thực az2 bz c , a Xét tập số phức, khẳng định khẳng định sau sai ? A Phương trình bậc hai cho ln co nghiệm B Tổng hai nghiệm phương trình cho C Tích hai nghiệm phương trình cho b a c a D Nếu b2 4ac phương trình cho vô nghiệm III GỢI Ý – HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN Gợi ý – Hướng dẫn giải Câu Xem lại định nghĩa số phức Câu Trong tập số phức khơng có so sánh hơn, Câu 11 Nếu z x yi x, y z2 x y xyi Điểm biểu diễn số phức z có hồnh độ x y Câu 14 Chú ý z.z z z z z z Câu 17 Nếu M x; y tan y tan Áp dụng công thức sin 2 x tan Câu 22 z OM , M x; y điểm biểu diễn z Biên đổi điều kiện đề theo x, y ta x y 1 (phương trình đường tròn tâm I 0; 1 , bán kính 1) Chọn điểm M đường tròn để OM lớn Câu 23 Chú ý z.z z http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Câu 25 Các điều kiện z, w cho z 6i 33 56i , w 45 56 Áp dụng cơng thức tính cos2 , sin 2 theo tan , ta tính 33 3696 2047 , cos2 sin 2 4225 4225 Từ đó, tan Từ N thuộc góc phần tư thứ (III) Đáp án Câu Đáp án Mức độ Câu Đáp án Mức độ Câu Đáp án Mức độ D 11 D 21 B B 12 B 22 B 3 D 13 B 23 D D 14 A 24 C B 15 A 25 C C 16 A 26 C B 17 D 27 B C 18 B 28 C B 19 B 29 A 10 D 20 A 30 D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 10 ... Với số phức z , z số thực B Với số phức z , z số phức C Với số phức z , z số thực dương D Với số phức z , z số thực không âm Khẳng định khẳng định sau sai ? A Số phức z 2 có phần thực 2 B Số phức. .. khẳng định sau đây: A Số phức z 3i có phần thực 5, phần ảo 3 B Só phức z 2i số ảo C Điểm M 1;2 điểm biểu diễn số phức z 1 2i D Số khơng phải số phức Tìm tất cặp số thực x; y thỏa... phần ảo số phức Ngoài ra, em cần tránh sai lầm kh quan niệm phần ảo số phức toàn phần lại số phức sau bỏ phần thực (quan niệm em chọn C đáp án đúng) Cách giải: Vì z 2i nên z 2i Số phức