Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thủy Thanh Bài tập toán cao câp tâp 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 132-176. Từ khoá: Hệ phương trình tuyến tính, Phương pháp matrân, Phương pháp Gauss, Phương pháp Gramer, Phương trình tuyến tính, Phương trình tuyến tính thuần nhất. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Chu . o . ng 4 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh 4.1 Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac0 132 4.1.1 Phu . o . ng ph´ap ma trˆa . n 133 4.1.2 Phu . o . ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . 134 4.1.3 Phu . o . ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . 134 4.2 Hˆe . t`uy ´y c´ac phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh . . . 143 4.3 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ t . . 165 4.1 Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . ckh´ac 0 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh trˆen tru . `o . ng sˆo ´ P d u . o . . cgo . il`ahˆe . Cramer 1 nˆe ´ usˆo ´ phu . o . ng tr`ınh b˘a ` ng sˆo ´ ˆa ’ nv`ad i . nh th´u . ccu ’ a ma trˆa . nco . ba ’ n (ma trˆa . nhˆe . sˆo ´ )cu ’ ahˆe . l`a kh´ac khˆong. 1 G. Cramer (1704-1752) l`a nh`a to´an ho . c Thu . yS˜ı. 4.1. Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac 0 133 Hˆe . Cramer c´o da . ng a 11 x 1 + a 12 x 2 + ···+ a 1n x n = h 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ···+ a 2n x n = h 2 , . . . . . . a n1 x 1 + a n2 x 2 + ···+ a nn x n = h n (4.1) hay du . ´o . ida . ng ma trˆa . n AX = H (4.2) trong d ´o A = a 11 a 12 . a 1n a 21 a 22 . a 2n ··· . . . . . . . . . a n1 a n2 . a nn ,X= x 1 x 2 . . . x n ,H= h 1 h 2 . . . h n ho˘a . c a 11 a 21 . . . a n1 x 1 + a 12 a 22 . . . a n2 x 2 + ···+ a 1n a 2n . . . a nn x n = h 1 h 2 . . . h n . 4.1.1 Phu . o . ng ph´ap ma trˆa . n V`ı detA =0nˆentˆo ` nta . i ma trˆa . n nghi . ch da ’ o A −1 . Khi d´ot`u . (4.2) ta thu d u . o . . c A −1 AX = A −1 H ⇒ EX = X = A −1 H. Vˆa . yhˆe . nghiˆe . m duy nhˆa ´ tl`a X = A −1 H. (4.3) Tuy nhiˆen viˆe . c t`ım ma trˆa . n nghi . ch d a ’ o n´oi chung l`a rˆa ´ tph´u . cta . pnˆe ´ u cˆa ´ pcu ’ a ma trˆa . n A l´o . n. 134 Chu . o . ng 4. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh 4.1.2 Phu . o . ng ph´ap Cramer Nghiˆe . m duy nhˆa ´ tcu ’ ahˆe . Cramer du . o . . c x´ac d i . nh theo cˆong th´u . c Cramer: x j = det(A j ) detA ,j= 1,n (4.4) trong d ´o A j l`a ma trˆa . nthudu . o . . ct`u . ma trˆa . n A b˘a ` ng c´ach thay Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÁI NIỆM CHUNG 1.1 Đònh nghóa Hệ phương trình tuyến tính hệ thống gồm m phương trình bậc theo n ẩn số có dạng tổng quát sau ⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⎪ ⎪ a 21 x1 + a 22 x + ⎨ ⎪ ⎪a x + a x + ⎩ m1 m2 a1n x n + a 2n x n + + a mn xn x1 , x2 , … , xn ẩn cần tìm, a i j ∈ = = b1 b2 = bm (gọi hệ số) bi ∈ (1.1) (gọi hệ số tự do), i = 1, m , j = 1, n Đặt ⎛ a11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 ⎜ ⎜a ⎝ m1 a12 ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ a1n ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a 2n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ ⎟, X = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟, ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ a mn ⎟⎠ ⎝ n⎠ ⎝ m⎠ a 22 a m2 ⎛ a11 ⎜ ⎜a A = A B = ⎜ 21 ⎜ ⎜a ⎝ m1 ( ) a12 a 22 a m2 a1n b1 ⎞ ⎟ a 2n b2 ⎟ ⎟, ⎟ a mn bm ⎟⎠ ta gọi A ma trận hệ số, A ma trận bổ sung (ma trận hệ số mở rộng), X ma trận ẩn B ma trận hệ số tự Khi đó, hệ phương trình tuyến tính (1.1) viết lại dạng phương trình ma trận AX = B 1.2 Đònh nghóa i) Ta gọi n thứ tự ( c1 , c2 ,… , cn ) ∈ n nghiệm hệ (1.1) ta thay x1 = c1 , x = c2 , , x n = cn vào (1.1) tất đẳng thức (1.1) thỏa ii) Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương chúng có chung tất nghiệm : nghiệm hệ nghiệm hệ ngược lại Chú ý Nếu ta đổi thứ tự hai phương trình, nhân hai vế phương trình với số khác 0, hay thay phương trình phương trình cộng với số nhân với phương trình khác, ta nhận hệ phương trình tương 29 đương với hệ ban đầu Do cách xét ma trận hệ số mở rộng, phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận cho ta ma trận hệ số mở rộng hệ phương trình tuyến tính tương đương với hệ ban đầu HỆ CRAMER 2.1 Đònh nghóa Hệ Cramer hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn số đònh thức ma trận hệ số khác Ví dụ Hệ phương trình ⎧ − x1 ⎪ ⎨ 3x1 ⎪−2x ⎩ + 2x2 + − = −2 x2 + x3 x2 = = hệ có số phương trình số ẩn đònh thức ma trận hệ số −1 1 = −5 ≠ −2 − nên hệ Cramer Viết hệ Cramer dạng ma trận AX = B Vì ma trận hệ số A có đònh thức khác nên khả nghòch hệ Cramer luôn có nghiệm giải phương pháp sau 2.2 Các phương pháp giải hệ Cramer AX = B i) Phương pháp Dùng ma trận nghòch đảo A −1 để giải phương trình ma trận, AX = B ⇔ X = A −1B ii) Phương pháp Phương pháp Gauss : dùng phép biến đổi sơ cấp dòng biến ma trận bổ sung A = A B thành ma trận A ′ = A ′ B′ , ( ( ) ( ) ( ) ) Các phép biến đổi sơ cấp A = A B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → A ′ = A ′ B′ , cho A ′ ma trận tam giác (có phần tử đường chéo khác 0) Ma trận A ′ ma trận bổ sung hệ phương trình tuyến tính tương đương với hệ ban đầu hệ dễ dàng giải cách giải phương trình từ lên iii) Phương pháp Dùng đònh thức (công thức Cramer) Xét A i , i = 1, n ma trận nhận từ A cách thay cột thứ i cột hệ số tự Khi đó, hệ Cramer có nghiệm x i = 30 det A i det A , i = 1, n Ví dụ Xét hệ phương trình tuyến tính ⎧ x1 ⎪ ⎨ 2x1 ⎪−7x ⎩ + 3x + 7x = x2 + 2x3 = + + x2 + 4x = i) Dùng ma trận nghòch đảo A −1 : Ma trận hệ số ⎛ 7⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠ có đònh thức A ≠ nên khả nghòch, A −1 ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 22 −53 −12 ⎟ ⎜ 22 ⎟⎠ ⎝ nghiệm hệ xác đònh ⎛ x1 ⎞ ⎛ −2 ⎧ x1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ X = A −1B ⇔ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 