Đang tải... (xem toàn văn)
Giải tích hàm & Đại số tuyến tính tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩn...
127.0.0.1 downloaded 73170.pdf at Wed Mar 28 14:47:30 ICT 2012 127.0.0.1 downloaded 73170.pdf at Wed Mar 28 14:47:30 ICT 2012 127.0.0.1 downloaded 73170.pdf at Wed Mar 28 14:47:30 ICT 2012 127.0.0.1 downloaded 73170.pdf at Wed Mar 28 14:47:30 ICT 2012 127.0.0.1 downloaded 73170.pdf at Wed Mar 28 14:47:30 ICT 2012 127.0.0.1 downloaded 73170.pdf at Wed Mar 28 14:47:30 ICT 2012 127.0.0.1 downloaded 73170.pdf at Wed Mar 28 14:47:30 ICT 2012 127.0.0.1 downloaded 73170.pdf at Wed Mar 28 14:47:30 ICT 2012 127.0.0.1 downloaded 73170.pdf at Wed Mar 28 14:47:30 ICT 2012 127.0.0.1 downloaded 73170.pdf at Wed Mar 28 14:47:30 ICT 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐỀ CƯƠNG MÔN THI CƠ SỞ TUYỂN SINH SĐH NĂM 2016 Ban hành theo QĐ số:3466/QĐ-ĐHBK-ĐTSĐH ngày 08 – 12 – 2015 Hiệu Trưởng Trường Đại Học Bách Khoa Tên môn thi: GIẢI TÍCH HÀM VÀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngành đào tạo Thạc sĩ: TOÁN ỨNG DỤNG (60460112) PHẦN GIẢI TÍCH HÀM KHÔNG GIAN METRIC - Các khái niệm Các khái niệm tô pô: Tập đóng, mở, trù mật, compact - Sự hội tụ; không gian đầy đủ KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN - Định nghĩa; Các khái niệm tô pô - Hội tụ Không gian Banach KHÔNG GIAN HILBERT - Tích vô hướng; Không gian tiền Hilbert; Trực giao; Trực chuẩn - Bất đẳng thức Không gian Hilbert - Hình chiếu vuông góc, khoảng cách từ vecto đến không gian PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH KHÔNG GIAN VÉCTƠ Các khái niệm bản; không gian con; tổng giao, tổng trực tiếp ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH: Các khái niệm bản; nhân ảnh, biểu diễn ma trận TRỊ RIÊNG VECTO RIÊNG - Trị riêng, vécto ma trận, - Chéo hóa ma trận - Trị riêng vecto riêng ánh xạ tuyến tính, - Chéo hóa ánh xạ tuyến tính - Chéo hóa ma trận đối xứng ma trận trực giao - Dạng toàn phương TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 1: Nguyễn Đình Huy – Ngô Thu Lương - Nguyễn Bá Thi - Nguyễn Quốc Lân Đặng Văn Vinh … NXBĐHQG 2009 Giải tích 2: Nguyễn Đình Huy – Ngô Thu Lương - Nguyễn Bá Thi - Nguyễn Quốc Lân Đặng Văn Vinh … NXBĐHQG 2009 Tài liệu ôn tập cao học - Đặng Văn Vinh - Nguyễn Đình Huy -ĐHBK 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BÀI THU HOẠCH BÀI THU HOẠCH Môn học: Môn học: LẬP TRÌNH SYMBONIC LẬP TRÌNH SYMBONIC Đề tài: Đề tài: GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BẰNG MAPLE Giảng viên : PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn. Học viên : Phạm Hùng Phương. Mã số HV : CH1102006. Lớp : CAO HỌC CNTT QM KHOÁ 