chuyen de phuong trinh va he phuong trinh

PHNG TRèNH BC HAI V H THC VI-ẫT Ph ơng trình bậc hai và hệ thức vi-et Dạng 1: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm. Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm. 1) x 2 2(m - 1)x 3 m = 0 ; 2) x 2 + (m + 1)x + m = 0 ; 3) x 2 (2m 3)x + m 2 3m = 0 ; 4) x 2 + 2(m + 2)x 4m 12 = 0 ; 5) x 2 (2m + 3)x + m 2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x 2 2x (m 1)(m 3) = 0 ; 7) x 2 2mx m 2 1 = 0 ; 8) (m + 1)x 2 (2m1)x 3 + m = 0 ; Bài 2: a) CMR với a, b , c là các số thực thì phơng trình sau luôn có nghiệm: (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0 b) CMR với ba số thức a, b , c phân biệt thì phơng trình sau có hai nghiệm phân biết: x) (ẩn 0 cx 1 bx 1 ax 1 = + + c) CMR phơng trình: c 2 x 2 + (a 2 b 2 c 2 )x + b 2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. d) CMR phơng trình bậc hai: (a + b) 2 x 2 (a b)(a 2 b 2 )x 2ab(a 2 + b 2 ) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài 3: a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm: ax 2 + 2bx + c = 0 (1) bx 2 + 2cx + a = 0 (2) cx 2 + 2ax + b = 0 (3) b) Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau: x 2 + 2ax + 4b 2 = 0 (1) x 2 - 2bx + 4a 2 = 0 (2) x 2 - 4ax + b 2 = 0 (3) x 2 + 4bx + a 2 = 0 (4) Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng trình có nghiệm. c) Cho 3 phơng trình (ẩn x sau): (3) 0 cb 1 x ba ba2a cx (2) 0 ba 1 x ac ac2c bx (1) 0 ac 1 x cb cb2b ax 2 2 2 = + + + + = + + + + = + + + + với a, b, c là các số dơng cho trớc. Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất một phơng trình có nghiệm. Bài 4: a) Cho phơng trình ax 2 + bx + c = 0. Trn Th Thng Hoi Trng THCS Ca Tựng 1 PHNG TRèNH BC HAI V H THC VI-ẫT Biết a 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai nghiệm. b) Chứng minh rằng phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau đợc thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < 0 ; 5a + 3b + 2c = 0. Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc. Bài 1: Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình: 5x 2 3x 1 = 0. Không giải phơng trình, tính giá trị của các biểu thức sau: . x4xx4x 3xx5x3x B ;x3x2xx3x2xA 2 2 1 2 21 2 221 2 1 2 21 3 22 2 1 3 1 + ++ = += Bài 2: Cho phơng trình x 2 2(m -1)x m = 0. a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x 1 ; x 2 với mọi m. b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn 1 22 2 11 x 1 xy và x 1 xy +=+= . Bài 3: Cho phơng trình 2x 2 3x 1 = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 . Hãy thiết lập ph- ơng trình ẩn y có hai nghiệm y 1 ; y 2 thoả mãn: = = += += 1 2 2 2 2 2 1 1 22 11 x x y x x y b) 2xy 2xy a) Bài 4: Cho phơng trình x 2 + x 1 = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 . Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y 1 ; y 2 thoả mãn: =+++ +=+ +=+ +=+ 0.5x5xyy xxyy b) ; 3x3x y y y y x x x x yy a) 21 2 2 2 1 2 2 2 121 21 1 2 2 1 1 2 2 1 21 Trn Th Thng Hoi Trng THCS Ca Tựng 2 PHNG TRèNH BC HAI V H THC VI-ẫT Bài 5: Cho phơng trình 2x 2 + 4ax a = 0 (a tham số, a 0) có hai nghiệm x 1 ; x 2 . Hãy lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y 1 ; y 2 thoả mãn: 21 2121 21 xx y 1 y 1 và x 1 x 1 yy +=++=+ Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. Bài 1: a) Cho phơng trình (m 1)x 2 + 2(m 1)x m = 0 (ẩn x). Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa ĐẠI SỐ 10 Chương Phương Trình & Hệ Phương Trình www.saosangsong.com.vn/ SAVE YOUR TIME&MONEY SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL SUIT YOUR PACE Chương 3.Phương trình hệ phương trình §1 Đại cương phương trình A Tóm tắt giáo khoa Phương trình ẩn Phương trình ẩn phương trình có dạng :f(x) = g(x) ;f(x) g(x) biểu thức x ; x ẩn • x0 nghiệm phương trình dẳng thức f( x0 ) = g( x0 ) • Giải phương trình tìm tất nghiệm phương trình • Một phương trình nghiệm gọi phương trình vô nghiệm Điều kiện phương trình Cho phương trình f(x) = g(x) Điều kiện để biểu thức f(x) ; g(x) có nghĩa gọi điều kiện phương trình Phương trình tương đương Hai phương trình gọi tương đương tập nghiệm chúng Phép biến đổi tương đương Để giải phương trình ta thừơng biến đổi phương trình thành phương trình tương đương đơn giản Phép biến đổi gọi phép biến đổi tương