22 −53 −12 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 10 ⎟ ⇔ ⎨ x2 ⎪ ⎜ x ⎟ ⎜ 22 ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎩ x3 = −1 = 10 = −4 ii) Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng Biến đổi ⎛1 ⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎞ 22 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3): = (3) + (2) (2):= (2) − 2(1) → − − − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯ → − − − A = ⎜ 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 12 12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3):= (3) + 7(1) ⎜0 −4⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎜ 22 53 ⎟ 5⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ta nhận hệ phương trình tương đương ⎧ x1 ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎩⎪ + 3x + −5x 7x − 12x3 x3 = = −2 = − 45 ⎧ x1 ⎪ ⇔ ⎨x2 ⎪x ⎩ = −1 = 10 = −4 iii) Dùng đònh thức 7 det A = 2 = −1 , det A1 = = , −7 1 1 det A = 2 = −10 , det A = = −7 −7 1 31 Nghiệm hệ x1 = det A det A1 det A = −4 = −1 ; x = = 10 ; x = det A det A det A HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát số phương trình khác số ẩn hay số phương trình số ẩn mà đònh thức ma trận hệ số người ta giải phương pháp Gauss Phương pháp Gauss phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để chuyển ma trận hệ số mở rộng A = A B thành ma trận A ′ = A ′ B′ cho A ′ ma trận bậc thang theo dòng ( ) ( ) Bấy ma trận A ′ ma trận hệ số mở rộng hệ phương trình tuyến tính tương đương với hệ ban đầu ta có khả sau Khả Ma trận A ′ có dòng với hệ số tự tương ứng khác 0, nghóa ma trận A ′ có dòng dạng 0 b , b ≠ Dòng tương ( ) ứng với phương trình 0x1 + 0x + + 0x n = b Phương trình vô nghiệm nên hệ vô nghiệm Khả Mọi dòng A ′ có hệ số tự tương ứng Mỗi dòng tương ứng với phương trình theo n ẩn, nhận giá trò ẩn làm nghiệm nên ta bỏ mà không làm nghiệm hệ Khi đó, bậc thang A′ , ta chọn ẩn (với hệ số tương ứng khác 0) mà ta gọi ẩn sở, ẩn lại trở thành ẩn tự Cho ẩn tự giá trò tùy ý chuyển vế phải, ta hệ Cramer theo ẩn sở (chính xác hơn, ma trận hệ số ẩn sở ma trận tam giác với phần tử đường chéo khác 0) ta dễ dàng giải hệ này, nghóa tính giá trò ẩn sở theo ẩn tự Chú ý hệ ẩn tự hệ có nghiệm, hệ có ẩn tự hệ có vô số nghiệm Từ đó, ta kết sau 3.1 Đònh lý Kronecker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số, AX = B Với A = A B , ta có ( ) (i) Nếu rank A < rank A hệ vô nghiệm (ii) Nếu rank A = rank A = n hệ có nghiệm (iii) Nếu rank A = rank A < n hệ có vô số nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến ... Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính Nguyễn Thủy Thanh Bài tập toán cao câp tâp 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 132-176. Từ khoá: Hệ phương trình tuyến tính, Phương pháp matrân, Phương pháp Gauss, Phương pháp Gramer, Phương trình tuyến tính, Phương trình tuyến tính thuần nhất. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Chu . o . ng 4 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh 4.1 Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac0 132 4.1.1 Phu . o . ng ph´ap ma trˆa . n 133 4.1.2 Phu . o . ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . 134 4.1.3 Phu . o . ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . 134 4.2 Hˆe . t`uy ´y c´ac phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh . . . 143 4.3 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ t . . 165 4.1 Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . ckh´ac 0 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh trˆen tru . `o . ng sˆo ´ P d u . o . . cgo . il`ahˆe . Cramer 1 nˆe ´ usˆo ´ phu . o . ng tr`ınh b˘a ` ng sˆo ´ ˆa ’ nv`ad i . nh th´u . ccu ’ a ma trˆa . nco . ba ’ n (ma trˆa . nhˆe . sˆo ´ )cu ’ ahˆe . l`a kh´ac khˆong. 1 G. Cramer (1704-1752) l`a nh`a to´an ho . c Thu . yS˜ı. 4.1. Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´od i . nh th´u . c kh´ac 0 133 Hˆe . Cramer c´o da . ng a 11 x 1 + a 12 x 2 + ···+ a 1n x n = h 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ···+ a 2n x n = h 2 , . . . . . . a n1 x 1 + a n2 x 2 + ···+ a nn x n = h n (4.1) hay du . ´o . ida . ng ma trˆa . n AX = H (4.2) trong d ´o A = a 11 a 12 . a 1n a 21 a 22 . a 2n ··· . . . . . . . . . a n1 a n2 . a nn ,X= x 1 x 2 . . . x n ,H= h 1 h 2 . . . h n ho˘a . c a 11 a 21 . . . a n1 x 1 + a 12 a 22 . . . a n2 x 2 + ···+ a 1n a 2n . . . a nn x n = h 1 h 2 . . . h n . 4.1.1 Phu . o . ng ph´ap ma trˆa . n V`ı detA =0nˆentˆo ` nta . i ma trˆa . n nghi . ch da ’ o A −1 . Khi d´ot`u . (4.2) ta thu d u . o . . c A −1 AX = A −1 H ⇒ EX = X = A −1 H. Vˆa . yhˆe . nghiˆe . m duy nhˆa ´ tl`a X = A −1 H. (4.3) Tuy nhiˆen viˆe . c t`ım ma trˆa . n nghi . ch d a ’ o n´oi chung l`a rˆa ´ tph´u . cta . pnˆe ´ u cˆa ´ pcu ’ a ma trˆa . n A l´o . n. 134 Chu . o . ng 4. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh 4.1.2 Phu . o . ng ph´ap Cramer Nghiˆe . m duy nhˆa ´ tcu ’ ahˆe . Cramer du . o . . c x´ac d i . nh theo cˆong th´u . c Cramer: x j = det(A j ) detA ,j= 1,n (4.4) trong d ´o A j l`a ma trˆa . nthudu . o . . ct`u . ma trˆa . n A b˘a ` ng c´ach thay cˆo . t th´u . j bo . ’ icˆo . t c´ac hˆe . sˆo ´ tu . . do H, v`a c´ac cˆo . t kh´ac gi˜u . nguyˆen. 4.1.3 Phu . o . ng ph´ap Gauss Nˆo . i dung chu ’ yˆe ´ ucu ’ aphu . o . ng ph´ap Gauss (hay thuˆa . t Chương 2: Hệ Phương Trình Tuyến Tính Nguyễn Đức Nghĩa, Vũ Văn Thiệu, Trịnh Anh Phúc 1 1 Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. Ngày 4 tháng 12 năm 2012 Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 4 tháng 12 năm 2012 1 / 68 Giới thiệu 1 Thế nào là hệ phương trình tuyến tính ? 