6. Hà Nội, tháng 01/2013 Hà Nội, tháng 01/2013 Bài thu hoạch môn học: Lập trình Symbonic. LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn khoa sau đại học trường Đại học Công nghệ thông tin – Đại học Quốc gia TP.HCM đã tạo điều kiện giúp em hoàn thành môn học. Em xin cám ơn sâu sắc đến TS Đỗ Văn Nhơn. Thầy đã tận tình giảng dạy chuyển tải thông tin đến cho lớp chúng em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu môn Lập trình Symbonic. Bằng lượng kiến thức đã học tập và nghiên cứu được em cố gắng hoàn thành bài thu hoạch trong phạm vi cho phép, nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên bài thu hoạch vẫn còn nhiều thiếu sót. Kính mong thầy quan tâm giúp đỡ và chỉ bảo để em hoàn thiện bài thu hoạch tốt hơn nữa. Một lần nữa em xin được tỏ lòng biết ơn thày đã giảng dạy và chỉ bảo tận tình, cám ơn các thày cô khoa sau đại học và nhà trường đã tạo điều kiện để chúng em hoàn thành môn học. Hà Nội, ngày 30 tháng 01 năm 2013 Người làm bài thu hoạch Phạm Hùng Phương Phạm Hùng Phương: Lớp Cao học CNTT QM Khoá 06. Trang 2 Bài thu hoạch môn học: Lập trình Symbonic. MỤC LỤC M C L CỤ Ụ 3 I.GI I THI U.Ớ Ệ 3 II.S L C V L P TRÌNH TRÊN MAPLE.Ơ ƯỢ Ề Ậ 4 1.Các lệnh lập trình cơ bản. 4 2.Cách thiết lập chu trình. 7 3.Giới thiệu lập trình Maplet trong Maple. 12 III.GÓI TH VI N H TR CHO VI C GI I B I T P I S TUY N T NH.Ư Ệ Ỗ Ợ Ệ Ả À Ậ ĐẠ Ố Ế Í 14 IV.GI I B I T P I S TUY N T NH B NG MAPLE.Ả À Ậ ĐẠ Ố Ế Í Ằ 15 1.Một số phép biến đổi trên ma trận. 15 2. Kiểm tra ma trận. 16 3. Giải hệ phương trình tuyến tính. 17 4. Phép toán trên ma trận. 20 5. Tìm hàm đặc trưng. 21 6. Lược đồ trực giao Gram – Schmidt. 22 7. Dùng Maplet giải bài tập đại số tuyến tính. 23 V.T NG K T.Ổ Ế 27 1.Kết quả đạt được. 27 2.Hướng phát triển. 27 I. GIỚI THIỆU. Như chúng ta đã biết, trong những năm gần đây, với sự phát triển của 1 KẾ HOẠCH BÀI GIẢNG MÔN: HÌNH GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Cơ sở của kế hoạch: Đề cương môn học, Giáo án (3tiết lên lớp/1 G.án) Giáo viên: PGS, TS Nguyễn Xuân Viên Bài 1. I.1. Logic, tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số I.1.1. Logic mệnh đề và vị từ: Định nghĩa mệnh đề, các phép toán trên mệnh đề: ∨;∧;⇒; ⇔; ̅ . Mệnh đề hằng đúng và định lý, 7 định lý quan trọng nhất của logic mệnh đề: tự đọc mục d) Giáo trình 1 (GTr1). Mệnh đề lượng tử (vị từ), phủ định của vị từ: tự đọc GTr1, tr.13-14. Ví dụ: (Hàm () xác định trong lân cận điểm = là hàm liên tục tại x = a) ⇔∀ ( > 0 ) ∃(> 0) ∀ ( | − | < ) ⇒ | ( ) −() | < . Từ đó (Hàm () xác định trong lân cận điểm = là hàm không liên tục tại x = ⇔∃ ( > 0 ) ∀(> 0) ∃ ( | − | < ) ∧ | ( ) −() | ≥ I.1.2. Tập hợp và ánh