đương Dưới biến đổi tương đương thường dùng (cần nhớ điều kiện phương trình không bị thay đổi ) a) Biến đổi đồng hai vế b) Cộng hay trừ vào hai vế cho biểu thức c) Nhân hay chia hai vế với biểu thức có giá trị khác Chú ý ¾ Khi giải phương trình máy tính nghiệm viết dạng thập phân ta nghiệm gần ¾ Khi giải phương trình f(x) = g(x) (1) mà ta không dùng biến đổi tương đương dẫn đến phương trình h(x) = k(x) (2) tập nghiệm (2) chứa tập nghiệm (1) Khi (2) gọi phương trình hệ (1) B.Giải toán Dạng toán 1:Tìm điều kiện phương trình Ví dụ 1:Tìm điều kiện phương trình sau: 1 (1) x2 −1 + = 3x + x−2 x−2 x 2x − x+ + =0 (2) x +1 x −1 Giải: a) điều kiện phương trình (1) là: x − ≠ ⇔ x ≠ b) điều kiện phương trình (2) là: x + ≠ x − ≠ ⇔ x ≠ −1 x ≠ Ví dụ 2:Tìm điều kiện phương trình sau: x − x − = x − − x − 2(1) x+ x−3 − = (2) 4− x Giải: a) điều kiện phương trình (1) là: x − ≥ ⇔ x ≥ www.saosangsong.com.vn Chương 3.Phương trình hệ phương trình ⎧x −3 ≥ ⎧x ≥ ⇔⎨ ⇔3≤ x < b) điều kiện phương trình (2) ⎨ ⎩x < ⎩4 − x > Dạng toán : Giải phương trình Để giải phương trình ta thường : a) Tìm điều kiện cuả phương trình b) Biến đổi tương đương phương trình thành phương trình đơn giản tìm nghiệm thỏa điều kiện phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình sau : a ) x + x − = + x − 2(1) 2x + +2= b) x + x +1 x +1 Giải : a) Điều kiện cuà phương trình (1) : x − ≥ ⇔ x ≥ (1) ⇔ x = nghiệm không thỏa điều kiện phương trình Vậy phương trình (1) vô nghiệm b) Điều kiện phương trình (2) : x+1 ≠ ⇔ x ≠ -1 (2) ⇔ x(x+1)+2+2(x+1) = 2x+4 (nhân 2vế với x+1 ≠ ) ⇔ x2 + x + + 2x + = x + ⇔ x2 + x = ⇔ x(x + 1) = phương trình có nghiệm x = , x = -1 Nghiệm x = bị loại không thỏa điều kiện phương trình Vậy phương trình (2) có nghiệm x = Ví dụ : Giải phương trình sau : x2 − 5x + = x + (1) a) 2x + b) x + x x − = − x + x (2) Giải : 2x + ) a) điều kiện phương trình (1) là: 2x + > ⇔ x > - (1) ⇔ x − x + = x + (nhân vế với ⇔ x2 − x = ⇔ x ( x − 7) = ⇔ x = ; x = Cả nghiệm thỏa điều kiện phương trình (1) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm : x = ; x = ⎧x −1 ≥ ⎧x ≥ ⇔⎨ ⇔ x =1 b)điều kiện phương trình (2) : ⎨ x x 1 − ≥ ≤ ⎩ ⎩ Thế giá trị x = vào phương trình (2) ta đẳng thức Vậy phương trình (2 ) có nghiệm x = C Bài tập rèn luyện : 3.1 Giải phương trình sau: www.saosangsong.com.vn Chương 3.Phương trình hệ phương trình a) x + x − = + x − c) x + − x = x3 + x − 3 = − x2 + x +1 x +1 x+2 x2 − d )x + = e) = x−4 x −3 x −3 x−4 b) x + 3.2 Giải phương trình sau : a) x − − x = x − + 3x b) x + x − = + − x 3.3 Tìm tập nghiệm phương trình sau: x + = x − 3(1) Hai phương trình có tương đương không ? x + = ( x − 3) (2) 3.4 Tìm tập nghiệm phương trình sau : x + = x + 2(1) x + = ( x + 2) (2) Hai phương trình có tương đương không ? D Hướng dẫn giải hay đáp số 3.1 a) x = b) x = c) vô nghiệm d) x = ; x = e) vô nghiệm 3.2 a) x = b) vô nghiệm 3.3 điều kiện phương trình (1) : x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x + = ( x − 3) (1) ⇔ x + = x2 − 6x + ⇔ x2 − x = ⇔ x = 0; x = x = (loại) Tập nghiệm (1) {7} Điều kiện phương trình (2) x ∈ R Tập nghiệm (2) {0, 7} Vậy phương trình không tương đương 3.4 điều kiện hai phương trình : x ∈ R (1) ⇔ (2) ⇔ x + = x + x + ⇔ x = Tập nghiệm hai phương trình {0} Hai phương trình tương đương §2 Phương trình bậc Phương trình bậc hai A Tóm tắt giáo khoa Giải biện luận phương trình dạng :ax+b=0 Cách giải biện luận tóm tắt bảng sau : ax + b = a≠ a=0 −b a • b ≠ :vô nghiệm • b = :tập nghiệm R Có nghiệm x = Phương trình bậc hai a) Định nghĩa công thức nghiệm Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng : ax + bx + c = www.saosangsong.com.vn Chương 3.Phương trình hệ phương trình Cách giải công thức nghiệm phương trình cho bảng sau : Biệt thức Δ = b − 4ac Δ≥0 ax + bx + c = Kết luận • Hai nghiệm phân biệt −b ± b − 4ac 2a −b Nghiệm kép x = 2a Vô nghiệm x1,2 = Δ=0 Δ 2m + − 2m + + Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = = m − 1; x2 = = m + ( x1 < x2 ) 2 Theo đề ta phải có : m − < < m + ⇔ < m < Dạng toán :Phương trình đưa bậc ,bậc hai *Ví dụ : Giải biện... ) ; ( x + 12 ) Diện tích hình chữ nhật ( x +8 ).( x+12 ) Diện tích mảnh ruộng hình vuông : x Theo giả thiết , tacó : ( x + 8).( x + 12) − x = 3136 ⇔ x + x + 12 x + 96 − x = 3136 ⇔ 20 x = 3040