2 Ví dụ 3 chiều 3 Ma trận hoán vị và ma trận tam giác 4 Phân tích LU 5 Vai trò của phần tử trụ 6 Hiệu ứng của sai số làm tròn 7 Hệ xác định tồi và số điều kiện của ma trận 8 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phân tích ma trận Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 4 tháng 12 năm 2012 2 / 68 Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2 · · · a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m Ký hiệu A = (a ij ) với i = 1, · · · , m và j = 1, · · · , n là ma trận hệ số A. b = (b 1 , b 2 , · · · , b m ) T là vectơ vế phải. x = (x 1 , x 2 , · · · , x n ) T là vectơ biến. ta có thể viết lại hệ phương trình tuyến tính dưới dạng ma trận Ax = b Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 4 tháng 12 năm 2012 3 / 68 Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 1 : Xét hệ phương trình tuyến tính có Ma trận hệ số A = 3 2 1 −1 Vec tơ vế phải là b = −1 1 thì hệ có nghiệm duy nhất x = 0.2 −0.8 Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 4 tháng 12 năm 2012 4 / 68 Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 2 : Xét hệ phương trình tuyến tính có Ma trận hệ số A = 1 0 3 0 1 −5 Vec tơ vế phải là b = 1 2 thì hệ có vô số nghiệm x = 1 − 3t 2 + 5t t với mọi t ∈ R. Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 4 tháng 12 năm 2012 5 / 68 Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 3 : Xét hệ phương trình tuyến tính có Ma trận hệ số A = 1 0 0 1 3 4 Vec tơ vế phải là b = 1 2 3 thì hệ vô nghiệm. Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 4 tháng 12 năm 2012 6 / 68 Hệ phương trình tuyến tính Đối với hệ phương trình tuyến tính có thể xảy ra m = n : hệ vuông (số phương trình bằng số ẩn, thường có nghiệm duy nhất) m < n : hệ thiếu (số phương trình ít hơn số ẩn số, hệ thường vô số nghiệm) m > n : hệ dư (số phương trình nhiều hơn số ẩn số, hệ thường vô nghiệm) Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học Ngày 4 tháng 12 năm 2012 7 / 68 Giải hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình vuông Ax = b trong đó A ∈ R n×n còn x và b là các vec tơ ∈ R n Giải hệ phương trình vuông Nếu ma trận A không suy biến (singular) thì nghiệm duy nhất của phương trình là x = A −1 b Matlab » x=inv(A)*b Trịnh Anh Phúc ( Bộ môn Khoa Học Máy Tính, Viện CNTT & TT, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. )Tính toán khoa học BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK PHƯƠNG PHÁP TÍNH – BG SINH VIÊN CHƯƠNG 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ax = b TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (2/2006) NỘI DUNG A- CÁC PHƯƠNG PHÁP CHÍNH XÁC 1- PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS (PHẦN TỬ TRỤ) 2- PHÂN TÍCH NHÂN TỬ A = LU 3- PHÂN TÍCH CHOLESKY B- CÁC PHƯƠNG PHÁP LẶP 1- LẶP JACOBI 2- LẶP GAUSS - SEIDEL C- SỐ ĐIỀU KIỆN – HỆ ĐIỀU KIỆN XẤU TỔNG QUAN Hệ n phương trình bậc 1 (tuyến tính), n ẩn → Dạng Ax = b: Hàng i: h i = [a i1 a i2 … a in ] T . Biến đổi sơ cấp trên hàng h i → h i + kh j : Nhân h j với k rồi cộng xuống h i (chỉ h i thay đổi) , 21 22221 11211 = nnnn n n aaa aaa aaa A , 2 1 = n b b b b [ ] T n n xx x x x x 1 2 1 = = Đơn giản: Hệ tam giác = nn n n a aa aaa A 00 0 222 11211 ⇒ Giải lùi PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS Giải thuật: Biến đổi sơ cấp trên hàng → A: ∆ trên → Giải lùi VD: Giải hệ =+− =+− =+− 143084 51476 1322 321 321 321 xxx xxx xxx Xây dựng ma trận mở rộng [ ] == bAA | − − − 14 5 1 30 14 3 84 76 22 Khử cột 1 với hệ số khử m 1j 3 2 6 21 ==m 2 2 4 31 ==m → − − − ⇒ 14 5 1 30 14 3 84 76 22 122 3hhh −→ 133 2hhh −→ − 1322 0 1− 5 2 0 4− 24 12 11 1 1 a a m j j = ii ij ij a a m = :quaùt Toång GIẢI LÙI & PHẦN TỬ TRỤ → − − − 12 2 1 24 5 3 40 10 22 233 4hhh −→ − − 4 2 1 4 5 3 00 10 22 Điều kiện: Khử cột 1: a 11 (1) ≠ 0 & Khử cột 2: a 22 (2) ≠ 0 & Giải lùi: a 33 (3) ≠ 0 ⇒ Phần tử trụ (pivot) a kk ≠ 0 Giải lùi với hệ tam giác trên thu được: ( ) ( ) ( ) =−+= =−−= == 22321 3152 144 321 32 3 xxx xx x ⇒ = =+− =+− 44 25 1322 3 32 321 x xx xxx =⇒ 1 3 2 x 4 1 4 32 = − − =m Khử cột 2 với hệ số khử: KHỬ GAUSS VỚI LỆNH MAPLE VD: Giải hệ =++− −=++ −=−+− −=−+− 434 2 203322 82 4321 321 4321 4321 xxxx xxx xxxx xxxx > A := matrix(2,3,[2, 3, 4, 1, 2, 3]); # Nhập ma trận > m21 := A[2,1]/A[1,1]; # Tính hệ số khử > A := addrow(A,1,2,–m21) ; # Cộng hàng h 2 → h 2 – m 21 h 1 > A := swaprow(A,1,2) ; # Nếu cần thiết, đổi hàng h 2 ↔ h 1 > x := backsup(A) ; # Hệ đã ở dạng tam giác trên: Giải lùi > AA := gausselim(A); # Lệnh gộp khử Gauss toàn ma trận > with(linalg); # Khởi động gói lệnh Đại số tuyến tính KHỬ GAUSS VỚI MA TRẬN “LẺ”: PIVOT ĐƠN VỊ [ ] − − − − − −− − =⇒ 116.1 168.0 152.0 264.1 08.2 3.1 0 0 7.000 08.27.00 3.108.27.0 03.108.2 bA VD: Giải hệ với phép khử Gauss, làm tròn 3 chữ số lẻ) =+− −=−+− −=−+− =− 116.108.27.0 168.03.108.27.0 152.03.108.27.0 608.03.108.2 43 332 321 21 xx xxx xxx xx =⇒ 736.0 593.0 636.0 006.1 y THỰC TẾ TÍNH TOÁN: VẤN ĐỀ LÀM TRÒN SỐ Quy tắc làm tròn trên máy tính: Làm tròn chữ số có nghĩa 35,1210235,110234567,134567,12 11 =⋅≈⋅= Trụ khử: a 11 = 0.003 ≠ 0 ⇒ 176467,1763 11 21 21 ≈== a a m Biến đổi cột một: (E 2 ) → (E 2 ) – m 21 (E 1 ) ???: 10 001.1 104400104300 17.5914.59003.0 1 2 2 21 sao Taïi −= = ⇒ −=− =+ x x x xx =− =+ )(E78.46130.6291.5 )(E17.5914.59003.0 221 121 xx xx Nghiệm chính xác: [10, 1] T VD: Giải hệ trên máy tính với phép làm tròn 4 chữ có nghĩa PHÂN TÍCH NHÂN TỬ (MATRIX FACTORIZATIONS) Ma trận vuông A phân tích được thành dạng LU ⇔ UL ⋅ = *000 **00 ***0 **** 1*** 01** 001* 0001 A Giải hệ đầu ⇔ Giải 2 hệ ∆: Ly = b (2) tìm y; Ux = y (1) tìm x ( ) ( ) giaùc tam heä 2: 2 1 = = bLy yUx Hệ Ax = b ⇔ (LU)x = b ⇔ x y b Nhân U Nhân L Nhân A VÍ DỤ Giải Ly = b tìm y Giả sử ma trận A phân tích được thành dạng LU như sau: − − −− −− ⋅ − − − = −− −− − −− = 1000 1100 1120 1273 1383 0152 0011 0001 12559 5046 0153 2273 A Sử dụng phân tích LU trên giải hệ Ax = b = [–9 5 7 11] T Giải Ux = y tìm x [...]