xạ: Khái niệm tập hợp: tập hợp và phần tử. Các phép toán trên tập hợp, 6 tính chất cơ bản c1- c6 của các phép toán trên tập hợp: tự đọc GTr1, tr.17-18. Quan hệ thứ tự từng phần. Qui nạp toán học: có chứng minh (tr.18-21): Khẳng định () phụ thuộc số tự nhiên n đúng cho mọi ≥ khi và chỉ khi thỏa mãn 2 điều kiện: i) ( ) đúng. ii) Từ () đúng với ≥ suy ra Từ (+1) đúng. Ánh xạ: định nghĩa ánh xạ, các ví dụ. Toàn ánh, đơn ánh, song ánh. Tập tương đương; tập đếm được, tập continum. Định lý tồn tại ánh xạ ngược: có chứng minh. I.1.3. Sơ lược về cấu trúc đại số: Định nghĩa phép toán trong∘ của tập A. Định nghĩa phép toán ∘ của tập A có tính kết hợp. Phần tử trung hòa ; phần tử nghịch đảo của một phần tử a trong A. Tính duy nhất của , của . Nhóm G, nhóm cộng 〈 ;+;0 〉 , nhóm Abel, nhóm nhân 〈 ;.; 〉 ; nhóm nhân giao hoán 〈 ;.;1 〉 . Khái niệm vành 〈 ;+,0;. 〉 . Các vành số quan trọng: vành số nguyên ℤ, các vành ℝ [ ] - tất cả các đa thức hệ số thực, ℝ [ ] – vành tất cả các đa thức P(x) hệ số thực có bậc ( ) ≤. 2 Khái niệm trường 〈 ;+,0;.,1 〉 . Các trường số quan trọng: trường số thực ℝ, trường số hữu tỷ ℚ. Trường số phức ℂ : Định nghĩa số phức, các phép toán trên số phức. Mặt phẳng phức, dạng lượng giác của số phức. Công thức Mauvra. Căn bậc n của số phức: phát biểu và chứng minh định lý về căn bậc n của số phức: Căn bậc n của số phức = ( + ) có đúng n giá trị ,= 0,1,2,…,−1 cho bởi công thức = √ + 2 + + 2 Các ví dụ về căn bậc n của số phức. Ý nghĩa hình học của căn bậc n của số phức z: n số phức ,= 0,1,2,…,−1 là căn bậc n của số phức z tạo thành n đỉnh của một n- giác đều trên đường tròn bán kính = | | với một đỉnh ứng với số phức = √ + . Trong HGT & ĐSTT trường là một trong hai trường cố định: trường số thực ℝ hoặc trường số phức ℂ. I.2. Ma trận I.2.1. Khái niệm ma trận: Định nghĩa ma trận cấp (m,n) trên trường = × = … … … … , ∈ ma trận vuông cấp n trên trường = = … … … … , ∈ , ( ) – tập tất cả các ma trận cấp (m,n) trên trường ( ) – tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường Ma trận đường chéo = 0 … 0 0 … 0 … 0 0 … , còn ký hiệu là: = ( , ,…, ) Ma trận tam giác trên là ma trân vuông mà tất cả các phần tử ở phía dưới đường chéo đều bằng 0: 3 = … 0 … … 0 0 … Ma trận tam giác dưới là ma trân vuông mà tất cả các phần tử ở phía trên đường chéo đều bằng 0: = 0 … 0 … 0 … … Ma trận đơn vị = = ( 1,1,…,1 ) ; trong đó HƯỚNG DẪN ÔN THI MÔN HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I NỘI DUNG KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ Mục tiêu Mục tiêu kỳ thi kết thúc môn học kiểm tra đánh giá việc tiếp thu khái niệm đại số tuyến tính, lực tư phân tích, tổng hợp vận dụng kiến thức thể qua việc trình bày logic chặt chẽ xác vấn đề liên quan ngôn ngữ môn học Nội dung kiểm tra đánh giá NE T Toàn nội dung giảng dạy môn học, bao gồm hai phần lý thuyết tập Trọng tâm kiến thức không gian véc tơ, không gian con, hạng hệ véc tơ, hạng ma trận, chiều không gian véc tơ, cấu trúc nghiệm hệ phương đại số tuyến tính cách giải hệ phương trình đại số tuyến tính cách tính định thức; không gian Euclid, hệ véc tơ trực giao, phương pháp trực giao hóa, dạng song tuyến tính dạng toàn phương THS II CẤU TRÚC ĐỀ THI VÀ ĐIỀU KIỆN DỰ THI Đề thi gồm có câu hỏi lý thuyết câu hỏi tập Với tỷ trọng: điểm cho phần lý thuyết điểm cho phần tập TM A Thang điểm tính từ mức ¼ điểm cho bước suy luận logic Vì trình bày làm người làm cần trình bày lập luận khúc chiết đầy đủ VIE Người dự thi phải chấp hành nghiêm túc quy định, quy chế kỳ thi hết môn học Nhà trường, ĐHQGHN Bộ GD&ĐT Đặc biệt lưu ý Không sử dụng tài liệu, máy tính điện thoại di động Bài tập chương Kiến thức chuẩn bị Chứng minh công thức De Morgan dạng tổng quát a A \ ∪i∈I Ai = ∩i∈I (A \ Ai) Theo định nghĩa hai tập hợp nhau, để chứng minh X = Y, ta phải chứng minh: X ⊂ Y Y ⊂ X Nghĩa là: ∀x ∈ X → x ∈ Y ngược lại ∀y ∈ Y → y ∈ X () ∀ x ∈ A \ ∪i∈I Ai → x ∈ A x ∉ ∪i∈I Ai x ∈ A x ∉ Ai ∀i ∈ I → x ∈ A \ Ai ∀i ∈ I → x ∈ ∩i∈I (A\Ai) Vậy A \ ∪i∈I Ai ⊂ () ∀ x ∈ ∩i∈I (A \ Ai) → x ∈ A \ Ai ∀i ∈ I → x ∈ A x ∉ ∪i∈I Ai → ∀ x ∈ A \ ∪i∈I Ai Vậy ∩i∈I (A \ Ai) → (1) x ∈ A x ∉ Ai ∀i ∈ I → ∩i∈I (A \ Ai) ⊂ A \ ∪i∈I Ai (2) Từ (1) (2) suy đpcm b A \ ∩i∈I Ai = ∪i∈I (A \ Ai) → x ∈ A x ∉ ∩i∈I Ai → x ∈ A ∃ j ∈ I : x ∉ Aj → () ∀ x ∈ A \ ∩i∈I Ai ∃ j ∈ I : x ∈ A \ Aj → x ∈ ∪i∈I (A\Ai) Vậy A \ ∩i∈I Ai ⊂ ∪i∈I (A\Ai) () ∀ x ∈ ∪i∈I (A\Ai) → ∃ j ∈ I : x ∈ A \ Aj → x ∈ A ∃ j ∈ I : x ∉ Aj x ∉ ∩i∈I Ai → x ∈ A \ ∩i∈I Ai Vậy (1) → x∈A ∪i∈I (A\Ai) ⊂ A \ ∩i∈I Ai (2) Từ (1) (2) suy đpcm Chứng minh mệnh đề tập hợp a (A \ B) ∪ (B \ A) = Ø A = B (A \ B) ∪ (B \ A) = Ø → A \ B = ∅ B \ A = ∅ → A ⊂ B B ⊂ A → A = B Ngược lại, A = B → A \ B = ∅ B \ A = ∅ → (A \ B) ∪ (B \ A) = Ø b A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) (A \ B) ∪ (A ∩ B) = ( A \ (A ∩ B) ) ∪ (A ∩ B) = A c (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) (A \ B) ∪ (B \ A) = ((A ∪ B) \ B) ∪ ((B ∪ A) \ A)) De Morgan = (A ∪ B) \ (A ∩ B) d A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C) De Morgan (A ∩ B) \ (A ∩ C) = ((A ∩ B) \ A) ∪ ((A ∩ B) \ C) = Ø ∪ ((A ∩ B) \ C) = (A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C) e A ∪ (B \ A) = A ∪ B x ∈A ∪ (B \ A) ↔ x ∈A (x ∈ B x ∉ A) ↔ x ∈ A x ∈ B ↔ x ∈ A∪B f A \ (A \ B) = A ∩ B x ∈ A \ (A \ B) ↔ x ∈ A x ∉ (A \ B) ↔ x ∈ A x ∈ B ↔ x ∈ A ∩ B Chứng minh a (A x B) ∩ (B