... - 2 − 2 3 VD: A = 6 − 7 14 Bài tập Giải ⎧ x1 ⎪ a) ⎨2x1 ⎪x ⎩ hệ phương trình tuyến tính sau công thức Cramer − x + x = −2 + ĐS: x3 = D + 3x3 + 2x2 + + x3 x2 − x2 + x3 + 2x + 3x x2 + 2x3 + 3x + = = = x2 + + 5x D = 18 ; a) D3 − 2x + 2x2 ⎧ − x1 ⎪ b) ⎨ 3x1 ⎪−2x ⎩ ⎧ x1 ⎪ ⎪x c) ⎨ ⎪2x1 ⎪x ⎩ x2 = = x4 = + 9x4 = + − 4x4 + 7x D1 = 18 ; = = D2 = 36 ; D3 = −18 ; x1 = D Giải ⎧ x1 ⎪ a) ⎨4x1 ⎪2x ⎩ ⎧ x1 ⎪ ⎪x b) ⎨ ⎪− x1 ⎪2x ⎩ ⎧ x1 ⎪ ⎪x c) ⎨ ⎪3x1 ⎪2x ⎩ x2 = D2 D = 2; D D1 D = −2 ; x = = ; x = = D D D c) D = −6 ; D1 = −36 ; D2 = 34 ; D3 = −12 ; D4 = ; x1 = D3 D = 1; = −1 b) D = −5 ; D1 = 10 ; D2 = −15 ; D3 = −25 ; x1 = x3 = D1 = ; x4 = D4 =− D D1 D = ; x2 = hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp Gauss − 3x2 + 2x3 − x = + x2 + 7x2 − x2 + 3x − x3 + x3 − x3 − 2x4 − + 2x + 2x − 2x − − x3 + 2x − 3x + + 5x − 13x + x3 x2 + 3x + 3x + 4x x4 + 7x = = = = = −7 = 5x = + 22x4 = −1 − 2x4 = = − 7x 1 D2 D =− 17 ; ⎧ x1 ⎪ ⎪2x d) ⎨ ⎪3x1 ⎪2x ⎩ + 2x2 + 2x2 − 3x ⎧ 3x1 ⎪ ⎪ x e) ⎨ ⎪ x1 ⎪12x ⎩ − 2x + 2x − x2 − ⎧ x1 ⎪ ⎪2x g) ⎨ ⎪ x1 ⎪3x ⎩ + 2x4 x3 + = −9 − 6x4 − 2x4 = − 4x + 3x2 + 7x2 − x2 = + 5x = + 3x = −22 + 5x + 2x3 − 2x3 + 5x2 + − + x2 + 3x2 + 9x + 4x3 2x3 8x3 + 10x3 = + 2x3 − 6x = x3 + = x2 − x2 = + 2x4 = + = −8 + 4x x3 = x4 + x3 − x2 − 3x + 3x − 2x + − 2x4 − 2x3 x2 + x3 − x2 − ⎧ x1 ⎪ ⎪2x f) ⎨ ⎪ x1 ⎪3x ⎩ ⎧ x1 ⎪ ⎪2x h) ⎨ ⎪5x1 ⎪4x ⎩ x2 − + 3x = 12 = 34 = + 3x4 = −10 = x4 = + 5x4 = − + x4 = ĐS: a) Biến đổi ⎛ − −1 ⎞ ⎛ −3 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ) : = ( ) − (1 ) ( ( ): = ( ) − ( ) → → 13 −5 −7 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 13 −5 −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −3 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 13 −5 −7 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ ⎠ Hệ phương trình vô nghiệm b) Biến đổi ⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜ −1 ⎜ ⎜2 ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ −1 −1 −2 −1 −1 −1 1 −2 0 ⎛ −1 − ⎞ −1 ⎞ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎟ ⎜ ⎟ 0⎟ −2 −2 ⎟ 3):= ( 3) + (1) ( 3) : = ( 3) − ( ) → ( ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ : = − ( ) ( ) ( ) ⎜ −1 −5 ⎟ ( ):= ( ) − ( 2) −7 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −3 −1 ⎟ ⎟⎠ ⎝ ⎠ −1 ⎞ ⎟ −2 ⎟ −3 ⎟ ⎟ −2 ⎟⎠ Hệ có nghiệm x1 = 2; x2 = 3; x = 0; x = −1 c) Biến đổi ⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜3 ⎜ ⎜2 ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ 0 ⎛ −3 1⎞ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎟ ⎜ −13 22 −1 ⎟ ( 3):= ( 3) − 3(1) → ⎜ −10 17 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ):= ( ) − 2(1) ⎜ −1 10 −17 −2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −1 10 −17 −7 ⎟⎠ ⎝ −3 ⎞ ⎟ −10 17 −2 ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ −3 1⎞ ⎟ −2 ⎟ ( ): = ( 3) + ( ) → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ): = ( ) + ( ) 2⎟ ⎟ ⎟⎠ Hệ có vô số nghiệm Chọn ẩn tự x = m hay x = m , với m ∈ theo m , tính x1 , x2 d) Biến đổi ⎛1 ⎜ ⎜ −1 −2 ⎜ −1 ⎜ ⎜ −3 ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜ −5 −8 ⎜ 0 − 18 ⎜ 36 ⎜0 ⎝ ⎛1 −2 ⎞ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎟ −3 ⎟ ( ) : = ( ) − 3( ) → ⎜ − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ − 4⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −7 −8 ⎟⎠ ⎝ ⎛1 −2 ⎞ ⎟ ⎜ −4 ⎟ ( ): = ( ) + ( ) ⎜ 36 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ − 54 5 ⎟ ⎜ 72 ⎟ ⎜0 − 18 − ⎝ 5 ⎠ −2 ⎞ ⎟ −8 −4 ⎟ ( 3):= ( 3) − 45 ( 2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ( ):= ( ) − 75 ( 2) −10 −14 ⎟ ⎟ −4 −20 ⎟⎠ −2 ⎞ ⎟ −5 −8 −4 ⎟ 36 ⎟ − 54 − 18 5 ⎟ 0 18 36 ⎟⎠ Hệ có nghiệm x1 = ; x = −10 ; x = ; x = e) Biến đổi ⎛3 ⎜ ⎜1 ⎜1 ⎜ ⎜ 12 ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ −1 −1 −1 −2 −2 −1 −2 5 10 25 ⎛ −1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ −1 1) ∼ ( ) ( ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎜1 −6 −9 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 12 −2 −2 −10 ⎟⎠ ⎝ ⎛1 ⎞ ⎟ ⎜ −10 −14 ⎟ ( 3) : = ( 3) − ( ) ⎜0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ : = − ⎟ ( ) ( ) ( ) ⎜0 −10 −14 ⎜ ⎟ ⎜0 −50 −70 ⎟⎠ ⎝ −2 −1 −1 0 ⎞ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎟ ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ):= ( ) −12(1) −6 − ⎟ ⎟ −2 −10 ⎟⎠ −2 ⎞ ⎟ −10 −14 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ Hệ có vô số nghiệm Chọn ẩn x , x , x làm ẩn tự tính hai ẩn lại theo ẩn tự f) Biến đổi ⎛1 ⎜ ⎜ −1 ⎜ −1 ⎜ ⎜ ⎝ −6 ⎛1 1⎞ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎟ 3⎟ ( 3):= ( 3) − (1) → ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ):= ( ) − 3(1) ⎜ 5⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠⎟ ⎝0 ⎛1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ( ):= ( ) − 3( 3) ⎜ −3 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 10 ⎟ 0 3 ⎟ ⎜ ⎜ 0 −10 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 1 ⎞ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −3 −1 ⎟ ( 3):= ( 3) − 23 ( 2) ⎜ −3 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ( ):= ( ) − 3( 2) ⎜ 0 10 ⎟ −2 ⎟ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ −9 ⎠⎟ ⎝ ⎠ Hệ vô nghiệm g) Biến đổi ⎛1 ⎜ ⎜2 ⎜1 ⎜ ⎜3 ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ ⎛1 −22 ⎞ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎟ 12 ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) → ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ) : = ( ) − 3( ) ⎜ 34 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 −1 −1 ⎟⎠ ⎝ ⎛ −4 −4 −22 ⎞ ⎟ ⎜ 11 −1 56 ⎟ ( 3) ∼ ( ) ⎜ 11 ⎯⎯⎯⎯→ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ... + x2 x2 x2 − 2x − 4x + 3x2 + 7x2 − x2 − x3 − 2x3 + 3x + x3 + 3x + 5x + 2x3 − 2x3 = = 5x + 2x4 + 4x − 6x4 − 2x4 ⎧ x1 ⎪ ⎪x b) ⎨ ⎪− x1 ⎪2x ⎩ = 12 = 34 = x3 + x3 − + 2x − 2x − − x2 x4 − x3 + 2x +... 2x + 8x2 + 24 x3 ⎧ x1 ⎪ ⎪x e) ⎨ ⎪2x1 ⎪x ⎩ + 3x2 + 3x3 − + x2 x2 x2 + 2x2 + 5x2 + 5x2 + 4x + 5x2 + 5x2 − 2x3 − 4x3 − 5x − 7x3 + + − 4x 6x 2x + 5x3 + 4x + 7x3 − + − 6x4 2x4 8x4 − 14x4 − − + = ⎧2x1... ⎨2x1 ⎪x ⎩ ⎧ x1 ⎪ ⎪x c) ⎨ ⎪2x1 ⎪x ⎩ − + x2 x2 + 2x2 + x2 + x3 − 2x + 3x3 + x3 + 2x + 3x x2 + 3x + = 2 ⎧ − x1 ⎪ b) ⎨ 3x1 ⎪−2x ⎩ = = + x4 = = + 5x − 4x4 + 9x4 = + 2x3 + 7x = 36 + 2x2 + − x2 x2