x A) ≠ Ø ↔ A ∩ B ≠ Ø (A x B) ∩ (B x A) ≠ Ø ↔ ∃ x ∈ A, ∃ y ∈ B: (x, y) ∈ A x B (x, y) ∈ B x A (x, y) ∈ B x A → x ∈ B, y ∈ A → x ∈ A ∩ B , y ∈ A ∩ B hay A ∩ B ≠ ∅ b (A x C) ∩ (B x D) = (A ∩ B) x (C ∩ D) (x, y) ∈ (A x C) ∩ (B x D) ↔ x ∈ A x ∈ B đồng thời y ∈ C y ∈ D ↔ NE T x ∈(A ∩ B) , y ∈(C ∩ D) hay (x, y) ∈(A ∩ B) x (C ∩ D) đpcm b f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B) THS Với ánh xạ f : X → Y A, B ⊂ X Chứng minh : a f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) y ∈ f (A ∪ B) → ∃ x ∈ (A ∪ B) : f (x) = y Mà x ∈ (A ∪ B) → x ∈ A x ∈ B kéo theo f (x) ∈ f (A) f (x) ∈ f (B) hay y ∈ f (A) ∪ f (B) Cm tương tự cho chiều ngược lại c f (A \ B) ⊃ f (A) \ f (B) TM A y ∈ f (A ∩ B) → ∃ x ∈ (A ∩ B) : f (x) = y Mà x ∈ (A ∩ B) → x ∈ A x ∈ B kéo theo f (x) ∈ f (A) f (x) ∈ f (B) hay y ∈ f (A) ∩ f (B) Cm tương tự cho chiều ngược lại y ∈ f (A \ B) → ∃ x ∈ (A \ B) : f (x) = y Mà x ∈ (A \ B) → x ∈ A x ∉ B kéo theo f (x) ∈ f (A) f (x) ∉ f (B) hay y ∈ f (A) \ f (B) Cm tương tự cho chiều ngược lại VIE * Phản ví dụ chứng tỏ có dấu b c : Lấy X = {-2, -1, 0, 1, 2} , A = {-2, -1, 0}, B = {0, 1, 2} f (x) = |x| Ta có f (A ∩ B) = {0} , f (A) ∩ f (B) = {2, 1, 0} ∩ {0, 1, 2} = {0, 1, 2} f (A \ B) = {2, 1} , f (A) \ f (B) = ∅ Với ánh xạ f : X → Y A, B ⊂ Y Chứng minh : a f Chương MA TRẬN - ĐỊNH THỨC MA TRẬN 1.1 Đònh nghóa ma trận Một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng n cột ⎛ a11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 ⎜ ⎜a ⎝ m1 a12 a 22 a m2 a1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ ⎟ ⎟ a mn ⎟⎠ ( ) hay A = ⎡⎣a ij ⎤⎦ , m× n a ij số hạng nằm dòng thứ i , cột thứ j ma trận A gọi ma trận cấp m × n , ký hiệu A = a ij m×n Tập hợp tất ma trận cấp m × n ký hiệu Mm×n Với A ∈ Mm×n , số hạng nằm dòng thứ i , cột thứ j , i = 1, m , j = 1, n , A ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ ij ⎛ 3⎞ Ví dụ Với A = ⎜ ⎟ ∈ M2×3 , ⎝ ⎠ [ A ]11 = 1; [ A ]12 = 2; [ A ]13 = 3; [ A ]21 = 4; [ A ]22 = 5; [ A ]23 = Chú ý việc xử lý bảng công cụ quen thuộc đời sống Chẳng hạn, để ghi số lượng bán mặt hàng ngày, ta dùng số Số lượng bán n mặt hàng ngày biểu diễn n số mà ta gọi vectơ n – chiều, hay ma trận cấp × n Số lượng bán n mặt hàng m ngày biểu diễn m vectơ n – chiều, hay ma trận cấp m × n Trong xử lý ảnh, ảnh đen trắng biểu diễn ma trận bít , Trong thống kê ứng dụng, khảo sát biến phụ thuộc theo k biến độc lập, người ta thu thập n số liệu, số liệu gồm k + số giá trò k biến độc lập giá trò biến phụ thuộc tương ứng Một số liệu tạo thành ma trận cấp n × ( k + 1) , Giống khái niệm khác toán học, ma trận biểu diễn nhiều đối tượng khác toán ứng dụng cụ thể Về mặt toán học, ta xét biểu diễn quan trọng ma trận việc khảo sát hệ phương trình tuyến tính, hệ thống gồm nhiều phương trình bậc theo nhiều ẩn số Xét hệ phương trình ⎧ x − y + z = ⎪ ⎨ − x + 2y + z = ⎪−2x + 3y + z = ⎩ (1.1) x, y, z ẩn số cần tìm Vai trò ký hiệu ẩn x, y, z ý nghóa đònh Chẳng hạn, hệ phương trình viết lại thành ⎧ x1 ⎪ ⎨ − x1 ⎪−2x ⎩ − x2 + x3 + 2x2 + x3 + 3x + x3 = (1.2) = = với ẩn x1 , x , x , Nói khác đi, hệ phương trình tuyến tính hoàn toàn xác đònh số hạng kèm theo ẩn mà ta gọi hệ số số hạng vế phải mà ta gọi hệ số tự Cụ thể, hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số hoàn toàn xác đònh ma trận cấp m × n hệ số ma trận cấp m × hệ số tự Chẳng hạn, hệ phương trình (1.1) hay (1.2) hoàn toàn xác đònh ma trận ⎛ −1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ B = ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ngoài ra, ta gom chung hai ma trận lại ma trận, gọi ma trận hệ số mở rộng ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ hay A B = ⎜ −1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) 1.2 Ma trận Hai ma trận A B gọi chúng có cấp số hạng tương ứng chúng đôi một, nghóa ⎡⎣ A ⎤⎦ = ⎡⎣ B⎤⎦ với ij i, j Ví dụ Cho hai ma trận A, B ∈ M2×3 , ⎛p q 4⎞ ⎛1 ⎞ A=⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝s 2⎠ Ta có A = B p = , q = s = ij 1.3 Các ma trận đặc biệt i) Ma trận không : ma trận mà số hạng số Ma trận không cấp m × n ký hiệu m×n hay vắn tắt ⎛ 0 0⎞ Ví dụ 02×3 = ⎜ ⎟ ma trận không cấp × ⎝ 0 0⎠ ii) Ma trận vuông : ma trận có số dòng số cột Ma trận vuông cấp n × n gọi tắt ma trận vuông cấp n Tập hợp tất ma trận vuông cấp n ký hiệu Mn Với ma trận vuông A ∈ Mn , số hạng ⎡⎣ A ⎤⎦ , 11 ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ gọi nằm đường chéo (chính) A Các số hạng 22 nn ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ gọi nằm đường chéo phụ A n1 n −1,2 1n Ví dụ Ma trận ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ ma trận vuông cấp Các số hạng nằm đường chéo : ⎣⎡ A ⎦⎤ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = −5 11 22 33 Các số hạng nằm đường chéo phụ : ⎣⎡ A ⎦⎤ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = 31 22 13 iii) Ma trận chéo cấp n : ma trận vuông cấp n mà số hạng không nằm đường chéo số Ví dụ Ma trận ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −7 ⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ma trận chéo cấp iv) Ma trận đơn vò cấp n : ma trận chéo cấp n , ký hiệu In , mà số hạng nằm đường chéo Để biểu diễn ma trận đơn vò, người ta dùng ký hiệu Kronecker : ⎧1 δij = ⎨ ⎩0 khi i= j i≠ j đó, ma trận đơn vò cấp n viết dạng ⎛1 ⎜ In = ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝0 ⎞ ⎟ ⎟ = δij